منطق من الدرجة الثانية

في المنطق والرياضيات ، يُعدّ منطق الرتبة الثانية امتدادًا لمنطق الرتبة الأولى ، الذي بدوره امتداد ^لمنطق القضايا . [ ^{أ ]} ويتوسع منطق الرتبة الثانية بدوره بواسطة منطق الرتب العليا ونظرية الأنواع .

يُحدد منطق الرتبة الأولى المتغيرات التي تتراوح بين الأفراد (عناصر مجال الخطاب ) فقط؛ بينما يُحدد منطق الرتبة الثانية، بالإضافة إلى ذلك، العلاقات . على سبيل المثال، جملة الرتبة الثانية${\displaystyle \forall P\,\forall x(Px\lor \neg Px)}$ينصّ على أنه لكل صيغة P ، ولكل فرد x ، إما أن تكون Px صحيحة أو أن تكون Px غير صحيحة (وهذا ما يُعرف بقانون الوسط المرفوع ). يشمل منطق الرتبة الثانية أيضًا التكميم على المجموعات والدوال والمتغيرات الأخرى (انظر القسم أدناه ). يستخدم كل من منطق الرتبة الأولى ومنطق الرتبة الثانية فكرة مجال الخطاب (يُطلق عليه غالبًا ببساطة "المجال" أو "الكون"). المجال هو مجموعة يمكن تكميم عناصرها الفردية.

يمكن لمنطق الرتبة الأولى أن يُكمّم على الأفراد، ولكن ليس على الخصائص. أي أنه يمكننا أخذ جملة ذرية مثل Cube( b ) والحصول على جملة مُكمّمة عن طريق استبدال الاسم بمتغير وإضافة مُكمّم: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \exists x\,\mathrm {Cube} (x)}$$

لكن لا يمكننا فعل الشيء نفسه مع المسند. أي التعبير التالي:

$${\displaystyle \موجود \mathrm {P} \,\mathrm {P} (b)}$$

ليست هذه جملة منطقية من الدرجة الأولى، ولكنها جملة منطقية من الدرجة الثانية. هنا، P متغير محمول ، وهو دلاليًا مجموعة من الأفراد. ^{[ 1 ]}

ونتيجةً لذلك، يتمتع منطق الرتبة الثانية بقدرة تعبيرية أكبر من منطق الرتبة الأولى. فعلى سبيل المثال، لا توجد طريقة في منطق الرتبة الأولى لتحديد مجموعة جميع المكعبات والأهرامات الرباعية . ولكن يمكن تأكيد وجود هذه المجموعة في منطق الرتبة الثانية على النحو التالي:

$${\displaystyle \exists \mathrm {P} \,\forall x\,(\mathrm {P} x\leftrightarrow (\mathrm {Cube} (x)\vee \mathrm {Tet} (x))).}$$

يمكننا بعد ذلك تأكيد خصائص هذه المجموعة. على سبيل المثال، تنص العبارة التالية على أن مجموعة جميع المكعبات والأهرامات الرباعية لا تحتوي على أي أهرامات اثني عشرية :

$${\displaystyle \forall \mathrm {P} \,(\forall x\,(\mathrm {P} x\leftrightarrow (\mathrm {Cube} (x)\vee \mathrm {Tet} (x))\rightarrow \lnot \exists x\,(\mathrm {P} x\wedge \mathrm {Dodec} (x))).}$$

يُعدّ التحديد الكمّي من الدرجة الثانية مفيدًا للغاية لأنه يُتيح التعبير عن خصائص الوصول . على سبيل المثال، إذا كانت العلاقة Parent( x , y ) تُشير إلى أن x هو أحد والدي y ، فإن منطق الدرجة الأولى لا يُمكنه التعبير عن خاصية كون x أحد أسلاف y . في منطق الدرجة الثانية ، يُمكننا التعبير عن ذلك بالقول إن كل مجموعة من الأشخاص تحتوي على y ومُغلقة تحت علاقة Parent تحتوي على x .

$${\displaystyle \forall \mathrm {P} \,(\mathrm {P} y\wedge \forall a\,\forall b\,((\mathrm {P} b\wedge \mathrm {Parent} (a,b))\rightarrow \mathrm {P} a))\rightarrow \mathrm {P} x).}$$

من الملاحظ أنه بينما لدينا متغيرات للمسندات في منطق الرتبة الثانية، لا توجد لدينا متغيرات لخصائص المسندات. لا يمكننا القول، على سبيل المثال، أن هناك خاصية Shape( P ) صحيحة للمسندات P Cube وTet وDodec. يتطلب هذا منطق الرتبة الثالثة . ^{[ 2 ]}

