أسلوب المرونة

في الهندسة الإنشائية ، تُعدّ طريقة المرونة ، والتي تُسمى أيضاً طريقة التشوهات المتسقة ، الطريقة التقليدية لحساب قوى وإزاحات العناصر في الأنظمة الإنشائية. ويُطلق على نسختها الحديثة، المُصاغة بدلالة مصفوفات مرونة العناصر، اسم طريقة قوة المصفوفة، وذلك لاستخدامها قوى العناصر كمتغيرات مجهولة أساسية. ^{[ 1 ]}

المرونة هي عكس الصلابة . على سبيل المثال، لنفترض وجود نابض له Q و q ، وهما على التوالي قوته وتشوهه:

• العلاقة بين صلابة الزنبرك هي Q = kq حيث k هي صلابة الزنبرك.
• علاقة المرونة الخاصة بها هي q = f Q ، حيث f هي مرونة الزنبرك.
• وبالتالي، فإن f = 1/ k .

تتخذ علاقة مرونة الأعضاء النموذجية الشكل العام التالي:

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=\mathbf {f} ^{m}\mathbf {Q} ^{m}+\mathbf {q} ^{om}}$

1

أين

م = رقم العضو م .

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= متجه التشوهات المميزة للعضو.

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$= مصفوفة مرونة العضو التي تحدد مدى قابلية العضو للتشوه تحت تأثير القوى.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= متجه القوى المميزة المستقلة للعضو، وهي قوى داخلية مجهولة. وتؤدي هذه القوى المستقلة إلى ظهور جميع القوى الطرفية للعضو من خلال توازن العضو.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= متجه التشوهات المميزة للعضو الناتجة عن تأثيرات خارجية (مثل القوى المعروفة وتغيرات درجة الحرارة) المطبقة على العضو المعزول وغير المتصل (أي مع${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$).

بالنسبة لنظام يتكون من العديد من الأعضاء المترابطة عند نقاط تسمى العقد، يمكن تجميع علاقات مرونة الأعضاء في معادلة مصفوفة واحدة، مع حذف الرمز العلوي m:

${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}\mathbf {Q} _{M\times 1}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}}$

2

حيث M هو العدد الإجمالي للتشوهات أو القوى المميزة للأعضاء في النظام.

بخلاف طريقة صلابة المصفوفة ، حيث يمكن دمج علاقات صلابة العناصر بسهولة عبر شروط التوازن والتوافق العقدية، فإن شكل المرونة الحالي للمعادلة ( 2 ) يطرح صعوبة بالغة. مع قوى العناصر${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}}$باعتبارها المجاهيل الأساسية، فإن عدد معادلات التوازن العقدية غير كافٍ للحل بشكل عام - إلا إذا كان النظام محددًا بشكل ثابت .

لحل هذه المشكلة، نستخدم أولاً معادلات التوازن العقدي لتقليل عدد القوى المجهولة المستقلة في العناصر. تأخذ معادلة التوازن العقدي للنظام الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}=\mathbf {b} _{N\times M}\mathbf {Q} _{M\times 1}+\mathbf {W} _{N\times 1}}$

3

أين

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$: متجه القوى العقدية عند جميع درجات الحرية N للنظام.

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$مصفوفة التوازن العقدية الناتجة

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$متجه القوى الناشئة عن التحميل على العناصر.

في حالة الأنظمة المحددة، تكون المصفوفة b مربعة ويمكن إيجاد حل Q مباشرة من ( 3 ) بشرط أن يكون النظام مستقرًا.

بالنسبة للأنظمة غير المحددة استاتيكيًا ، M > N ، وبالتالي، يمكننا إضافة المعادلات I = M − N إلى ( 3 ) بالشكل التالي:

${\displaystyle X_{i}=\alpha Q_{j}+\beta Q_{k}+\cdots \qquad i=1,2,\ldots ,I}$

4

المتجه X هو ما يُسمى متجه القوى الزائدة ، و I هي درجة عدم التحديد الاستاتيكي للنظام. عادةً ما نختار j ، k ، ...${\displaystyle \alpha }$، و${\displaystyle \beta }$بحيث${\displaystyle X_{i}}$هي رد فعل داعم أو قوة داخلية عند طرف العنصر. باختيار مناسب للقوى الزائدة، يمكن الآن حل نظام المعادلات ( 3 ) المضاف إليه ( 4 ) للحصول على:

${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}=\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}}$

5

بالتعويض في ( 2 ) نحصل على:

${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}{\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}{\Big )}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}}$

6

المعادلتان ( 5 ) و( 6 ) هما حل النظام الأساسي ، وهو النظام الأصلي الذي تم جعله محددًا استاتيكيًا عن طريق عمليات قطع تكشف القوى الزائدة.${\displaystyle \mathbf {X} }$تُختزل المعادلة ( 5 ) فعليًا مجموعة القوى المجهولة إلى${\displaystyle \mathbf {X} }$.

