قائمة النظريات من الدرجة الأولى

في منطق الرتبة الأولى ، تُعرَّف نظرية الرتبة الأولى بمجموعة من البديهيات بلغة معينة. يسرد هذا المدخل بعض الأمثلة الأكثر شيوعًا المستخدمة في نظرية النماذج وبعض خصائصها.

لكل بنية رياضية طبيعية توقيع σ يسرد الثوابت والدوال والعلاقات الخاصة بالنظرية مع عدد عناصرها ، بحيث يكون الكائن بطبيعته بنية σ . وبالنظر إلى التوقيع σ، توجد لغة فريدة من الدرجة الأولى L _σ يمكن استخدامها للتعبير عن الحقائق القابلة للتعبير من الدرجة الأولى حول بنية σ .

هناك طريقتان شائعتان لتحديد النظريات:

1. قم بإدراج أو وصف مجموعة من الجمل في اللغة L _σ ، والتي تسمى بديهيات النظرية.
2. أعطِ مجموعة من البنى σ ، وعرّف النظرية بأنها مجموعة الجمل في L _σ التي تتحقق في جميع هذه النماذج. على سبيل المثال، تتكون "نظرية الحقول المنتهية" من جميع الجمل في لغة الحقول التي تتحقق في جميع الحقول المنتهية.

قد تتضمن نظرية L _{σ ما يلي:}

• كن متسقاً: لا يوجد دليل على التناقض؛
• أن تكون قابلة للإرضاء: يوجد هيكل σ تكون فيه جميع جمل النظرية صحيحة (بحسب نظرية الاكتمال ، فإن قابلية الإرضاء تعادل الاتساق)؛
• كن كاملاً: بالنسبة لأي عبارة، إما أن تكون هي أو نفيها قابلة للإثبات؛
• حذف الكميات ؛
• التخلص من الأوهام ؛
• أن تكون قابلة للتحديد البديهي بشكل نهائي ؛
• قابل للتقرير : هناك خوارزمية لتحديد العبارات التي يمكن إثباتها؛
• أن تكون قابلة للتكرار والتحديد البديهي؛
• أن يكون النموذج كاملاً أو النموذج الفرعي كاملاً؛
• كن κ-فئويًا : جميع نماذج العددية κ متماثلة؛
• أن يكون مستقراً أو غير مستقر؛
• أن تكون مستقرة ω (وهو نفس الشيء بالنسبة للنظريات القابلة للعد التي تكون متسامية تمامًا )؛
• كن فائق الاستقرار
• يمتلك نموذجًا ذريًا ؛
• يمتلك نموذجًا رئيسيًا ؛
• نموذج مشبع .

إن توقيع نظرية الهوية البحتة فارغ، ولا يحتوي على وظائف أو ثوابت أو علاقات.

لا تحتوي نظرية الهوية الخالصة على بديهيات (غير منطقية). وهي قابلة للتقرير.

من بين الخصائص القليلة المثيرة للاهتمام التي يمكن التعبير عنها بلغة نظرية الهوية البحتة، خاصية اللانهاية. وتُعطى هذه الخاصية من خلال مجموعة لانهائية من البديهيات التي تنص على وجود عنصرين على الأقل، أو وجود ثلاثة عناصر على الأقل، وهكذا.

• ∃ x ₁ ∃ x ₂ ¬ x ₁ = x ₂ , ∃ x ₁ ∃ x ₂ ∃ x ₃ ¬ x ₁ = x ₂ ∧ ¬ x ₁ = x ₃ ∧ ¬ x ₂ = x ₃ ,...

تحدد هذه البديهيات نظرية المجموعة اللانهائية .

لا يمكن التعبير عن الخاصية المعاكسة للخاصية المحدودة في منطق الرتبة الأولى لأي نظرية ذات نماذج محدودة كبيرة كيفما كانت؛ بل إن أي نظرية من هذا القبيل لها نماذج غير محدودة وفقًا لنظرية التراص . عمومًا، إذا أمكن التعبير عن خاصية ما بعدد محدود من الجمل في منطق الرتبة الأولى، فإنه يمكن أيضًا التعبير عن الخاصية المعاكسة في منطق الرتبة الأولى، أما إذا تطلبت خاصية ما عددًا غير محدود من الجمل، فلا يمكن التعبير عن الخاصية المعاكسة لها في منطق الرتبة الأولى.

أي عبارة في نظرية الهوية البحتة تُكافئ إما σ( N ) أو ¬σ( N ) لمجموعة جزئية منتهية N من الأعداد الصحيحة غير السالبة ، حيث σ( N ) هي العبارة التي تُشير إلى أن عدد العناصر ينتمي إلى N. بل من الممكن وصف جميع النظريات الممكنة بهذه اللغة كما يلي: أي نظرية هي إما نظرية جميع المجموعات ذات العدد N لمجموعة جزئية منتهية N من الأعداد الصحيحة غير السالبة، أو نظرية جميع المجموعات التي لا ينتمي عددها إلى N ، لمجموعة جزئية منتهية أو غير منتهية N من الأعداد الصحيحة غير السالبة. (لا توجد نظريات تكون نماذجها عبارة عن مجموعات ذات عدد N إذا كانت N مجموعة جزئية غير منتهية من الأعداد الصحيحة). النظريات الكاملة هي نظريات المجموعات ذات العدد n لعدد n منتهٍ ، ونظرية المجموعات غير المنتهية.