يُحدد بناء جملة منطق الرتبة الثانية أي التعبيرات تُعتبر صيغًا صحيحة . بالإضافة إلى بناء جملة منطق الرتبة الأولى ، يتضمن منطق الرتبة الثانية أنواعًا جديدة عديدة (تُسمى أحيانًا أنواعًا ) من المتغيرات. وهذه هي:

• نوع من المتغيرات التي تتراوح على مجموعات من الأفراد. إذا كان S متغيرًا من هذا النوع، و t حدًا من الدرجة الأولى، فإن التعبير t ∈ S (يُكتب أيضًا S ( t )، أو St اختصارًا للأقواس) هو صيغة ذرية . يمكن أيضًا اعتبار مجموعات الأفراد علاقات أحادية على المجال.
• لكل عدد طبيعي k، يوجد نوع من المتغيرات التي تشمل جميع العلاقات من الرتبة k على الأفراد. إذا كان R متغير علاقة من الرتبة k، وكانت _t₁ , ... , tₖ حدودًا من الرتبة الأولى _، فإن التعبير R ( _t₁ , ..., _tₖ ) هو صيغة ذرية.
• لكل عدد طبيعي k، يوجد نوع من المتغيرات يشمل جميع الدوال التي تأخذ k عنصرًا من مجالها وتعيد عنصرًا واحدًا منه. إذا كانت f متغير دالة من النوع k، _{وكانت t₁} , ..., tₖ حدودًا من الرتبة الأولى _، فإن التعبير f ( t₁ _, ..., tₖ ₎ هو حد من الرتبة الأولى.

يمكن تحديد كل متغير من المتغيرات التي تم تعريفها للتو كميًا بشكل شامل و/أو وجودي، وذلك لبناء الصيغ. وبالتالي، توجد أنواع عديدة من المحددات الكمية، اثنان لكل نوع من المتغيرات. والجملة في منطق الرتبة الثانية، كما في منطق الرتبة الأولى، هي صيغة سليمة التكوين لا تحتوي على متغيرات حرة (من أي نوع).

من الممكن الاستغناء عن إدخال متغيرات الدالة في التعريف المذكور أعلاه (ويفعل ذلك بعض المؤلفين) لأن متغير الدالة من الرتبة n يمكن تمثيله بمتغير علاقة من الرتبة n +1 وصيغة مناسبة لضمان تفرد "النتيجة" في الوسيط n +1 للعلاقة. (شابيرو 2000، ص  63)

المنطق الضعيف من الرتبة الثانية (WSO) هو تقييد للمنطق من الرتبة الثانية، حيث يُسمح فقط بالتكميم على المجموعات المنتهية. أي أنه يسمح فقط بالتكميم على العلاقات الأحادية ذات عدد منتهٍ من العناصر الموجبة.

المنطق الأحادي من الرتبة الثانية (MSO) هو تقييد للمنطق من الرتبة الثانية، حيث يُسمح فقط بالتكميم على العلاقات الأحادية (أي المجموعات). وهو أقوى من المنطق الأحادي من الرتبة الثانية (WSO). وبالتالي، فإن التكميم على الدوال غير مسموح به أيضًا، نظرًا لتكافؤه مع العلاقات كما هو موضح أعلاه. يُطلق على المنطق من الرتبة الثانية بدون هذه القيود أحيانًا اسم المنطق الكامل من الرتبة الثانية لتمييزه عن النسخة الأحادية. يُستخدم المنطق الأحادي من الرتبة الثانية بشكل خاص في سياق نظرية كورسيل ، وهي نظرية فوقية خوارزمية في نظرية المخططات . نظرية MSO للشجرة الثنائية اللانهائية الكاملة ( S2S ) قابلة للتقرير . في المقابل، المنطق الكامل من الرتبة الثانية على أي مجموعة لانهائية (أو منطق MSO على سبيل المثال (${\displaystyle \mathbb {N} }$يمكن لـ ,+)) تفسير الحساب من الدرجة الثانية الحقيقي وبالتالي فهو غير قابل للتقرير.

كما هو الحال في منطق الرتبة الأولى، قد يتضمن منطق الرتبة الثانية رموزًا غير منطقية في لغة معينة من الرتبة الثانية. إلا أن هذه الرموز مقيدة، إذ يجب أن تكون جميع الحدود التي تشكلها إما حدودًا من الرتبة الأولى (والتي يمكن استبدالها بمتغير من الرتبة الأولى) أو حدودًا من الرتبة الثانية (والتي يمكن استبدالها بمتغير من الرتبة الثانية من نوع مناسب).

