نظرية شعبية (نظرية الألعاب)

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الألعاب ، تُعدّ النظريات الشعبية فئة من النظريات التي تصف وفرة من أنماط عوائد توازن ناش في الألعاب المتكررة ( فريدمان، 1971 ) . [ 1 ] تناولت النظرية الشعبية الأصلية عوائد جميع توازنات ناش في لعبة متكررة إلى ما لا نهاية. سُمّيت هذه النتيجة بالنظرية الشعبية لأنها كانت معروفة على نطاق واسع بين منظري الألعاب في خمسينيات القرن العشرين، على الرغم من عدم نشرها. أما نظرية فريدمان (1971) فتتناول عوائد بعض توازنات ناش المثالية في الألعاب الفرعية (SPE) في لعبة متكررة إلى ما لا نهاية، وبالتالي فهي تُعزز النظرية الشعبية الأصلية باستخدام مفهوم توازن أقوى: توازنات ناش المثالية في الألعاب الفرعية بدلاً من توازنات ناش. [ 2 ]

تشير نظرية الشعب إلى أنه إذا كان اللاعبون صبورين بما فيه الكفاية وذوي نظرة بعيدة المدى (أي إذا كان عامل الخصمدلتا→1{\displaystyle \delta \to 1}ثم يمكن أن يؤدي التفاعل المتكرر إلى أي متوسط ​​عائد تقريبًا في توازن SPE. [ 3 ] يُعرَّف مصطلح "أي تقريبًا" هنا تقنيًا بأنه "ممكن" و"عقلاني فرديًا".

الإعداد والتعريفات

نبدأ بلعبة أساسية ، تُعرف أيضًا بلعبة المراحل ، وهي لعبة متعددة اللاعبين (n) . في هذه اللعبة، يمتلك كل لاعب عددًا محدودًا من الخيارات، ويتخذون قراراتهم في آنٍ واحد ودون معرفة خيارات اللاعبين الآخرين. تؤدي الخيارات الجماعية للاعبين إلى توزيع العوائد، أي إلى عائد لكل لاعب. يعرف اللاعبون العلاقة بين الخيارات الجماعية وتوزيع العوائد، ويسعى كل لاعب إلى تحقيق أقصى عائد ممكن. إذا رمزنا للاختيار الجماعي بالرمز x، فإن العائد الذي يحصل عليه اللاعب i ، المعروف أيضًا باسم اللاعب iسيتم الإشارة إلى فائدة 's بواسطةuأنا(x){\displaystyle u_{i}(x)}.

ثم نتناول تكرار هذه اللعبة المرحلية، سواءً كان ذلك عددًا محدودًا أو غير محدود من المرات. في كل تكرار، يختار كل لاعب أحد خياراته في اللعبة المرحلية، وقد يأخذ في الاعتبار عند اتخاذ هذا الاختيار خيارات اللاعبين الآخرين في التكرارات السابقة. في هذه اللعبة المتكررة، تُعدّ استراتيجية أحد اللاعبين قاعدة حتمية تُحدد اختياره في كل تكرار من اللعبة المرحلية، بناءً على خيارات جميع اللاعبين الآخرين في التكرارات السابقة. يُطلق على اختيار الاستراتيجية لكل لاعب اسم " ملف تعريف الاستراتيجية"، وهو ما يُؤدي إلى "ملف تعريف العوائد" للعبة المتكررة. هناك عدة طرق مختلفة يُمكن من خلالها ترجمة ملف تعريف الاستراتيجية هذا إلى ملف تعريف العوائد، كما هو موضح أدناه.

يجب أن يستوفي أي ملف تعريف لعائدات توازن ناش للعبة متكررة خاصيتين:

  1. العقلانية الفردية : يجب أن يكون العائد النهائي متفوقًا بشكل طفيف على منحنى العائد الأدنى الأقصى للعبة المكونة لها. أي أن العائد التوازني لكل لاعب يجب أن يكون على الأقل مساويًا لعائده الأدنى الأقصى. وذلك لأن اللاعب الذي يحقق عائدًا أقل من عائده الأدنى الأقصى لديه دائمًا حافز للانحراف عن استراتيجيته ببساطة من خلال اتباع استراتيجية الحد الأدنى الأقصى في كل مرحلة تاريخية.
  2. الجدوى : يجب أن يكون العائد مزيجًا محدبًا من احتمالات العوائد في اللعبة. وذلك لأن العائد في اللعبة المتكررة هو مجرد متوسط ​​مرجح للعوائد في الألعاب الأساسية.

تُعد النظريات الشعبية ادعاءات معكوسة جزئيًا: فهي تقول إنه في ظل ظروف معينة (تختلف في كل نظرية شعبية)، يمكن تحقيق كل ملف تعريف للعائد يكون عقلانيًا وممكنًا بشكل فردي كملف تعريف لعائد توازن ناش للعبة المتكررة.

