4-متعدد الوجوه

رسوم بيانية للمضلعات المنتظمة المحدبة الستة ذات البعد 4
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
خماسي الخلايا ، خماسي الأوجه ، 4- بسيط	أورثوبليكس ذو 16 خلية ، أورثوبليكس ذو 4 خلايا	مكعب رباعي الخلايا ذو 8 خلايا
{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
ثماني الخلايا 24	رباعي الخلايا 600	120-خلية دوديكابلكس

في الهندسة ، ^يُعرف متعدد السطوح رباعي الأبعاد ⁽^ويُسمى أحيانًا متعدد السطوح المخروطي ، ^{أو متعدد الخلايا} ، أو متعدد السطوح المجسم ⁾ بأنه متعدد سطوح رباعي الأبعاد . وهو شكل متصل ومغلق، يتكون من عناصر متعددة السطوح ذات أبعاد أقل: ^رؤوس ، وحواف ، ووجوه ( مضلعات ) ، وخلايا ( مجسمات ). يشترك كل وجه في خليتين فقط. اكتشف عالم الرياضيات السويسري لودفيج شلافلي ^{متعددات} السطوح رباعية الأبعاد قبل ^عام¹⁸⁵³^.

إن النظير ثنائي الأبعاد للمضلع الرباعي هو المضلع ، والنظير ثلاثي الأبعاد هو متعدد السطوح .

من الناحية الطوبولوجية، ترتبط متعددات الوجوه الرباعية ارتباطًا وثيقًا بخلايا النحل المنتظمة ، مثل خلية النحل المكعبة ، التي تُشكل فسيفساء الفضاء ثلاثي الأبعاد؛ وبالمثل، يرتبط المكعب ثلاثي الأبعاد بتبليط المربعات ثنائي الأبعاد اللانهائي . ويمكن قص متعددات الوجوه الرباعية المحدبة وفردها كشبكات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف

المجسم الرباعي هو شكل مغلق رباعي الأبعاد . يتكون من رؤوس (نقاط الزوايا)، وحواف ، ووجوه ، وخلايا . الخلية هي النظير ثلاثي الأبعاد للوجه، ولذلك فهي مجسم متعدد السطوح . يجب أن يربط كل وجه خليتين فقط، على غرار الطريقة التي تربط بها كل حافة من حواف المجسم وجهين فقط. ومثل أي مجسم متعدد السطوح ، لا يمكن تقسيم عناصر المجسم الرباعي إلى مجموعتين أو أكثر من المجسمات الرباعية، أي أنه ليس مجسمًا مركبًا.

الهندسة

تُعدّ المجسمات الرباعية المنتظمة المحدبة نظائر رباعية الأبعاد للأجسام الأفلاطونية . وأكثر المجسمات الرباعية شيوعًا هو التيسيراكت أو المكعب الفائق، وهو النظير رباعي الأبعاد للمكعب.

يمكن ترتيب المضلعات المحدبة المنتظمة رباعية الأبعاد حسب حجمها كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. كل مضلع أكبر في التسلسل يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى أكبر ^{[ 5 ]} ضمن نفس نصف القطر. يُعدّ المضلع الرباعي البسيط (خماسي الخلايا) أصغر حالة حدية، بينما يُعدّ المضلع ذو 120 خلية أكبر حالة حدية. ويتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب.

