النظرية (المنطق الرياضي)

نظرية${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي نظرية فرعية لنظرية${\displaystyle {\mathcal {T}}}$لو${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. لو${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ثم${\displaystyle {\mathcal {S}}}$يُطلق عليه اسم امتداد أو نظرية فائقة لـ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

يُقال إن النظرية نظرية استنتاجية إذا${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هي فئة استقرائية ، أي أن محتواها مبني على نظام استنتاجي رسمي ، وأن بعض عباراتها الأولية تُعتبر بديهيات . في النظرية الاستنتاجية، أي جملة تُعد نتيجة منطقية لواحدة أو أكثر من البديهيات، هي أيضًا جملة من تلك النظرية. ^{[ 1 ]} بتعبير أدق، إذا${\displaystyle \vdash }$إذا كانت علاقة نتيجة على نمط تارسكي ،${\displaystyle {\mathcal {T}}}$مغلق بموجب${\displaystyle \vdash }$(وبالتالي فإن كل نظرية من نظرياتها هي نتيجة منطقية لبديهياتها) إذا وفقط إذا، بالنسبة لجميع الجمل${\displaystyle \phi }$بلغة النظرية${\displaystyle {\mathcal {T}}}$، لو${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$، ثم${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$أو، على نحو مماثل، إذا${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$هي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle {\mathcal {T}}}$(ربما مجموعة بديهيات${\displaystyle {\mathcal {T}}}$(في حالة النظريات القابلة للتحديد البديهي المحدود) و${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$، ثم${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$وبالتالي${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$.

النظرية المتسقة نحويًا هي نظرية لا يمكن إثبات كل جملة في اللغة الأساسية من خلالها (بالنسبة لنظام استنتاجي ما ، والذي يكون واضحًا عادةً من السياق). في نظام استنتاجي (مثل منطق الرتبة الأولى) الذي يحقق مبدأ الانفجار ، يُعادل هذا اشتراط عدم وجود جملة φ بحيث يمكن إثبات كل من φ ونفيها من النظرية.

النظرية القابلة للإرضاء هي نظرية لها نموذج . وهذا يعني وجود بنية M تُرضي كل جملة في النظرية. أي نظرية قابلة للإرضاء متسقة نحويًا، لأن البنية التي تُرضي النظرية ستُرضي أحد الشرطين φ ونفي φ فقط، لكل جملة φ.

تُعرَّف النظرية المتسقة أحيانًا بأنها نظرية متسقة نحويًا، وأحيانًا أخرى بأنها نظرية قابلة للإرضاء. في منطق الرتبة الأولى ، وهو الحالة الأهم، يترتب على نظرية الاكتمال أن المعنيين متطابقان. ^{[ 2 ]} في أنواع المنطق الأخرى، كمنطق الرتبة الثانية ، توجد نظريات متسقة نحويًا ولكنها غير قابلة للإرضاء، مثل النظريات غير المتسقة من نوع ω .

النظرية المتسقة الكاملة (أو ببساطة النظرية الكاملة ) هي نظرية متسقة${\displaystyle {\mathcal {T}}}$بحيث أنه لكل جملة φ في لغتها، إما أن تكون φ قابلة للإثبات من${\displaystyle {\mathcal {T}}}$أو${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \cup }${φ} غير متسق. بالنسبة للنظريات المغلقة تحت الاستدلال المنطقي، هذا يعني أنه لكل جملة φ، إما أن تكون φ أو نفيها موجودة في النظرية. ^{[ 3 ]} النظرية غير المكتملة هي نظرية متسقة ولكنها غير مكتملة.

(انظر أيضًا نظرية ω-consistent للحصول على مفهوم أقوى للاتساق.)

تفسير النظرية هو العلاقة بين النظرية وموضوع معين، حيث توجد مطابقة متعددة بين بعض العبارات الأساسية للنظرية وبعض العبارات المتعلقة بالموضوع. إذا كان لكل عبارة أساسية في النظرية نظير، يُسمى ذلك تفسيرًا كاملاً ، وإلا يُسمى تفسيرًا جزئيًا . ^{[ 4 ]}

لكل بنية عدة نظريات مرتبطة بها. النظرية الكاملة للبنية A هي مجموعة جميع الجمل من الدرجة الأولى على توقيع A والتي تحققها A. ويُرمز لها بـ Th( A ). وبشكل أعم، فإن نظرية K ، وهي فئة من البنى σ ، هي مجموعة جميع الجمل σ من الدرجة الأولى التي تحققها جميع البنى في K ، ويُرمز لها بـ Th( K ). من الواضح أن Th( A ) = Th({ A }). ويمكن تعريف هذه المفاهيم أيضًا بالنسبة لمنطقات أخرى.

لكل بنية سيجما A ، توجد عدة نظريات مرتبطة بها ضمن توقيع أكبر σ' يمتد من σ بإضافة رمز ثابت جديد لكل عنصر من عناصر نطاق A. (إذا تم تعريف الرموز الثابتة الجديدة بعناصر A التي تمثلها، فيمكن اعتبار σ' هو σ${\displaystyle \cup }$أ) وبالتالي فإن عدد عناصر σ' هو الأكبر بين عدد عناصر σ وعدد عناصر A.

يتكون مخطط A من جميع الجمل الذرية أو الذرية المنفية من نوع σ' التي تحققها A ، ويُرمز له بـ diag _A. أما المخطط الموجب لـ A فهو مجموعة جميع الجمل الذرية من نوع σ' التي تحققها A ، ويُرمز له بـ diag ⁺ _A. والمخطط الأولي لـ A هو مجموعة eldiag _A لجميع الجمل من الرتبة الأولى من نوع σ' التي تحققها A ، أو بصورة مكافئة، النظرية الكاملة (من الرتبة الأولى) للتوسع الطبيعي لـ A إلى التوقيع σ'.

توجد العديد من أنظمة الاستدلال الرسمي ("البرهان") لمنطق الرتبة الأولى. وتشمل هذه الأنظمة أنظمة الاستدلال على نمط هيلبرت ، والاستدلال الطبيعي ، وحساب المتتاليات ، وطريقة الجداول ، والتحليل .

الصيغة أ هي نتيجة نحوية لنظرية من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$إذا كان هناك اشتقاق لـ A باستخدام الصيغ فقط في${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$باعتبارها بديهيات غير منطقية. تُسمى هذه الصيغة A أيضًا نظرية${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$. الرمز "${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$يشير الرمز " إلى أن A هي نظرية من${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$.

يُقدّم تفسير نظرية من الدرجة الأولى دلالاتٍ لصيغ النظرية. ويُقال إن التفسير يُحقّق صيغةً ما إذا كانت الصيغة صحيحةً وفقًا لهذا التفسير. نموذج لنظرية من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$هو تفسير يتم فيه تطبيق كل صيغة من${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$راضٍ.

نظرية من الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$هي نظرية من الدرجة الأولى مع هوية إذا${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$يتضمن رمز علاقة الهوية "=" ومخططات بديهيات الانعكاس والاستبدال لهذا الرمز.

• نظرية التراص
• مجموعة متسقة
• نظرية الاستنتاج
• معضلة ليندنبوم
• نظرية لوفنهايم-سكوليم