توجد العديد من النظريات الشعبية؛ بعضها يتعلق بالألعاب ذات التكرار المحدود، بينما يتعلق البعض الآخر بالألعاب ذات التكرار اللانهائي. [ 4 ]

ألعاب تتكرر بلا حدود دون خصم

في النموذج غير المخفض، يتسم اللاعبون بالصبر. فهم لا يفرقون بين المنافع في فترات زمنية مختلفة. وبالتالي، فإن منفعتهم في اللعبة المتكررة تُمثل بمجموع المنافع في الألعاب الأساسية.

عندما تكون اللعبة لا نهائية، فإن النموذج الشائع للمنفعة في اللعبة المتكررة بلا حدود هو النهاية الدنيا لمتوسط ​​المنفعة: إذا أسفرت اللعبة عن مسار من النتائجxت{\displaystyle x_{t}}، أينxت{\displaystyle x_{t}}يشير إلى الخيارات الجماعية للاعبين في التكرار t ( حيث t = 0، 1، 2، ...)، وتُعرَّف منفعة اللاعب i على النحو التالي:

يوأنا=الحد الأقصى غير محدودتي→∞1تي∑ت=0تيuأنا(xت)،{\displaystyle U_{i}=\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\sum _{t=0}^{T}u_{i}(x_{t}),}

أينuأنا{\displaystyle u_{i}}هي دالة المنفعة الأساسية للعبة للاعب i .

غالباً ما يطلق على اللعبة التي تتكرر بلا حدود دون خصم اسم "اللعبة الفائقة".

إن النظرية الشعبية في هذه الحالة بسيطة للغاية ولا تحتوي على أي شروط مسبقة: كل ملف تعريف عائد عقلاني وممكن بشكل فردي في اللعبة الأساسية هو ملف تعريف عائد توازن ناش في اللعبة المتكررة.

تعتمد هذه البرهنة على ما يُسمى باستراتيجية " الخطورة" [ 5 ] أو "التحفيز القاسي" [ 6 ] . يبدأ جميع اللاعبين بتنفيذ الإجراء المحدد ويستمرون في ذلك حتى ينحرف أحدهم. إذا انحرف اللاعب " i" ، يتحول جميع اللاعبين الآخرين إلى اختيار الإجراء الذي يحقق للاعب " i" الحد الأدنى من الربح الأقصى، وذلك بشكل دائم. لا يُساهم الربح الناتج عن الانحراف في المرحلة الواحدة بأي شيء في إجمالي منفعة اللاعب "i" . لا يمكن أن تتجاوز منفعة اللاعب المنحرف عائده الأدنى من الربح الأقصى. وبالتالي، يبقى جميع اللاعبين على المسار المقصود، وهذا في الواقع توازن ناش.

إتقان اللعبة الفرعية

إن توازن ناش المذكور أعلاه ليس مثالياً دائماً في الألعاب الفرعية . فإذا كانت العقوبة مكلفة بالنسبة للمعاقبين، فإن التهديد بالعقاب يصبح غير ذي مصداقية.

يتطلب التوازن الأمثل في الألعاب الفرعية استراتيجية أكثر تعقيدًا بعض الشيء. [ 5 ] [ 7 ] : 146-149. يجب ألا يستمر العقاب إلى الأبد، بل لفترة زمنية محددة تكفي لمحو المكاسب الناتجة عن الانحراف. بعد ذلك، يجب على اللاعبين الآخرين العودة إلى مسار التوازن.

يضمن معيار حدود الوسائل ألا يكون لأي عقوبة محدودة المدة أي تأثير على النتيجة. وبالتالي، فإن العقوبة محدودة المدة هي توازن مثالي في اللعبة الفرعية.

  • توازنات الائتلاف المثالية في الألعاب الفرعية : [ 8 ] يُسمى التوازن توازن ناش للائتلاف إذا لم يتمكن أي ائتلاف من تحقيق مكاسب من الانحراف. ويُسمى توازنًا مثاليًا في الألعاب الفرعية للائتلاف إذا لم يتمكن أي ائتلاف من تحقيق مكاسب من الانحراف بعد أي تاريخ. [ 9 ] باستخدام معيار حد الوسائل، يمكن تحقيق ملف تعريف العوائد في توازن ناش للائتلاف أو في توازن الائتلاف المثالي في الألعاب الفرعية، إذا وفقط إذا كان كفؤًا وفقًا لمبدأ باريتو وعقلانيًا فرديًا ضعيفًا للائتلاف. [ 10 ]

