درجات الحرية (الميكانيكا)

في الفيزياء ، يُعرف عدد درجات الحرية ( DOF ) لنظام ميكانيكي بأنه عدد المعاملات المستقلة اللازمة لتحديد تكوينه أو حالته بشكل كامل. ويُعد هذا العدد خاصية مهمة في تحليل أنظمة الأجسام في الهندسة الميكانيكية ، والهندسة الإنشائية ، وهندسة الطيران ، والروبوتات ، وغيرها من المجالات.

على سبيل المثال، يتمتع موقع القطار بدرجة واحدة من الحرية لأنه يمكن تحديده بالكامل من خلال قيمة واحدة تعبر عن مسافة القاطرة على طول المسار - والتي بدورها تتحكم في مسافة المركبات التابعة لها، أي العربات المتصلة بها.

كمثال ثانٍ، يمكن اعتبار السيارة ذات نظام التعليق القاسي جسمًا صلبًا يتحرك على سطح مستوٍ (مساحة ثنائية الأبعاد). يمتلك هذا الجسم ثلاث درجات حرية مستقلة، تتكون من مركبتين انتقاليتين (تحددان معًا موضعه) وزاوية دوران واحدة (تحدد اتجاهه). يُعد الانزلاق أو الانحراف مثالًا جيدًا على درجات الحرية الثلاث المستقلة للسيارة.

يتم تحديد موضع واتجاه الجسم الصلب في الفضاء من خلال ثلاثة مكونات انتقالية وثلاثة مكونات دورانية ، مما يعني أن الجسم لديه ست درجات من الحرية.

لضمان عدم تقييد درجات حرية الجهاز الميكانيكي بشكل مفرط أو غير كافٍ، يمكن إدارة تصميمه باستخدام طريقة التقييد الدقيق . ^{[ 1 ]}

يُحدد موضع جسم صلب ذي بُعد n بالتحويل الصلب [ T ] = [ A , d ]، حيث d هو إزاحة ذات بُعد n ، و A هي مصفوفة دوران من الرتبة n × n ، ولها n درجة حرية إزاحية و n ( n - 1)/2 درجة حرية دورانية. ويُستمد عدد درجات الحرية الدورانية من بُعد مجموعة الدوران SO(n) .        

يمكن اعتبار الجسم غير الصلب أو القابل للتشوه مجموعة من الجسيمات الدقيقة (عدد لا نهائي من درجات الحرية)، وغالبًا ما يتم تقريبه بنظام ذي درجات حرية محدودة. عندما يكون الهدف الرئيسي للدراسة هو الحركة التي تتضمن إزاحات كبيرة (مثل تحليل حركة الأقمار الصناعية)، يمكن تقريب الجسم القابل للتشوه كجسم صلب (أو حتى جسيم) لتبسيط التحليل.

يمكن اعتبار درجة حرية النظام بمثابة الحد الأدنى لعدد الإحداثيات اللازمة لتحديد تكوين معين. وبتطبيق هذا التعريف، نحصل على:

1. بالنسبة لجزيء واحد في مستوى، يحدد إحداثيان موقعه، لذا فإنه يمتلك درجتين من الحرية؛
2. يتطلب الجسيم الواحد في الفضاء ثلاثة إحداثيات، لذا فهو يمتلك ثلاث درجات من الحرية؛
3. جسيمان في الفضاء يمتلكان ست درجات حرية مجتمعة؛
4. إذا كان جسيمان في الفضاء مقيدين بالحفاظ على مسافة ثابتة بينهما، كما هو الحال في جزيء ثنائي الذرة، فإن الإحداثيات الستة يجب أن تحقق معادلة قيد واحدة تُحدد بصيغة المسافة. هذا يُقلل درجة حرية النظام إلى خمس درجات، لأنه يُمكن استخدام صيغة المسافة لحساب الإحداثي المتبقي بمجرد تحديد الإحداثيات الخمسة الأخرى.

يحتوي الجسم الصلب الواحد على ست درجات حرية على الأكثر (6 DOF) 3T3R تتكون من ثلاث انتقالات 3T وثلاث دورانات 3R .

على سبيل المثال، تتمتع حركة السفينة في البحر بست درجات حرية لجسم صلب، ويتم وصفها على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

الترجمة والتدوير:

1. المشي (أو الاندفاع ): التحرك للأمام والخلف؛
2. التحرك الجانبي (أو التمايل ): التحرك يمينًا ويسارًا؛
3. الرفع (أو الرفع والخفض ): التحرك لأعلى ولأسفل؛
4. دوران جانبي : يدور من جانب إلى آخر؛
5. دوران الكرة : يميل للأمام والخلف؛
6. دوران الانعراج : يدور يسارًا ويمينًا؛

على سبيل المثال، مسار الطائرة أثناء الطيران له ثلاث درجات من الحرية، وموقفها على طول المسار له ثلاث درجات من الحرية، ليصبح المجموع ست درجات من الحرية.

