نظريات النقطة الثابتة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد

في الرياضيات ، تعمم العديد من نظريات النقطة الثابتة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد نظرية براور للنقطة الثابتة . ولها تطبيقات، على سبيل المثال، في إثبات نظريات الوجود للمعادلات التفاضلية الجزئية .

كانت أولى النتائج في هذا المجال هي نظرية شاودر للنقطة الثابتة ، التي أثبتها يوليوس شاودر عام 1930 (وقد سبقتها في سياق مختلف نظرية باناش للنقطة الثابتة لتطبيقات الانكماش في الفضاءات المترية الكاملة، والتي أُثبتت عام 1922). وتلت ذلك نتائج أخرى عديدة. ومن بين الطرق التي أثرت بها نظريات النقطة الثابتة من هذا النوع تأثيرًا كبيرًا على الرياضيات ككل، هو محاولة تطبيق أساليب الطوبولوجيا الجبرية ، التي أُثبتت أولًا للمجمعات التبسيطية المحدودة ، على الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية. فعلى سبيل المثال، انبثق بحث جان ليري، مؤسس نظرية الحزم، من جهود توسيع عمل شاودر.

نظرية شاودر للنقطة الثابتة : ليكن C مجموعة فرعية محدبة مغلقة غير فارغة من فضاء باناخ V. إذا كانت f : C → C متصلة ولها صورة مضغوطة ، فإن f لها نقطة ثابتة. 

نظرية تيكونوف (Tychonoff) للنقطة الثابتة: ليكن V فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا . لأي مجموعة محدبة مضغوطة غير فارغة X في V ، فإن أي دالة متصلة f  : X → X لها نقطة ثابتة.

نظرية براودر للنقطة الثابتة: لتكن K مجموعة محدبة مغلقة ومحدودة وغير فارغة في فضاء باناخ محدب بانتظام . عندئذٍ، أي دالة غير متوسعة f  : K → K لها نقطة ثابتة.${\displaystyle f}$يُطلق عليه اسم غير قابل للتمدد إذا${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|\leq \|xy\|}$لكل ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.)

تشمل النتائج الأخرى نظرية ماركوف-كاكوتاني للنقطة الثابتة (1936-1938) ونظرية ريل-ناردزيفسكي للنقطة الثابتة (1967) للتطبيقات الذاتية الأفينية المستمرة للمجموعات المحدبة المدمجة، بالإضافة إلى نظرية إيرل-هاميلتون للنقطة الثابتة (1968) للتطبيقات الذاتية الهولومورفية للمجالات المفتوحة. كما قدم أنيكي وراوف (2019) بعض النتائج المهمة حول استقرار الفضاءات المترية المرتبة جزئيًا لإجراءات التكرار ذات النقطة الثابتة المقترنة للتطبيقات الرتيبة المختلطة.

نظرية كاكوتاني للنقطة الثابتة : كل تطابق يقوم برسم مجموعة فرعية محدبة مضغوطة من فضاء محدب محليًا إلى نفسه مع رسم بياني مغلق وصور محدبة غير فارغة له نقطة ثابتة.

• نظرية الدرجة الطوبولوجية

• فاسيل إي. إستراتيسكو، نظرية النقطة الثابتة، مقدمة ، دار نشر دي. ريدل، هولندا (1981). رقم ISBN 90-277-1224-7.
• أندريه غراناس وجيمس دوغوندجي ، نظرية النقطة الثابتة (2003)، سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، رقم ISBN 0-387-00173-5.
• ويليام أ. كيرك وبريلي سيمز ، دليل نظرية النقطة الثابتة المترية (2001)، كلوير أكاديميك، لندن، رقم ISBN 0-7923-7073-2.
• صموئيل أ. أنيكي وكاميلو رؤوف، بعض نتائج الاستقرار في فضاءات مترية مرتبة جزئيًا لتكرار النقطة الثابتة المقترنة لإجراءات التعيينات الرتيبة المختلطة (2019)، مجلة الجامعة الإسلامية متعددة التخصصات، 6(3)، 175-186 https://www.iuiu.ac.ug/journaladmin/iumj/ArticleFiles/49305.pdf

• نظرية تيكونوڤ للنقطة الثابتة في موقع PlanetMath .