المساحة المترية

لإدراك فائدة مفاهيم المسافة المختلفة، تخيّل سطح الأرض كمجموعة من النقاط. يمكننا قياس المسافة بين نقطتين من خلال طول أقصر مسار على السطح ، أي المسافة الجوية ؛ وهذا مفيدٌ للغاية في الملاحة البحرية والجوية. كما يمكننا قياس المسافة في خط مستقيم بين نقطتين عبر باطن الأرض؛ وهذا المفهوم طبيعي، على سبيل المثال، في علم الزلازل ، لأنه يُقارب المدة الزمنية التي تستغرقها الموجات الزلزالية للانتقال بين هاتين النقطتين.

إن مفهوم المسافة المُجسّد في بديهيات الفضاء المتري لا يتطلب سوى عدد قليل نسبيًا من الشروط. هذه العمومية تمنح الفضاءات المترية مرونة كبيرة. في الوقت نفسه، يتمتع هذا المفهوم بقوة كافية لتجسيد العديد من الحقائق البديهية حول معنى المسافة. وهذا يعني إمكانية تطبيق النتائج العامة المتعلقة بالفضاءات المترية في سياقات متنوعة.

كما هو الحال مع العديد من المفاهيم الرياضية الأساسية، يمكن تفسير المقياس على فضاء متري بطرق مختلفة. قد لا يُنظر إلى مقياس معين على أنه يقيس المسافة الفيزيائية، بل على أنه تكلفة الانتقال من حالة إلى أخرى (كما هو الحال مع مقاييس واسرشتين على فضاءات القياسات ) أو درجة الاختلاف بين كائنين (على سبيل المثال، مسافة هامينغ بين سلسلتين من الأحرف، أو مسافة غروموف-هاوسدورف بين الفضاءات المترية نفسها).

بصورة رسمية، الفضاء المتري هو زوج مرتب ( M , d ) حيث M هي مجموعة ( تسمى عناصرها نقاطًا)، و d هو مقياس على M ، أي دالة.$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$تحقيق البديهيات التالية لجميع النقاط${\displaystyle x,y,z\in M}$: ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

1. المسافة من نقطة إلى نفسها تساوي صفرًا:$${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (الإيجابية) المسافة بين نقطتين مختلفتين تكون دائمًا موجبة:$${\displaystyle {\text{إذا كان }}x\neq y{\text{، فإن }}d(x,y)>0}$$
3. ( التناظر ) المسافة من x إلى y هي دائماً نفس المسافة من y إلى x :$${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. تتحقق متباينة المثلث :$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$هذه خاصية طبيعية لكل من المفاهيم المادية والمجازية للمسافة: يمكنك الوصول إلى z من x عن طريق اتخاذ طريق التفافي عبر y ، لكن هذا لن يجعل رحلتك أقصر من الطريق المباشر.

من المتعارف عليه كتابة M كاختصار لـ ( M , d ) عندما يكون مفهوماً ما هو d .

لأي نقطة x في فضاء متري M وأي عدد حقيقي r > 0 ، تُعرَّف الكرة المفتوحة ذات نصف القطر r حول x بأنها مجموعة النقاط التي تبعد مسافة أقل من r عن x : $${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$ هذه طريقة طبيعية لتحديد مجموعة من النقاط القريبة نسبيًا من x . لذلك، فإن المجموعة${\displaystyle N\subseteq M}$تعتبر جوارًا لـ x (بشكل غير رسمي، تحتوي على جميع النقاط "القريبة بما فيه الكفاية" من x ) إذا كانت تحتوي على كرة مفتوحة نصف قطرها r حول x لبعض r > 0 .

المجموعة المفتوحة هي مجموعة تمثل جوارًا لجميع نقاطها. وبناءً على ذلك، تُشكل الكرات المفتوحة أساسًا لطوبولوجيا على M. بعبارة أخرى، المجموعات المفتوحة في M هي اتحاد الكرات المفتوحة. وكما هو الحال في أي طوبولوجيا، فإن المجموعات المغلقة هي مكملات المجموعات المفتوحة. قد تكون المجموعات مفتوحة ومغلقة في آنٍ واحد، أو قد لا تكون مفتوحة ولا مغلقة.

_{لا تحمل هذه الطوبولوجيا جميع المعلومات المتعلقة بالفضاء المتري. على سبيل المثال} ، تؤدي المسافات d1 _و d2 و _d∞ المعرفة أعلاه إلى نفس الطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$على الرغم من اختلاف سلوكهم في جوانب عديدة. وبالمثل،${\displaystyle \mathbb {R} }$مع المقياس الإقليدي وفضائه الجزئي، تكون الفترة (0، 1) مع المقياس المستحث متماثلة طوبولوجيًا ولكن لها خصائص مترية مختلفة تمامًا.

على النقيض، لا يمكن إعطاء كل فضاء طوبولوجي مقياسًا. تُسمى الفضاءات الطوبولوجية المتوافقة مع مقياس ما بالفضاءات القابلة للقياس، وتتميز بسلوك جيد للغاية من نواحٍ عديدة: فهي على وجه الخصوص فضاءات هاوسدورف شبه متراصة ^{[ 11 ]} (وبالتالي فضاءات طبيعية ) وفضاءات قابلة للعد من الدرجة الأولى . ^{[ أ ]} تُقدم نظرية ناغاتا -سميرنوف للقياس توصيفًا لقابلية القياس بدلالة خصائص طوبولوجية أخرى، دون الرجوع إلى المقاييس.

يُعرَّف تقارب المتتاليات في الفضاء الإقليدي على النحو التالي:

تتقارب المتتالية ( x _n ) إلى نقطة x إذا كان لكل ε > 0 يوجد عدد صحيح N بحيث يكون لكل n > N ، d ( x _n ، x ) < ε .

يُعرَّف تقارب المتتاليات في الفضاء الطوبولوجي على النحو التالي:

تتقارب المتتالية ( x, _n ) إلى نقطة x إذا كان لكل مجموعة مفتوحة U تحتوي على x يوجد عدد صحيح N بحيث يكون لكل n > N ،${\displaystyle x_{n}\in U}$.

في الفضاءات المترية، كلا التعريفين منطقيان ومتكافئان. وهذا نمط عام للخصائص الطوبولوجية للفضاءات المترية: فبينما يمكن تعريفها بطريقة طوبولوجية بحتة، غالباً ما توجد طريقة تستخدم المقياس، وهي أسهل في التعبير أو أكثر ألفة من التحليل الحقيقي.

بصورة غير رسمية، يكون الفضاء المتري كاملاً إذا لم يكن به "نقاط مفقودة": كل تسلسل يبدو أنه يجب أن يتقارب إلى شيء ما يتقارب بالفعل.