التجاوز

يزعم بعض المؤلفين أن معيار حد الوسائل غير واقعي، لأنه يفترض أن المنافع في أي فترة زمنية محدودة تُساهم بصفر في المنفعة الكلية. مع ذلك، إذا ساهمت المنافع في أي فترة زمنية محدودة بقيمة موجبة، وكانت هذه القيمة غير مُخصومة، فإنه يستحيل إسناد منفعة عددية محدودة إلى سلسلة نتائج لانهائية. يتمثل أحد الحلول الممكنة لهذه المشكلة في أنه بدلاً من تعريف منفعة عددية لكل سلسلة نتائج لانهائية، نُعرّف ببساطة علاقة التفضيل بين سلسلتين لانهائيتين. نقول إن الوكيلأنا{\displaystyle i}يفضل (بشكل صارم) تسلسل النتائجyت{\displaystyle y_{t}}على التسلسلxت{\displaystyle x_{t}}، إذا: [ 6 ] [ 7 ] : 139 [ 8 ]

الحد الأقصى غير محدودتي→∞∑ت=0تي(uأنا(yت)-uأنا(xت))>0{\displaystyle \liminf _{T\to \infty }\sum _{t=0}^{T}(u_{i}(y_{t})-u_{i}(x_{t}))>0}

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المتتالياتuأنا(x)=(0،0،0،0،...){\displaystyle u_{i}(x)=(0,0,0,0,\ldots )}وuأنا(y)=(-1،2،0،0،...){\displaystyle u_{i}(y)=(-1,2,0,0,\ldots )}وفقًا لمعيار حدود الوسائل، فإنها توفر نفس المنفعة للاعب i، ولكن وفقًا لمعيار التجاوز،y{\displaystyle y}أفضل منx{\displaystyle x}بالنسبة للاعب i . راجع معيار التجاوز لمزيد من المعلومات.

تُعدّ النظريات الشعبية المتعلقة بمعيار التجاوز أضعف قليلاً من تلك المتعلقة بمعيار حدّ الوسائل. في توازن ناش، لا يمكن تحقيق سوى النتائج العقلانية الفردية البحتة . وذلك لأنه إذا انحرف أحد الأفراد عن المسار، فإنه يحقق مكاسب على المدى القصير، ولا يمكن تبديد هذه المكاسب إلا إذا كانت العقوبة تُقلّل من منفعة المنحرف مقارنةً بمسار الاتفاق. فيما يلي النظريات الشعبية المعروفة المتعلقة بمعيار التجاوز:

  • التوازنات الثابتة الصارمة : [ 6 ] يُسمى توازن ناش صارمًا إذا كان كل لاعب يُفضل تمامًا سلسلة النتائج اللانهائية التي تم التوصل إليها في حالة التوازن، على أي سلسلة أخرى يمكنه الانحراف إليها. ويُسمى توازن ناش ثابتًا إذا كانت النتيجة هي نفسها في كل فترة زمنية. وتكون النتيجة قابلة للتحقيق في التوازن الثابت الصارم إذا وفقط إذا كانت هذه النتيجة، بالنسبة لكل لاعب، أفضل تمامًا من نتيجة الحد الأدنى الأقصى للاعب. [ 11 ]
  • توازنات اللعبة الفرعية المثالية الثابتة الصارمة : [ 6 ] يمكن تحقيق نتيجة في توازن اللعبة الفرعية المثالية الثابتة الصارمة، إذا كانت النتيجة لكل لاعب أفضل بشكل صارم من نتيجة الحد الأدنى الأقصى للاعب (لاحظ أن هذه ليست نتيجة "إذا وفقط إذا"). لتحقيق توازن اللعبة الفرعية المثالي بمعيار التجاوز، يلزم معاقبة ليس فقط اللاعب الذي ينحرف عن مسار الاتفاق، ولكن أيضًا كل لاعب لا يتعاون في معاقبة المنحرف. [ 7 ] : 149-150
    • يمكن تعميم مفهوم "التوازن الثابت" إلى "توازن دوري"، حيث يتكرر عدد محدود من النتائج بشكل دوري، ويكون العائد في فترة معينة هو المتوسط ​​الحسابي للعوائد في تلك النتائج. ويجب أن يكون هذا المتوسط ​​أعلى من عائد الحد الأدنى الأقصى. [ 6 ]
  • توازنات التحالفات الثابتة الصارمة : [ 8 ] وفقًا لمعيار التجاوز، إذا كان من الممكن تحقيق نتيجة ما في توازن ناش للتحالف، فإنها تكون فعالة وفقًا لمبدأ باريتو وعقلانية فردية ضعيفة للتحالف. من ناحية أخرى، إذا كانت فعالة وفقًا لمبدأ باريتو وعقلانية فردية قوية للتحالف [ 12 ]، فيمكن تحقيقها في توازن التحالفات الثابت الصارم.