إحدى الحالات الخاصة من هذا هي النظرية غير المتسقة المُعرَّفة بالمسلَّمة ∃ x ¬ x = x . إنها نظرية جيدة تمامًا تتمتع بالعديد من الخصائص الجيدة: فهي كاملة، وقابلة للتقرير، وقابلة للتأويل المحدود، وما إلى ذلك. المشكلة الوحيدة هي أنها لا تحتوي على أي نماذج على الإطلاق. وفقًا لنظرية غودل للاكتمال، فهي النظرية الوحيدة (لأي لغة معينة) التي لا تحتوي على نماذج. ^{[ 1 ]} وهي تختلف عن نظرية المجموعة الفارغة (في صيغ منطق الرتبة الأولى التي تسمح بأن يكون النموذج فارغًا): فنظرية المجموعة الفارغة لها نموذج واحد فقط، وهو نموذج لا يحتوي على أي عناصر.

تُسمى مجموعة العلاقات الأحادية Pᵢ _، حيث i ينتمي إلى مجموعة ما I، _مستقلة إذا كان لكل مجموعتين جزئيتين منفصلتين منتهيتين A و B من I، يوجد عنصر x بحيث تكون Pᵢ ( x ) صحيحة لـ i في A وخاطئة لـ i في B. ويمكن التعبير عن الاستقلال بمجموعة من العبارات من الدرجة الأولى.

إن نظرية عدد قابل للعد من العلاقات الأحادية المستقلة مكتملة، لكنها تفتقر إلى النماذج الذرية . وهي أيضاً مثال على نظرية فائقة الاستقرار ولكنها ليست متعالية تماماً .

تتكون بصمة علاقات التكافؤ من رمز علاقة ثنائي واحد (~)، ولا تحتوي على ثوابت أو دوال. وتفي علاقات التكافؤ بالمسلمات التالية:

• انعكاسي ∀ x x ~ x ;
• متناظر ∀ x ∀ y x ~ y → y ~ x ;
• متعدٍ : ∀ x ∀ y ∀ z ( x ~ y ∧ y ~ z ) → x ~ z .

بعض الخصائص الأساسية لعلاقات التكافؤ هي:

• ~ لها عدد لا نهائي من فئات التكافؤ ؛
• ~ لها بالضبط n فئة تكافؤ (لأي عدد صحيح موجب ثابت n )؛
• جميع فئات التكافؤ لا نهائية؛
• جميع فئات التكافؤ لها حجم n بالضبط (لأي عدد صحيح موجب ثابت n ).

تُعد نظرية علاقة التكافؤ التي تحتوي على فئتين تكافؤ لانهائيتين مثالًا سهلاً على نظرية تكون ω-فئوية ولكنها ليست فئوية لأي عدد أصلي أكبر .

لا ينبغي الخلط بين علاقة التكافؤ ~ ورمز التطابق '=': إذا كان x = y فإن x ~ y ، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. ليست نظريات علاقات التكافؤ معقدة أو مثيرة للاهتمام، ولكنها غالبًا ما تقدم أمثلة سهلة أو أمثلة مضادة لعبارات مختلفة.

تُستخدم البنى التالية أحيانًا لإنتاج أمثلة على نظريات ذات أطياف معينة ؛ في الواقع، بتطبيقها على عدد قليل من النظريات الصريحة T ، نحصل على أمثلة لنظريات كاملة قابلة للعد مع جميع الأطياف غير القابلة للعد الممكنة. إذا كانت T نظرية في لغة ما، فإننا نُعرّف نظرية جديدة ^{T بإضافة علاقة ثنائية جديدة إلى اللغة، وإضافة بديهيات تنص على أنها علاقة تكافؤ، بحيث يوجد عدد لا نهائي من فئات التكافؤ} _، وكلها نماذج لـ T. من الممكن تكرار هذه البنية بشكل متجاوز : بالنظر إلى عدد ترتيبي α، نُعرّف نظرية جديدة بإضافة علاقة تكافؤ Eβ لكل β < α، مع بديهيات تنص على أنه كلما كان β < γ، فإن كل فئة تكافؤ Eγ هي اتحاد عدد لا نهائي من فئات التكافؤ Eβ _، وكل فئة _{تكافؤ E0} هي نموذج لـ T. بشكل غير رسمي، يمكن للمرء أن يتصور نماذج هذه النظرية على أنها أشجار متفرعة بلا حدود بارتفاع α مع نماذج T المرفقة بجميع الأوراق.

لا تحتوي توقيعات الأوامر على ثوابت أو دوال، وتقتصر على رمز العلاقة الثنائية ≤. (من الممكن بالطبع استخدام ≥ أو < أو > بدلاً من ذلك كعلاقة أساسية، مع إجراء تغييرات طفيفة واضحة على البديهيات). نُعرّف x ≥ y و x < y و x > y كاختصارات لـ y ≤ x و x ≤ y و y ≤ x و y < x .