لتوضيح ذلك بدقة: تُسمى المتتالية ( x_{_m} , x_n ) في فضاء متري M متتالية كوشي إذا كان لكل ε > 0 يوجد عدد صحيح N بحيث يكون لكل m و n > N ، يكون d ( x _{_m} , x _{_n} ) < ε . وبحسب متباينة المثلث، فإن أي متتالية متقاربة هي متتالية كوشي: إذا كانت x_{_m} و x_{_n} كلتاهما على بُعد أقل من ε من النهاية، فإنهما على بُعد أقل من 2ε من بعضهما البعض. وإذا كان العكس صحيحًا - أي أن كل متتالية كوشي في M متقاربة - فإن M فضاء كامل.

الفضاءات الإقليدية كاملة، كما هي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مع المقاييس الأخرى المذكورة أعلاه. ومن الأمثلة على الفضاءات غير الكاملة الفضاء (0، 1) والفضاءات النسبية، ولكل منهما مقياس مستنتج من${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن اعتبار الفترة (0، 1) "فاقدة" لنقطتي نهايتها 0 و1. الأعداد النسبية تفتقد جميع الأعداد غير النسبية، لأن أي عدد غير نسبي له متتالية من الأعداد النسبية تتقارب إليه.${\displaystyle \mathbb {R} }$(على سبيل المثال، تقريباتها العشرية المتتالية). تُظهر هذه الأمثلة أن الاكتمال ليس خاصية طوبولوجية، لأن${\displaystyle \mathbb {R} }$الفضاء المتماثل (0، 1) كامل ولكنه ليس كذلك.

يمكن توضيح مفهوم "النقاط المفقودة" بدقة. في الواقع، لكل فضاء متري إكمال فريد ، وهو فضاء كامل يحتوي على الفضاء المعطى كمجموعة جزئية كثيفة . على سبيل المثال، [ 0, 1 ] هو إكمال (0, 1) ، والأعداد الحقيقية هي إكمال الأعداد النسبية.

نظرًا لسهولة التعامل مع الفضاءات الكاملة عمومًا، تُعدّ عمليات الإكمال مهمة في مختلف فروع الرياضيات. على سبيل المثال، في الجبر المجرد، تُعرَّف الأعداد p -adic على أنها إكمال الأعداد النسبية تحت مقياس مختلف. ويُستخدم الإكمال بشكل خاص كأداة في التحليل الوظيفي . غالبًا ما يتوفر لدينا مجموعة من الدوال الجيدة وطريقة لقياس المسافات بينها. يُعطينا إكمال هذا الفضاء المتري مجموعة جديدة من الدوال قد تكون أقل جودة، ولكنها مع ذلك مفيدة لأنها تتصرف بشكل مشابه للدوال الجيدة الأصلية في جوانب مهمة. على سبيل المثال، عادةً ما توجد الحلول الضعيفة للمعادلات التفاضلية في إكمال ( فضاء سوبوليف ) بدلًا من الفضاء الأصلي للدوال الجيدة التي تُعطي المعادلة التفاضلية معنىً فعليًا.

يُقال إن الفضاء المتري M محدود إذا وُجدت قيمة r بحيث لا يفصل بين أي نقطتين في M مسافة تزيد عن r . ^{[ ب ]} تُسمى أصغر قيمة r من هذا النوع قطر M.

يُطلق على الفضاء M اسم الفضاء شبه المتراص أو المحدود كليًا إذا كان لكل r > 0 غطاء منتهٍ لـ M بواسطة كرات مفتوحة نصف قطرها r . كل فضاء محدود كليًا هو فضاء محدود. لتوضيح ذلك، نبدأ بغطاء منتهٍ بواسطة r كرة، حيث r قيمة اختيارية . بما أن المجموعة الجزئية من M التي تتكون من مراكز هذه الكرات منتهية، فإن قطرها منتهٍ، ولنسمه D. باستخدام متباينة المثلث، يكون قطر الفضاء بأكمله على الأكثر D + 2r . لا يصح العكس: مثال على فضاء متري محدود ولكنه ليس محدودًا كليًا هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(أو أي مجموعة لانهائية أخرى) مع المقياس المنفصل.

التراص خاصية طوبولوجية تعمم خصائص مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة من الفضاء الإقليدي. توجد عدة تعريفات مكافئة للتراص في الفضاءات المترية:

1. الفضاء المتري M يكون مضغوطًا إذا كان لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي محدود (التعريف الطوبولوجي المعتاد).
2. الفضاء المتري M يكون متراصاً إذا كان لكل متتالية متتالية جزئية متقاربة. (بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية العامة، يُطلق على هذا اسم التراص المتسلسل ، وهو لا يكافئ التراص).
3. الفضاء المتري M يكون متراصاً إذا كان كاملاً ومحدوداً كلياً. (هذا التعريف مكتوب بدلالة الخصائص المترية ولا ينطبق على الفضاءات الطوبولوجية العامة، ولكنه مع ذلك ثابت طوبولوجياً لأنه مكافئ للتراص).

أحد الأمثلة على الفضاء المضغوط هو الفترة المغلقة [ 0، 1 ] .

تُعدّ خاصية التراص مهمة لأسباب مشابهة لخاصية الاكتمال: فهي تُسهّل إيجاد النهايات. ومن الأدوات المهمة الأخرى مبرهنة لوبيغ العددية ، التي تُبيّن أنه لأي غطاء مفتوح لفضاء متراص، تقع كل نقطة في عمق إحدى مجموعات هذا الغطاء.

أحد تفسيرات الخريطة "الحافظة على البنية" هو تلك التي تحافظ بشكل كامل على دالة المسافة:

وظيفة${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$يحافظ على المسافة ^{[ 12 ]} إذا كان لكل زوج من النقاط x و y في M1 _،$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

يستنتج من بديهيات الفضاء المتري أن الدالة الحافظة للمسافة هي دالة أحادية. وتُسمى الدالة التقابلية الحافظة للمسافة بالتماثل الهندسي . ^{[ 13 ]} ومن الأمثلة غير البديهية على التماثل الهندسي بين الفضاءات الموصوفة في هذه المقالة الخريطة${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$محدد بواسطة $${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

إذا كان هناك تماثل بين الفراغين M1 و _{M2 ،} فإنهما يُقال إنهما متساويان في القياس . الفراغات المترية المتماثلة في القياس متطابقة جوهريًا .

على النقيض تمامًا، يمكن تجاهل البنية المترية تمامًا ودراسة التطبيقات المتصلة ، التي تحافظ فقط على البنية الطوبولوجية. توجد عدة تعريفات مكافئة للاتصالية في الفضاءات المترية، وأهمها:

• التعريف الطوبولوجي. دالة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$تكون متصلة إذا كان لكل مجموعة مفتوحة U في M ₂ ، الصورة العكسية${\displaystyle f^{-1}(U)}$مفتوح.
• الاستمرارية التسلسلية . دالة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$تكون المتتالية متصلة إذا كانت المتتالية ( x, _n ) تتقارب إلى نقطة x في M1 _،${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$يتقارب إلى النقطة f ( x ) في M ₂ .

