نظرية فوستر للمفاعلة

تُعدّ نظرية فوستر للمفاعلة نظريةً مهمةً في مجالي تحليل وتصميم الشبكات الكهربائية . تنصّ النظرية على أن مفاعلة شبكة ثنائية الأطراف ( أحادية المنفذ ) سلبية عديمة الفقد تزداد دائمًا بشكلٍ رتيبٍ صارمٍ مع التردد. ومن السهل ملاحظة أن مفاعلات المحاثات والمكثفات تزداد أو تنقص بشكلٍ فردي مع التردد ، ومن هذا الأساس يُمكن بناء برهانٍ للشبكات السلبية عديمة الفقد بشكلٍ عام. قدّم رونالد مارتن فوستر برهان النظرية عام 1924، على الرغم من أن مبدأها كان قد نُشر سابقًا من قِبل زملائه في شركة الهاتف والتلغراف الأمريكية .

يمكن تعميم النظرية لتشمل الممانعات ومفهوم المعاوقة الشامل . ومن نتائج نظرية فوستر أن أصفار وأقطاب المفاعلة يجب أن تتناوب مع التردد. استخدم فوستر هذه الخاصية لتطوير شكلين أساسيين لتحقيق هذه الشبكات. شكل عمل فوستر نقطة انطلاق مهمة لتطوير توليف الشبكات .

من الممكن إنشاء شبكات غير فوستر باستخدام مكونات فعّالة مثل المضخمات. يمكن لهذه المكونات توليد معاوقة مكافئة لمحاثة أو سعة سالبة. يُعدّ محوّل المعاوقة السالبة مثالاً على هذه الدوائر.

المفاعلة هي الجزء التخيلي من المعاوقة الكهربائية المركبة . تمتلك كل من المكثفات والمحاثات مفاعلة ( لكن بإشارة معاكسة) وتعتمد على التردد. إن اشتراط أن تكون الشبكة سلبية وخالية من الفقد يعني عدم وجود مقاومات (خالية من الفقد)، أو مكبرات صوت، أو مصادر طاقة (سلبية) في الشبكة. وبالتالي، يجب أن تتكون الشبكة بالكامل من محاثات ومكثفات، وستكون المعاوقة عددًا تخيليًا بحتًا بجزء حقيقي يساوي صفرًا. تنطبق نظرية فوستر بالتساوي على مُسامحة الشبكة، أي أن المُفاعلة (الجزء التخيلي من المُسامحة) لشبكة سلبية وخالية من الفقد ذات منفذ واحد تزداد بشكل رتيب مع التردد. قد تبدو هذه النتيجة غير بديهية لأن المُسامحة هي مقلوب المعاوقة، ولكن من السهل إثباتها. إذا كانت المعاوقة

${\displaystyle Z=iX\,}$

أين${\displaystyle \scriptstyle X}$هي المفاعلة و${\displaystyle \scriptstyle i}$إذا كانت الوحدة التخيلية ، فإن السماحية تُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB}$

أين${\displaystyle \scriptstyle B}$هو قابلية التأثر.

إذا كانت قيمة X تتزايد بشكل رتيب مع التردد، فإن 1/ X يجب أن تتناقص بشكل رتيب. وبالتالي ، يجب أن يكون -1/ X متزايدًا بشكل رتيب، ومن ثم يثبت أن B متزايدة أيضًا.

في كثير من الأحيان، ينطبق مبدأ أو إجراء ما في نظرية الشبكات على كلٍّ من المعاوقة والموصلية على حدٍّ سواء، مما يعكس مبدأ الازدواجية في الشبكات الكهربائية. ومن الملائم في هذه الحالة استخدام مفهوم " الممانعة الجزئية "، الذي قد يعني إما المعاوقة أو الموصلية. تُجرى العمليات الحسابية دون تحديد وحدات إلا عند الرغبة في حساب مثال محدد. وبذلك، يمكن صياغة نظرية فوستر بصورة أكثر عمومية كما يلي:

نظرية فوستر (شكل الممانعة)

تزداد المعاوقة التخيلية لمنفذ واحد سلبي وغير فاقد بشكل رتيب تمامًا مع التردد.

تُعدّ نظرية فوستر عامة إلى حد كبير. وهي تنطبق تحديدًا على الشبكات ذات العناصر الموزعة ، على الرغم من أن فوستر صاغها بدلالة المحاثات والمكثفات المنفصلة. ولذلك، فهي قابلة للتطبيق عند ترددات الميكروويف تمامًا كما هي عند الترددات المنخفضة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

توضح الأمثلة التالية هذه النظرية في عدد من الدوائر البسيطة.