يُقال إن الصيغة في منطق الرتبة الثانية هي من الرتبة الأولى (ويُشار إليها أحيانًا بـ${\displaystyle \Sigma _{0}^{1}}$أو${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$) إذا كانت مُكمِّماتها (التي قد تكون شاملة أو وجودية) تقتصر على متغيرات من الدرجة الأولى فقط، على الرغم من أنها قد تحتوي على متغيرات حرة من الدرجة الثانية. أ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$الصيغة (الوجودية من الدرجة الثانية) هي صيغة تحتوي بالإضافة إلى ذلك على بعض المحددات الوجودية على متغيرات من الدرجة الثانية، أي${\displaystyle \exists R_{0}\ldots \exists R_{m}\phi }$، أين${\displaystyle \phi }$هي صيغة من الدرجة الأولى. يُطلق على جزء منطق الدرجة الثانية الذي يتكون فقط من صيغ وجودية من الدرجة الثانية اسم منطق الدرجة الثانية الوجودي ويُختصر إلى ESO، كما هو الحال${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$أو حتى كـ ∃SO. جزء من${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$إذا عُرّفت الصيغ بشكل مزدوج، يُطلق عليها منطق الرتبة الثانية الشامل. تُعرّف أجزاء أكثر تعبيرًا لأي قيمة k > 0 عن طريق الاستدعاء الذاتي المتبادل.${\displaystyle \Sigma _{k+1}^{1}}$له الشكل${\displaystyle \exists R_{0}\ldots \exists R_{m}\phi }$، أين${\displaystyle \phi }$هو${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$الصيغة، وما شابهها،${\displaystyle \Pi _{k+1}^{1}}$له الشكل${\displaystyle \forall R_{0}\ldots \forall R_{m}\phi }$، أين${\displaystyle \phi }$هو${\displaystyle \Sigma _{k}^{1}}$الصيغة. (انظر التسلسل الهرمي التحليلي للبناء المماثل للحساب من الدرجة الثانية .)

تُحدد دلالات منطق الرتبة الثانية معنى كل جملة. على عكس منطق الرتبة الأولى، الذي له دلالة قياسية واحدة فقط، توجد دلالتان مختلفتان تُستخدمان عادةً في منطق الرتبة الثانية: الدلالة القياسية ودلالات هينكين . في كلتا الدلالتين، تكون تفسيرات مُكمِّمات الرتبة الأولى والروابط المنطقية هي نفسها كما في منطق الرتبة الأولى. يختلف فقط نطاق مُكمِّمات متغيرات الرتبة الثانية بين نوعي الدلالات. ^{[ 3 ]}

في الدلالات المعيارية، أو ما يُسمى بالدلالات الكاملة، يمتد نطاق المُكمِّمات على جميع المجموعات أو الدوال من النوع المناسب. يُطلق على النموذج الذي يستوفي هذا الشرط اسم النموذج الكامل، وهو نفسه النموذج الذي يكون فيه نطاق مُكمِّمات الرتبة الثانية هو مجموعة القوى لجزء الرتبة الأولى من النموذج. ^{[ 3 ]} وبالتالي، بمجرد تحديد نطاق متغيرات الرتبة الأولى، يُصبح معنى المُكمِّمات المتبقية ثابتًا. هذه الدلالات هي التي تُضفي على منطق الرتبة الثانية قوته التعبيرية، وسنفترضها في بقية هذا المقال.

عرّف ليون هينكين (1950) نوعًا بديلًا من الدلالات لنظريات الرتبة الثانية وما فوقها، حيث يُحدد معنى مجالات الرتبة العليا جزئيًا من خلال صياغة بديهية صريحة، بالاستناد إلى نظرية الأنواع ، لخصائص المجموعات أو الدوال التي يتم استعراضها. تُعد دلالات هينكين نوعًا من دلالات الرتبة الأولى متعددة الأنواع، حيث توجد فئة من نماذج البديهيات، بدلًا من اقتصار الدلالات على النموذج القياسي كما في الدلالات القياسية. يُقدم النموذج في دلالات هينكين مجموعة من المجموعات أو مجموعة من الدوال كتفسير لمجالات الرتبة العليا، والتي قد تكون مجموعة فرعية فعلية من جميع المجموعات أو الدوال من ذلك النوع. ولصياغة بديهياته، أثبت هينكين أن مبرهنة غودل للاكتمال ومبرهنة التراص ، اللتين تنطبقان على منطق الرتبة الأولى، تنطبقان أيضًا على منطق الرتبة الثانية مع دلالات هينكين. وبما أن نظريات لوفنهايم-سكوليم تنطبق أيضًا على دلالات هينكين، فإن نظرية ليندستروم تشير إلى أن نماذج هينكين هي مجرد نماذج من الدرجة الأولى مقنعة . ^{[ 4 ]}