(هذان التعريفان الأولان ليسا متكافئين لجميع الفضاءات الطوبولوجية.)

• ε – δ التعريف. وظيفة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$_{تكون الدالة متصلة إذا كان} لكل نقطة x في M1 ولكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون لكل y في M1 _لدينا$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

التشاكل المتماثل هو تقابل مستمر يكون معكوسه مستمرًا أيضًا؛ إذا وُجد تشاكل متماثل بين M1 و M2 _، يُقال _إنهما متماثلان متماثلان . الفضاءات المتماثلة متطابقة من وجهة نظر الطوبولوجيا، ولكنها قد تمتلك خصائص مترية مختلفة تمامًا. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} }$(0, 1) غير محدود وكامل، بينما (0, 1) محدود ولكنه غير كامل.

وظيفة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$تكون الدالة متصلة بانتظام إذا كان لكل عدد حقيقي ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون لكل نقطتين x و y في M ₁ بحيث${\displaystyle d(x,y)<\delta }$لدينا$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

الفرق الوحيد بين هذا التعريف وتعريف ε–δ للاستمرارية هو ترتيب المُكمِّمات: يجب أن يعتمد اختيار δ على ε فقط وليس على النقطة x . مع ذلك، يُحدث هذا التغيير الطفيف فرقًا كبيرًا. على سبيل المثال، تُحوِّل الدوال المستمرة بانتظام متتابعات كوشي في M1 إلى متتابعات كوشي في M2 _{. بعبارة أخرى، تحافظ الاستمرارية المنتظمة على بعض الخصائص} المترية التي ليست طوبولوجية بحتة.

من جهة أخرى، تنص نظرية هاين-كانتور على أنه إذا كانت M1 فضاءً متراصاً _، فإن كل دالة متصلة تكون متصلة بانتظام. بعبارة أخرى، لا يمكن للاستمرارية المنتظمة أن تميز أي خصائص غير طوبولوجية للفضاءات المترية المتراصة.

الخريطة الليبشيتزية هي خريطة تمدد المسافات بمعامل محدود على الأكثر. وبصورة رسمية، إذا كان لدينا عدد حقيقي K > 0 ، فإن الخريطة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$تكون K - Lipschitz إذا $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$ تُعدّ خرائط ليبشيتز ذات أهمية خاصة في الهندسة المترية، إذ توفر مرونة أكبر من الخرائط التي تحافظ على المسافة، مع الحفاظ على الاستخدام الأساسي للمقياس. ^{[ 14 ]} على سبيل المثال، يكون المنحنى في الفضاء المتري قابلاً للتصحيح (ذو طول محدود) إذا وفقط إذا كان لديه إعادة تمثيل ليبشيتز.

يُطلق على الخريطة 1-Lipschitz أحيانًا اسم الخريطة غير المتوسعة أو الخريطة المترية . وتُعتبر الخرائط المترية عادةً تشاكلات فئة الفضاءات المترية .

تُسمى دالة ليبشيتز من الرتبة K ، حيث K < 1، بالانكماش . وتنص نظرية باناش للنقطة الثابتة على أنه إذا كان M فضاءً متريًا كاملاً، فإن كل انكماش${\displaystyle f:M\to M}$تقبل نقطة ثابتة وحيدة . إذا كان الفضاء المتري M مضغوطًا، فإن النتيجة تتحقق بشرط أضعف قليلًا على f : دالة${\displaystyle f:M\to M}$يقبل نقطة ثابتة فريدة إذا $${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

شبه التساوي هو دالة تحافظ على "البنية واسعة النطاق" للفضاء المتري. ولا يشترط أن تكون شبه التساوي متصلة. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$وفضائه الفرعي${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$تُعتبر هذه الفضاءات شبه متساوية القياس، على الرغم من أن أحدها متصل والآخر منفصل. وتُعد علاقة التكافؤ لشبه متساوية القياس مهمة في نظرية الزمر الهندسية : إذ تنص مبرهنة شفارتس-ميلنور على أن جميع الفضاءات التي تؤثر عليها زمرة هندسيًا هي فضاءات شبه متساوية القياس. ^{[ 15 ]}

رسميًا، الخريطة${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$يكون التضمين شبه متساوي القياس إذا وُجدت ثوابت A ≥ 1 و B ≥ 0 بحيث $${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$ يكون شبه متساوي القياس إذا كان بالإضافة إلى ذلك شبه شامل ، أي يوجد ثابت C ≥ 0 بحيث تكون كل نقطة في${\displaystyle M_{2}}$تقع على مسافة لا تتجاوز C من نقطة ما في الصورة${\displaystyle f(M_{1})}$.

بالنظر إلى فضاءين متريين${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$و${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$:

• يُطلق عليهما اسم متماثلين طوبولوجيًا (متماثلين طوبولوجيًا) إذا كان هناك تماثل بينهما (أي، تقابل مستمر مع دالة عكسية مستمرة).${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$وإذا كانت خريطة التطابق عبارة عن تماثل شكلي،${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle d_{2}}$يقال إنها متكافئة طوبولوجيًا .
• يُطلق عليها اسم متماثلة بشكل منتظم (متماثلة بشكل منتظم) إذا كان هناك تماثل منتظم بينهما (أي، تقابل مستمر بشكل منتظم مع معكوس مستمر بشكل منتظم).
• يُطلق عليهم اسم bilipschitz homeomorphic إذا كان هناك تقابل bilipschitz بينهما (أي تقابل Lipschitz مع معكوس Lipschitz).
• يُطلق عليهما اسم الفضائين المتريين إذا كان هناك تماثل (تقابلي) بينهما. في هذه الحالة، يكون الفضائان المتريان متطابقين بشكل أساسي.
• تُسمى هذه الأشكال شبه متساوية القياس إذا كان هناك شبه تساوي قياس بينها.

الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء متجهي مزود بمعيار ، وهو دالة تقيس طول المتجهات. يُرمز عادةً إلى معيار المتجه v بالرمز .${\displaystyle \lVert v\rVert }$يمكن تزويد أي فضاء متجهي معياري بمقياس تُعطى فيه المسافة بين متجهين x و y بالعلاقة التالية:$${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert .}$$يقال إن المقياس d مستحث بواسطة المعيار${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$.

على العكس من ذلك، ^{[ 16 ]} إذا كان المقياس d على فضاء متجهي X هو

• ثابت الترجمة:${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$لكل x و y و a في X ؛ و
• متجانس تمامًا :${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$لكل x و y في X وعدد حقيقي α ؛

ثم${\displaystyle \lVert x\rVert$ يمثل d(x,0) معيارًا مستحثًا بواسطة المقياس. وتوجد علاقة مماثلة بين المعايير الجزئية والمقاييس الزائفة .