بعد ذلك، نحتاج إلى إعداد ${\displaystyle I}$ معادلات التوافق من أجل إيجاد${\displaystyle \mathbf {X} }$تعمل معادلات التوافق على استعادة الاستمرارية المطلوبة عند المقاطع المقطوعة عن طريق تحديد الإزاحات النسبية.${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$عند القيم الزائدة X إلى الصفر. أي باستخدام طريقة القوة الوهمية الموحدة :

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}=0}$

7أ

أو ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {F} _{XX}\mathbf {X} +\mathbf {r} _{X}^{o}=0}$

7ب

أين

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

يمكن حل المعادلة ( 7ب ) لإيجاد قيمة X ، ثم تُحسب قوى العناصر من المعادلة ( 5 )، بينما يمكن إيجاد إزاحات العقد بواسطة

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

أين

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$هي مصفوفة مرونة النظام .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

يمكن تضمين تحركات الدعامات التي تحدث عند العناصر الزائدة في الجانب الأيمن من المعادلة ( 7 )، بينما يجب تضمين تحركات الدعامات في أماكن أخرى في${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$و${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$أيضًا.

على الرغم من أن اختيار القوى الزائدة في المعادلة ( 4 ) يبدو عشوائيًا ومُشكِلًا للحساب الآلي، إلا أنه يُمكن التغلب على هذا الاعتراض بالانتقال مباشرةً من المعادلة ( 3 ) إلى المعادلة ( 5 ) باستخدام عملية حذف جاوس-جوردان المُعدّلة . هذه طريقة فعّالة تختار تلقائيًا مجموعة جيدة من القوى الزائدة لضمان الاستقرار العددي.

يتضح من العملية المذكورة أعلاه أن طريقة صلابة المصفوفة أسهل فهمًا وتطبيقًا في الحسابات الآلية. كما يسهل توسيع نطاقها لتشمل تطبيقات متقدمة مثل التحليل غير الخطي، والاستقرار، والاهتزازات، وغيرها. لهذه الأسباب، تُعد طريقة صلابة المصفوفة الخيار الأمثل في برامج تحليل الهياكل العامة. من جهة أخرى، بالنسبة للأنظمة الخطية ذات درجة منخفضة من عدم التحديد الاستاتيكي، تتميز طريقة المرونة بانخفاض متطلباتها الحسابية. إلا أن هذه الميزة لم تعد ذات أهمية كبيرة نظرًا لانتشار الحواسيب الشخصية وتطور قدراتها. أما العامل الأهم في تعلم هذه الطريقة اليوم فهو قيمتها التعليمية في ترسيخ مفاهيم التوازن والتوافق، بالإضافة إلى قيمتها التاريخية. في المقابل، تتسم طريقة الصلابة المباشرة بطابعها الآلي، مما قد يؤدي إلى استخدامها دون فهم كافٍ لسلوكيات الهياكل.

كانت الحجج المذكورة أعلاه صالحة حتى أواخر التسعينيات. مع ذلك، أظهرت التطورات الحديثة في الحوسبة العددية عودة طريقة القوة، لا سيما في حالة الأنظمة غير الخطية. وقد طُوّرت أطر عمل جديدة تسمح بصياغات "دقيقة" بغض النظر عن نوع أو طبيعة اللاخطية في النظام. تتمثل المزايا الرئيسية لطريقة المرونة في أن خطأ النتيجة مستقل عن تجزئة النموذج، وأنها بالفعل طريقة سريعة للغاية. على سبيل المثال، يتطلب الحل المرن اللدن لشعاع مستمر باستخدام طريقة القوة 4 عناصر شعاع فقط، بينما يتطلب برنامج العناصر المحدودة التجاري "القائم على الصلابة" 500 عنصر للحصول على نتائج بنفس الدقة. وخلاصة القول، يمكن القول إنه في حالة الحاجة إلى تقييمات متكررة لحقل القوة لحل المشكلة، كما هو الحال في تحسين الهياكل أو تحديد النظام ، فإن كفاءة طريقة المرونة لا جدال فيها.

• طريقة العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية
• التحليل الهيكلي
• طريقة الصلابة

• التشوهات المتسقة - طريقة القوة (مؤرشفة بتاريخ 10 أغسطس 2008 على موقع Wayback Machine)