بعض الخصائص الأساسية للأوامر:

• خاصية التعدي : لكل x ، لكل y، لكل z ( x ≤ y) ∧ ( y ≤ z) → x ≤ z
• انعكاسي : ∀ x x ≤ x
• غير متماثل : ∀ x ∀ y ( x ≥ y) ∧ ( y ≥ x) → x = y
• جزئي : متعدٍ ∧ انعكاسي ∧ مضاد للتناظر؛
• الخطي (أو الكلي ): الجزئي ∧ ∀ x ∀ y ( x ≤ y) ∨ ( y ≤ x)
• كثيف ("يوجد عنصر آخر بين أي عنصرين مختلفين"): ∀ x ∀ z ( x < z) → ∃ y ( x < y) ∧ ( y < z)
• يوجد عنصر أصغر: ∃ x ∀ y ( x ≤ y)
• يوجد عنصر أكبر: ∃ x ∀ y ( y ≤ x)
• لكل عنصر خلف مباشر: ∀ x ∃ y ∀ z ( x < z) ↔ ( y ≤ z)

تُعتبر نظرية الترتيب الخطي الكثيف بدون نقاط نهاية (أي بدون أصغر أو أكبر عنصر) نظرية كاملة، وتصنيفية من النوع ω، ولكنها ليست تصنيفية لأي عدد أصلي غير قابل للعد. وهناك ثلاث نظريات أخرى مشابهة جدًا: نظرية الترتيب الخطي الكثيف مع:

• أصغر عنصر ولكن ليس أكبر عنصر؛
• أكبر عنصر ولكن ليس أصغر عنصر؛
• أكبر عنصر وأصغر عنصر.

إن كون المجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا ("أي مجموعة جزئية غير فارغة تحتوي على عنصر أدنى") ليس خاصية من الدرجة الأولى؛ التعريف المعتاد يتضمن التحديد الكمي على جميع المجموعات الجزئية .

يمكن اعتبار الشبكات إما أنواعًا خاصة من المجموعات المرتبة جزئيًا، ذات توقيع يتكون من رمز علاقة ثنائية واحد ≤ ، أو هياكل جبرية ذات توقيع يتكون من عمليتين ثنائيتين ∧ و ∨ . ويمكن ربط النهجين بتعريف a ≤ b على أنه a ∧ b = a .

بالنسبة لعمليتين ثنائيتين، فإن بديهيات الشبكة هي:

القوانين التبادلية :		${\displaystyle \forall a\forall b\;a\vee b=b\vee a}$		${\displaystyle \forall a\forall b\;a\wedge b=b\wedge a}$
القوانين التشاركية :		${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\;a\vee (b\vee c)=(a\vee b)\vee c}$		${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\;a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c}$
قوانين الامتصاص :		${\displaystyle \forall a\forall b\;a\vee (a\wedge b)=a}$		${\displaystyle \forall a\forall b\;a\wedge (a\vee b)=a}$

بالنسبة لعلاقة واحدة ≤، فإن البديهيات هي:

• البديهيات التي تنص على أن ≤ هو ترتيب جزئي، كما هو مذكور أعلاه.
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;c\leq a\wedge c\leq b\wedge \forall d\;d\leq a\wedge d\leq b\rightarrow d\leq c}$(وجود c = a ∧ b)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\exists c\;a\leq c\wedge b\leq c\wedge \forall d\;a\leq d\wedge b\leq d\rightarrow c\leq d}$(وجود c = a ∨ b)

تشمل خصائص الدرجة الأولى ما يلي:

• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$( الشبكات التوزيعية )
• ${\displaystyle \forall x\forall y\forall z\;x\vee (y\wedge (x\vee z))=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$( الشبكات المعيارية )

يمكن تعريف جبر هيتينغ على أنه شبكات ذات خصائص إضافية معينة من الدرجة الأولى.

الاكتمال ليس خاصية من الدرجة الأولى للشبكات.

لا تحتوي توقيعات الرسوم البيانية على ثوابت أو دوال، ورمز علاقة ثنائي واحد R ، حيث يتم قراءة R ( x , y ) على أنها "هناك حافة من x إلى y ".

بديهيات نظرية الرسوم البيانية هي

• متناظر : ∀ x ∀ y R ( x , y )→ R ( y , x )
• مضاد للانعكاس : ∀ x ¬ R ( x , x ) ("لا حلقات ")

تتضمن نظرية الرسوم البيانية العشوائية البديهيات الإضافية التالية لكل عدد صحيح موجب n :

• لأي مجموعتين منتهيتين منفصلتين بحجم n ، توجد نقطة متصلة بجميع نقاط المجموعة الأولى ولا تتصل بأي نقطة من نقاط المجموعة الثانية. (لكل قيمة ثابتة لـ n ، من السهل كتابة هذه العبارة بلغة الرسوم البيانية).

تُعتبر نظرية الرسوم البيانية العشوائية نظريةً فئويةً كاملةً وقابلةً للتقرير، ويُطلق على نموذجها القابل للعد اسم رسم رادو البياني . تكون العبارة المكتوبة بلغة الرسوم البيانية صحيحةً في هذه النظرية إذا وفقط إذا كان احتمال أن يُمثل رسم بياني عشوائي ذو n رأس هذه العبارة يقترب من 1 عندما يؤول n إلى اللانهاية.