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4
مجموعة التناظر	أ ₄	ب ₄		F ₄	H ₄
اسم	5 خلايا هرم رباعي الأوجه ذو 5 نقاط	16 خلية ثماني الأوجه المفرط ذو 8 نقاط	8 خلايا مكعب فائق ذو 16 نقطة	24 خلية 24 نقطة	600 خلية مجسم ذو عشرين وجهًا فائقًا ذو 120 نقطة	120 خلية مجسم ذو اثني عشر وجهًا فائقًا مكون من 600 نقطة
رمز شلافلي	{3, 3, 3}	{3، 3، 4}	{4، 3، 3}	{3، 4، 3}	{3، 3، 5}	{5، 3، 3}
مرايا كوكسيتر
زوايا ثنائية السطوح معكوسة	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٤ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠	⁠ 𝝅 / ٥ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٣ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠ ⁠ 𝝅 / ٢ ⁠
الرسم البياني
الرؤوس	5 رباعي الأوجه	8 ثماني الأوجه	16 رباعي الأوجه	24 مكعبًا	120 شكل عشروني الوجوه	600 رباعي الأوجه
الحواف	10 مثلثات	24 مربع	32 مثلثي	96 مثلثي	720 خماسي الأضلاع	1200 مثلث
وجوه	10 مثلثات	32 مثلثًا	24 مربعًا	96 مثلثًا	1200 مثلث	720 شكل خماسي
الخلايا	5 رباعيات الأوجه	16 رباعي الأوجه	8 مكعبات	24 ثماني السطوح	600 رباعي الأوجه	120 مجسم ذو اثني عشر وجهًا
توري	1 رباعي الأوجه خماسي	2 رباعي الأوجه 8	2 مكعب رباعي	4 ثماني السطوح 6	20 رباعي الأوجه 30	12 مجسم ذو 10 أوجه
منقوش	120 في خلية 120	675 في 120 خلية	2 خلايا 16	3 خلايا ثمانية	25 خلية من نوع 24	10600 خلية
مضلعات رائعة		مربعان × 3	4 مستطيلات × 4	4 أشكال سداسية × 4	12 مضلعًا عشريًا × 6	100 شكل سداسي غير منتظم × 4
مضلعات بيتري	خماسي واحد × 2	1 مثمن × 3	2 مثمنات × 4	2 شكل ذو اثني عشر ضلعًا × 4	4 مضلعات 30 × 6	20 مضلعًا من 30 ضلعًا × 4
نصف قطر كبير	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
طول الحافة	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
نصف قطر قصير	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
منطقة	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
مقدار	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-المحتوى	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

التصور

بعض العروض التقديمية لبطارية مكونة من 24 خلية
تقسيم الأنسجة		شبكة

التوقعات
شليغل	ثنائي الأبعاد متعامد	ثلاثي الأبعاد متعامد

لا يمكن رؤية متعددات الوجوه الرباعية في الفضاء ثلاثي الأبعاد بسبب بُعدها الإضافي. وتُستخدم عدة تقنيات للمساعدة في تصورها.

الإسقاط المتعامد

يمكن استخدام الإسقاطات المتعامدة لإظهار اتجاهات التناظر المختلفة لمتعدد الوجوه رباعي الأبعاد. ويمكن رسمها في بعدين كرسوم بيانية للرؤوس والحواف، ويمكن عرضها في ثلاثة أبعاد مع وجوه صلبة كأغلفة إسقاطية مرئية .

إسقاط المنظور

كما يمكن إسقاط شكل ثلاثي الأبعاد على سطح مستوٍ، يمكن كذلك إسقاط شكل رباعي الأبعاد على فضاء ثلاثي الأبعاد أو حتى على سطح مستوٍ. ومن الإسقاطات الشائعة مخطط شليغل ، الذي يستخدم الإسقاط المجسم لنقاط على سطح كرة ثلاثية الأبعاد إلى ثلاثة أبعاد، متصلة بحواف مستقيمة ووجوه وخلايا مرسومة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تقسيم الأنسجة

كما يكشف مقطع عرضي في مجسم متعدد الأوجه عن سطح مقطوع، فإن مقطعًا عرضيًا في مجسم رباعي الأوجه يكشف عن "سطح فائق" مقطوع في ثلاثة أبعاد. ويمكن استخدام سلسلة من هذه المقاطع لبناء فهم للشكل العام. ويمكن مساواة البعد الإضافي بالزمن لإنتاج رسوم متحركة سلسة لهذه المقاطع العرضية.

الشباك

تتكون شبكة متعدد السطوح رباعي الأبعاد من خلايا متعددة السطوح متصلة بأوجهها وتشغل جميعها نفس الفضاء ثلاثي الأبعاد، تمامًا كما تتصل وجوه المضلع لشبكة متعدد السطوح بحوافها وتشغل جميعها نفس المستوى.

