الأنظمة الرسمية

النظام الرسمي (أو النظام الاستنتاجي ) هو بنية مجردة وصياغة رسمية لنظام بديهي يستخدم لاستنتاج النظريات من البديهيات باستخدام قواعد الاستدلال . ^[¹^]

في عام 1921، اقترح ديفيد هيلبرت استخدام الأنظمة الصورية كأساس للمعرفة في الرياضيات . ^{[ 2 ]} ومع ذلك، في عام 1931، أثبت كورت غودل أن أي نظام صوري متسق وقوي بما يكفي للتعبير عن العمليات الحسابية الأساسية لا يمكنه إثبات اكتماله . وقد أظهر هذا فعليًا أن برنامج هيلبرت كان مستحيلاً بصيغته الحالية.

إن مصطلح الشكلية هو في بعض الأحيان مرادف تقريبي للنظام الرسمي ، ولكنه يشير أيضًا إلى أسلوب معين من التدوين ، على سبيل المثال، تدوين برا-كيت لبول ديراك .

المفاهيم

يحتوي النظام الرسمي على المكونات التالية كحد أدنى: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

اللغة الرسمية ، وهي مجموعة من الصيغ السليمة ، وهي عبارة عن سلاسل من الرموز من الأبجدية ، يتم تشكيلها بواسطة قواعد نحوية رسمية (تتكون من قواعد الإنتاج أو قواعد التكوين ).
النظام الاستنتاجي، أو الجهاز الاستنتاجي، أو نظام البرهان ، الذي يحتوي على قواعد استدلال تأخذ البديهيات وتستنتج النظريات ، وكلاهما جزء من اللغة الرسمية.
في بعض الحالات ، يُستخدم نظام استقرائي لاستخلاص برهان من خلال تحديد حالة بسيطة أولاً، ثم تعميمها.

يقال إن النظام الرسمي متكرر (أي فعال) أو قابل للتعداد بشكل متكرر إذا كانت مجموعة البديهيات ومجموعة قواعد الاستدلال مجموعات قابلة للتقرير أو مجموعات شبه قابلة للتقرير ، على التوالي.

اللغة الرسمية

اللغة الرسمية هي لغة تستخدم مجموعة من السلاسل النصية التي تُستمد رموزها من أبجدية محددة، وعمليات تُستخدم لتكوين جمل منها. ومثل اللغات في علم اللغة ، فإن للغات الرسمية عمومًا جانبين:

إن بناء الجملة هو ما تبدو عليه اللغة (بشكل أكثر رسمية: مجموعة التعبيرات الممكنة التي تعتبر عبارات صحيحة في اللغة).
الدلالات هي ما تعنيه عبارات اللغة (والتي يتم صياغتها بطرق مختلفة، اعتمادًا على نوع اللغة المعنية) .

عادةً ما يُنظر إلى بنية اللغة الرسمية فقط من خلال مفهوم القواعد الرسمية . وتنقسم القواعد الرسمية إلى فئتين رئيسيتين: القواعد التوليدية ، وهي مجموعة من القواعد التي تحدد كيفية كتابة السلاسل النصية في اللغة، والقواعد التحليلية (أو القواعد الاختزالية ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} )، وهي مجموعة من القواعد التي تحدد كيفية تحليل سلسلة نصية لتحديد ما إذا كانت تنتمي إلى اللغة.

النظام الاستنتاجي

يتكون النظام الاستنتاجي ، والذي يسمى أيضًا جهازًا استنتاجيًا ، ^{[ 8 ]} من البديهيات (أو مخططات البديهيات ) وقواعد الاستدلال التي يمكن استخدامها لاستنباط نظريات النظام. ^{[ 1 ]}

للحفاظ على سلامة الاستدلال، يجب أن يكون جهاز الاستدلال قابلاً للتعريف دون الرجوع إلى أي تفسير مُسبق للغة. والهدف هو ضمان أن يكون كل سطر من الاستدلال مجرد نتيجة منطقية للأسطر التي تسبقه. ولا ينبغي أن يكون هناك أي عنصر من عناصر تفسير اللغة يتدخل في الطبيعة الاستدلالية للنظام.

