طريقة الصلابة المباشرة

في الهندسة الإنشائية ، تُعرف طريقة الصلابة المباشرة ، والمعروفة أيضًا باسم طريقة صلابة المصفوفة ، بأنها تقنية تحليل إنشائي مناسبة بشكل خاص للتحليل الآلي بالحاسوب للهياكل المعقدة بما في ذلك النوع غير المحدد إحصائيًا . إنها طريقة مصفوفة تستخدم علاقات صلابة الأعضاء لحساب قوى الأعضاء والإزاحات في الهياكل. طريقة الصلابة المباشرة هي التنفيذ الأكثر شيوعًا لطريقة العناصر المحدودة (FEM). عند تطبيق الطريقة، يجب نمذجة النظام كمجموعة من العناصر المثالية الأبسط المترابطة عند العقد. ثم يتم تجميع خصائص صلابة المواد لهذه العناصر، من خلال الجبر الخطي ، في معادلة مصفوفة واحدة تحكم سلوك الهيكل المثالي بالكامل. يمكن بعد ذلك تحديد الإزاحات والقوى غير المعروفة للهيكل عن طريق حل هذه المعادلة. تشكل طريقة الصلابة المباشرة الأساس لمعظم برامج العناصر المحدودة التجارية والمجانية.

نشأت طريقة الصلابة المباشرة في مجال الطيران والفضاء . نظر الباحثون في طرق مختلفة لتحليل هياكل الطائرات المعقدة. وشملت هذه نظرية المرونة ومبادئ الطاقة في ميكانيكا البناء وطريقة المرونة وطريقة صلابة المصفوفة . ومن خلال تحليل هذه الطرق ظهرت طريقة الصلابة المباشرة كطريقة فعالة ومناسبة بشكل مثالي للتنفيذ بواسطة الكمبيوتر.

بين عامي 1934 و1938، نشر AR Collar وWJ Duncan أول أوراق بحثية تحتوي على التمثيل والمصطلحات الخاصة بأنظمة المصفوفات المستخدمة اليوم. واستمرت أبحاث المرونة الهوائية خلال الحرب العالمية الثانية ، لكن قيود النشر من عام 1938 إلى عام 1947 جعلت من الصعب تتبع هذا العمل. حدث الاختراق الرئيسي الثاني في تحليل الهياكل المصفوفة خلال عامي 1954 و1955 عندما نظم الأستاذ جون إتش أرجيريس مفهوم تجميع المكونات الأساسية للهيكل في نظام من المعادلات. وأخيرًا، في 6 نوفمبر 1959، نشر MJ Turner، رئيس وحدة ديناميكيات الهياكل في شركة بوينج ، ورقة بحثية توضح طريقة الصلابة المباشرة كنموذج فعال للتنفيذ الحاسوبي (Felippa 2001).

العلاقة النموذجية لصلابة العضو لها الشكل العام التالي:

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=\mathbf {k} ^{m}\mathbf {q} ^{m}+\mathbf {Q} ^{om}}$

( 1 )

أين

م = رقم العضو م .

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= متجه القوى المميزة للعضو، وهي قوى داخلية غير معروفة.

${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$= مصفوفة صلابة العضو التي تميز مقاومة العضو للتشوهات.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= متجه النزوح أو التشوهات المميزة للعضو.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$= متجه القوى المميزة للعضو الناتجة عن التأثيرات الخارجية (مثل القوى المعروفة وتغيرات درجة الحرارة) المطبقة على العضو أثناء .${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}$

إذا كانت تشوهات الأعضاء وليست إزاحات مطلقة، فعندئذ تكون قوى أعضاء مستقلة، وفي هذه الحالة يمكن عكس (1) لإنتاج ما يسمى بمصفوفة مرونة الأعضاء ، والتي تستخدم في طريقة المرونة . ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

بالنسبة لنظام يحتوي على العديد من الأعضاء المترابطة عند نقاط تسمى العقد، يمكن دمج علاقات صلابة الأعضاء مثل المعادلة (1) من خلال الاستفادة من الملاحظات التالية:

• يمكن التعبير عن تشوهات الأعضاء من حيث إزاحات عقد النظام r لضمان التوافق بين الأعضاء. وهذا يعني أن r ستكون المجهولات الأساسية.${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$
• تساعد القوى الأعضاء في الحفاظ على العقد في حالة توازن تحت القوى العقدية R. وهذا يعني أن الجانب الأيمن من (1) سيتم دمجه في الجانب الأيمن من معادلات التوازن العقدية التالية للنظام بأكمله:${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {Kr} +\mathbf {R} ^{o}}$