الخصائص الطوبولوجية

يتم تحديد طوبولوجيا أي متعدد الوجوه رباعي الأبعاد من خلال أرقام بيتي ومعاملات الالتواء الخاصة به . ^{[ 6 ]}

لا يمكن تعميم قيمة خاصية أويلر المستخدمة لوصف المجسمات متعددة الأوجه بشكل مفيد إلى الأبعاد الأعلى، وهي تساوي صفرًا لجميع المجسمات رباعية الأوجه، بغض النظر عن بنيتها الطوبولوجية الأساسية. وقد أدى هذا القصور في خاصية أويلر في التمييز بدقة بين البنى الطوبولوجية المختلفة في الأبعاد الأعلى إلى اكتشاف أعداد بيتي الأكثر تطورًا. ^{[ 6 ]}

وبالمثل، فإن مفهوم قابلية توجيه متعدد السطوح غير كافٍ لتوصيف التواءات سطح متعددات السطوح الحلقية رباعية الأبعاد، وقد أدى ذلك إلى استخدام معاملات الالتواء. ^{[ 6 ]}

تصنيف

معايير

مثل جميع الأشكال متعددة الأوجه، يمكن تصنيف الأشكال متعددة الأوجه ذات البعد 4 بناءً على خصائص مثل " التحدب " و " التناظر ".

يكون المضلع الرباعي محدبًا إذا لم تتقاطع حدوده (بما في ذلك خلاياه ووجوهه وحوافه) مع نفسه، وكان الخط الواصل بين أي نقطتين فيه يقع داخله أو داخله؛ وإلا فهو غير محدب . تُعرف المضلعات الرباعية المتقاطعة ذاتيًا أيضًا باسم المضلعات النجمية الرباعية ، تشبيهًا لها بالأشكال النجمية للمضلعات النجمية غير المحدبة ومجسمات كبلر-بوانسو .
يكون المجسم الرباعي منتظمًا إذا كان متعديًا على أعلامه . وهذا يعني أن خلاياه جميعها مجسمات منتظمة متطابقة ، وبالمثل فإن أشكال رؤوسه متطابقة ومن نوع آخر من المجسمات المنتظمة.
يُعتبر متعدد السطوح المحدب رباعي الأبعاد شبه منتظم إذا كان له زمرة تناظر تكون فيها جميع الرؤوس متكافئة ( متعدية الرؤوس ) وكانت خلاياه متعددة السطوح منتظمة . قد تكون الخلايا من نوعين أو أكثر، بشرط أن يكون لها نفس نوع الوجه. لم يُحدد ثورولد جوسيت سوى ثلاث حالات في عام 1900: متعدد السطوح الخماسي المُقوّم ، ومتعدد السطوح الستمائة المُقوّم ، ومتعدد السطوح الرباعي والعشرون المُقَطَّع .
يكون متعدد السطوح رباعي الأبعاد منتظمًا إذا كان له زمرة تناظر تكون جميع رؤوسه متكافئة، وخلاياه عبارة عن متعددات سطوح منتظمة . يجب أن تكون أوجه متعدد السطوح رباعي الأبعاد المنتظم منتظمة .
يكون المجسم الرباعي الأبعاد مقوسًا إذا كان متعديًا على الرؤوس، وكانت جميع أضلاعه متساوية الطول. وهذا يسمح بوجود خلايا غير منتظمة، مثل مجسمات جونسون المحدبة ذات الأوجه المنتظمة .
يقال إن المضلع المنتظم ذو الأبعاد 4 والذي يكون محدبًا أيضًا هو مضلع منتظم محدب ذو أبعاد 4 .
يكون متعدد السطوح ذو البعد 4 منشوريًا إذا كان حاصل الضرب الديكارتي لمتعددي سطوح أو أكثر من الأبعاد الأقل. ويكون متعدد السطوح المنشوري ذو البعد 4 منتظمًا إذا كانت عوامله منتظمة. المكعب الفائق منشوري (حاصل ضرب مربعين ، أو مكعب وقطعة مستقيمة )، ولكنه يُدرس بشكل منفصل لأنه يمتلك تناظرات أخرى غير تلك الموروثة من عوامله.
التبليط أو التبليط الشبكي للفضاء ثلاثي الأبعاد هو تقسيم الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد إلى شبكة متكررة من الخلايا متعددة السطوح. هذه التبليطات أو الفسيفساء لا نهائية ولا تُحيط بحجم رباعي الأبعاد، وهي أمثلة على متعددات السطوح اللانهائية رباعية الأبعاد. التبليط المنتظم للفضاء ثلاثي الأبعاد هو تبليط تكون رؤوسه متطابقة وترتبط بمجموعة فراغية، وتكون خلاياه متعددة السطوح منتظمة .