إنّ النتيجة المنطقية (أو الاستلزام) للنظام، انطلاقاً من أساسه المنطقي، هي ما يميّز النظام الصوري عن غيره من الأنظمة التي قد تستند إلى نموذج مجرد. غالباً ما يكون النظام الصوري أساساً لنظرية أو مجال أوسع (مثل الهندسة الإقليدية )، أو حتى مرتبطاً به، بما يتوافق مع الاستخدام في الرياضيات الحديثة، مثل نظرية النماذج .

ومن الأمثلة على النظام الاستنتاجي قواعد الاستدلال والمسلمات المتعلقة بالمساواة المستخدمة في منطق الرتبة الأولى .

النوعان الرئيسيان من الأنظمة الاستنتاجية هما أنظمة البرهان والدلالات الرسمية. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

نظام إثبات

البراهين الرسمية هي سلاسل من الصيغ الجيدة (أو WFF اختصارًا) التي قد تكون إما بديهية أو ناتجة عن تطبيق قاعدة استدلال على الصيغ الجيدة السابقة في سلسلة البرهان.

بمجرد تحديد نظام رسمي، يمكن تعريف مجموعة النظريات التي يمكن إثباتها ضمن هذا النظام. تتألف هذه المجموعة من جميع الصيغ المنطقية المنطقية التي يوجد لها برهان. وبالتالي، تُعتبر جميع البديهيات نظريات. على عكس قواعد الصيغ المنطقية المنطقية، لا يوجد ما يضمن وجود آلية لتحديد ما إذا كانت صيغة منطقية منطقية معينة نظرية أم لا.

يُطلق على وجهة النظر القائلة بأن توليد البراهين الرسمية هو كل ما في الرياضيات اسم الشكلية . أسس ديفيد هيلبرت ما وراء الرياضيات كفرعٍ لمناقشة الأنظمة الرسمية. تُسمى أي لغة تُستخدم للتحدث عن نظام رسمي لغةً وصفية . قد تكون اللغة الوصفية لغةً طبيعية، أو قد تكون رسمية جزئيًا، ولكنها عمومًا أقل رسمية من مكون اللغة الرسمية للنظام الرسمي قيد الدراسة، والذي يُسمى حينها لغة الموضوع ، أي موضوع النقاش. يجب عدم الخلط بين مفهوم النظرية المذكور آنفًا ونظريات النظام الرسمي ، والتي تُسمى عادةً، لتجنب الالتباس، نظريات ما وراء النظرية .

الدلالات الرسمية للنظام المنطقي

النظام المنطقي هو نظام استنتاجي (غالباً منطق الرتبة الأولى ) بالإضافة إلى بديهيات غير منطقية . وفقاً لنظرية النماذج ، يمكن إعطاء النظام المنطقي تفسيرات تصف ما إذا كان هيكل معين - أي ربط الصيغ بمعنى محدد - يحقق صيغة سليمة. يُعرف الهيكل الذي يحقق جميع بديهيات النظام الصوري بنموذج النظام المنطقي.

النظام المنطقي هو:

صحيح ، إذا تم استيفاء كل صيغة سليمة يمكن استنتاجها من البديهيات بواسطة كل نموذج من نماذج النظام المنطقي.
مكتملة دلالياً ، إذا كان من الممكن استنتاج كل صيغة سليمة يتم استيفاؤها بواسطة كل نموذج من نماذج النظام المنطقي من البديهيات.

من الأمثلة على الأنظمة المنطقية حساب بيانو . يحدد النموذج القياسي للحساب نطاق الخطاب ليكون الأعداد الصحيحة غير السالبة، ويعطي الرموز معانيها المعتادة. ^{[ 10 ]} وهناك أيضًا نماذج غير قياسية للحساب .