ألعاب تتكرر بلا حدود مع خصومات

افترض أن عائد اللاعب في لعبة متكررة بلا حدود يُعطى بواسطة معيار الخصم المتوسط ​​مع عامل الخصم  0  < δ < 1:   

يوأنا=(1-دلتا)∑ت≥0دلتاتuأنا(xت)،{\displaystyle U_{i}=(1-\delta )\sum _{t\geq 0}\delta ^{t}u_{i}(x_{t}),}

يشير عامل الخصم إلى مدى صبر اللاعبين.(1-دلتا){\displaystyle (1-\delta )}يتم إدخالها بحيث يظل العائد محدودًا عندمادلتا→1{\displaystyle \delta \rightarrow 1}.

تتطلب النظرية الشعبية في هذه الحالة أن يكون ملف تعريف العائد في اللعبة المتكررة متفوقًا تمامًا على ملف تعريف العائد الأدنى الأقصى (أي أن كل لاعب يحصل على أكثر من عائد الحد الأدنى الأقصى).

لنفترض أن a هي استراتيجية اللعبة ذات ملف العائد u الذي يتفوق تمامًا على ملف العائد minmax. يمكن تعريف توازن ناش للعبة مع u كملف العائد الناتج كما يلي:

1. يبدأ جميع اللاعبين بلعب ورقة ويستمرون في لعب ورقة أخرى إذا لم يحدث أي انحراف.
2. إذا انحرف أي لاعب، لنقل اللاعب i ، فإنه يلعب ملف تعريف الاستراتيجية m الذي يقلل من قيمة i إلى أقصى حد إلى الأبد بعد ذلك.
3. تجاهل الانحرافات متعددة الأطراف.

إذا حصل اللاعب i على مبلغ ε يزيد عن عائده الأدنى والأقصى في كل مرحلة باتباعه الخطوة 1، فإن الخسارة المحتملة من العقوبة هي

11-دلتاε.{\displaystyle {\frac {1}{1-\delta }}\varepsilon .}

إذا كانت قيمة δ قريبة من 1، فإن هذا يفوق أي مكسب محدود في مرحلة واحدة، مما يجعل الاستراتيجية توازن ناش.

يُتيح نص بديل لهذه النظرية الشعبية [ 4 ] أن يكون منحنى العائد التوازني u أي منحنى عائد عقلاني قابل للتحقيق فرديًا؛ إذ يشترط فقط وجود منحنى عائد عقلاني قابل للتحقيق فرديًا يُهيمن تمامًا على منحنى العائد الأدنى الأقصى. عندئذٍ، تضمن النظرية الشعبية إمكانية الاقتراب من u في حالة التوازن بأي دقة مطلوبة (لكل ε يوجد توازن ناش حيث يكون منحنى العائد على بُعد ε من u ).

إتقان اللعبة الفرعية

يُعدّ الوصول إلى توازن مثالي في الألعاب الفرعية في الألعاب ذات الخصم أكثر صعوبةً منه في الألعاب غير ذات الخصم. فتكلفة العقاب لا تتلاشى (كما هو الحال في معيار حدّ الوسائل). وليس من الممكن دائمًا معاقبة من لا يُعاقبون إلى ما لا نهاية (كما هو الحال في معيار التجاوز)، لأن عامل الخصم يجعل العقوبات البعيدة في المستقبل غير ذات صلة بالحاضر. لذا، ثمة حاجة إلى نهج مختلف: ينبغي مكافأة من يُعاقبون.

يتطلب هذا افتراضًا إضافيًا، وهو أن مجموعة ملفات تعريف العوائد الممكنة كاملة الأبعاد وأن ملف تعريف الحد الأدنى والحد الأقصى يقع داخلها. وتتلخص الاستراتيجية فيما يلي.

1. يبدأ جميع اللاعبين بلعب ورقة ويستمرون في لعب ورقة أخرى إذا لم يحدث أي انحراف.
2. إذا انحرف أي لاعب، ولنقل اللاعب i ، عن استراتيجيته، يتم تطبيق استراتيجية m التي تحقق أقصى فائدة ممكنة لـ i لمدة N فترة. (اختر N و δ كبيرتين بما يكفي بحيث لا يكون لدى أي لاعب حافز للانحراف عن المرحلة 1).
3. إذا لم ينحرف أي لاعب عن المرحلة 2، يحصل جميع اللاعبين j ≠ i على مكافأة ε أعلى من الحد الأدنى-الأقصى لـ j بشكل دائم، بينما يستمر اللاعب i في تلقي الحد الأدنى-الأقصى الخاص به. (يلزم هنا افتراض الأبعاد الكاملة والداخلية).
4. إذا انحرف اللاعب j عن المرحلة 2، يعيد جميع اللاعبين المرحلة 2 مع اعتبار j هدفًا.
5. تجاهل الانحرافات متعددة الأطراف.