_{من بين الأمثلة على المقاييس المستحثة بواسطة معيار ما ،} المقاييس d1 و d2 و d∞ على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$والتي تُستنتج من معيار مانهاتن ، والمعيار الإقليدي ، والمعيار الأقصى ، على التوالي. وبشكل أعم، يسمح تضمين كوراتوفسكي برؤية أي فضاء متري كفضاء جزئي من فضاء متجهي معياري.

تُدرس الفضاءات المتجهة المعيارية ذات الأبعاد اللانهائية، ولا سيما فضاءات الدوال، في التحليل الوظيفي . وتُعدّ خاصية الاكتمال بالغة الأهمية في هذا السياق، إذ يُعرف الفضاء المتجه المعياري الكامل باسم فضاء باناخ . ومن الخصائص غير المألوفة للفضاءات المتجهة المعيارية أن التحويلات الخطية بينها تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت تحقق شرط ليبشيتز. وتُعرف هذه التحويلات باسم المؤثرات المحدودة .

المنحنى في الفضاء المتري ( M , d ) هو دالة متصلة${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} .يتم قياس طول γ بواسطة$${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$ بشكل عام، قد تكون هذه القيمة العليا لانهائية؛ ويُطلق على المنحنى ذي الطول المحدود اسم المنحنى القابل للتقويم . ^{[ 17 ]} لنفترض أن طول المنحنى γ يساوي المسافة بين طرفيه، أي أنه أقصر مسار ممكن بينهما. بعد إعادة تمثيله باستخدام طول القوس، يصبح γ منحنى جيوديسيًا : وهو منحنى يحافظ على المسافة. ^{[ 15 ]} المنحنى الجيوديسي هو أقصر مسار ممكن بين أي نقطتين منه. ^{[ ج ]}

الفضاء المتري الجيوديسي هو فضاء متري يسمح بوجود خط جيوديسي بين أي نقطتين فيه.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$و${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$كلاهما فضاءات جيوديسية مترية.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$تُعدّ الخطوط الجيوديسية فريدة من نوعها، ولكن في${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$، غالبًا ما يكون هناك عدد لا نهائي من الخطوط الجيوديسية بين نقطتين، كما هو موضح في الشكل الموجود أعلى المقالة.

يُسمى الفضاء M فضاء طول (أو يكون المقياس d جوهريًا ) إذا كانت المسافة بين أي نقطتين x و y هي أصغر طول للمسارات بينهما. على عكس الفضاء المتري الجيوديسي، لا يُشترط بلوغ هذه القيمة الدنيا. مثال على فضاء طول غير جيوديسي هو المستوى الإقليدي ناقص نقطة الأصل: يمكن ربط النقطتين (1، 0) و (-1، 0) بمسارات طولها قريب جدًا من 2، ولكن لا يمكن ربطهما بمسار طوله 2. مثال آخر على فضاء متري غير فضاء طول هو المقياس الخطي على الكرة: الخط المستقيم بين نقطتين تمران بمركز الأرض أقصر من أي مسار على سطحها.

بالنظر إلى أي فضاء متري ( M , d ) ، يمكن تعريف دالة مسافة جوهرية جديدة d _intrinsic على M بجعل المسافة بين النقطتين x و y هي الحد الأدنى لأطوال المسارات d بينهما. على سبيل المثال، إذا كانت d هي المسافة في خط مستقيم على الكرة، فإن d _intrinsic هي مسافة الدائرة العظمى. مع ذلك، في بعض الحالات، قد تأخذ d _intrinsic قيمًا لانهائية. على سبيل المثال، إذا كانت M هي ندفة ثلج كوخ ذات فضاء جزئي متري d مستحث من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، وبالتالي فإن المسافة الجوهرية الناتجة تكون لانهائية لأي زوج من النقاط المتميزة.

الفضاء الريماني هو فضاء مزود بموتر ريماني متري ، يحدد أطوال متجهات المماس عند كل نقطة. ويمكن اعتبار ذلك بمثابة تعريف لمفهوم المسافة بشكل متناهي الصغر. وعلى وجه الخصوص، المسار القابل للتفاضل${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} في مشعب ريماني M له طول معرف على أنه تكامل طول متجه المماس للمسار: $${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$ على مشعب ريماني متصل، يُعرَّف البُعد بين نقطتين بأنه الحد الأدنى لأطوال المسارات الملساء بينهما. ويمكن تعميم هذا البناء ليشمل أنواعًا أخرى من المقاييس المتناهية الصغر على المشعبات، مثل المقاييس شبه الريمانية ومقاييس فينسلر .

تُحدد دالة المسافة المقياس الريماني بشكل فريد؛ وهذا يعني أنه من حيث المبدأ، يمكن استخلاص جميع المعلومات المتعلقة بمتشعب ريماني من دالة المسافة الخاصة به. يتمثل أحد اتجاهات الهندسة المترية في إيجاد صياغات مترية بحتة ( "اصطناعية" ) لخصائص المتشعبات الريمانية. على سبيل المثال، يكون المتشعب الريماني فضاءً من نوع CAT( k ) (وهو شرط اصطناعي يعتمد كليًا على المقياس) إذا وفقط إذا كان انحناء مقطعه محدودًا من الأعلى بالقيمة k . ^{[ 20 ]} وبالتالي، تُعمم فضاءات CAT( k ) حدود الانحناء العليا لتشمل الفضاءات المترية العامة.

يستفيد التحليل الحقيقي من كلا المقياسين على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ومقياس ليبيغ . لذا، فإن تعميمات العديد من أفكار التحليل تكمن بشكل طبيعي في فضاءات القياس المتري : وهي فضاءات تمتلك قياسًا ومقياسًا متوافقين. رسميًا، فضاء القياس المتري هو فضاء متري مزود بمقياس بوريل منتظم بحيث يكون لكل كرة قياس موجب. ^{[ 21 ]} على سبيل المثال، الفضاءات الإقليدية ذات البعد n ، وبشكل أعم، المشعبات الريمانية ذات البعد n ، تمتلك بشكل طبيعي بنية فضاء القياس المتري، المزود بمقياس ليبيغ . يمكن تزويد بعض الفضاءات المترية الكسورية ، مثل مشعب سيربينسكي، بمقياس هاوسدورف ذي البعد α، حيث α هو بُعد هاوسدورف . مع ذلك، بشكل عام، قد لا يكون للفضاء المتري خيار "بديهي" للقياس.