الصفوف الدراسية

فيما يلي قائمة بالفئات المختلفة للمضلعات الرباعية المصنفة وفقًا للمعايير المذكورة أعلاه:

متعدد الوجوه رباعي منتظم ( متعدي الرؤوس ):

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4 (64، بالإضافة إلى عائلتين لانهائيتين)
- 47 متعدد السطوح رباعي الأبعاد محدب منتظم غير موشوري ، بما في ذلك:
  - 6 متعدد السطوح منتظم محدب رباعي الأبعاد
- متعددات الوجوه المنتظمة المنشورية ذات البعد 4 :
  - {} × {p,q} : 18 موشورًا متعدد الأوجه (بما في ذلك الموشور المكعب، والمكعب الفائق المنتظم )
  - الموشورات المبنية على الموشورات المضادة (عائلة لا نهائية)
  - {p} × {q} : الموشورات المزدوجة (عائلة لانهائية)
متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة ذات البعد 4 (10 + مجهول)
يُعد الشكل النجمي الكبير ذو الـ 120 خلية هو الأكبر من بين 10 أشكال نجمية منتظمة ذات 4 أوجه، ويحتوي على 600 رأس.
- 10 (عادية) متعددة الأسطح من طراز Schläfli-Hess
- 57 موشورًا فائقًا مبنيًا على متعددات وجوه منتظمة غير محدبة
- عدد إجمالي غير معروف من متعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة ذات الأبعاد 4: حدد نورمان جونسون وآخرون 2191 شكلاً (محدبة ونجمية، باستثناء العائلات اللانهائية)، وكلها تم إنشاؤها بواسطة أشكال الرؤوس بواسطة برنامج Stella4D . ^{[ 7 ]}

متعددات الوجوه المحدبة الأخرى ذات البعد 4 :

متعددات الوجوه المنتظمة اللانهائية ذات البعد 4 في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (تبليطات منتظمة من خلايا محدبة منتظمة)

28 شكلاً محدباً منتظماً على هيئة خلايا نحل : أشكال فسيفسائية متعددة الأوجه محدبة منتظمة، بما في ذلك:
- 1. تبليط منتظم، قرص عسل مكعب : {4،3،4}

متعددات الوجوه المنتظمة اللانهائية ذات البعد 4 في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد (تبليطات منتظمة من خلايا محدبة منتظمة)

76 قرص عسل محدب منتظم من نوع Wythoffian في الفضاء الزائدي ، بما في ذلك:
- 4. التبليط المنتظم للفضاء الزائدي المضغوط ثلاثي الأبعاد : {3، 5، 3}، {4، 3، 5}، {5، 3، 4}، {5، 3، 5}

متعدد السطوح رباعي منتظم مزدوج ( متعدي على الخلية ):

41 متعدد الوجوه رباعي الأوجه موحد مزدوج محدب فريد
17 موشورًا متعدد الأوجه موحدًا مزدوج التحدب فريدًا من نوعه
عائلة لانهائية من الموشورات المزدوجة المحدبة المنتظمة (خلايا رباعية الأوجه غير منتظمة)
27 قرص عسل مزدوج محدب فريد من نوعه، بما في ذلك:
- قرص العسل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا
- قرص العسل رباعي الأوجه ثنائي الوتدي

آحرون:

بنية واير-فيلان: قرص عسل دوري يملأ الفراغ بخلايا غير منتظمة

المجسمات المنتظمة المجردة ذات البعد 4 :

لا تشمل هذه الفئات إلا المجسمات الرباعية التي تُظهر درجة عالية من التناظر. توجد العديد من المجسمات الرباعية الأخرى الممكنة، لكنها لم تُدرس بنفس القدر من الشمولية التي دُرست بها المجسمات المدرجة في هذه الفئات.

انظر أيضاً

متعدد الوجوه منتظم رباعي الأوجه
الكرة ثلاثية الأبعاد – نظير للكرة في الفضاء رباعي الأبعاد. وهي ليست متعددة السطوح رباعية الأبعاد، لأنها غير محاطة بخلايا متعددة السطوح.
الأسطوانة المزدوجة هي شكل في الفضاء رباعي الأبعاد مرتبط بالموشورات المزدوجة . وهي ليست متعددة السطوح رباعية الأبعاد لأن أحجامها المحيطة ليست متعددة السطوح.