توجد عدة توقيعات واتفاقيات مختلفة تستخدم في الجبر البولياني :

1. تحتوي هذه الصيغة على ثابتين، 0 و1، ودالتين ثنائيتين ∧ و∨ ("و" و"أو")، ودالة أحادية واحدة ¬ ("ليس"). قد يكون هذا مُربكًا لأن هذه الدوال تستخدم نفس الرموز المستخدمة في الدوال المنطقية من الدرجة الأولى.
2. في نظرية المجموعات ، من المتعارف عليه أن اللغة تحتوي على ثابتين، هما 0 و1، ودالتين ثنائيتين هما الجمع والطرح، ودالة أحادية واحدة هي السالب . وتؤدي هذه الدوال الثلاث نفس وظيفة الدوال في الاصطلاح الأول. لكن لسوء الحظ، يتعارض هذا الاصطلاح بشدة مع الاصطلاح التالي:
3. في الجبر ، جرت العادة على أن تحتوي اللغة على ثابتين، هما 0 و1، ودالتين ثنائيتين هما · و+. الدالة · لها نفس معنى ∧، ولكن a + b تعني a ∨ b ∧¬( a ∧ b ). والسبب في ذلك هو أن بديهيات الجبر البولياني هي نفسها بديهيات حلقة يكون فيها 1 زائد ∀ x x ² = x . لسوء الحظ، يتعارض هذا مع الاصطلاح القياسي في نظرية المجموعات المذكور أعلاه.

البديهيات هي:

• البديهيات الخاصة بالشبكة التوزيعية (انظر أعلاه)
• ∀ a a ∧ ¬ a = 0, ∀ a a ∨ ¬ a = 1 (خصائص النفي)
• يضيف بعض المؤلفين البديهية الإضافية ¬0 = 1، لاستبعاد الجبر التافه ذي العنصر الواحد.

أثبت تارسكي أن نظرية الجبر البولياني قابلة للتقرير.

نكتب x ≤ y كاختصار لـ x ∧ y = x ، و atom( x ) كاختصار لـ ¬ x = 0 ∧ ∀ y y ≤ x → y = 0 ∨ y = x ، وتُقرأ " x عنصر ذري"، أي عنصر غير صفري لا يوجد شيء بينه وبين الصفر. فيما يلي بعض خصائص الرتبة الأولى للجبر البولياني:

• ذري : ∀ x x = 0 ∨ ∃ y y ≤ x ∧ atom( y )
• بلا ذرة : ∀ x ¬atom( x )

إن نظرية الجبر البولياني عديم الذرات هي نظرية ω-فئوية وكاملة.

بالنسبة لأي جبر بولياني B ، هناك العديد من الثوابت المعرفة على النحو التالي.

• يتكون العنصر المثالي I ( B ) من عناصر هي مجموع عنصر ذري وعنصر عديم الذرات (عنصر لا توجد تحته ذرات).
• يتم تعريف جبر القسمة B ⁱ لـ B استقرائيًا بواسطة B ⁰ = B ، B ^{k +1} = B ^k / I ( B ^k ).
• الثابت m ( B ) هو أصغر عدد صحيح بحيث يكون B ^{m +1} تافهًا، أو ∞ إذا لم يكن هناك عدد صحيح كهذا.
• إذا كانت m ( B ) محدودة، فإن الثابت n ( B ) هو عدد ذرات B ^{m ( B )} إذا كان هذا العدد محدودًا، أو ∞ إذا كان هذا العدد لانهائيًا.
• الثابت l ( B ) يساوي 0 إذا كان B ^{m ( B )} ذريًا أو إذا كان m ( B ) يساوي ∞ ، و 1 خلاف ذلك.

تكون جبرتان بوليتان متكافئتان بشكل أساسي إذا وفقط إذا كانت ثوابتهما l و m و n متطابقة. بعبارة أخرى، تُصنِّف قيم هذه الثوابت الإكمالات الممكنة لنظرية الجبر البولياني. لذا، فإن النظريات الكاملة الممكنة هي:

• الجبر التافه (إذا كان هذا مسموحًا به؛ في بعض الأحيان يتم تضمين 0 ≠ 1 كمسلمة.)
• النظرية مع m = ∞
• النظريات التي يكون فيها m عددًا طبيعيًا، و n عددًا طبيعيًا أو ∞ ، و l = 0 أو 1 (مع l = 0 إذا كان n = 0).

تتكون بصمة نظرية الزمر من ثابت واحد يساوي 1 (العنصر المحايد)، ودالة واحدة من الرتبة 1 (الدالة العكسية) يُرمز إلى قيمتها على t بالرمز t ^{− 1} ، ودالة واحدة من الرتبة 2، والتي تُحذف عادةً من الحدود. لأي عدد صحيح n ، فإن t ⁿ هو اختصار للحد الواضح الذي يُمثل القوة النونية لـ t .

تُعرَّف المجموعات بواسطة البديهيات

• المتطابقة : لكل x 1 x = x ∧ x 1 = x
• المعكوس : لكل x ^{− 1} ، x = 1 ∧ x ^{− 1} = 1
• Associativity: ∀x∀y∀z (xy)z = x(yz)

Some properties of groups that can be defined in the first-order language of groups are:

• Abelian: ∀x ∀yxy = yx.
• Torsion free: ∀xx² = 1→x = 1, ∀xx³ = 1 → x = 1, ∀xx⁴ = 1 → x = 1, ...
• Divisible: ∀x ∃yy² = x, ∀x ∃yy³ = x, ∀x ∃yy⁴ = x, ...
• Infinite (as in identity theory)
• Exponentn (for any fixed positive integer n): ∀xxⁿ = 1
• Nilpotent of class n (for any fixed positive integer n)
• Solvable of class n (for any fixed positive integer n)

The theory of abelian groups is decidable.^[2] The theory of infinite divisible torsion-free abelian groups is complete, as is the theory of infinite abelian groups of exponent p (for pprime).