من تطبيقات فضاءات القياس المتري تعميم مفهوم انحناء ريتشي ليشمل ما هو أبعد من مشعبات ريمان. فكما تعمم فضاءات CAT( k ) وفضاءات ألكساندروف حدود الانحناء القطاعي، تُعد فضاءات RCD فئة من فضاءات القياس المتري التي تعمم الحدود الدنيا لانحناء ريتشي. ^{[ 22 ]}

أيكون الفضاء المتري منفصلاً إذا كانت طوبولوجيته المستحثة هي الطوبولوجيا المنفصلة . على الرغم من أن العديد من المفاهيم، مثل الاكتمال والتراص، لا تهم هذه الفضاءات، إلا أنها مع ذلك موضوع دراسة في العديد من فروع الرياضيات. على وجه الخصوص،تُدرس الفضاءات المترية المنتهية (ذات عدد محدود من النقاط) في التوافقية وعلوم الحاسوب النظرية . ^{[ 23 ]} وتُعدّ عمليات التضمين في الفضاءات المترية الأخرى موضوعًا مدروسًا بعناية. فعلى سبيل المثال، لا يمكن تضمين كل فضاء متري منتهٍ تضمينًا متساوي القياس في فضاء إقليدي أو في فضاء هيلبرت . من جهة أخرى، في أسوأ الحالات، يكون التشوه المطلوب (ثابت بيليبشيتز) لوغاريتميًا فقط بالنسبة لعدد النقاط. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

بالنسبة لأي رسم بياني متصل غير موجه G ، يمكن تحويل مجموعة رؤوس G ، V، إلى فضاء متري بتعريف المسافة بين الرأسين x و y على أنها طول أقصر مسار حافة يربط بينهما. في نظرية الرسوم البيانية، يُطلق على هذه المسافة أيضًا اسم مسافة أقصر مسار أو المسافة الجيوديسية. في نظرية الزمر الهندسية، يُطبق هذا البناء على رسم كايلي البياني لزمرة مولدة نهائيًا (عادةً ما تكون لانهائية) ، مما ينتج عنه مصطلح "متري" . حتى شبه التساوي القياسي ، يعتمد مصطلح "متري" على الزمرة فقط وليس على مجموعة التوليد النهائية المختارة. ^{[ 15 ]}

يُعدّ تضمين الفضاءات المترية المعقدة في فضاءات أبسط مع التحكم في تشوّه المسافات مجالًا هامًا للدراسة في الفضاءات المترية المحدودة. ويُعدّ هذا مفيدًا بشكل خاص في علوم الحاسوب والرياضيات المتقطعة، حيث غالبًا ما تُحقق الخوارزميات أداءً أكثر كفاءة على هياكل أبسط مثل مقاييس الأشجار.

تتمثل إحدى النتائج المهمة في هذا المجال في أنه يمكن تضمين أي فضاء متري محدود احتماليًا في مقياس شجري مع تشويه متوقع لـ${\displaystyle O(\log n)}$، أين${\displaystyle n}$يمثل عدد النقاط في الفضاء المتري. ^{[ 26 ]}

يُعد هذا التضمين جديرًا بالملاحظة لأنه يحقق أفضل حد تقاربي ممكن للتشويه، ويتطابق مع الحد الأدنى لـ${\displaystyle \Omega (\log n)}$تُهيمن مقاييس الشجرة المُنتجة في هذا التضمين على المقاييس الأصلية، ما يعني أن المسافات في الشجرة أكبر من أو تساوي تلك الموجودة في الفضاء الأصلي. تُعد هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص لتصميم خوارزميات التقريب، إذ تسمح بالحفاظ على الخصائص المتعلقة بالمسافة مع تبسيط البنية الأساسية.

لهذه النتيجة آثار هامة على مختلف المشكلات الحسابية:

• تصميم الشبكة : يعمل على تحسين خوارزميات التقريب لمشاكل مثل مشكلة شجرة شتاينر الجماعية (تعميم لمشكلة شجرة شتاينر ) وتصميم شبكة الشراء بالجملة (مشكلة في تخطيط وتصميم الشبكة ) عن طريق تبسيط الفضاء المتري إلى مقياس شجري.
• التجميع : يعمل على تحسين الخوارزميات الخاصة بمشاكل التجميع حيث يمكن إجراء التجميع الهرمي بكفاءة أكبر على مقاييس الشجرة.
• الخوارزميات عبر الإنترنت : تفيد في حل مشاكل مثل مشكلة الخادم k ونظام المهام المترية من خلال توفير نسب تنافسية أفضل عبر مقاييس مبسطة.

تتضمن هذه التقنية بناء تفكيك هرمي للفضاء المتري الأصلي وتحويله إلى مقياس شجري عبر خوارزمية عشوائية.${\displaystyle O(\log n)}$أدى الحد الأقصى للتشويه إلى تحسين نسب التقريب في العديد من المشكلات الخوارزمية، مما يدل على الأهمية العملية لهذه النتيجة النظرية.

في الرياضيات الحديثة، غالباً ما تُدرس الفضاءات التي تُمثل نقاطها كائنات رياضية بحد ذاتها. وتهدف دالة المسافة على هذا الفضاء عموماً إلى قياس الاختلاف بين كائنين. إليك بعض الأمثلة:

• الدوال في الفضاء المتري. إذا كانت X أي مجموعة و M فضاءً متريًا، فإن مجموعة جميع الدوال المحدودة${\displaystyle f\colon X\to M}$(أي تلك الدوال التي تكون صورتها مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle M}$يمكن تحويل ) إلى فضاء متري عن طريق تعريف المسافة بين دالتين محدودتين f و g على النحو التالي:$${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$يُطلق على هذا المقياس اسم المقياس الموحد أو مقياس القيمة العليا. ^{[ 27 ]} إذا كان M فضاءً كاملاً، فإن فضاء الدوال هذا يكون كاملاً أيضاً؛ علاوة على ذلك، إذا كان X فضاءً طوبولوجياً أيضاً، فإن الفضاء الجزئي الذي يتكون من جميع الدوال المتصلة المحدودة من X إلى M يكون كاملاً أيضاً. عندما يكون X فضاءً جزئياً من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، يُعرف فضاء الدوال هذا باسم فضاء وينر الكلاسيكي .
• مسافة تحرير الرسم البياني هي مقياس للاختلاف بين رسمين بيانيين ، وتُعرف بأنها الحد الأدنى لعدد عمليات تحرير الرسم البياني المطلوبة لتحويل رسم بياني إلى آخر.
• تقيس مقاييس واسرشتين المسافة بين قياسين على نفس الفضاء المتري. ويمكن القول، باختصار، إن مسافة واسرشتين بين قياسين هي تكلفة نقل أحدهما إلى الآخر.
• مجموعة جميع المصفوفات من الرتبة m × n على حقل ما هي فضاء متري بالنسبة لمسافة الرتبة${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$.
• يقيس مقياس هيلي في نظرية الألعاب الفرق بين الاستراتيجيات في اللعبة.

يمكن تطبيق مفهوم فضاءات الكائنات الرياضية على المجموعات الجزئية من الفضاء المتري، وكذلك على الفضاءات المترية نفسها. تُعرّف مسافة هاوسدورف ومسافة غروموف -هاوسدورف مقاييس على مجموعة المجموعات الجزئية المدمجة من الفضاء المتري ومجموعة الفضاءات المترية المدمجة، على التوالي.