تاريخ

تشمل أنظمة المنطق المبكرة المنطق الهندي لبانيني ، والمنطق القياسي لأرسطو، والمنطق الافتراضي للرواقية، والمنطق الصيني لغونغسون لونغ (حوالي 325-250 قبل الميلاد). وفي العصور الحديثة، ساهم في هذا المجال كل من جورج بول ، وأوغسطس دي مورغان ، وغوتلوب فريجه . وقد تطور المنطق الرياضي في أوروبا خلال القرن التاسع عشر .

أطلق ديفيد هيلبرت حركة شكلية تُعرف باسم برنامج هيلبرت كحل مقترح للأزمة التأسيسية للرياضيات ، والتي تم تخفيفها في النهاية بواسطة نظريات عدم الاكتمال لغودل . ^{[ 2 ]} مثّل بيان QED جهدًا لاحقًا، لم ينجح حتى الآن، لإضفاء الطابع الرسمي على الرياضيات المعروفة.

انظر أيضاً

قائمة الأنظمة الرسمية
الطريقة الرسمية – صفحات مواصفات البرنامج الرياضي التي تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه
العلوم الصورية – دراسة البنى المجردة التي تصفها الأنظمة الصورية
الترجمة المنطقية – ترجمة نص إلى نظام منطقي
نظام إعادة الكتابة – استبدال مصطلح فرعي في صيغة بمصطلح آخر. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه.
مثال الاستبدال – مفهوم في المنطق: صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه
النظرية (المنطق الرياضي) - مجموعة من الجمل بلغة رسمية

مراجع

1 2 Hunter 1996 ، ص. 7.
1 2 زاك، ريتشارد (31 يوليو 2003). "برنامج هيلبرت" . برنامج هيلبرت، موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد.
↑ "النظام الرسمي" . بلانيت ماث .
↑ رابابورت، ويليام ج. (25 مارس 2010). "بناء الجملة ودلالات الأنظمة الرسمية" . جامعة بافالو .
↑ "النظام الرسمي" . Pr $\infty$ fWiki .
↑ "القواعد الاختزالية" . قاموس المصطلحات العلمية والتقنية ( الطبعة السادسة). ماكجرو هيل. القواعد الاختزالية: ( علوم الحاسوب ) مجموعة من القواعد النحوية لتحليل السلاسل النصية لتحديد ما إذا كانت هذه السلاسل موجودة في لغة ما.
↑ روليفسون، جونز ف. (أبريل 1968). " بيانات وصفية شجرية لجهاز XDS 940" (ملف PDF) . مركز أبحاث التوسيع . تم الاطلاع عليه في 30 نوفمبر 2024. يوجد نوعان من مخططات كتابة تعريفات اللغات الرسمية للمترجمات. يُعدّ أسلوب القواعد الإنتاجية الأكثر شيوعًا. تتكون القواعد الإنتاجية أساسًا من مجموعة من القواعد التي تصف طريقة توليد جميع السلاسل النصية الممكنة للغة. أما أسلوب القواعد الاختزالية أو التحليلية، فيحدد مجموعة من القواعد التي تصف طريقة تحليل أي سلسلة من الأحرف وتحديد ما إذا كانت هذه السلسلة تنتمي إلى اللغة.
1 2 "جهاز الاستنتاج" . Pr $\infty$ fWiki . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2024 .
↑ فان فراسن، باس سي. (2016) [1971]. الدلالات الرسمية والمنطق (ملف PDF) . دار نشر نوسول الرقمية. ص 12. يمكن تقسيم ما وراء المنطق بدوره تقريبًا إلى قسمين: نظرية البرهان والدلالات الرسمية... هذا التقسيم ليس دقيقًا؛ فقد تمت معالجة العديد من المسائل من كلا وجهتي النظر، وبعض أساليب ونتائج نظرية البرهان لا غنى عنها في الدلالات.
↑ كاي، ريتشارد (1991). "1. النموذج القياسي". نماذج حساب بيانو . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 10. ISBN 9780198532132.

مصادر

هنتر، جيفري (1996) [1971]. ما وراء المنطق: مقدمة في نظرية ما وراء المنطق القياسي من الدرجة الأولى . مطبعة جامعة كاليفورنيا (نُشر عام 1973). ISBN 9780520023567. OCLC 36312727 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية ).