بالنسبة لنظريات مثل الحساب من الرتبة الثانية، فإن وجود تفسيرات غير قياسية لمجالات الرتب العليا ليس مجرد قصور في البديهيات الخاصة المستمدة من نظرية الأنواع التي استخدمها هينكين، بل هو نتيجة حتمية لنظرية عدم الاكتمال لغودل : لا يمكن إضافة أي بديهيات لهينكين لضمان أن التفسير القياسي هو النموذج الوحيد الممكن. تُستخدم دلالات هينكين بشكل شائع في دراسة الحساب من الرتبة الثانية .

جادل جوكو فانانين بأن التمييز بين دلالات هينكين والدلالات الكاملة لمنطق الرتبة الثانية يُشابه التمييز بين إمكانية الإثبات في ZFC والحقيقة في V ، حيث أن الأولى تخضع لخصائص نظرية النماذج مثل نظرية لوفنهايم-سكوليم والتراص، بينما الثانية لها ظواهر فئوية. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، "لا يمكننا أن نسأل بشكلٍ ذي معنى ما إذا كان${\displaystyle V}$كما هو محدد في${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$هو الحقيقي${\displaystyle V}$لكن إذا قمنا بإصلاح النظام${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$داخل${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$إذن يمكننا أن نلاحظ أن إعادة الصياغة${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$... له نماذج قابلة للعد، وبالتالي لا يمكن أن يكون تصنيفيًا.

يُعدّ منطق الرتبة الثانية أكثر تعبيرًا من منطق الرتبة الأولى. على سبيل المثال، إذا كان المجال هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، فيمكن إثبات وجود معكوس جمعي لكل عدد حقيقي في منطق الرتبة الأولى بكتابة${\displaystyle \forall x\exists y(x+y=0)}$لكن يلزم منطق من الدرجة الثانية لتأكيد خاصية الحد الأعلى الأدنى لمجموعات الأعداد الحقيقية، والتي تنص على أن كل مجموعة محدودة وغير فارغة من الأعداد الحقيقية لها حد أعلى أعلى . إذا كان المجال هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، فإن الجملة التالية من الدرجة الثانية (مقسمة على سطرين) تعبر عن خاصية الحد الأعلى الأدنى: $${\displaystyle {\begin{aligned}\forall A{\biggl (}&{\bigl (}\exists w(w\in A)\wedge \exists z\forall u(u\in A\rightarrow u\leq z){\bigr )}\rightarrow \\&\exists x{\Bigl (}\forall u(u\in A\rightarrow u\leq x)\wedge \forall y\forall u{\bigl (}(u\in A\rightarrow u\leq y)\rightarrow x\leq y{\bigr )}{\Bigr )}{\biggr )}\\\end{aligned}}}$$ هنا، الجزء من السطر الأول الذي يتضمن${\displaystyle w}$يمثل هذا الافتراض أن${\displaystyle A}$غير فارغة (تحتوي على عنصر،${\displaystyle w}$يمثل الجزء المتبقي من السطر الأول الافتراض التالي:${\displaystyle A}$محدود من الأعلى (يوجد عدد${\displaystyle z}$أي أكبر من أو يساوي جميع العناصر${\displaystyle u}$ل${\displaystyle A}$). يُعبّر السطر الثاني عن وجود حد أعلى أدنى${\displaystyle x}$ويؤكد ذلك${\displaystyle x}$يمثل حدًا أعلى (أكبر من أو يساوي أي عنصر)${\displaystyle u}$في${\displaystyle A}$) وذلك، إذا كان أي عدد${\displaystyle y}$وهو أيضاً حد أعلى، إذن${\displaystyle x\leq y}$أي حقل مرتب يحقق هذه الخاصية يكون متماثلاً مع حقل الأعداد الحقيقية. من جهة أخرى، فإن مجموعة الجمل من الرتبة الأولى الصالحة في الأعداد الحقيقية لها نماذج كبيرة كيفما شاءت بسبب نظرية التراص. وبالتالي، لا يمكن التعبير عن خاصية الحد الأعلى الأدنى بأي مجموعة من الجمل في منطق الرتبة الأولى. (في الواقع، كل حقل مغلق حقيقي يحقق نفس الجمل من الرتبة الأولى في التوقيع).${\displaystyle \langle +,\cdot ,\leq \rangle }$(مثل الأرقام الحقيقية.)