لنفترض أن ( M , d ) فضاء متري، ولتكن S مجموعة جزئية من M. المسافة من S إلى نقطة x من M هي، بشكل غير رسمي، المسافة من x إلى أقرب نقطة في S. ومع ذلك، بما أنه قد لا توجد نقطة واحدة أقرب، يتم تعريفها عبر قيمة دنيا . $${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$ بخاصة،${\displaystyle d(x,S)=0}$إذا وفقط إذا كان x ينتمي إلى إغلاق S. علاوة على ذلك ، فإن المسافات بين النقاط والمجموعات تحقق صيغة من متباينة المثلث: $${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$ وبالتالي الخريطة${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$متصلة. وبالمناسبة، هذا يدل على أن الفضاءات المترية منتظمة تمامًا .

إذا كان لدينا مجموعتان جزئيتان S و T من M ، فإن مسافة هاوسدورف بينهما هي $${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$ بصورة غير رسمية، تكون المجموعتان S و T متقاربتين في مسافة هاوسدورف إذا لم يكن أي عنصر من S بعيدًا جدًا عن T ، والعكس صحيح. على سبيل المثال، إذا كانت S مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي، وكانت T شبكة إبسيلون داخل S ، فإن${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$بشكل عام، مسافة هاوسدورف${\displaystyle d_{H}(S,T)}$قد تكون المسافة بين مجموعتين متراصتين مختلفتين لانهائية أو صفرية. ومع ذلك، فإن مسافة هاوسدورف بين مجموعتين متراصتين مختلفتين تكون دائمًا موجبة ومحدودة. وبالتالي، تُعرّف مسافة هاوسدورف مقياسًا على مجموعة المجموعات الجزئية المتراصة من M.

يُعرّف مقياس غروموف-هاوسدورف المسافة بين (فئات التماثل) الفضاءات المترية المتراصة. وتُعدّ مسافة غروموف-هاوسدورف بين الفضاءين المتراصين X و Y هي الحد الأدنى لمسافة هاوسدورف على جميع الفضاءات المترية Z التي تحتوي على X و Y كفضاءات جزئية. ورغم أن القيمة الدقيقة لمسافة غروموف-هاوسدورف نادراً ما تكون مفيدة، إلا أن الطوبولوجيا الناتجة عنها قد وجدت تطبيقات عديدة.

• بفرض وجود فضاء متري ( X , d ) ودالة مقعرة متزايدة${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$بحيث يكون f ( t ) = 0 إذا وفقط إذا كان t = 0 ، فعندئذٍ${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$وهو أيضًا مقياس على X. إذا كان f ( t ) = t ^α لبعض الأعداد الحقيقية α < 1 ، فإن هذا المقياس يُعرف باسم ندفة الثلج من d . ^{[ 28 ]}
• إن الامتداد الضيق للفضاء المتري هو فضاء متري آخر يمكن اعتباره نسخة مجردة من الغلاف المحدب .
• مقياس حركة الفارس ، وهو الحد الأدنى لعدد حركات الفارس للوصول إلى نقطة واحدة في${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$من آخر، هو مقياس على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.
• يُعطى مقياس السكك الحديدية البريطانية (المعروف أيضًا باسم "مقياس مكتب البريد" أو " مقياس السكك الحديدية الفرنسية ") على فضاء متجهي معياري بالصيغة التالية:${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$لنقاط مميزة${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، و${\displaystyle d(x,x)=0}$وبشكل عام${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$يمكن استبدالها بدالة${\displaystyle f}$أخذ مجموعة عشوائية${\displaystyle S}$إلى أعداد حقيقية غير سالبة وأخذ القيمة${\displaystyle 0}$مرة واحدة على الأكثر: ثم يتم تعريف المقياس على${\displaystyle S}$بواسطة${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$لنقاط مميزة${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، و${\displaystyle d(x,x)=0}$يشير الاسم إلى ميل رحلات السكك الحديدية إلى المرور عبر لندن (أو باريس) بغض النظر عن وجهتها النهائية .
• مقياس روبنسون-فولدز المستخدم لحساب المسافات بين الأشجار التطورية في علم الوراثة ^{[ 29 ]}

لو${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$هي فضاءات مترية، و N هو المعيار الإقليدي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$هو فضاء متري، حيث يتم تعريف مقياس المنتج بواسطة$${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$ وتتوافق الطوبولوجيا المستحثة مع طوبولوجيا الضرب . وبفضل تكافؤ المعايير في الأبعاد المحدودة، يتم الحصول على مقياس مكافئ طوبولوجيًا إذا كان N هو معيار سيارة الأجرة ، أو معيار p ، أو المعيار الأقصى ، أو أي معيار آخر غير متناقص مع زيادة إحداثيات مجموعة n موجبة (مما ينتج عنه متباينة المثلث).

وبالمثل، يمكن الحصول على مقياس على حاصل الضرب الطوبولوجي لعدد قابل للعد من الفضاءات المترية باستخدام المقياس $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

لا يشترط أن يكون حاصل الضرب الطوبولوجي لعدد لا يُحصى من الفضاءات المترية قابلاً للقياس. على سبيل المثال، حاصل ضرب لا يُحصى من نسخ من${\displaystyle \mathbb {R} }$لا يمكن عدها من الدرجة الأولى، وبالتالي لا يمكن قياسها.

إذا كانت M فضاءً متريًا بمقياس d ، و${\displaystyle \sim }$إذا كانت علاقة تكافؤ على M ، فيمكننا إذن تزويد مجموعة القسمة${\displaystyle M/{\sim }}$باستخدام مقياس شبه قياسي. المسافة بين فئتين متكافئتين${\displaystyle [x]}$و${\displaystyle [y]}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$ حيث يتم حساب الحد الأدنى على جميع المتتاليات المنتهية${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$و${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$مع${\displaystyle p_{1}\sim x}$،${\displaystyle q_{n}\sim y}$،${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$^{[ 30 ]} بشكل عام ، سيؤدي هذا إلى تحديد مقياس زائف فقط ، أي${\displaystyle d'([x],[y])=0}$لا يعني بالضرورة${\displaystyle [x]=[y]}$ومع ذلك، بالنسبة لبعض علاقات التكافؤ (مثل تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق لصق المجسمات متعددة الأوجه على طول الوجوه)،${\displaystyle d'}$هو مقياس.