• للاطلاع على معلومات حول الدوران في الطيران وديناميكيات السفن، انظر الدوران (الطيران) والدوران (حركة السفن) ، على التوالي.
  • ومن المشتقات المهمة معدل الدوران (أو سرعة الدوران)، وهو السرعة الزاوية التي يمكن للطائرة أن تغير بها وضع دورانها، ويتم التعبير عنه عادة بالدرجات في الثانية.
• للاطلاع على معلومات حول الميل في ديناميكيات الطيران والسفن، انظر الميل (الطيران) والميل (حركة السفن) ، على التوالي.
• للاطلاع على الانحراف في الطيران وديناميكيات السفن، انظر الانحراف (الطيران) والانحراف (حركة السفن) على التوالي.
  • أحد المشتقات المهمة هو معدل الانعراج (أو سرعة الانعراج)، وهي السرعة الزاوية لدوران الانعراج، والتي يتم قياسها بواسطة مستشعر معدل الانعراج .
  • ومن المشتقات المهمة الأخرى عزم الانعراج، وهو الزخم الزاوي لدوران الانعراج، وهو أمر مهم للانعراج المعاكس في ديناميكيات الطائرات.

تحسب صيغة الحركة عدد المعاملات التي تحدد شكل مجموعة من الأجسام الصلبة المقيدة بمفاصل تربط هذه الأجسام. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

لنفترض نظامًا مكونًا من n جسمًا صلبًا يتحرك في الفضاء، وله 6n درجة حرية مقاسة بالنسبة إلى إطار مرجعي ثابت. لحساب درجات حرية هذا النظام، نُضمّن الجسم الثابت في عدد الأجسام، بحيث تكون الحركة مستقلة عن اختيار الجسم الذي يُشكّل الإطار المرجعي الثابت. عندئذٍ، تكون درجات حرية النظام غير المقيد المكون من N  = n + 1 هي   

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

لأن الجسم الثابت لا يملك أي درجات حرية بالنسبة لنفسه.

تُقلل المفاصل التي تربط الأجسام في هذا النظام من درجات الحرية وتُحدّ من الحركة. تحديدًا، يفرض كل من المفصلات المفصلية والمنزلقات خمسة قيود، وبالتالي يُقلل من خمس درجات حرية. من الملائم تعريف عدد القيود (c) التي يفرضها المفصل بدلالة درجة حرية المفصل (f) ، حيث c  =  6  - f . في حالة المفصلات المفصلية والمنزلقات، وهي مفاصل ذات درجة حرية واحدة، تكون f = 1، وبالتالي c = 6 - 1 = 5.         

والنتيجة هي أن قابلية حركة نظام مكون من n وصلة متحركة و j مفصل، لكل منها حرية fᵢ ، حيث i ₌ 1 ، ...، j، تُعطى بالصيغة التالية:    

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

تذكر أن N تشمل الرابط الثابت.

هناك حالتان خاصتان مهمتان: (أ) سلسلة مفتوحة بسيطة، و(ب) سلسلة مغلقة بسيطة. تتكون السلسلة المفتوحة الواحدة من n وصلة متحركة متصلة من طرف إلى طرف بواسطة n مفصل، مع اتصال أحد طرفيها بوصلة أرضية. وبالتالي، في هذه الحالة، N  = j + 1 وتكون درجة حركة السلسلة هي   

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

في سلسلة مغلقة بسيطة، تتصل n وصلة متحركة من طرف إلى طرف بواسطة n  +  1 مفصل، بحيث تتصل النهايتان بالوصلة الأرضية لتشكيل حلقة. في هذه الحالة، يكون N  = j ، وتكون حركة السلسلة هي 

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

من الأمثلة على السلاسل المفتوحة البسيطة ذراع الروبوت التسلسلي. تتكون هذه الأنظمة الروبوتية من سلسلة من الوصلات المتصلة بستة مفاصل دورانية أو انزلاقية ذات درجة حرية واحدة، وبالتالي يمتلك النظام ست درجات من الحرية.

من الأمثلة على السلاسل المغلقة البسيطة آلية الربط الرباعية الفراغية RSSR. مجموع درجات حرية هذه المفاصل ثمانية، وبالتالي فإن حركة الآلية هي درجتان، حيث تتمثل إحدى درجات الحرية في دوران الموصل حول الخط الواصل بين مفصلي S.