اللاعب j ≠ i ليس لديه الآن أي حافز للانحراف عن مرحلة العقاب 2. وهذا يثبت نظرية الشعب المثالية في اللعبة الفرعية.

ألعاب محدودة التكرار بدون خصم

افترض أن عائد اللاعب i في لعبة تتكرر T مرة يُعطى بواسطة المتوسط ​​الحسابي البسيط:

يوأنا=1تي∑ت=0تيuأنا(xت){\displaystyle U_{i}={\frac {1}{T}}\sum _{t=0}^{T}u_{i}(x_{t})}

تتضمن النظرية الشعبية لهذه الحالة الشرط الإضافي التالي: [ 4 ]

في اللعبة الأساسية، يوجد توازن ناش لكل لاعب iهـأنا{\displaystyle E_{i}}هذا أفضل بكثير، بالنسبة لي ، من مردوده الأدنى والأقصى.

هذا الشرط أقوى من شرط الألعاب اللانهائية المخفضة، والذي بدوره أقوى من شرط الألعاب اللانهائية غير المخفضة.

هذا الشرط ضروري بسبب الخطوة الأخيرة. في هذه الخطوة، النتيجة المستقرة الوحيدة هي توازن ناش في اللعبة الأساسية. لنفترض أن اللاعب i لا يجني شيئًا من توازن ناش (لأنه يمنحه فقط عائد الحد الأدنى الأقصى). عندئذٍ، لا توجد طريقة لمعاقبة هذا اللاعب.

من ناحية أخرى، إذا كان لكل لاعب توازن أساسي أفضل من الحد الأدنى الأقصى، فيمكن بناء توازن اللعبة المتكررة على مرحلتين:

  1. في المرحلة الأولى، يتبادل اللاعبون الاستراتيجيات بالترددات المطلوبة لتقريب ملف تعريف العائد المرغوب.
  2. في المرحلة الأخيرة، يلعب اللاعبون التوازن المفضل لكل لاعب بدوره.

في المرحلة الأخيرة، لا ينحرف أي لاعب عن مساره لأن الإجراءات تُشكّل توازناً أساسياً في اللعبة. إذا انحرف لاعب في المرحلة الأولى، يُمكن معاقبته من خلال تقليل عائده إلى أدنى حد ممكن في المرحلة الأخيرة. إذا كانت اللعبة طويلة بما يكفي، يصبح تأثير المرحلة الأخيرة ضئيلاً، وبالتالي يقترب العائد المتوازن من القيمة المطلوبة.

التطبيقات

يمكن تطبيق النظريات الشعبية على عدد كبير من المجالات. على سبيل المثال:

  • علم الإنسان : في مجتمع تكون فيه جميع السلوكيات معروفة جيدًا، وحيث يعلم أفراد المجتمع أنهم سيستمرون في التعامل مع بعضهم البعض، فإن أي نمط من السلوك ( التقاليد ، المحرمات ، إلخ) يمكن أن يستمر بفضل الأعراف الاجتماعية طالما أن أفراد المجتمع أفضل حالًا بالبقاء في المجتمع مما لو غادروه (شرط الحد الأدنى الأقصى).
  • السياسة الدولية: لا يمكن إنفاذ الاتفاقيات بين الدول بشكل فعال. ومع ذلك، يتم الالتزام بها لأن العلاقات بين الدول طويلة الأمد، ويمكن للدول استخدام "استراتيجيات الحد الأدنى والحد الأقصى" ضد بعضها البعض. غالبًا ما تعتمد هذه الإمكانية على عامل الخصم لدى الدول المعنية. إذا كانت دولة ما غير صبورة (لا تولي اهتمامًا كبيرًا للنتائج المستقبلية)، فقد يصعب معاقبتها (أو معاقبتها بطريقة ذات مصداقية). [ 5 ]

من جهة أخرى، أشار فرانكلين فيشر، الخبير الاقتصادي في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، إلى أن نظرية الشعب ليست نظرية وصفية. [ 13 ] فعند دراسة سلوك احتكار القلة ، على سبيل المثال ، لا تُخبر نظرية الشعب الاقتصادي بما ستفعله الشركات، بل تُبين أن دالتي التكلفة والطلب غير كافيتين لنظرية عامة لاحتكار القلة، وأنه يجب على الاقتصاديين تضمين السياق الذي تعمل فيه هذه الاحتكارات في نظريتهم. [ 13 ]

في عام 2007، أثبت بورغز وآخرون أنه على الرغم من النظرية الشعبية، فإن حساب توازنات ناش للألعاب المتكررة في الحالة العامة ليس أسهل من حساب توازنات ناش للألعاب المحدودة ذات الجولة الواحدة، وهي مشكلة تندرج ضمن فئة تعقيد PPAD . [ 14 ] والنتيجة العملية لذلك هي أنه لا توجد خوارزمية فعالة (زمنها متعدد الحدود) معروفة لحساب الاستراتيجيات المطلوبة بموجب النظريات الشعبية في الحالة العامة.