( 2 )

أين

${\displaystyle \mathbf {R} }$= متجه القوى العقدية، يمثل القوى الخارجية المطبقة على عقد النظام.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= مصفوفة صلابة النظام، والتي يتم إنشاؤها عن طريق تجميع مصفوفات صلابة الأعضاء .${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= متجه الإزاحات العقدية للنظام الذي يمكنه تحديد جميع التكوينات المشوهة المحتملة للنظام الخاضع لقوى عقدية تعسفية R.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= متجه القوى العقدية المكافئة، والذي يمثل جميع التأثيرات الخارجية بخلاف القوى العقدية المضمنة بالفعل في متجه القوة العقدية السابق R. يتم إنشاء هذا المتجه عن طريق تجميع الأعضاء .${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

مصفوفة صلابة النظام K مربعة لأن المتجهين R و r لهما نفس الحجم. بالإضافة إلى ذلك، فهي متماثلة لأنها متماثلة. بمجرد مراعاة قيود الدعامات في (2)، يتم إيجاد الإزاحات العقدية عن طريق حل نظام المعادلات الخطية (2)، رمزيًا: ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

وبعد ذلك، يمكن إيجاد القوى المميزة للأعضاء من المعادلة (1) حيث يمكن إيجادها من r من خلال اعتبار التوافق. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$

من الشائع أن يكون المعادلة (1) في شكل حيث و هما، على التوالي، إزاحات وقوى طرفي العضو المتطابقة في الاتجاه مع r و R. في هذه الحالة، يمكن الحصول على و عن طريق الجمع المباشر لمصفوفات الأعضاء و . تُعرف الطريقة بعد ذلك باسم طريقة الصلابة المباشرة. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

تمت مقارنة ومناقشة مزايا وعيوب طريقة صلابة المصفوفة في مقالة طريقة المرونة .

الخطوة الأولى عند استخدام طريقة الصلابة المباشرة هي تحديد العناصر الفردية التي يتكون منها الهيكل.

بمجرد تحديد العناصر، يتم فصل البنية عند العقد، وهي النقاط التي تربط العناصر المختلفة معًا.

يتم بعد ذلك تحليل كل عنصر على حدة لتطوير معادلات صلابة العنصر. ترتبط القوى والإزاحات من خلال مصفوفة صلابة العنصر والتي تعتمد على هندسة وخصائص العنصر.

لا يمكن لعنصر الجمالون أن ينقل سوى القوى في حالة الضغط أو الشد. وهذا يعني أنه في بعدين، تتمتع كل عقدة بدرجتين من الحرية (DOF): الإزاحة الأفقية والرأسية. تحتوي المعادلة الناتجة على مصفوفة صلابة أربعة في أربعة.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

إن عنصر الإطار قادر على تحمل لحظات الانحناء بالإضافة إلى الضغط والشد. وينتج عن هذا ثلاث درجات من الحرية: الإزاحة الأفقية والإزاحة الرأسية والدوران داخل المستوى. ومصفوفة الصلابة في هذه الحالة هي ستة في ستة.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}& ك _ {34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k _ {56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _ {z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _ {z2}\\\end{bmatrix}}}$

يمكن أيضًا دمج عناصر أخرى مثل الصفائح والأصداف في طريقة الصلابة المباشرة ويجب تطوير معادلات مماثلة.

بمجرد تطوير علاقات صلابة العناصر الفردية، يجب تجميعها في الهيكل الأصلي. الخطوة الأولى في هذه العملية هي تحويل علاقات الصلابة للعناصر الفردية إلى نظام عالمي للهيكل بأكمله. في حالة عنصر الجمالون، يعتمد الشكل العالمي لطريقة الصلابة على زاوية العنصر بالنسبة لنظام الإحداثيات العالمي (عادةً ما يكون هذا النظام هو نظام الإحداثيات الديكارتي التقليدي ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$ (بالنسبة لعنصر الجمالون بزاوية β) على نحو مكافئ، ${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

حيث و هما جيب التمام الاتجاهي لعنصر الجمالون (أي أنهما مكونان لمتجه وحدة محاذي للعضو). يكشف هذا النموذج عن كيفية تعميم صلابة العنصر على الجمالونات الفضائية ثلاثية الأبعاد ببساطة عن طريق توسيع النمط الواضح في هذه الصيغة. ${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle c_{y}}$

بعد تطوير مصفوفة صلابة العناصر في نظام الإحداثيات العالمي، يجب دمجها في مصفوفة صلابة "رئيسية" أو "عالمية" واحدة. عند دمج هذه المصفوفات معًا، هناك قاعدتان يجب اتباعهما: توافق الإزاحات وتوازن القوة عند كل عقدة. يتم دعم هذه القواعد من خلال ربط إزاحات عقد العناصر بالإزاحات العقدية العالمية.