مقياس القسمة${\displaystyle d'}$تتميز بالخاصية العامة التالية . إذا${\displaystyle f\colon (M,d)\to (X,\delta )}$هي دالة مترية (أي دالة ليبشيتز-1) بين الفضاءات المترية تحقق f ( x ) = f ( y ) عندما${\displaystyle x\sim y}$ثم الدالة المستحثة${\displaystyle {\overline {f}}\colon M/{\sim }\to X}$، مقدمة من${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$، هي خريطة مترية${\displaystyle {\overline {f}}\colon (M/{\sim },d')\to (X,\delta ).}$

لا يؤدي المقياس خارج القسمة دائمًا إلى طوبولوجيا خارج القسمة . على سبيل المثال، خارج القسمة الطوبولوجي للفضاء المتري${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$تحديد جميع نقاط النموذج${\displaystyle (n,0)}$لا يمكن قياسها لأنها ليست قابلة للعد من الدرجة الأولى ، لكن مقياس القسمة هو مقياس مُعرَّف جيدًا على نفس المجموعة، مما يُنتج طوبولوجيا أكثر خشونة . علاوة على ذلك، تؤدي المقاييس المختلفة على الفضاء الطوبولوجي الأصلي (اتحاد منفصل لعدد قابل للعد من الفترات) إلى طوبولوجيات مختلفة على فضاء القسمة. ^{[ 31 ]}

يكون الفضاء الطوبولوجي متسلسلاً إذا وفقط إذا كان خارج قسمة (طوبولوجي) لفضاء متري. ^{[ 32 ]}

يُعرّف بعض المؤلفين المقاييس بحيث تسمح لدالة المسافة d بالوصول إلى القيمة ∞، أي أن المسافات أعداد غير سالبة على خط الأعداد الحقيقية الممتد . ^{[ 4 ]} تُسمى هذه الدالة أيضًا بالمقياس الممتد أو "المقياس اللانهائي". يمكن استبدال أي مقياس ممتد بمقياس حقيقي القيمة مكافئ له طوبولوجيًا. ويمكن تحقيق ذلك باستخدام دالة فرعية جمعية متزايدة بشكل رتيب ومحدودة، تساوي صفرًا عند الصفر، على سبيل المثال${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$أو${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$.

يشترط أن تأخذ المقاييس قيمًا في${\displaystyle [0,\infty )}$يمكن التغاضي عن بعض القيود للنظر في المقاييس ذات القيم في هياكل أخرى، بما في ذلك:

• الحقول المرتبة ، مما يؤدي إلى مفهوم المقياس المعمم .
• مجموعات موجهة أكثر عمومية . في غياب عملية الجمع، لا يكون لمتباينة المثلث معنى، ويتم استبدالها بمتباينة فائقة القياس . وهذا يؤدي إلى مفهوم المتباينة الفائقة القياس المعممة . ^{[ 33 ]}

لا تزال هذه التعميمات تُنتج بنية موحدة في الفضاء.

مقياس زائف على${\displaystyle X}$هي دالة${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$والذي يحقق بديهيات المقياس، باستثناء أنه بدلاً من البديهية الثانية (هوية غير المتمايزة) فقط${\displaystyle d(x,x)=0}$للجميع${\displaystyle x}$^{[ 34 ]} بعبارة أخرى ، فإن بديهيات القياس الزائف هي:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

في بعض السياقات، يشار إلى المقاييس الزائفة باسم المقاييس شبهية ^{[ 35 ]} بسبب علاقتها بالمعايير شبهية .

أحيانًا، يُعرَّف شبه المقياس بأنه دالة تحقق جميع بديهيات المقياس باستثناء التناظر، إن أمكن. ^{[ 36 ]} ولا يوجد توحيد كامل لاسم هذا التعميم. ^{[ 37 ]}

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

تُعدّ المقاييس شبه المتناظرة شائعة في الحياة الواقعية. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مجموعة X من القرى الجبلية، فإنّ متوسط ​​أوقات المشي بين عناصر هذه المجموعة يُشكّل مقياسًا شبه متناظر، لأنّ الصعود يستغرق وقتًا أطول من النزول. مثال آخر هو طول رحلات السيارات في مدينة ذات شوارع باتجاه واحد: هنا، يمرّ أقصر مسار من النقطة A إلى النقطة B عبر مجموعة شوارع مختلفة عن أقصر مسار من B إلى A ، وقد يكون له طول مختلف.

يمكن تعريف شبه متري على الأعداد الحقيقية عن طريق وضع $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ يمكن استبدال الرقم 1، على سبيل المثال، باللانهاية أو بـ${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$أو أي دالة فرعية أخرى لـ y - x . يصف هذا شبه المقياس تكلفة تعديل قضيب معدني: من السهل تقليل حجمه عن طريق برده ، ولكن من الصعب أو المستحيل تكبيره.

بفرض وجود شبه متري على X ، يمكن تعريف كرة R حول x على أنها المجموعة${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$كما هو الحال في المقياس، تُشكّل هذه الكرات أساسًا لطوبولوجيا على X ، ولكن هذه الطوبولوجيا ليست بالضرورة قابلة للقياس. على سبيل المثال، الطوبولوجيا المُستحثة بواسطة شبه المقياس على الأعداد الحقيقية الموصوفة أعلاه هي خط سورجنفري (المعكوس) .

في المقياس الفائق ، تتحقق جميع بديهيات المقياس باستثناء أن المسافة بين النقاط المتطابقة لا تساوي الصفر بالضرورة. بعبارة أخرى، بديهيات المقياس الفائق هي:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

تظهر القياسات الفوقية في دراسة فضاءات غروموف المترية الزائدية وحدودها. وتُحقق القياسات الفوقية البصرية على مثل هذا الفضاء ما يلي:${\displaystyle d(x,x)=0}$للحصول على نقاط${\displaystyle x}$على الحدود، ولكن بخلاف ذلك${\displaystyle d(x,x)}$المسافة التقريبية من${\displaystyle x}$إلى الحدود. عُرّفت المقاييس الفوقية لأول مرة بواسطة جوسي فايسالا. ^{[ 38 ]} في أعمال أخرى، تُسمى الدالة التي تُحقق هذه البديهيات مقياسًا جزئيًا ^{[ 39 ] [ 40 ]} أو مقياسًا مُزاحًا . ^{[ 34 ]}

شبه متري على${\displaystyle X}$هي دالة${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$التي تحقق البديهيات الثلاث الأولى، ولكن ليس بالضرورة متباينة المثلث:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

يستخدم بعض المؤلفين شكلاً أضعف من متباينة المثلث، مثل:

${\displaystyle d(x,z)\leq \rho \,(d(x,y)+d(y,z))}$	متباينة المثلث المُرخى ρ
${\displaystyle d(x,z)\leq \rho \,\max\{d(x,y),d(y,z)\}}$	متباينة ρ-البنية تحتية

تُشير متباينة ρ-البنية تحتية إلى متباينة المثلث المُرخى ρ (بافتراض البديهية الأولى)، وتُشير متباينة المثلث المُرخى ρ إلى متباينة 2ρ-البنية تحتية. وقد أُشير أحيانًا إلى أنصاف المقاييس التي تُحقق هذه الشروط المتكافئة باسم شبه المقاييس ، ^{[ 41 ]} أو المقاييس القريبة، ^{[ 42 ]} أو البنى تحتية . ^{[ 43 ]}

تم تقديم متباينات ρ-البنية التحتية لنمذجة أوقات التأخير ذهابًا وإيابًا في الإنترنت . ^{[ 43 ]} متباينة المثلث تعني متباينة البنية التحتية 2، ومتباينة البنية الفائقة هي بالضبط متباينة البنية التحتية 1.