ملخص النظريات الشعبية

يقارن الجدول التالي بين مختلف النظريات الشعبية من عدة جوانب:

  • الأفق – سواء تكررت اللعبة على مراحل عدد محدود أو عدد لا نهائي من المرات.
  • المنفعة - كيف يتم تحديد منفعة اللاعب في اللعبة المتكررة من خلال منفعة اللاعب في تكرارات اللعبة على مستوى المرحلة.
  • الشروط المتعلقة بـ G (لعبة المرحلة) - ما إذا كانت هناك أي شروط فنية يجب أن تتحقق في لعبة اللقطة الواحدة حتى تعمل النظرية.
  • الشروط على x (متجه العائد المستهدف للعبة المتكررة) - ما إذا كانت النظرية تعمل لأي متجه عائد عقلاني وممكن بشكل فردي، أو فقط على مجموعة فرعية من هذه المتجهات.
  • نوع التوازن - إذا تم استيفاء جميع الشروط، فما نوع التوازن الذي تضمنه النظرية - توازن ناش أم توازن اللعبة الفرعية المثالي؟
  • نوع العقوبة - ما نوع استراتيجية العقوبة المستخدمة لردع اللاعبين عن الانحراف؟
نُشر بواسطةالأفقالمرافقالشروط على Gالشروط على xيضمننوع التوازننوع العقوبة
بينوا وكريشنا [ 15 ]محدود (تي{\displaystyle T})المتوسط ​​الحسابيلكل لاعب عائد توازن أفضل بكثير من الحد الأدنى الأقصى.لا أحدللجميعε>0{\displaystyle \varepsilon >0}هنالكتي0∈شمال{\displaystyle T_{0}\in \mathbb {N} }بحيث إذاتي≥تي0{\displaystyle T\geq T_{0}}لكلx{\displaystyle x}يوجد توازن مع العائدε{\displaystyle \varepsilon }-قريب منx{\displaystyle x}.ناش
أومان وشابلي [ 5 ]لا نهائيحدود الإمكانياتلا أحدلا أحدالعائد بالضبطx{\displaystyle x}.ناشكئيب
أومان وشابلي [ 5 ] وروبنشتاين [ 8 ] [ 16 ]لا نهائيحدود الإمكانياتلا أحدلا أحدالعائد بالضبطx{\displaystyle x}.لعبة فرعية مثاليةعقوبة محدودة المدة. [ 7 ] : 146-149
روبنشتاين [ 6 ]لا نهائيالتجاوزلا أحدأعلى بكثير من الحد الأدنى الأقصى.نتيجة واحدة أو تسلسل دوري.لعبة فرعية مثاليةمعاقبة من لا يعاقبون. [ 7 ] : 149-150
روبنشتاين [ 8 ]لا نهائيحدود الإمكانياتلا أحدكفاءة باريتو وعقلانية التحالف الضعيفة الفردية [ 10 ]لا أحدتحالف مثالي في اللعبة الفرعية
روبنشتاين [ 8 ]لا نهائيالتجاوزلا أحدكفاءة باريتو وعقلانية التحالف الفردي القوية [ 12 ]لا أحدائتلاف ناش
فودنبرغ وماسكين [ 17 ]لا نهائيالمجموع مع الخصمدلتا{\displaystyle \delta }يُسمح باستخدام الاستراتيجيات المختلطة المترابطة.أعلى بكثير من الحد الأدنى الأقصى.متىدلتا{\displaystyle \delta }إذا كانت القيمة قريبة بما فيه الكفاية من 1، فسيكون هناك توازن بعائد يساوي بالضبطx{\displaystyle x}.ناشكئيب
فودنبرغ وماسكين [ 17 ]لا نهائيالمجموع مع الخصمدلتا{\displaystyle \delta }لا يُسمح إلا بالاستراتيجيات النقية.أعلى بكثير من الحد الأدنى الأقصى.للجميعε>0{\displaystyle \varepsilon >0}هنالكدلتا0<1{\displaystyle \delta _{0}<1}بحيث إذادلتا≥دلتا0{\displaystyle \delta \geq \delta _{0}}لكلx{\displaystyle x}يوجد توازن مع عائدε{\displaystyle \varepsilon }-قريب منx{\displaystyle x}.ناشعقاب قاسٍ.
فريدمان (1971، 1977)لا نهائيالمجموع مع الخصمدلتا{\displaystyle \delta }يُسمح باستخدام الاستراتيجيات المختلطة المترابطة.أعلى بكثير من توازن ناش في G.متىدلتا{\displaystyle \delta }إذا كانت القيمة قريبة بما فيه الكفاية من 1، فسيكون هناك توازن مع عائد يساوي بالضبطx{\displaystyle x}.لعبة فرعية مثاليةعقاب قاسٍ باستخدام توازن ناش.
فودنبرغ وماسكين [ 17 ]لا نهائيالمجموع مع الخصمدلتا{\displaystyle \delta }لاعبانأعلى بكثير من الحد الأدنى الأقصى.للجميعx{\displaystyle x}هنالكدلتا0<1{\displaystyle \delta _{0}<1}بحيث إذادلتا≥دلتا0{\displaystyle \delta \geq \delta _{0}}يوجد توازن مع عائد محددx{\displaystyle x}.لعبة فرعية مثاليةعقوبة مؤقتة.
فودنبرغ وماسكين [ 17 ]لا نهائيالمجموع مع الخصمدلتا{\displaystyle \delta }الفضاء الممكن في الأشعة تحت الحمراء هو فضاء كامل الأبعاد. [ 18 ]أعلى بكثير من الحد الأدنى الأقصى.للجميعx{\displaystyle x}هنالكدلتا0<1{\displaystyle \delta _{0}<1}بحيث إذادلتا≥دلتا0{\displaystyle \delta \geq \delta _{0}}يوجد توازن مع عائد محددx{\displaystyle x}.لعبة فرعية مثاليةمكافأة المعاقبين. [ 7 ] : 150-153