تحتوي كل من متجهات الإزاحة والقوة العالمية على مدخل واحد لكل درجة من درجات الحرية في الهيكل. يتم دمج مصفوفات صلابة العناصر عن طريق زيادة أو توسيع كل مصفوفة بما يتوافق مع متجهات الإزاحة والحمل العالمية.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ (للعنصر (1) من الهيكل أعلاه)

أخيرًا، يتم إنشاء مصفوفة الصلابة العالمية عن طريق إضافة مصفوفات العناصر الموسعة الفردية معًا.

بمجرد إنشاء مصفوفة الصلابة العالمية، ومتجه الإزاحة، ومتجه القوة، يمكن التعبير عن النظام كمعادلة مصفوفة واحدة.

بالنسبة لكل درجة حرية في البنية، فإن الإزاحة أو القوة تكون معروفة.

بعد إدخال القيمة المعروفة لكل درجة حرية، تصبح معادلة الصلابة الرئيسية مكتملة وجاهزة للتقييم. هناك عدة طرق مختلفة متاحة لتقييم معادلة المصفوفة بما في ذلك على سبيل المثال لا الحصر تحلل تشوليسكي وتقييم القوة الغاشمة لأنظمة المعادلات. إذا لم يتم تقييد الهيكل بشكل صحيح، فإن تطبيق القوة سيؤدي إلى تحركه بشكل صلب ويجب إضافة ظروف دعم إضافية.

الطريقة الموضحة في هذا القسم تهدف إلى تقديم نظرة عامة على طريقة الصلابة المباشرة. يجب الرجوع إلى مصادر إضافية لمزيد من التفاصيل حول العملية بالإضافة إلى الافتراضات حول خصائص المواد المتأصلة في العملية.

تم تطوير طريقة الصلابة المباشرة خصيصًا لتطبيقها بفعالية وسهولة في برامج الكمبيوتر لتقييم الهياكل المعقدة التي تحتوي على عدد كبير من العناصر. اليوم، يعتمد كل برنامج تقريبًا لحل العناصر المحدودة على طريقة الصلابة المباشرة. وبينما يستخدم كل برنامج نفس العملية، فقد تم تبسيط العديد منها لتقليل وقت الحساب وتقليل الذاكرة المطلوبة. ومن أجل تحقيق ذلك، تم تطوير اختصارات.

أحد أكبر المجالات التي يمكن فيها استخدام طريقة الصلابة المباشرة هو مجال التحليل البنيوي حيث تم دمج هذه الطريقة في برامج النمذجة. يسمح البرنامج للمستخدمين بنمذجة هيكل، وبعد أن يحدد المستخدم خصائص المواد للعناصر، يقوم البرنامج تلقائيًا بإنشاء علاقات صلابة العناصر والعالمية. عند تطبيق ظروف تحميل مختلفة، يقوم البرنامج بتقييم الهيكل وإنشاء الانحرافات للمستخدم.

• طريقة العناصر المحدودة
• طريقة العناصر المحدودة في الميكانيكا الإنشائية
• التحليل الهيكلي
• طريقة المرونة
• قائمة بحزم برامج العناصر المحدودة

• تطبيق طريقة الصلابة المباشرة على نظام زنبركي أحادي الأبعاد
• تحليل هيكل المصفوفة
• رسوم متحركة لمحاكاة تحليل الصلابة

• فيليبا، كارلوس أ. (2001)، "مخطط تاريخي لتحليل البنية المصفوفية: مسرحية في ثلاثة فصول" (PDF) ، الحاسبات والهياكل ، 79 (14): 1313-1324، doi :10.1016/S0045-7949(01)00025-6، ISSN  0045-7949، تم أرشفته من الأصل (PDF) في 2007-06-29 ، تم استرجاعه في 2005-10-05
• فيليبا، كارلوس أ. مقدمة لطريقة العناصر المحدودة. خريف 2001. جامعة كولورادو. 18 سبتمبر 2005
• روبنسون، جون. تحليل المصفوفة الإنشائية للمهندس. نيويورك: جون وايلي وأولاده، 1966
• روبنشتاين، موشيه ف. التحليل الحاسوبي للمصفوفات للهياكل. نيوجيرسي: برنتيس هول، 1966
• McGuire, W., Gallagher, RH, and Ziemian, RD Matrix Structural Analysis, الطبعة الثانية، نيويورك: John Wiley & Sons، 2000.