أنظمة الأجسام

يمتلك النظام الذي يتكون من عدة أجسام درجات حرية مُجمّعة، وهي مجموع درجات حرية كل جسم على حدة، مطروحًا منها القيود الداخلية التي قد تُفرض على حركتها النسبية. قد تمتلك الآلية أو الوصلة التي تحتوي على عدد من الأجسام الصلبة المتصلة درجات حرية أكثر من تلك التي يمتلكها جسم صلب واحد. يُستخدم مصطلح درجات الحرية هنا لوصف عدد المعاملات اللازمة لتحديد الوضع المكاني للوصلة. كما يُعرّف أيضًا في سياق فضاء التكوين، وفضاء المهام، وفضاء العمل الخاص بالروبوت.

يُعدّ السلسلة الحركية المفتوحة نوعًا محددًا من الوصلات ، حيث تتصل مجموعة من الوصلات الصلبة عند المفاصل ؛ وقد يوفر المفصل درجة حرية واحدة (مفصل انزلاقي)، أو درجتي حرية (أسطواني). وتُستخدم هذه السلاسل بكثرة في الروبوتات ، والميكانيكا الحيوية ، والأقمار الصناعية ، وغيرها من الهياكل الفضائية. يُعتبر أن للذراع البشرية سبع درجات حرية. يوفر الكتف الحركة في الانحناء، والدوران، والالتفاف، بينما يوفر المرفق الحركة في الانحناء، ويوفر الرسغ الحركة في الانحناء، والدوران، والالتفاف. ثلاث من هذه الحركات فقط كافية لتحريك اليد إلى أي نقطة في الفضاء، لكن الإنسان سيفتقر إلى القدرة على الإمساك بالأشياء من زوايا أو اتجاهات مختلفة. يُطلق على الروبوت (أو الجسم) الذي يمتلك آليات للتحكم في جميع درجات الحرية الفيزيائية الست اسم " هولونومي ". أما الجسم الذي يمتلك عددًا أقل من درجات الحرية القابلة للتحكم مقارنةً بإجمالي درجات الحرية، فيُطلق عليه اسم "غير هولونومي"، بينما يُطلق على الجسم الذي يمتلك عددًا أكبر من درجات الحرية القابلة للتحكم مقارنةً بإجمالي درجات الحرية (مثل الذراع البشرية) اسم "زائد". مع ذلك، ضع في اعتبارك أن هذا ليس زائداً في ذراع الإنسان لأن درجتي الحرية؛ المعصم والكتف، اللتان تمثلان نفس الحركة؛ الدوران، تكملان بعضهما البعض لأنهما لا تستطيعان القيام بدوران كامل 360 درجة. درجة الحرية تشبه الحركات المختلفة التي يمكن القيام بها.

في مجال الروبوتات المتنقلة، يستطيع الروبوت الشبيه بالسيارة الوصول إلى أي موضع واتجاه في الفضاء ثنائي الأبعاد، لذا فهو يحتاج إلى ثلاث درجات حرية لوصف وضعيته، ولكن في أي لحظة، لا يمكن تحريكه إلا بالحركة الأمامية وزاوية التوجيه. وبالتالي، يمتلك درجتي حرية تحكم وثلاث درجات حرية تمثيلية؛ أي أنه غير هولونومي. أما الطائرة ذات الجناح الثابت، التي تمتلك من ثلاث إلى أربع درجات حرية تحكم (الحركة الأمامية، والدوران، والميل، وإلى حد محدود، الانعراج) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فهي أيضاً غير هولونومية، إذ لا يمكنها التحرك مباشرةً لأعلى/لأسفل أو لليسار/لليمين.

قدم بينيستري، وكافاسيتش، وفيتا ملخصًا للصيغ والأساليب المستخدمة في حساب درجات الحرية في الأنظمة الميكانيكية. ^{[ 5 ]}

في الهندسة الكهربائية، تُستخدم درجات الحرية لوصف عدد الاتجاهات التي يمكن أن تُشكّل فيها هوائيات المصفوفة الطورية حزمًا أو نقاطًا صفرية . وهي تساوي عددًا أقل بواحد من عدد العناصر المكونة للمصفوفة، حيث يُستخدم عنصر واحد كمرجع لتطبيق التداخل البنّاء أو الهدّام باستخدام كل عنصر من عناصر الهوائي المتبقية. وتُستخدم هذه التقنية في تطبيقات الرادار ووصلات الاتصالات، حيث يُعد توجيه الحزمة أكثر شيوعًا في تطبيقات الرادار، بينما يُستخدم توجيه النقاط الصفرية بشكل أكبر لكبح التداخل في وصلات الاتصالات.

• قفل جيمبال – فقدان درجة واحدة من درجات الحرية في آلية ثلاثية الأبعاد ذات ثلاثة محاور جيمبال 
• علم الحركة – فرع من الفيزياء يصف حركة الأجسام دون الأخذ في الاعتبار القوى 
• الزوج الحركي – اتصال بين جسمين ماديين يقيد حركتهما النسبية 
• XR-2 – روبوت تعليمي