النظريات الشعبية في سياقات أخرى

في إشارة إلى النظريات الشائعة للألعاب المتكررة، استخدم بعض المؤلفين مصطلح "النظرية الشائعة" للإشارة إلى نتائج تتعلق بمجموعة التوازنات الممكنة أو عوائد التوازن في سياقات أخرى، لا سيما إذا كانت النتائج متشابهة في عوائد التوازن التي تسمح بها. على سبيل المثال، أثبت تينينهولتز "نظرية شائعة" لتوازن البرنامج . وقد تم إثبات العديد من النظريات الشائعة الأخرى في سياقات تتضمن التزامًا. [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

ملحوظات

  1. في الرياضيات، يشير مصطلح " النظرية الشعبية " عمومًا إلى أي نظرية يُؤمن بها ويُناقشها الناس، ولكنها لم تُنشر. وقد أوصى روجر مايرسون باستخدام مصطلح "نظرية الجدوى العامة" الأكثر دقة لوصف نظريات نظرية الألعاب التي نُوقشت هنا. انظر: مايرسون، روجر ب. نظرية الألعاب، تحليل الصراع ، كامبريدج، مطبعة جامعة هارفارد (1991).
  2. ↑ ر. جيبونز (1992). مدخل إلى نظرية الألعاب . هارفيستر ويتشيف . ص  89. ISBN 0-7450-1160-8.
  3. ↑ جوناثان ليفين (2002). "المساومة والألعاب المتكررة" (PDF) .
  4. 1 2 3 مايكل ماشلر؛ إيلون سولان ؛ شموئيل زامير (2013). نظرية الألعاب . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 176-180 . ISBN  978-1-107-00548-8.
  5. 1 2 3 4 5 أومان، روبرت جيه؛ شابلي، لويد إس. (1994). "المنافسة طويلة الأمد - تحليل قائم على نظرية الألعاب" (ملف PDF) . مقالات في نظرية الألعاب . ص 1. doi : 10.1007/978-1-4612-2648-2_1 . ISBN  978-1-4612-7621-0.
  6. 1 2 3 4 5 6 روبنشتاين، أرييل (1979). "التوازن في الألعاب الفائقة مع معيار التجاوز". مجلة النظرية الاقتصادية . 21 : 1-9 . doi : 10.1016/0022-0531(79)90002-4 .
  7. 1 2 3 4 5 6 أوزبورن، مارتن جيه؛ روبنشتاين، أرييل (12 يوليو 1994). دورة في نظرية الألعاب . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 0-262-15041-7. LCCN 94008308 . OL 1084491M .  
  8. 1 2 3 4 5 6 روبنشتاين، أ. (1980). "التوازن المثالي القوي في الألعاب الفائقة". المجلة الدولية لنظرية الألعاب . 9 : 1-12 . doi : 10.1007/BF01784792 . S2CID 122098115 . 
  9. ↑ تستخدم الورقة مصطلح "التوازن القوي". هنا، لتجنب الغموض، يتم استخدام مصطلح "توازن الائتلاف" بدلاً من ذلك.
  10. 1 2 لكل ائتلاف غير فارغب{\displaystyle B}هناك استراتيجية لدى اللاعبين الآخرين (شمال∖ب{\displaystyle N\setminus B}) بحيث يكون ذلك لأي استراتيجية يلعبهاب{\displaystyle B}العائد عندماب{\displaystyle B}مسرحياتجب{\displaystyle c^{B}}ليس بالضرورة أفضل لجميع أعضاءب{\displaystyle B}].