مراجع

ملحوظات

↑ إن دبليو جونسون : الهندسات والتحويلات ، (2018)، رقم ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة ، 11.1 متعددات الوجوه وخلايا النحل ، ص 224
↑ فيالار، ت. (2009). الديناميكيات غير الخطية المعقدة والفوضوية: تطورات في الاقتصاد والتمويل . سبرينغر. ص 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
↑ كابيتشي، ف.؛ كونتوتشي، ب.؛ بوسكيما، م.؛ دامور، ب. (2010). تطبيقات الرياضيات في النماذج والشبكات العصبية الاصطناعية والفنون . سبرينغر. ص 598. doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 . ISBN 978-90-481-8580-1.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 141، §7-x. ملاحظات تاريخية.
↑ كوكسيتر 1973 ، الصفحات 292-293، الجدول الأول (ii): المضلعات المنتظمة الستة عشر { p,q,r } في أربعة أبعاد: [جدول لا يقدر بثمن يوفر جميع المقاييس العشرين لكل مضلع رباعي الأبعاد بوحدات طول الحافة. يجب تحويلها جبريًا لمقارنة المضلعات ذات نصف القطر الواحد.]
1 2 3 ريتشسون، د.؛ جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا ، برينستون، 2008.
↑ داء تعدد الألوان الموحد ، نورمان دبليو جونسون (كلية ويتون)، 1845 حالة في عام 2005

فهرس

HSM Coxeter :
- كوكسيتر، إتش إس إم (1973) [1948]. متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
- HSM Coxeter، MS Longuet-Higgins و JCP Miller : متعددات السطوح المنتظمة ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن، 1954
- كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  - (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  - (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
جيه إتش كونواي وإم جيه تي جاي : متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد ، وقائع ندوة التحدب في كوبنهاغن، الصفحتان 38 و39، 1965
إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد (بالألمانية)، ماركو مولر، أطروحة دكتوراه، 2004، Vierdimensionale Archimedische Polytope ، مؤرشفة في 22 مارس 2005 على موقع Wayback Machine

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "بوليكورون" . ماث وورلد .
فايستين، إريك دبليو. “صيغة متعددة السطوح” . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "خصائص أويلر للمتعددات المنتظمة" . عالم الرياضيات .
يونيفورم بوليكورا ، جوناثان باورز
عارض متعدد الألوان موحد - تطبيق جافا ثلاثي الأبعاد مع المصادر
ر. كليتزينغ، بوليكورا

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بولي كلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبلكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[1] إن دبليو جونسون : الهندسات والتحويلات ، (2018)، رقم ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة ، 11.1 متعددات الوجوه وخلايا النحل ، ص 224

[2] فيالار، ت. (2009). الديناميكيات غير الخطية المعقدة والفوضوية: تطورات في الاقتصاد والتمويل . سبرينغر. ص 674. ISBN 978-3-540-85977-2.

[3] كابيتشي، ف.؛ كونتوتشي، ب.؛ بوسكيما، م.؛ دامور، ب. (2010). تطبيقات الرياضيات في النماذج والشبكات العصبية الاصطناعية والفنون . سبرينغر. ص 598. doi : 10.1007/978-90-481-8581-8 . ISBN 978-90-481-8580-1.

[FOOTNOTECoxeter1973141§7-x._Historical_remarks-4] كوكسيتر 1973 ، ص 141، §7-x. ملاحظات تاريخية.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-5] كوكسيتر 1973 ، الصفحات 292-293، الجدول الأول (ii): المضلعات المنتظمة الستة عشر { p,q,r } في أربعة أبعاد: [جدول لا يقدر بثمن يوفر جميع المقاييس العشرين لكل مضلع رباعي الأبعاد بوحدات طول الحافة. يجب تحويلها جبريًا لمقارنة المضلعات ذات نصف القطر الواحد.]

[richeson-6] 1 2 3 ريتشسون، د.؛ جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وولادة علم الطوبولوجيا ، برينستون، 2008.

[7] داء تعدد الألوان الموحد ، نورمان دبليو جونسون (كلية ويتون)، 1845 حالة في عام 2005

يُعرف

(

أو متعدد الخلايا

عام

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