كتلة فوكر الدورية

تُعدّ كتل فوكر الدورية مفهومًا في نظرية الضبط الموسيقي ، يُستخدم لربط الفواصل الموسيقية في الضبط الطبيعي بتلك الموجودة في الضبط المتساوي رياضيًا . سُمّيت هذه الكتل نسبةً إلى أدريان دانييل فوكر . وتُعتبر هذه الكتل المجموعة الفرعية الأساسية لما يُشير إليه إرف ويلسون بالبنى الثابتة، حيث "يحدث كل فاصل موسيقي دائمًا بنفس عدد الخطوات". ^{[ 1 ]}

تعتمد فكرة كتل فوكر الدورية على تمثيل النسب كنقاط على شبكة ، وإيجاد متجهات في الشبكة تمثل فترات صغيرة جدًا، تُعرف بالفواصل . إن اعتبار النغمات المفصولة بفاصلة متكافئة يُؤدي إلى "طي" الشبكة، مما يُقلل بُعدها بمقدار واحد؛ رياضيًا، يُقابل هذا إيجاد زمرة القسمة للشبكة الأصلية على الشبكة الفرعية الناتجة عن الفواصل. بالنسبة لشبكة ذات بُعد n ، فإن تحديد n فاصلة مستقلة خطيًا يُقلل بُعد الشبكة إلى الصفر، مما يعني أن عدد النغمات في الشبكة محدود؛ رياضيًا، زمرة القسمة هي زمرة أبيلية محدودة . تُشكل هذه المجموعة الصفرية الأبعاد من النغمات كتلة دورية. في كثير من الأحيان، يشكل مجموعة دورية ، وفي هذه الحالة فإن تحديد عدد الخطوات m لكتلة الدورية مع ضبط متساوي m يعطي تقريبات ضبط متساوية للنسب الصحيحة التي حددت الشبكة الأصلية.

تجدر الإشارة إلى أنه عادةً ما يتم تجاهل الأوكتافات عند بناء وحدات التكرار (كما هو الحال في نظرية السلم الموسيقي عمومًا)، لأنه يُفترض أنه لأي نغمة في نظام الضبط، تتوفر أيضًا جميع النغمات التي تختلف عنها بعدد معين من الأوكتافات. بعبارة أخرى، يمكن اعتبار جميع النغمات والفواصل الموسيقية كبقايا بتردد الأوكتاف. يُعرف هذا التبسيط باسم تكافؤ الأوكتاف .

لنفترض أن لدينا شبكة ذات أبعاد n (أي شبكة أعداد صحيحة) مضمنة في فضاء ذي أبعاد n، حيث تُخصص قيمة عددية لكل عقدة من عقدها، بحيث يتوافق التحرك داخل الشبكة في أحد الاتجاهات الأصلية مع تغيير في درجة الخط بمقدار فاصل زمني محدد. عادةً ما تتراوح قيمة n بين واحد وثلاثة. في الحالة ثنائية الأبعاد، تكون الشبكة مربعة . أما في الحالة ثلاثية الأبعاد، فتكون الشبكة مكعبة.

أمثلة على هذه الشبكات هي التالية (حيث x و y و z و w أعداد صحيحة ) :

• في الحالة أحادية البعد، تُعتبر الفترة الزمنية الموافقة لخطوة واحدة عمومًا خامسة مثالية ، بنسبة 3/2، مما يُحدد حد 3 عند الضبط. تتوافق نقاط الشبكة مع الأعداد الصحيحة، حيث تُسمى النقطة عند الموضع x بقيمة النغمة 3x ^/ 2y ^، حيث يُختار العدد y بحيث تقع القيمة الناتجة في النطاق من 1 إلى 2. وبالتالي، A (0)  =  1، وتحيط بها القيم.

... 128/81، 32/27، 16/9، 4/3، 1، 3/2، 9/8، 27/16، 81/64، ...

• في الحالة ثنائية الأبعاد، التي تتوافق مع ضبط الحد الخامس، تكون الفترات التي تحدد الشبكة عبارة عن خامسة تامة وثالثة كبيرة ، بنسبة 5/4. وهذا يعطي شبكة مربعة حيث يتم تسمية النقطة عند الموضع ( x , y ) بالقيمة 3x ^5y 2z ^{. مرة} أخرى ، يتم اختيار z ليكون العدد الصحيح الوحيد الذي يجعل القيمة الناتجة تقع في الفترة [1,2).
• الحالة ثلاثية الأبعاد مماثلة، ولكنها تضيف التوافقي السابع إلى مجموعة الفترات المحددة، مما يؤدي إلى شبكة مكعبة يتم فيها تسمية النقطة عند الموضع ( x ، y ، z ) بالقيمة 3x5y7z2w ^حيث تم اختيار ^w لجعل هذه القيمة تقع في الفترة [ ^{1،2 ]} .