  11. في ورقة بحثية نُشرت عام ١٩٧٩، يدّعي روبنشتاين أن نتيجة ما يُمكن تحقيقها في حالة التوازن الثابت الصارم إذا وفقط إذا كانت، بالنسبة لكل لاعب، إما أفضل تمامًا من نتيجة الحد الأدنى الأقصى التي يحققها اللاعب، أو أفضل بشكل طفيف من أي نتيجة أخرى يُمكن للاعب الانحراف إليها بشكل منفرد. ولا يتضح كيف يُمكن تحقيق الخيار الثاني في حالة التوازن الصارم. ولم يرد هذا الادعاء في كتاب نُشر عام ١٩٩٤.
  12. 1 2 لكل ائتلاف غير فارغب{\displaystyle B}هناك استراتيجية لدى اللاعبين الآخرين (شمال∖ب{\displaystyle N\setminus B}) بحيث يكون ذلك لأي استراتيجية يلعبهاب{\displaystyle B}، وتكون العوائد أسوأ بكثير بالنسبة لعضو واحد على الأقل منب{\displaystyle B}.
  13. 1 2 فيشر، فرانكلين م. الألعاب التي يلعبها الاقتصاديون: وجهة نظر غير تعاونية. مجلة راند للاقتصاد، المجلد 20، العدد 1 (ربيع 1989)، الصفحات 113-124، وهذه المناقشة بالتحديد موجودة في الصفحة 118
  14. ^ كريستيان بورجس. جينيفر تشايس؛ نيكول إيمورليكا ; آدم تومان كالاي ; وهاب ميروكني؛ كريستوس باباديميتريو (2007). “أسطورة النظرية الشعبية” (PDF) . ص 365 – 372. 
  15. ↑ بينوا، جان بيير؛ كريشنا، فيجاي (1985). "الألعاب المتكررة بشكل محدود". Econometrica . 53 (4): 905. doi : 10.2307/1912660 . JSTOR 1912660 . 
  16. ↑ روبنشتاين، آرييل (1994). "التوازن في الألعاب الفائقة". مقالات في نظرية الألعاب . ص 17-27 . doi : 10.1007/978-1-4612-2648-2_2 . ISBN  978-1-4612-7621-0.
  17. 1 2 3 4 فودنبرغ، درو؛ ماسكين، إريك (1986). "نظرية فولك في الألعاب المتكررة مع الخصم أو مع المعلومات غير الكاملة". إيكونومتريكا . 54 (3): 533. CiteSeerX 10.1.1.308.5775 . doi : 10.2307/1911307 . JSTOR 1911307 .  
  18. ↑ هناك مجموعة من النتائج الممكنة للعلاقات الدوليةy1،...،yن{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}واحد لكل لاعب، بحيث يكون لكل لاعبأنا،ج{\displaystyle i,j}،xأنا>yأنا،أنا{\displaystyle x_{i}>y_{i,i}}وyج،أنا>yأنا،أنا{\displaystyle y_{j,i}>y_{i,i}}.
  19. ↑ فورجيس، فرانسواز (2013). "نظرية شعبية لألعاب بايز مع الالتزام". الألعاب والسلوك الاقتصادي . 78 : 64-71 . doi : 10.1016/j.geb.2012.11.004 .
  20. ↑ أوسترهيلد، كاسبار؛ تروتلين، يوهانس؛ غروس، روجر؛ كونيتزر، فنسنت؛ فورستر، جاكوب (2023). "التوازن التعاوني القائم على التشابه". وقائع مؤتمر أنظمة معالجة المعلومات العصبية (NeurIPS) . arXiv : 2211.14468 .
  21. ^ كالاي، آدم تاومان ؛ قلعي, ايهود ; ليرر، ايهود؛ سامت، دوف (2010). “نظرية الالتزام الشعبية”. الألعاب والسلوك الاقتصادي . 69 (1): 127-137 . دوى : 10.1016/j.geb.2009.09.008 .
  22. ↑ بلوك، خوان إي؛ ليفين، ديفيد ك. (2017). "نظرية شعبية مع قواعد سلوك وتواصل" . نشرة النظرية الاقتصادية . 5 (1): 9-19 . doi : 10.1007/s40505-016-0107-y .

مراجع