The theory of finite groups is the set of first-order statements in the language of groups that are true in all finite groups (there are plenty of infinite models of this theory). It is not completely trivial to find any such statement that is not true for all groups: one example is "given two elements of order 2, either they are conjugate or there is a non-trivial element commuting with both of them".

The properties of being finite, or free, or simple, or torsion are not first-order. More precisely, the first-order theory of all groups with one of these properties has models that do not have this property.

The signature of (unital) rings has two constants 0 and 1, two binary functions + and ×, and, optionally, one unary negation function −.

Rings

Axioms: Addition makes the ring into an abelian group, multiplication is associative and has an identity 1, and multiplication is left and right distributive.

Commutative rings

البديهيات الخاصة بالحلقات بالإضافة إلى ∀ x ∀ y xy = yx .

الحقول

تتضمن بديهيات الحلقات التبديلية ما يلي: ∀ x (¬ x = 0 → ∃ y xy = 1) و ¬ 1 = 0. العديد من الأمثلة الواردة هنا لا تحتوي إلا على بديهيات عامة أو جبرية . تتميز فئة البنى التي تحقق هذه النظرية بخاصية كونها مغلقة تحت البنية الفرعية. على سبيل المثال، المجموعة الفرعية من زمرة مغلقة تحت تأثيري الضرب والمعكوس هي زمرة أيضًا. بما أن توقيع الحقول لا يتضمن عادةً المعكوس الضربي والجمعي، فإن بديهيات المعكوسات ليست عامة، وبالتالي فإن البنية الفرعية لحقل مغلق تحت الجمع والضرب ليست دائمًا حقلًا. يمكن معالجة هذا بإضافة دوال المعكوس الأحادي إلى اللغة.

بالنسبة لأي عدد صحيح موجب n، يمكن التعبير عن خاصية أن جميع المعادلات من الدرجة n لها جذر بجملة واحدة من الدرجة الأولى:

• لكل a _1، لكل a ₂ ، ...، لكل an _، يوجد x (...(( x + a ₁ ) x + a ₂ ) x +...) x + an ₌ 0

الحقول المثالية

البديهيات الخاصة بالحقول، بالإضافة إلى البديهيات لكل عدد أولي p تنص على أنه إذا كان p  1 = 0 (أي أن الحقل له خاصية p )، فإن كل عنصر من عناصر الحقل له جذر من الرتبة p .

الحقول المغلقة جبريًا ذات الخاصية p

بديهيات الحقول، بالإضافة إلى بديهية لكل عدد موجب n تنص على أن جميع كثيرات الحدود من الدرجة n لها جذر، بالإضافة إلى بديهيات تحدد الخاصية. الأمثلة الكلاسيكية للنظريات الكاملة. فئوية في جميع الأعداد الأصلية غير المعدودة. تتمتع نظرية ACF _p بخاصية المجال الشامل ، بمعنى أن كل بنية N تحقق البديهيات الشاملة لـ ACF _p هي بنية فرعية لحقل مغلق جبريًا كبير بما فيه الكفاية. ${\displaystyle M\models ACF_{0}}$بالإضافة إلى ذلك ، فإن أي اثنين من هذه التضمينات N → M يؤديان إلى تماثل ذاتي لـ M.

الحقول المنتهية

نظرية الحقول المنتهية هي مجموعة جميع العبارات من الرتبة الأولى التي تكون صحيحة في جميع الحقول المنتهية. ومن الأمثلة المهمة على هذه العبارات، تطبيق مبرهنة شيڤالي-وارنينغ على الحقول الأولية . قد يكون الاسم مضللاً بعض الشيء، إذ تحتوي النظرية على العديد من النماذج اللانهائية. وقد أثبت أكس أن النظرية قابلة للتقرير.

الحقول الحقيقية رسمياً

البديهيات الخاصة بالحقول بالإضافة إلى البديهية التالية لكل عدد صحيح موجب n :

• ∀ a ₁ ∀ a ₂ ... ∀ a _n a ₁ a ₁ + a ₂ a ₂ + ...+ a _n a _n =0 → a ₁ =0∧ a ₂ =0∧ ... ∧ a _n =0.

أي أن الصفر ليس مجموع مربعات غير تافه.

حقول مغلقة حقيقية

البديهيات الخاصة بالحقول الحقيقية الرسمية بالإضافة إلى البديهيات:

• ∀ x ∃ y ( x = yy ∨ x + yy = 0);
• لكل عدد صحيح موجب فردي n ، تنص البديهية على أن كل متعدد حدود من الدرجة n له جذر.

تُعدّ نظرية الحقول المغلقة الحقيقية فعّالة وكاملة، وبالتالي قابلة للتقرير ( نظرية تارسكي-سيدنبرغ ). وقد يؤدي إضافة رموز دوال أخرى (مثل الدالة الأسية، ودالة الجيب) إلى تغيير قابلية التقرير .