يؤدي تخفيف البديهيات الثلاث الأخيرة إلى مفهوم المقياس المسبق ، أي دالة تحقق الشروط التالية:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

هذا ليس مصطلحًا قياسيًا. يُستخدم أحيانًا للإشارة إلى تعميمات أخرى للمقاييس، مثل المقاييس شبه القياسية ^{[ 44 ]} أو المقاييس الزائفة؛ ^{[ 45 ]} وفي ترجمات الكتب الروسية، يظهر أحيانًا باسم "المقياس الجزئي". ^{[ 46 ]} يُطلق أيضًا على المقياس الجزئي الذي يحقق التناظر، أي المقياس شبه القياسي، اسم المسافة. ^{[ 47 ]}

أي مقياس مسبق يُنتج طوبولوجيا على النحو التالي. بالنسبة لعدد حقيقي موجب${\displaystyle r}$، ال${\displaystyle r}$- كرة متمركزة عند نقطة${\displaystyle p}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

تُسمى المجموعة مفتوحة إذا كان لأي نقطة فيها${\displaystyle p}$يوجد في المجموعة${\displaystyle r}$-الكرة متمركزة عند${\displaystyle p}$والتي تقع ضمن المجموعة. كل فضاء ما قبل متري هو فضاء طوبولوجي، وهو في الواقع فضاء تسلسلي . بشكل عام،${\displaystyle r}$لا يشترط أن تكون الكرات نفسها مجموعات مفتوحة بالنسبة لهذه الطوبولوجيا. أما بالنسبة للمقاييس، فالمسافة بين مجموعتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، ويُعرَّف على أنه

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

يُعرّف هذا مقياسًا أوليًا على مجموعة القوى لفضاءٍ أولي. إذا بدأنا بفضاء (شبه) متري، نحصل على شبه متري، أي مقياس أولي متناظر. أي مقياس أولي يُنتج عامل إغلاق أولي${\displaystyle cl}$على النحو التالي:

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

يمكن أيضًا دمج البادئات pseudo- و quasi- و semi- ، على سبيل المثال، يُخفف شبه شبه المقياس (يُسمى أحيانًا نصف المقياس ) من بديهية عدم التمييز وبديهية التناظر، وهو ببساطة مقياس مسبق يحقق متباينة المثلث. بالنسبة للفضاءات شبه شبه المقياسية المفتوحة${\displaystyle r}$تشكل الكرات أساسًا للمجموعات المفتوحة. ومن الأمثلة الأساسية جدًا على الفضاء شبه شبه المتري المجموعة${\displaystyle \{0,1\}}$مع القياس المسبق المعطى بواسطة${\displaystyle d(0,1)=1}$و${\displaystyle d(1,0)=0.}$الفضاء الطوبولوجي المرتبط هو فضاء سيربينسكي .

درس ويليام لوفير المجموعات المزودة بنطاق شبه شبه متري ممتد باعتبارها "فضاءات مترية معممة". ^{[ 48 ]} من وجهة نظر تصنيفية ، تُعد الفضاءات شبه المترية الممتدة والفضاءات شبه شبه المترية الممتدة، إلى جانب تطبيقاتها غير التوسعية المقابلة، أفضل فئات الفضاءات المترية من حيث السلوك . يمكن أخذ أي جداءات ونظائرها وتكوين كائنات خارج القسمة ضمن الفئة المعطاة. إذا تم حذف كلمة "ممتد"، فلا يمكن إلا أخذ الجداءات والنظائر المنتهية. وإذا تم حذف كلمة "شبه"، فلا يمكن أخذ كائنات خارج القسمة .

كما قدم لوفير تعريفًا بديلًا لهذه المساحات باعتبارها فئات مُثرية . المجموعة المرتبة${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$يمكن اعتبارها فئة ذات شكل واحد${\displaystyle a\to b}$لو${\displaystyle a\geq b}$ولا شيء غير ذلك. استخدام + كحاصل ضرب موتر و0 كعنصر محايد يحول هذه الفئة إلى فئة أحادية.${\displaystyle R^{*}}$كل فضاء متري (ممتد شبه متري)${\displaystyle (M,d)}$يمكن الآن اعتبارها فئة${\displaystyle M^{*}}$مُثرى على${\displaystyle R^{*}}$:

• عناصر هذه الفئة هي نقاط M.
• لكل زوج من النقاط x و y بحيث${\displaystyle d(x,y)<\infty }$يوجد شكل واحد يتم تعيينه للكائن${\displaystyle d(x,y)}$ل${\displaystyle R^{*}}$.
• متباينة المثلث وحقيقة أن${\displaystyle d(x,x)=0}$بالنسبة لجميع النقاط x، فإنها تستمد من خصائص التركيب والهوية في فئة مُثرية.
• منذ${\displaystyle R^{*}}$هي مجموعة مرتبة جزئياً، وجميع المخططات المطلوبة لفئة مُثرية تنتقل تلقائياً.

يمكن تعميم مفهوم المقياس من المسافة بين عنصرين إلى عدد يُسند إلى مجموعة متعددة من العناصر. والمجموعة المتعددة هي تعميم لمفهوم المجموعة ، حيث يمكن أن يظهر العنصر فيها أكثر من مرة. عرّف اتحاد المجموعات المتعددة.${\displaystyle U=XY}$كما يلي: إذا ظهر العنصر x عدد m من المرات في X وعدد n من المرات في Y ، فإنه يظهر عدد m + n من المرات في U. الدالة d على مجموعة المجموعات المتعددة المنتهية غير الفارغة لعناصر المجموعة M هي دالة مترية ^{[ 49 ]} إذا

1. ${\displaystyle d(X)=0}$إذا كانت جميع عناصر X متساوية و${\displaystyle d(X)>0}$وإلا ( التحديد الإيجابي )
2. ${\displaystyle d(X)}$يعتمد فقط على المجموعة المتعددة (غير المرتبة) X ( التناظر )
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( متباينة المثلث )

بدراسة حالتي البديهيتين 1 و2 حيث تحتوي المجموعة المتعددة X على عنصرين، وحالة البديهية 3 حيث تحتوي المجموعات المتعددة X و Y و Z على عنصر واحد لكل منها، نستعيد البديهيات المعتادة للمقياس. أي أن كل مقياس متعدد المجموعات ينتج مقياسًا عاديًا عند تقييده بمجموعات مكونة من عنصرين.

ومن الأمثلة البسيطة على ذلك مجموعة جميع المجموعات المتعددة المنتهية غير الفارغة${\displaystyle X}$من الأعداد الصحيحة مع${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا مسافة المعلومات في المجموعات المتعددة؛ ^{[ 49 ]} ومسافة الضغط المعيارية ( NCD) في المجموعات المتعددة. ^{[ 50 ]}