للمزيد من القراءة

هوفستاتر، دوغلاس ، 1979. غودل، إيشر، باخ: ضفيرة ذهبية أبدية ISBN 978-0-465-02656-2777 صفحة.
كلين، ستيفن سي. ، 1967. المنطق الرياضي. أعيد طبعه بواسطة دوفر، 2002. ISBN 0-486-42533-9.
سموليان، ريموند م. ، 1961. نظرية الأنظمة الصورية: دراسات حوليات الرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون (1 أبريل 1961)، 156 صفحة ، رقم ISBN 0-691-08047-X.

روابط خارجية

الوسائط المتعلقة بالأنظمة الرسمية على ويكيميديا كومنز
موسوعة بريتانيكا، تعريف النظام الرسمي ، 2007
دانيال ريتشاردسون، الأنظمة الرسمية والمنطق والدلالات
النظام الرسمي في بلانيت ماث .
موسوعة الرياضيات، النظام الرسمي
بيتر سوبر، الأنظمة الرسمية والآلات: تماثل

تمت أرشفة هذه الصفحة بتاريخ 24-05-2011 في موقع Wayback Machine ، 917.

راي تاول، الأنظمة الرسمية
ما هو النظام الرسمي؟ مؤرشف بتاريخ 2011-06-07 في Wayback Machine : بعض الاقتباسات من كتاب جون هوجلاند "الذكاء الاصطناعي: الفكرة بحد ذاتها" (1985)، الصفحات 48-64.

[FOOTNOTEHunter19967-1] 1 2 Hunter 1996 ، ص. 7.

[:0-2] 1 2 زاك، ريتشارد (31 يوليو 2003). "برنامج هيلبرت" . برنامج هيلبرت، موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد.

[3] "النظام الرسمي" . بلانيت ماث .

[4] رابابورت، ويليام ج. (25 مارس 2010). "بناء الجملة ودلالات الأنظمة الرسمية" . جامعة بافالو .

[5] "النظام الرسمي" . Pr $\infty$ fWiki .

[6] "القواعد الاختزالية" . قاموس المصطلحات العلمية والتقنية ( الطبعة السادسة). ماكجرو هيل. القواعد الاختزالية: ( علوم الحاسوب ) مجموعة من القواعد النحوية لتحليل السلاسل النصية لتحديد ما إذا كانت هذه السلاسل موجودة في لغة ما.

[7] روليفسون، جونز ف. (أبريل 1968). " بيانات وصفية شجرية لجهاز XDS 940" (ملف PDF) . مركز أبحاث التوسيع . تم الاطلاع عليه في 30 نوفمبر 2024. يوجد نوعان من مخططات كتابة تعريفات اللغات الرسمية للمترجمات. يُعدّ أسلوب القواعد الإنتاجية الأكثر شيوعًا. تتكون القواعد الإنتاجية أساسًا من مجموعة من القواعد التي تصف طريقة توليد جميع السلاسل النصية الممكنة للغة. أما أسلوب القواعد الاختزالية أو التحليلية، فيحدد مجموعة من القواعد التي تصف طريقة تحليل أي سلسلة من الأحرف وتحديد ما إذا كانت هذه السلسلة تنتمي إلى اللغة.

[:1-8] 1 2 "جهاز الاستنتاج" . Pr $\infty$ fWiki . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2024 .

[9] فان فراسن، باس سي. (2016) [1971]. الدلالات الرسمية والمنطق (ملف PDF) . دار نشر نوسول الرقمية. ص 12. يمكن تقسيم ما وراء المنطق بدوره تقريبًا إلى قسمين: نظرية البرهان والدلالات الرسمية... هذا التقسيم ليس دقيقًا؛ فقد تمت معالجة العديد من المسائل من كلا وجهتي النظر، وبعض أساليب ونتائج نظرية البرهان لا غنى عنها في الدلالات.

[10] كاي، ريتشارد (1991). "1. النموذج القياسي". نماذج حساب بيانو . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ص 10. ISBN 9780198532132.

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 9 ]

[ 10 ]