الحقول p -adic

أظهر أكس وكوشن (1965) أن نظرية الحقول p -adic قابلة للتقرير وقدموا مجموعة من البديهيات لها. ^{[ 3 ]}

تستخدم بديهيات أنظمة الهندسة المختلفة عادةً لغةً مُصنَّفة، حيث تُقابل الأنواع المختلفة أشكالًا هندسية مختلفة مثل النقاط والخطوط والدوائر والمستويات، وما إلى ذلك. غالبًا ما يتألف التوقيع من علاقات ثنائية بين أشكال من أنواع مختلفة؛ على سبيل المثال، العلاقة التي تُحدد ما إذا كانت نقطة ما تقع على خط. قد يحتوي التوقيع على علاقات أكثر تعقيدًا؛ على سبيل المثال، قد تحتوي الهندسة المرتبة على علاقة "الوساطة" الثلاثية لثلاث نقاط، والتي تُحدد ما إذا كانت إحداها تقع بين نقطتين أخريين، أو علاقة "التطابق" بين زوجين من النقاط.

تتضمن بعض الأمثلة على أنظمة الهندسة البديهية: الهندسة المرتبة ، والهندسة المطلقة ، والهندسة الأفينية ، والهندسة الإقليدية ، والهندسة الإسقاطية ، والهندسة الزائدية . ولكل من هذه الهندسات أنظمة بديهية متعددة وغير متكافئة لأبعاد مختلفة. وتتضمن بعض هذه الأنظمة بديهيات "اكتمال" ليست من الدرجة الأولى.

كمثال نموذجي، تستخدم بديهيات الهندسة الإسقاطية نوعين من العناصر، النقاط والخطوط، وعلاقة تلاقي ثنائية بين النقاط والخطوط. إذا تم الإشارة إلى متغيرات النقاط والخطوط بأحرف صغيرة وكبيرة، وكُتب العنصر المتلاقي مع النقطة A على النحو التالي: aA ، فإن مجموعة واحدة من البديهيات هي

• ${\displaystyle \forall a\forall b\;\lnot a=b\rightarrow \exists C\;aC\land bC}$(يوجد خط يمر عبر أي نقطتين مختلفتين a و b ...)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall C\forall D\;\lnot a=b\land aC\land bC\land aD\land bD\rightarrow C=D}$(... وهو أمر فريد من نوعه)
• ${\displaystyle \forall a\forall b\forall c\forall d\forall e\forall G\forall H\;aH\land bH\land eH\land cG\land dG\land eG\rightarrow \exists f\exists I\exists J\;aI\land cI\land fI\land bJ\land dJ\land fJ}$(مبدأ فيبلن: إذا كان ab و cd يقعان على خطوط متقاطعة، فإن ac و bd يقعان كذلك .)
• ${\displaystyle \forall A\exists b\exists c\exists d\;bA\land cA\land dA\land \lnot b=c\land \lnot b=d\land \lnot c=d}$(يحتوي كل خط على 3 نقاط على الأقل)

لم يذكر إقليدس جميع بديهيات الهندسة الإقليدية صراحةً، وقدّم هيلبرت أول قائمة كاملة بها في بديهيات هيلبرت . ولا تُعدّ هذه البديهيات من الدرجة الأولى، إذ إن إحدى بديهيات هيلبرت هي بديهية اكتمال من الدرجة الثانية. أما بديهيات تارسكي فهي بديهيات من الدرجة الأولى للهندسة الإقليدية. وقد بيّن تارسكي أن نظام البديهيات هذا كامل وقابل للتقرير بربطه بنظرية الحقول المغلقة الحقيقية الكاملة والقابلة للتقرير.

• نظرية الحقول التفاضلية DF .

التوقيع هو توقيع الحقول (0، 1، +، −، ×) بالإضافة إلى دالة أحادية ∂، وهي الاشتقاق. البديهيات هي تلك الخاصة بالحقول بالإضافة إلى

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

${\displaystyle \forall u\forall v\,\partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .}$

بالنسبة لهذه النظرية، يمكن إضافة الشرط الذي يكون فيه الخاصية p ، وهو عدد أولي أو صفر، للحصول على نظرية DF _p للحقول التفاضلية ذات الخاصية p (وبالمثل مع النظريات الأخرى أدناه).

إذا كان K حقلاً تفاضلياً، فإن حقل الثوابت${\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}.}$ نظرية الحقول التفاضلية الكاملة هي نظرية الحقول التفاضلية بالإضافة إلى شرط أن يكون حقل الثوابت كاملاً؛ بعبارة أخرى، لكل عدد أولي p، يكون لها البديهية التالية:

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow \exists v\,v^{p}=u}$

(لا جدوى تُذكر من اشتراط أن يكون الحقل بأكمله حقلاً مثالياً ، لأن هذا يعني في خاصية غير صفرية أن التفاضل يساوي صفرًا). ولأسباب تقنية تتعلق بحذف المُكمِّمات ، يكون من الأنسب أحيانًا إجبار الحقل الثابت على أن يكون مثالياً بإضافة رمز جديد r إلى التوقيع مع البديهيات.

${\displaystyle \forall u\,\partial (u)=0\land p1=0\rightarrow r(u)^{p}=u}$

${\displaystyle \forall u\,\lnot \partial (u)=0\rightarrow r(u)=0.}$

• نظرية الحقول المغلقة تفاضليًا (DCF) هي نظرية الحقول الكاملة تفاضليًا مع بديهيات تقول أنه إذا كانت f و g كثيرات حدود تفاضلية وكان فاصل f غير صفري و g ≠ 0 وكان لـ f رتبة أكبر من رتبة g ، فإنه يوجد x في الحقل مع f ( x )=0 و g ( x )≠0.