في منطق الرتبة الثانية، يمكن كتابة جمل صورية تُفيد بأن "المجال منتهٍ " أو "المجال ذو عدد عناصر قابل للعد ". وللقول بأن المجال منتهٍ، نستخدم الجملة التي تُفيد بأن كل دالة شاملة من المجال إلى نفسه هي دالة أحادية . وللقول بأن المجال ذو عدد عناصر قابل للعد، نستخدم الجملة التي تُفيد بوجود تقابل بين كل مجموعتين جزئيتين لانهائيتين من المجال. ويترتب على نظرية التراص ونظرية لوفنهايم-سكولم التصاعدية أنه لا يمكن تحديد خاصية الانتهاء أو خاصية العد، على التوالي، في منطق الرتبة الأولى.

تُعدّ بعض أجزاء منطق الرتبة الثانية، مثل ESO، أكثر تعبيرًا من منطق الرتبة الأولى، على الرغم من أنها أقل تعبيرًا من منطق الرتبة الثانية الكامل. كما يتمتع ESO بتكافؤ الترجمة مع بعض امتدادات منطق الرتبة الأولى التي تسمح بترتيب غير خطي لاعتمادات الكميات، مثل منطق الرتبة الأولى الموسّع بمُكمِّمات هينكين ، ومنطق هينتيكا وساندو المُراعي للاستقلالية ، ومنطق فانانين للاعتماد .

النظام الاستنتاجي للمنطق هو مجموعة من قواعد الاستدلال والمسلمات المنطقية التي تحدد أي تسلسلات الصيغ تُشكل براهين صحيحة. يمكن استخدام عدة أنظمة استنتاجية لمنطق الرتبة الثانية، مع العلم أنه لا يوجد نظام كامل بالنسبة للدلالات القياسية (انظر أدناه). كل نظام من هذه الأنظمة سليم ، أي أن أي جملة يمكن إثباتها باستخدامها تكون صحيحة منطقيًا في الدلالات المناسبة.

يتألف أضعف نظام استنتاجي يمكن استخدامه من نظام استنتاجي قياسي لمنطق الرتبة الأولى (مثل الاستنتاج الطبيعي ) مُعزز بقواعد استبدال لمصطلحات الرتبة الثانية. ^{[ ب ]} يُستخدم هذا النظام الاستنتاجي عادةً في دراسة حساب الرتبة الثانية .

تُضيف الأنظمة الاستنتاجية التي تناولها شابيرو (2000) وهينكين (1950) إلى مخطط الاستنتاج المُعزز من الدرجة الأولى كلاً من بديهيات الفهم وبديهيات الاختيار. هذه البديهيات سليمة بالنسبة للدلالات القياسية من الدرجة الثانية. وهي سليمة أيضاً بالنسبة لدلالات هينكين المُقتصرة على نماذج هينكين التي تُحقق بديهيات الفهم والاختيار. ^{[ ج ]}

يمكن محاولة اختزال نظرية الأعداد الحقيقية من الرتبة الثانية، بدلالاتها الكاملة من الرتبة الثانية، إلى نظرية من الرتبة الأولى بالطريقة التالية: أولًا، توسيع نطاق النظرية من مجموعة جميع الأعداد الحقيقية إلى نطاق ثنائي التصنيف، بحيث يحتوي التصنيف الثاني على جميع مجموعات الأعداد الحقيقية. ثم إضافة مسند ثنائي جديد إلى اللغة: علاقة الانتماء. عندئذٍ، تتحول الجمل التي كانت من الرتبة الثانية إلى جمل من الرتبة الأولى، مع تحول المُكمِّمات التي كانت من الرتبة الثانية إلى نطاق التصنيف الثاني. يمكن محاولة هذا الاختزال في نظرية أحادية التصنيف بإضافة مسندات أحادية تُحدد ما إذا كان العنصر عددًا أم مجموعة، واعتبار النطاق هو اتحاد مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة قوى الأعداد الحقيقية.