بعد تحديد الشبكة وتسميتها، يتم اختيار n عقدة من الشبكة، باستثناء نقطة الأصل، بحيث تكون قيمها قريبة من 1 أو 2. تُسمى المتجهات من نقطة الأصل إلى كل عقدة من هذه العقد الخاصة متجهات التناغم . تُحدد هذه المتجهات شبكة فرعية من الشبكة الأصلية، والتي لها نطاق أساسي يكون في الحالة ثنائية الأبعاد متوازي أضلاع محاط بمتجهات التناغم ونسخها المزاحة، وفي الحالة ثلاثية الأبعاد يكون متوازي مستطيلات . تُشكل هذه النطاقات البلاطات في تبليط الشبكة الأصلية.

تبلغ مساحة أو حجم البلاطة القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة متجهات التناغم: أي في الحالة ثنائية الأبعاد إذا كانت متجهات التناغم هي u و v ، بحيث${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$و${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$إذن، مساحة البلاطة ثنائية الأبعاد هي

$\displaystyle \left|{\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}}\right|=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}.}$

تُسمى كل بلاطة كتلة دورية فوكر . مساحة كل كتلة هي دائمًا عدد طبيعي يساوي عدد العقد التي تقع داخل كل كتلة.

مثال 1: خذ الشبكة ثنائية الأبعاد للخماسيات التامة (نسبة 3/2) والثوالث الكبرى (نسبة 5/4). اختر الفاصلتين 128/125 ( الفاصلة الثنائية ، وهي المسافة التي تفصل ثلاث ثوالث كبرى عن أوكتاف، حوالي 41 سنتًا ) و81/80 ( الفاصلة التوافقية ، وهي الفرق بين أربع خماسيات تامة وثلث كبير، حوالي 21.5 سنتًا). والنتيجة هي مجموعة من اثنتي عشرة نغمة، توضح كيف يُقارب التوزيع المتساوي ذو الاثنتي عشرة نغمة نسب الحد الخامس .

المثال 2: ومع ذلك، إذا رفضنا الديسيز كمتجه موحد واخترنا بدلاً من ذلك الفرق بين خمسة أثلاث كبيرة (ناقص أوكتاف) وربع، 3125/3072 (حوالي 30 سنتًا)، فإن النتيجة هي كتلة من 19، مما يوضح كيف أن 19-TET يقرب نسب الحد 5.

المثال 3: في الشبكة ثلاثية الأبعاد للخماسيات الكاملة، والثوالث الكبيرة فقط، والسباعيات التوافقية فقط ، فإن تحديد الفاصلة التوافقية، والفاصلة السباعية (225/224، حوالي 8 سنتات) والنسبة 1029/1024 (الفرق بين ثلاث نغمات سباعية كاملة وخماسي كامل، حوالي 8.4 سنتات) ينتج عنه كتلة من 31، مما يوضح كيف أن 31-TET يقرب نسب الحد 7 .

تشكل كتل التكرار شبكة ثانوية مائلة، متراكبة على الشبكة الأولى. ويمكن تمثيل هذه الشبكة بدالة φ:

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

وهو في الواقع مزيج خطي :

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v} }$

حيث يمكن أن تكون النقطة ( x0 _, y0 ) أي نقطة ، ويفضل ألا تكون عقدة من الشبكة الأساسية، ويفضل أيضًا ألا تكون النقاط φ(0,1) و φ(1,0) و φ(1,1) أي عقد أيضًا _.

بعد ذلك، يمكن اختبار انتماء العقد الأساسية داخل كتل الدورية تحليليًا من خلال دالة φ العكسية :

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}}$

يترك

${\displaystyle \nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),}$

${\displaystyle \mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),}$

ثم ليكن النغم B ( x , y ) ينتمي إلى السلم الموسيقي M _B إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),}$أي

${\displaystyle M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.}$

في حالة البعد الواحد:

${\displaystyle \phi _{A}(x):=x_{0}+Lx}$

حيث L هو طول متجه التناغم،

${\displaystyle \phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}}$

${\displaystyle \mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.}$

أما بالنسبة للحالة ثلاثية الأبعاد،

${\displaystyle \phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle \Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}}$هو محدد مصفوفة متجهات التناغم.

${\displaystyle \nu _{C}(x,y,z):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )}$

${\displaystyle \mu _{C}(x,y,z):=\nu _{C}(\phi _{C}^{-1}(x,y,z))}$

${\displaystyle M_{C}=\{C(x,y,z):\mu _{C}(x,y,z)=\mu _{C}(0,0,0)\}.}$

• Fokker، AD (1969)، "ناقلات الانسجام وكتل الدورية في الشبكة التوافقية ثلاثية الأبعاد (3-5-7-) للنوتات الموسيقية" ، بروك. Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen ، B72 (3).
• بول إيرليخ، (1999)، مقدمة مبسطة لكتل ​​فوكر الدورية: الجزء 1 ؛ الجزء 2 ؛ إلخ.