تتميز نظرية الأعداد الطبيعية ذات الدالة اللاحقة بتوقيع يتكون من ثابت 0 ودالة أحادية S ("اللاحقة"): S ( x ) تُفسر على أنها x +1)، ولها بديهيات:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. لتكن P ( x ) صيغة من الدرجة الأولى بمتغير حر واحد x . عندئذٍ، تكون الصيغة التالية بديهية:

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x ) → P ( Sx ))) → ∀ y P ( y ).

يمكن استبدال البديهية الأخيرة (الاستقراء) بالبديهيات التالية

• لكل عدد صحيح n > 0، فإن البديهية ∀x SSS...Sx ≠ x (مع n نسخة من S )
• ∀x ¬ x = 0 → ∃y Sy = x

إن نظرية الأعداد الطبيعية ذات دالة الخلف كاملة وقابلة للتقرير، وهي κ- فئوية بالنسبة لـ κ غير القابلة للعد ولكن ليس بالنسبة لـ κ القابلة للعد .

حساب بريسبرغر هو نظرية الأعداد الطبيعية تحت عملية الجمع، ويتكون توقيعه من ثابت 0، ودالة أحادية S ، ودالة ثنائية +. وهو حساب كامل وقابل للتقرير. بديهياته هي:

1. ∀x ¬ Sx = 0
2. ∀x∀y Sx = Sy → x = y
3. ∀xx + 0 = x
4. ∀x∀yx + Sy = S(x + y)
5. لتكن P ( x ) صيغة من الدرجة الأولى بمتغير حر واحد x . عندئذٍ، تكون الصيغة التالية بديهية:

( P (0) ∧ ∀ x ( P ( x ) → P ( Sx ))) → ∀ y P ( y ).

يمكن توسيع العديد من نظريات الرتبة الأولى المذكورة أعلاه لتشمل نظريات متسقة كاملة قابلة للتعداد التكراري. لم يعد هذا صحيحًا بالنسبة لمعظم النظريات التالية؛ إذ يمكنها عادةً ترميز كلٍ من ضرب وجمع الأعداد الطبيعية، وهذا يمنحها القدرة الكافية لترميز نفسها، مما يعني أن نظرية عدم الاكتمال لغودل تنطبق، وبالتالي لم يعد بإمكان النظريات أن تكون كاملة وقابلة للتعداد التكراري في آنٍ واحد (إلا إذا كانت غير متسقة).

تتضمن سمة نظرية الحساب ما يلي:

• الثابت 0؛
• الدالة الأحادية ، دالة الخلف ، المشار إليها هنا بالبادئة S ، أو بالبادئة σ أو اللاحقة ′ في أماكن أخرى؛
• دالتان ثنائيتان ، يُشار إليهما بالرمز + و × ، وتسميان "الجمع" و "الضرب".

بعض المؤلفين يأخذون التوقيع على أنه يحتوي على ثابت 1 بدلاً من الدالة S ، ثم يعرفون S بالطريقة الواضحة على أنها St = 1 + t .

حساب روبنسون (يُسمى أيضًا Q ). تحكم البديهيتان (1) و(2) العنصر المميز 0. تضمن البديهية (3) أن S دالة أحادية . البديهيتان (4) و(5) هما التعريف التكراري القياسي للجمع؛ وتؤدي البديهيتان (6) و(7) نفس الوظيفة للضرب. يمكن اعتبار حساب روبنسون حساب بيانو بدون استقراء. Q نظرية ضعيفة تنطبق عليها نظرية عدم اكتمال غودل . البديهيات:

1. ∀ x ¬ S x = 0
2. ∀ x ¬ x = 0 → ∃ y S y = x
3. ∀ س ∀ y S x = S y → x = y
4. ∀ x x + 0 = x
5. ∀ س ∀ ص س + س ص = س( س + ص )
6. ∀ x x × 0 = 0
7. ∀ x ∀ y x × S y = ( x × y ) + x .

I Σ _n هي حساب بيانو من الدرجة الأولى، مع اقتصار الاستقراء على صيغ Σ _n (حيث n = 0، 1، 2، ...). غالبًا ما يُرمز إلى نظرية I Σ _{0 بالرمز I} Δ _0. وهي سلسلة من أجزاء حساب بيانو ذات قوة متزايدة. تتمتع الحالة n  =  1 بقوة مماثلة تقريبًا للحساب التكراري البدائي (PRA). حساب الدوال الأسية (EFA) هو I Σ ₀ مع بديهية تنص على أن xy موجود لجميع ^قيم x و y (مع الخصائص المعتادة).

حساب بيانو من الدرجة الأولى ، PA. النظرية "القياسية" للحساب. البديهيات هي بديهيات حساب روبنسون المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى مخطط بديهيات الاستقراء:

• ${\displaystyle \phi (0)\wedge (\forall x\phi (x)\rightarrow \phi (Sx))\rightarrow (\forall x\phi (x))}$لأي صيغة φ في لغة PA. قد تحتوي φ على متغيرات حرة أخرى غير x .

أثبتت ورقة كورت غودل عام 1931 أن PA غير مكتملة، وليس لها إكمالات متسقة قابلة للتعداد بشكل متكرر.

الحساب الكامل (المعروف أيضًا باسم الحساب الحقيقي) هو نظرية النموذج القياسي للحساب، الأعداد الطبيعية N. وهو كامل ولكنه لا يحتوي على مجموعة بديهيات قابلة للتعداد بشكل متكرر.

