طريقة العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية

تُعدّ طريقة العناصر المحدودة (FEM) تقنيةً فعّالةً طُوّرت في الأصل لحلّ المسائل المعقدة في ميكانيكا الإنشاءات عدديًا ، ولا تزال الخيار الأمثل لتحليل الأنظمة المعقدة. في هذه الطريقة، يُنمذج النظام الإنشائي بمجموعة من العناصر المحدودة المناسبة المتصلة ببعضها عند نقاط منفصلة تُسمى العُقد. قد تمتلك هذه العناصر خصائص فيزيائية مثل السُمك، ومعامل التمدد الحراري ، والكثافة ، ومعامل يونغ ، ومعامل القص ، ونسبة بواسون .

يمكن تتبع أصول طريقة العناصر المحدودة إلى تحليل المصفوفات للهياكل ^{[ 1 ] [ 2 ]} ، حيث طُرح مفهوم مصفوفة الإزاحة أو الصلابة. وقد طُوّرت مفاهيم العناصر المحدودة استنادًا إلى الأساليب الهندسية في خمسينيات القرن العشرين. واكتسبت طريقة العناصر المحدودة زخمها الحقيقي في ستينيات وسبعينيات القرن العشرين على يد جون أرجيريس وزملاؤه؛ في جامعة شتوتغارت ، على يد راي دبليو كلوف ؛ في جامعة كاليفورنيا، بيركلي ، على يد أولغيرد زينكيويتش وزملاؤه إرنست هينتون وبروس آيرونز ؛ ^{[ 3 ]} في جامعة سوانزي ، على يد فيليب جي سيارليت ؛ في جامعة باريس ؛ في جامعة كورنيل ، على يد ريتشارد غالاغر وزملاؤه. أصبحت الأعمال الأصلية مثل تلك التي قام بها أرجيريس ^{[ 4 ]} وكلوف ^{[ 5 ]} الأساس لأساليب تحليل العناصر المحدودة الهيكلية الحالية.

• عناصر أحادية البعد، مستقيمة أو منحنية، ذات خصائص فيزيائية مثل الصلابة المحورية، وصلابة الانحناء، وصلابة الالتواء. يُناسب هذا النوع من العناصر نمذجة الكابلات، والدعامات، والجمالونات، والعوارض، والمقويات، والشبكات، والإطارات. عادةً ما تحتوي العناصر المستقيمة على عقدتين، واحدة في كل طرف، بينما تتطلب العناصر المنحنية ثلاث عقد على الأقل، بما في ذلك عقد الأطراف. تُوضع هذه العناصر على المحور المركزي للعناصر الفعلية.
• العناصر ثنائية الأبعاد التي تقاوم القوى المستوية فقط بفعل تأثير الغشاء ( إجهاد مستوٍ، انفعال مستوٍ )، والصفائح التي تقاوم الأحمال العرضية بفعل القص العرضي والانحناء (الصفائح والأغلفة ) . قد تتخذ هذه العناصر أشكالًا متنوعة، مثل المثلثات المسطحة أو المنحنية والأشكال الرباعية . تُوضع العقد عادةً عند زوايا العنصر، ويمكن وضع عقد إضافية على طول حواف العنصر أو حتى داخله لزيادة الدقة. تُوضع العناصر عند منتصف سُمك الطبقة الفعلي.
• عناصر حلقية الشكل للمسائل المتناظرة محورياً مثل الأغشية والصفائح السميكة والأغلفة والمواد الصلبة. المقطع العرضي لهذه العناصر مشابه للأنواع الموصوفة سابقاً: أحادي البعد للصفائح والأغلفة الرقيقة، وثنائي البعد للمواد الصلبة والصفائح والأغلفة السميكة.
• عناصر ثلاثية الأبعاد لنمذجة الأجسام الصلبة ثلاثية الأبعاد مثل مكونات الآلات والسدود والجسور الترابية والكتل الترابية. تشمل الأشكال الشائعة للعناصر الأشكال رباعية الأوجه وسداسية الأوجه . توضع العقد عند رؤوس العناصر، وربما على أوجهها أو داخلها.