لكن لاحظ أن المجال قد تم التأكيد على أنه يشمل جميع مجموعات الأعداد الحقيقية. لا يمكن اختزال هذا الشرط إلى جملة من الدرجة الأولى، أو حتى إلى نظرية من الدرجة الأولى ، كما توضح نظرية لوفنهايم-سكوليم . تشير هذه النظرية إلى وجود مجموعة جزئية لا نهائية قابلة للعد من الأعداد الحقيقية، والتي سنسمي عناصرها بالأعداد الداخلية ، ومجموعة لا نهائية قابلة للعد من مجموعات الأعداد الداخلية، والتي سنسمي عناصرها "المجموعات الداخلية"، بحيث يحقق المجال المكون من الأعداد الداخلية والمجموعات الداخلية نفس الجمل من الدرجة الأولى التي يحققها مجال الأعداد الحقيقية ومجموعات الأعداد الحقيقية. على وجه الخصوص، يحقق هذا المجال نوعًا من بديهية الحد الأعلى الأدنى التي تنص، في جوهرها، على ما يلي:

إن قابلية عدّ مجموعة جميع الأعداد الداخلية (بالإضافة إلى كونها تُشكّل مجموعة مُرتبة بكثافة) تُشير إلى أن هذه المجموعة لا تُحقق بديهية الحد الأدنى الأعلى الكامل. كما أن قابلية عدّ مجموعة جميع المجموعات الداخلية تُشير إلى أنها ليست مجموعة جميع المجموعات الجزئية من مجموعة جميع الأعداد الداخلية (لأن نظرية كانتور تُشير إلى أن مجموعة جميع المجموعات الجزئية من مجموعة قابلة للعدّ هي مجموعة غير قابلة للعدّ). ويرتبط هذا البناء ارتباطًا وثيقًا بمفارقة سكوليم .

وبالتالي، فإن نظرية الرتبة الأولى للأعداد الحقيقية ومجموعات الأعداد الحقيقية لها نماذج عديدة، بعضها قابل للعد. أما نظرية الرتبة الثانية للأعداد الحقيقية فلها نموذج واحد فقط. وينتج هذا عن النظرية الكلاسيكية التي تنص على وجود حقل مرتب كامل أرخميدسي واحد فقط ، بالإضافة إلى حقيقة أن جميع بديهيات الحقل المرتب الكامل الأرخميدسي قابلة للتعبير عنها في منطق الرتبة الثانية. وهذا يُبين أن نظرية الرتبة الثانية للأعداد الحقيقية لا يمكن اختزالها إلى نظرية من الرتبة الأولى، بمعنى أن نظرية الرتبة الثانية للأعداد الحقيقية لها نموذج واحد فقط، بينما نظرية الرتبة الأولى المقابلة لها لها نماذج عديدة.

توجد أمثلة أكثر تطرفًا تُظهر أن منطق الرتبة الثانية، بدلالاته القياسية، أكثر تعبيرًا من منطق الرتبة الأولى. توجد نظرية محدودة من الرتبة الثانية، يكون نموذجها الوحيد هو الأعداد الحقيقية إذا تحققت فرضية الاستمرارية، ولا يوجد لها نموذج إذا لم تتحقق هذه الفرضية. ^{[ 5 ]} تتألف هذه النظرية من نظرية محدودة تُعرّف الأعداد الحقيقية كحقل أرخميدسي كامل مُرتب، بالإضافة إلى بديهية تنص على أن المجال ذو عدد غير قابل للعد. يُوضح هذا المثال أن مسألة اتساق جملة في منطق الرتبة الثانية مسألة دقيقة للغاية.

سيتم شرح القيود الإضافية لمنطق الرتبة الثانية في القسم التالي.

ومن النتائج المترتبة على نظرية عدم اكتمال غودل أنه لا يوجد نظام استنتاجي (أي لا يوجد مفهوم للإثبات ) للصيغ من الدرجة الثانية يحقق في آن واحد هذه السمات الثلاث المرغوبة: ^{[ د ]}

• ( السلامة ) كل جملة من الدرجة الثانية قابلة للإثبات صالحة عالميًا، أي أنها صحيحة في جميع المجالات في ظل الدلالات القياسية.
• ( الشمولية ) كل صيغة من الدرجة الثانية صالحة عالميًا، في ظل الدلالات القياسية، قابلة للإثبات.
• ( الفعالية ) هناك خوارزمية للتحقق من البراهين يمكنها أن تقرر بشكل صحيح ما إذا كان تسلسل معين من الرموز يمثل برهانًا أم لا.

تُعبّر هذه النتيجة أحيانًا بالقول إن منطق الرتبة الثانية لا يقبل نظرية برهان كاملة . وفي هذا الصدد، يختلف منطق الرتبة الثانية ذو الدلالات القياسية عن منطق الرتبة الأولى؛ وقد أشار كواين إلى غياب نظام برهان كامل كسبب لاعتبار منطق الرتبة الثانية ليس منطقًا بالمعنى الدقيق للكلمة. ^{[ 6 ]}

كما ذكر أعلاه، أثبت هينكين أن النظام الاستنتاجي القياسي لمنطق الدرجة الأولى سليم وكامل وفعال لمنطق الدرجة الثانية مع دلالات هينكين ، وأن النظام الاستنتاجي مع مبادئ الفهم والاختيار سليم وكامل وفعال لدلالات هينكين باستخدام النماذج التي تفي بهذه المبادئ فقط.