بالنسبة للأعداد الحقيقية، يختلف الوضع قليلاً: فالحالة التي تتضمن الجمع والضرب فقط لا يمكنها تمثيل الأعداد الصحيحة، وبالتالي لا تنطبق نظرية عدم الاكتمال لغودل . وتنشأ تعقيدات عند إضافة رموز دوال أخرى (مثل الأس).

يمكن أن يشير مصطلح الحساب من الرتبة الثانية إلى نظرية من الرتبة الأولى (على الرغم من التسمية) تتضمن نوعين من المتغيرات، حيث يُنظر إليها على أنها تتغير بين الأعداد الصحيحة ومجموعات جزئية منها. (توجد أيضًا نظرية حسابية في منطق الرتبة الثانية تُسمى الحساب من الرتبة الثانية، ولها نموذج واحد فقط، على عكس النظرية المقابلة لها في منطق الرتبة الأولى، والتي تُعد غير مكتملة). عادةً ما تكون الإشارة هي إشارة الحساب 0، S ، +، × ، بالإضافة إلى علاقة انتماء ∈ بين الأعداد الصحيحة والمجموعات الجزئية (مع وجود العديد من الاختلافات الطفيفة). أما البديهيات فهي بديهيات حساب روبنسون ، بالإضافة إلى مخططات بديهيات الاستقراء والفهم .

توجد العديد من النظريات الفرعية المختلفة للحساب من الدرجة الثانية، والتي تختلف في الصيغ المسموح بها في مخططات الاستقراء والفهم. وبترتيب تصاعدي حسب قوة هذه النظريات، فإن خمسة من أكثر الأنظمة شيوعًا هي:

• ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$الفهم التكراري
• ${\displaystyle {\mathsf {WKL}}_{0}}$، لِمّة كونيغ الضعيفة
• ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$الفهم الحسابي
• ${\displaystyle {\mathsf {ATR}}_{0}}$، التكرار الحسابي المتجاوز
• ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-}}{\mathsf {CA}}_{0}}$،${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$فهم

تم تعريف هذه المصطلحات بالتفصيل في المقالات المتعلقة بالحساب من الدرجة الثانية والرياضيات العكسية .

تتميز نظرية المجموعات عادةً بعلاقة ثنائية واحدة ∈، ولا تتضمن ثوابت أو دوال. بعض النظريات المذكورة أدناه هي "نظريات أصناف" تتضمن نوعين من الكائنات: المجموعات والأصناف. توجد ثلاث طرق شائعة للتعامل مع هذا في منطق الرتبة الأولى:

1. استخدم منطق الرتبة الأولى مع نوعين.
2. استخدم منطق الرتبة الأولى العادي، ولكن أضف مسندًا أحاديًا جديدًا "Set"، حيث تعني "Set( t )" بشكل غير رسمي " t عبارة عن مجموعة".
3. استخدم منطق الرتبة الأولى العادي، وبدلاً من إضافة مسند جديد إلى اللغة، تعامل مع "Set( t )" كاختصار لـ "∃ y t ∈ y ".

تتضمن بعض نظريات المجموعات من الدرجة الأولى ما يلي:

• النظريات الضعيفة التي تفتقر إلى مجموعات القوى :
  • S' (تارسكي، موستوفسكي، وروبنسون، 1953)؛ (قابلة للتحديد البديهي النهائي)
  • نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك ؛ KP؛
  • نظرية مجموعة الجيب
  • نظرية المجموعات العامة ، GST
  • نظرية المجموعات البنائية ، CZF
• نظرية المجموعات لماك لين ونظرية التوبوس الابتدائية
• نظرية زيرميلو للمجموعات ؛ Z
• نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل ؛ زد إف، زد إف سي؛
• نظرية المجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل ؛ NBG؛ (قابلة للتحديد البديهي المحدود)
• نظرية مجموعات أكرمان ؛
• نظرية مجموعات سكوت-بوتر
• أسس جديدة ؛ NF (قابلة للتحديد البديهي النهائي)
• نظرية المجموعات الموجبة
• نظرية مورس-كيلي للمجموعات ؛ MK؛
• نظرية المجموعات تارسكي-غروتينديك ؛ TG؛

تتضمن بعض البديهيات الإضافية من الدرجة الأولى التي يمكن إضافتها إلى إحدى هذه البديهيات (عادةً ZF) ما يلي:

• بديهية الاختيار ، بديهية الاختيار التابع
• فرضية الاستمرارية المعممة
• بديهية مارتن (عادةً ما تُذكر مع نفي فرضية الاستمرارية)، الحد الأقصى لمارتن
• ◊ و ♣
• بديهية قابلية الإنشاء (V=L)
• بديهية الإجبار الصحيحة
• الحتمية التحليلية ، الحتمية الإسقاطية ، بديهية الحتمية
• العديد من البديهيات الأساسية الكبيرة

• مسرد مجالات الرياضيات
• قائمة النظريات الرياضية

• تشانغ، سي سي؛ كيسلر، إتش. جيروم (1989)، نظرية النماذج (  الطبعة الثالثة)، إلسيفير ، رقم ISBN 0-7204-0692-7
• هودجز، ويلفريد (1997)، نظرية نموذجية مختصرة ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-58713-1
• ماركر، ديفيد (2002)، نظرية النماذج: مقدمة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  217، سبرينغر، ISBN 0-387-98760-6