من وجهة نظر التطبيق، من المهم تصميم النظام بحيث:

• يتم استغلال شروط التناظر أو عدم التناظر من أجل تقليل حجم النموذج.
• يتم ضمان توافق الإزاحة، بما في ذلك أي انقطاع مطلوب، عند العقد، ويفضل أيضًا على طول حواف العناصر، خاصةً عندما تكون العناصر المتجاورة من أنواع أو مواد أو سماكات مختلفة. ويمكن عادةً فرض توافق إزاحات العديد من العقد من خلال علاقات التقييد.
• يجب أن تعكس سلوكيات العناصر الإجراءات السائدة للنظام الفعلي، محلياً وعالمياً.
• يجب أن تكون شبكة العناصر دقيقة بما يكفي لتحقيق دقة مقبولة. ولتقييم الدقة، تُحسّن الشبكة حتى لا تتغير النتائج المهمة بشكل ملحوظ. وللحصول على دقة أعلى، يجب أن تكون نسبة أبعاد العناصر قريبة قدر الإمكان من الواحد، وتُستخدم عناصر أصغر في المناطق ذات تدرج الإجهاد العالي .
• يتم فرض قيود الدعم المناسبة مع إيلاء اهتمام خاص للعقد الموجودة على محاور التناظر.

غالباً ما توفر حزم البرامج التجارية واسعة النطاق تسهيلات لإنشاء الشبكة، والعرض الرسومي للمدخلات والمخرجات، مما يسهل بشكل كبير التحقق من كل من بيانات الإدخال وتفسير النتائج.

على الرغم من إمكانية تقديم نظرية طريقة العناصر المحدودة من زوايا وتوجهات مختلفة، إلا أن تطويرها لتحليل الهياكل يتبع النهج التقليدي القائم على مبدأ الشغل الافتراضي أو مبدأ الحد الأدنى لطاقة الوضع الكلية . يُعدّ مبدأ الشغل الافتراضي أكثر عموميةً لأنه ينطبق على سلوك المواد الخطي وغير الخطي على حد سواء. ويُعبّر هذا المبدأ عن قانون حفظ الطاقة : ففي الأنظمة المحافظة، يكون الشغل المُضاف إلى النظام بواسطة مجموعة من القوى المُطبقة مساويًا للطاقة المُخزّنة فيه على شكل طاقة انفعال لمكونات الهيكل.

يعبّر مبدأ الإزاحات الافتراضية للنظام الهيكلي عن التطابق الرياضي بين العمل الافتراضي الخارجي والداخلي:

${\displaystyle {\mbox{العمل الافتراضي الخارجي}}=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$

1

بمعنى آخر، فإن مجموع العمل المنجز على النظام بواسطة مجموعة القوى الخارجية يساوي العمل المخزن كطاقة انفعال في العناصر التي تشكل النظام.

يمكن إيجاد الشغل الداخلي الافتراضي في الطرف الأيمن من المعادلة أعلاه بجمع الشغل الافتراضي المبذول على العناصر الفردية. ويتطلب ذلك استخدام دوال القوة والإزاحة التي تصف استجابة كل عنصر على حدة. وبالتالي، تُوصف إزاحة الهيكل باستجابة العناصر الفردية (المنفصلة) مجتمعة. كُتبت المعادلات فقط للنطاق الصغير للعناصر الفردية للهيكل، بدلاً من معادلة واحدة تصف استجابة النظام ككل (وسط متصل). سيؤدي هذا الأخير إلى مشكلة معقدة للغاية، ومن هنا تبرز أهمية طريقة العناصر المحدودة. كما هو موضح في الأقسام اللاحقة، تؤدي المعادلة ( 1 ) إلى معادلة التوازن الحاكمة التالية للنظام:

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {Kr} +\mathbf {R} ^{o}}$

2

أين

${\displaystyle \mathbf {R} }$= متجه القوى العقدية، الذي يمثل القوى الخارجية المطبقة على عقد النظام.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= مصفوفة صلابة النظام، وهي التأثير الجماعي لمصفوفات صلابة العناصر  الفردية :${\displaystyle \mathbf {ك} ^{e}}$.

${\displaystyle \mathbf {r} }$= متجه إزاحات العقد في النظام.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= متجه القوى العقدية المكافئة، الذي يمثل جميع التأثيرات الخارجية بخلاف القوى العقدية التي تم تضمينها بالفعل في متجه القوى العقدية السابق R. قد تشمل هذه التأثيرات الخارجية قوى سطحية موزعة أو مركزة، وقوى الجسم، والتأثيرات الحرارية، والإجهادات والانفعالات الأولية.

بمجرد مراعاة قيود الدعامات، يتم إيجاد الإزاحات العقدية عن طريق حل نظام المعادلات الخطية ( 2 )، بشكل رمزي:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})}$

3

وبناءً على ذلك، يمكن إيجاد الإجهادات والانفعالات في العناصر الفردية على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {\epsilon } =\mathbf {Bq} }$

4

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =\mathbf {E} (\mathbf {\epsilon} -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\sigma } ^{o}=\mathbf {E} (\mathbf {Bq} -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\سيجما} ^{س}}$

5

أين

${\displaystyle \mathbf {q} }$= متجه الإزاحات العقدية - مجموعة فرعية من متجه إزاحة النظام r الذي يتعلق بالعناصر قيد الدراسة.