لا تنطبق نظرية التراص ونظرية لوفنهايم -سكوليم على النماذج الكاملة لمنطق الرتبة الثانية. لكنهما تنطبقان على نماذج هينكين. ^{[ 7 ]}

قدّم سي. إس. بيرس منطق المسند إلى المجتمع الرياضي ، وهو من صاغ مصطلح منطق الرتبة الثانية ، وتُعدّ رموزه الأقرب إلى الشكل الحديث (بوتنام، 1982). مع ذلك، فإنّ معظم دارسي المنطق اليوم أكثر درايةً بأعمال فريجه ، الذي نشر أعماله قبل بيرس بسنوات، لكنّها ظلت أقل شهرةً حتى ساهم برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد في شهرتها. استخدم فريجه متغيرات مختلفة للتمييز بين التكميم على الأشياء والتكميم على الخصائص والمجموعات؛ لكنّه لم يعتبر نفسه يمارس نوعين مختلفين من المنطق. بعد اكتشاف مفارقة راسل، تبيّن وجود خلل في نظامه. في نهاية المطاف، وجد علماء المنطق أنّ تقييد منطق فريجه بطرق مختلفة - إلى ما يُسمى الآن منطق الرتبة الأولى - قد حلّ هذه المشكلة: إذ لا يمكن التكميم على المجموعات والخصائص في منطق الرتبة الأولى وحده. يعود التسلسل الهرمي القياسي الحالي لرتب المنطق إلى ذلك الوقت.

وُجد أن نظرية المجموعات يُمكن صياغتها كنظام بديهي ضمن أدوات منطق الرتبة الأولى (على حساب أنواعٍ عديدة من الاكتمال ، ولكن ليس بسوء مفارقة راسل)، وقد تم ذلك (انظر نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات )، لأن المجموعات أساسية في الرياضيات . ويمكن صياغة الحساب ، وعلم الأجزاء ، ومجموعة متنوعة من النظريات المنطقية القوية الأخرى بشكل بديهي دون اللجوء إلى أي أدوات منطقية أخرى غير التكميم من الرتبة الأولى، وهذا، إلى جانب التزام غودل وسكولم بمنطق الرتبة الأولى، أدى إلى تراجع عام في العمل في منطق الرتبة الثانية (أو أي رتبة أعلى) .

لقد دافع بعض المنطقيين، وعلى رأسهم دبليو في كواين ، عن هذا الرفض بقوة . طرح كواين وجهة نظر مفادها أنه في الجمل التي تستخدم لغة المسند، مثل Fx، يُنظر إلى " x " على أنه متغير أو اسم يدل على كائن، وبالتالي يمكن تحديده كميًا، كما في "بالنسبة لجميع الأشياء، فإن ..."، بينما يُنظر إلى " F " على أنه اختصار لجملة غير مكتملة، وليس اسم كائن (ولا حتى كائن مجرد كخاصية). على سبيل المثال، قد يعني "... هو كلب". لكن من غير المنطقي الاعتقاد بإمكانية تحديد شيء كهذا كميًا. (يتوافق هذا الموقف تمامًا مع حجج فريجه نفسه حول التمييز بين المفهوم والشيء ). لذا، فإن استخدام مسند كمتغير يعني جعله يشغل مكان الاسم، وهو مكان لا ينبغي أن يشغله إلا المتغيرات الفردية. وقد رفض جورج بولوس هذا المنطق .  

شهدت منطق الرتبة الثانية في السنوات الأخيرة انتعاشًا ملحوظًا، مدعومًا بتفسير بولوس للتكميم من الرتبة الثانية باعتباره تكميمًا جمعيًا على نفس نطاق الأشياء الذي يشمله التكميم من الرتبة الأولى (بولوس، 1984). ويشير بولوس أيضًا إلى عدم إمكانية التكميم من الرتبة الأولى في جمل مثل "بعض النقاد لا يُعجبون إلا ببعضهم البعض" و"دخل بعض رجال فيانشيتو إلى المستودع دون مرافقة أحد"، والتي يرى أنها لا يمكن التعبير عنها إلا بالتكميم الكامل من الرتبة الثانية. مع ذلك، قد يكفي التكميم المعمم والتكميم المرتب جزئيًا (أو المتفرع) للتعبير عن فئة معينة من الجمل التي يُزعم أنها غير قابلة للتكميم من الرتبة الأولى، وهذه الجمل لا تخضع للتكميم من الرتبة الثانية.