${\displaystyle \mathbf {B} }$= مصفوفة الإجهاد والإزاحة التي تحول الإزاحات العقدية q إلى إجهادات عند أي نقطة في العنصر.

${\displaystyle \mathbf {E} }$= مصفوفة المرونة التي تحول الانفعالات الفعالة إلى إجهادات عند أي نقطة في العنصر.

${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$= متجه الإجهادات الأولية في العناصر.

${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$= متجه الإجهادات الأولية في العناصر.

بتطبيق معادلة الشغل الافتراضي ( 1 ) على النظام، يمكننا إنشاء مصفوفات العناصر.${\displaystyle \mathbf {B} }$،${\displaystyle \mathbf {ك} ^{e}}$بالإضافة إلى تقنية تجميع مصفوفات النظام${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$و${\displaystyle \mathbf {K} }$. مصفوفات أخرى مثل${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$،${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$،${\displaystyle \mathbf {R} }$و${\displaystyle \mathbf {E} }$ هي قيم معروفة ويمكن إعدادها مباشرة من خلال إدخال البيانات.

يترك${\displaystyle \mathbf {q} }$ليكن متجه الإزاحات العقدية لعنصر نموذجي. يمكن إيجاد الإزاحات عند أي نقطة أخرى من العنصر باستخدام دوال الاستيفاء كما يلي، رمزياً:

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {N} \mathbf {q} }$

6

أين

${\displaystyle \mathbf {u} }$= متجه الإزاحات عند أي نقطة {x,y,z} من العنصر.

${\displaystyle \mathbf {N} }$= مصفوفة من دوال الشكل التي تعمل كدوال استيفاء .

تؤدي المعادلة ( 6 ) إلى ظهور كميات أخرى ذات أهمية كبيرة:

• الإزاحات الافتراضية التي هي دالة للإزاحات العقدية الافتراضية:

  ${\displaystyle \delta \mathbf {u} =\mathbf {N} \delta \mathbf {q} }$

  6ب

• الإجهادات في العناصر الناتجة عن إزاحات عقد العنصر:

  ${\displaystyle \mathbf {\epsilon } =\mathbf {Du} =\mathbf {DNq} }$

  7

  أين${\displaystyle \mathbf {D} }$= مصفوفة المؤثرات التفاضلية التي تحول الإزاحات إلى إجهادات باستخدام نظرية المرونة الخطية . توضح المعادلة ( 7 ) أن المصفوفة B في ( 4 ) هي

  ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {DN} }$

  8

• الإجهادات الافتراضية المتوافقة مع الإزاحات العقدية الافتراضية للعنصر:

  ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\epsilon}}=\mathbf {B} \delta \mathbf {q} }$

  9

بالنسبة لعنصر حجم نموذجي${\displaystyle V^{e}}$، يتم الحصول على العمل الافتراضي الداخلي الناتج عن الإزاحات الافتراضية عن طريق استبدال ( 5 ) و( 9 ) في ( 1 ):

${\displaystyle {\mbox{العمل الافتراضي الداخلي}}=\int _{V^{e}}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV^{e}=\delta \ \mathbf {q} ^{T}\int _{V^{e}}\mathbf {B} ^{T}{\big \{}\mathbf {E} (\mathbf {Bq} -\mathbf {\epsilon } ^{o})+\mathbf {\sigma } ^{o}{\big \}}\,dV^{e}}$

10

مصفوفات العناصر

ولتسهيل الرجوع إليها بشكل أساسي، يمكن الآن تعريف المصفوفات التالية المتعلقة بالعناصر النموذجية:

مصفوفة صلابة العنصر

${\displaystyle \mathbf {K} ^{e}=\int _{V^{e}}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {E} \mathbf {B} \,dV^{e}}$

11

متجه تحميل العنصر المكافئ

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{oe}=\int _{V^{e}}-\mathbf {B} ^{T}{\big (}\mathbf {E} \mathbf {\epsilon } ^{o}-\mathbf {\sigma } ^{o}{\big )}\,dV^{e}}$

12

تُحسب هذه المصفوفات عادةً عدديًا باستخدام التكامل العددي الغاوسي . ويؤدي استخدامها إلى تبسيط المعادلة ( 10 ) إلى ما يلي:

${\displaystyle {\mbox{العمل الافتراضي الداخلي}}=\delta \ \mathbf {q} ^{T}{\big (}\mathbf {K} ^{e}\mathbf {q} +\mathbf {Q} ^{oe}{\big )}}$

13

العمل الافتراضي للعنصر من حيث إزاحات العقد في النظام

بما أن متجه الإزاحة العقدية q هو مجموعة فرعية من إزاحات النظام العقدية r (للتوافق مع العناصر المجاورة)، يمكننا استبدال q بـ r عن طريق توسيع حجم مصفوفات العناصر بأعمدة وصفوف جديدة من الأصفار:

${\displaystyle {\mbox{Internal virtual work}}=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\mathbf {K} ^{e}\mathbf {r} +\mathbf {Q} ^{oe}\right)}$

14

حيث نستخدم، من أجل التبسيط، نفس الرموز لمصفوفات العناصر، والتي أصبحت الآن ذات حجم موسع بالإضافة إلى صفوف وأعمدة معاد ترتيبها بشكل مناسب.

بجمع العمل الافتراضي الداخلي ( 14 ) لجميع العناصر، نحصل على الجانب الأيمن من ( 1 ):

${\displaystyle {\mbox{System internal virtual work}}=\sum _{e}\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\mathbf {k} ^{e}\mathbf {r} +\mathbf {Q} ^{oe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}}$

15

بالنظر الآن إلى الجانب الأيسر من المعادلة ( 1 )، يتكون العمل الافتراضي الخارجي للنظام مما يلي:

• الشغل المبذول بواسطة القوى العقدية R :

  ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} }$

  16

• العمل الذي تقوم به القوى الخارجية${\displaystyle \mathbf {T} ^{e}}$من جانب${\displaystyle \mathbf {S} ^{e}}$من حواف أو أسطح العناصر، وبواسطة قوى الجسم${\displaystyle \mathbf {f} ^{e}}$

  ${\displaystyle \sum _{e}\int _{S^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  بالتعويض في ( 6ب ) نحصل على:

  ${\displaystyle \delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  أو

  ${\displaystyle -\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

  17أ

  حيث قمنا بإدخال مصفوفات العناصر الإضافية المحددة أدناه:

  ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{te}=-\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}}$

  18أ

  ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{fe}=-\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  18ب

  مرة أخرى، يُعد التكامل العددي مناسبًا لتقييمها. وباستبدال q في ( 17a ) بـ r ، نحصل على ما يلي بعد إعادة ترتيب المتجهات وتوسيعها.${\displaystyle \mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}}$:

  ${\displaystyle -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

  17ب

بإضافة ( 16 ) و( 17ب ) ومساواة المجموع بـ( 15 ) نحصل على: ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}}$

منذ الإزاحات الافتراضية${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} }$إذا كانت القيم عشوائية، فإن المساواة السابقة تختزل إلى:

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

تُظهر المقارنة مع ( 2 ) ما يلي:

• يتم الحصول على مصفوفة صلابة النظام عن طريق جمع مصفوفات صلابة العناصر:

  ${\displaystyle \mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}}$

• يتم الحصول على متجه قوى العقد المكافئة عن طريق جمع متجهات أحمال العناصر:

  ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

من الناحية العملية، لا يتم توسيع مصفوفات العناصر أو إعادة ترتيبها. بدلاً من ذلك، مصفوفة صلابة النظام${\displaystyle \mathbf {K} }$يتم تجميعها عن طريق إضافة المعاملات الفردية${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$ل${\displaystyle {K}_{kl}}$حيث تشير الرموز السفلية ij و kl إلى إزاحات العقد للعنصر.${\displaystyle {q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}}$تتوافق على التوالي مع إزاحات العقد في النظام${\displaystyle {r}_{k},{r}_{l}}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$يتم تجميعها عن طريق إضافة المعاملات الفردية${\displaystyle {Q}_{i}^{e}}$ل${\displaystyle {R}_{k}^{o}}$أين${\displaystyle {q}_{i}^{e}}$مباريات${\displaystyle {r}_{k}}$هذه الإضافة المباشرة لـ${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$داخل${\displaystyle {K}_{kl}}$يُطلق على هذا الإجراء اسم طريقة الصلابة المباشرة .

• طريقة العناصر المحدودة
• أسلوب المرونة
• عنصر الفاصل المحدود
• قائمة بحزم برامج العناصر المحدودة
• طريقة صلابة المصفوفة
• التحليل النمطي باستخدام طريقة العناصر المحدودة
• التحليل الهيكلي
• العمل الافتراضي