ترتبط القدرة التعبيرية لأشكال مختلفة من منطق الرتبة الثانية على البنى المحدودة ارتباطًا وثيقًا بنظرية التعقيد الحسابي . يدرس مجال التعقيد الوصفي فئات التعقيد الحسابي التي يمكن تمييزها بقوة المنطق اللازم للتعبير عن اللغات (مجموعات السلاسل المحدودة) فيها. يمكن تمثيل سلسلة w  = w₁ ... wₙ في أبجدية محدودة A ببنية محدودة ذات مجال D = { ₁ , ..., n _} ، ومسندات أحادية Pₐ لكل a ∈ A ، تحققها المؤشرات _i التي تحقق wᵢ ₌ aᵢ ، ومسندات إضافية تُستخدم لتحديد كل مؤشر بشكل فريد (عادةً ما يتم استخدام رسم بياني لدالة الخلف على D أو علاقة الترتيب <، وربما مع مسندات حسابية أخرى). في المقابل، يمكن ترميز جداول كايلي لأي بنية محدودة (على توقيع محدود ) بواسطة سلسلة محدودة.       

يؤدي هذا التحديد إلى التوصيفات التالية لمتغيرات منطق الرتبة الثانية على الهياكل المحدودة:

• REG ( اللغات المنتظمة ) هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ أحادية من الدرجة الثانية ( نظرية Büchi-Elgot-Trakhtenbrot ، 1960).
• NP هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ وجودية من الدرجة الثانية ( نظرية فاجين ، 1974).
• co-NP هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ عالمية من الدرجة الثانية.
• PH هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ من الدرجة الثانية.
• PSPACE هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ من الدرجة الثانية مع إضافة عامل إغلاق متعدٍ .
• EXPTIME هي مجموعة اللغات التي يمكن تعريفها بواسطة صيغ من الدرجة الثانية مع إضافة عامل النقطة الثابتة الصغرى .

تؤثر العلاقات بين هذه الفئات بشكل مباشر على القدرة التعبيرية النسبية للمنطق على الهياكل المحدودة؛ على سبيل المثال، إذا كان PH  = PSPACE ، فإن إضافة عامل إغلاق متعدٍ إلى منطق الرتبة الثانية لن يجعله أكثر تعبيرًا على الهياكل المحدودة. 

• منطق الرتبة الأولى
• المنطق من الرتبة العليا
• رقم لوفنهايم
• لغة أوميغا
• منطق القضايا من الدرجة الثانية
• منطق من الدرجة الثانية أحادي

• أندروز، بيتر (2002). مقدمة في المنطق الرياضي ونظرية الأنواع: إلى الحقيقة من خلال البرهان (  الطبعة الثانية). دار نشر كلوير الأكاديمية.
• بولوس، جورج (1984). "أن تكون هو أن تكون قيمة لمتغير (أو أن تكون بعض قيم بعض المتغيرات)". مجلة الفلسفة . 81 (8): 430-450 . doi : 10.2307/2026308 . JSTOR 2026308 . أُعيد طبعه في كتاب Boolos، المنطق، المنطق والمنطق ، 1998.
• غرادل، إريك؛ كولايتيس، فوكيون ج.؛ ليبكين، ليونيد ؛ مارتن، ماركس؛ سبنسر، جويل ؛ فاردي، موشيه ي.؛ فينيما، يدي؛ وينشتاين، سكوت (2007). نظرية النموذج المحدود وتطبيقاتها . نصوص في علوم الحاسوب النظرية. سلسلة EATCS. ​​برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-00428-8. Zbl 1133.03001 . 
• بوتنام، هيلاري (1982). "بيرس المنطقي" . تاريخ الرياضيات . 9 (3): 290-301 . doi : 10.1016/0315-0860(82)90123-9 .. أعيد طبعه في بوتنام، هيلاري (1990)، الواقعية ذات الوجه البشري ، مطبعة جامعة هارفارد ، ص  252-260 .
• روسبرغ، م. (2004). "المنطق من الدرجة الأولى، والمنطق من الدرجة الثانية، والكمال" (ملف PDF) . في: ف. هندريكس وآخرون  (محررون). إعادة النظر في المنطق من الدرجة الأولى . برلين: دار نشر لوغوس.