من نتائج نظرية فوستر أن أصفار وأقطاب أي دالة معاوقة سلبية يجب أن تتناوب مع ازدياد التردد. فبعد المرور بقطب، تصبح الدالة سالبة، ويجب أن تمر بالصفر قبل الوصول إلى القطب التالي لكي تكون متزايدة بشكل رتيب. ^{[ 1 ]}

تُحدد أقطاب وأصفار دالة المعاوقة خصائص التردد لشبكة فوستر بشكل كامل. تُعتبر شبكتا فوستر لهما أقطاب وأصفار متطابقة دوائر متكافئة ، بمعنى أن دوال المعاوقة الخاصة بهما ستكون متطابقة. قد يكون هناك اختلاف في عامل القياس بينهما (جميع عناصر المعاوقة مضروبة في نفس عامل القياس)، لكن شكل دالتي المعاوقة سيكون متطابقًا. ^{[ 5 ]}

من النتائج الأخرى لنظرية فوستر أن طور المعاوقة يجب أن يزداد بشكل مطرد مع التردد. وبالتالي، يجب أن يتحرك رسم دالة معاوقة فوستر على مخطط سميث دائمًا في اتجاه عقارب الساعة مع ازدياد التردد. ^{[ 2 ]}

يمكن تمثيل المعاوقة السلبية أحادية المنفذ المكونة من عناصر منفصلة (أي ليست عناصر موزعة ) كدالة كسرية لـ s ،

${\displaystyle Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}}$

أين،

${\displaystyle \scriptstyle Z(s)}$المعاوقة

${\displaystyle \scriptstyle P(s),\ Q(s)}$هي كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية موجبة

${\displaystyle \scriptstyle s}$هو متغير تحويل لابلاس ، والذي يمكن استبداله بـ${\displaystyle \scriptstyle i\omega }$عند التعامل مع إشارات التيار المتردد في الحالة المستقرة .

وينتج هذا عن حقيقة أن معاوقة عناصر L و C هي نفسها دوال كسرية بسيطة وأي تركيبة جبرية من الدوال الكسرية ينتج عنها دالة كسرية أخرى.

يُشار إلى هذا أحيانًا باسم معاوقة نقطة القيادة، لأنها المعاوقة عند النقطة في الشبكة التي تتصل بها الدائرة الخارجية وتُشغّلها بإشارة. في بحثه، يصف فوستر كيفية تحقيق هذه الدالة الكسرية عديمة الفقد (إن أمكن تحقيقها) بطريقتين. تتكون الصيغة الأولى لفوستر من عدد من دوائر LC موصولة على التوالي والتوازي. أما الصيغة الثانية لمعاوقة نقطة القيادة، فتتكون أيضًا من عدد من دوائر LC موصولة على التوالي والتوازي. إن تحقيق معاوقة نقطة القيادة ليس فريدًا بأي حال من الأحوال. يتميز تحقيق فوستر بأن الأقطاب و/أو الأصفار مرتبطة مباشرة بدائرة رنين معينة، ولكن هناك العديد من التحقيقات الأخرى. ولعل أشهرها تحقيق سلم ويلهلم كاور من تصميم المرشحات. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

يجب أن تكون شبكة فوستر سلبية، لذا قد لا تخضع الشبكة النشطة التي تحتوي على مصدر طاقة لنظرية فوستر. تُسمى هذه الشبكات بشبكات غير فوستر. ^{[ 9 ]} على وجه الخصوص، يمكن أن تحتوي الدوائر التي تحتوي على مُضخِّم بتغذية راجعة موجبة على مفاعلة تتناقص مع التردد. على سبيل المثال، من الممكن إنشاء سعة وحث سالبتين باستخدام دوائر محول المعاوقة السالبة . ستكون لهذه الدوائر دالة معاوقة بطور ±π/2 مثل المفاعلة الموجبة، ولكن بسعة مفاعلة ذات ميل سالب مع التردد. ^{[ 6 ]}

تكتسب هذه الشبكات أهميةً بالغةً لقدرتها على إنجاز مهام لا تستطيع شبكة فوستر القيام بها. فعلى سبيل المثال، تقتصر شبكات مطابقة المعاوقة السلبية التقليدية لشبكة فوستر على مطابقة معاوقة الهوائي مع خط النقل عند ترددات منفصلة، ​​مما يحد من عرض نطاق الهوائي. أما الشبكة غير القائمة على فوستر، فتستطيع مطابقة الهوائي عبر نطاق ترددي متصل. ^{[ 9 ]} وهذا من شأنه أن يسمح بتصميم هوائيات صغيرة الحجم ذات نطاق ترددي واسع، متجاوزةً بذلك حد تشو-هارينغتون . وتُعدّ الشبكات غير القائمة على فوستر مجالًا بحثيًا نشطًا.

طُوِّرت هذه النظرية في شركة الاتصالات الأمريكية (ATT) كجزء من أبحاث مستمرة لتحسين المرشحات المستخدمة في تطبيقات تعدد الإرسال الهاتفي . كان لهذا العمل أهمية تجارية كبيرة؛ إذ أمكن توفير مبالغ طائلة من المال بزيادة عدد المكالمات الهاتفية التي يمكن إجراؤها على خط واحد. ^{[ 10 ]} نُشرت النظرية لأول مرة بواسطة كامبل عام 1922، ولكن دون برهان. ^{[ 11 ]} استُخدمت النظرية على نطاق واسع فورًا في تصميم المرشحات، وظهرت بشكل بارز، إلى جانب برهان، في ورقة زوبل الرائدة عام 1923 التي لخصت أحدث ما توصل إليه تصميم المرشحات في ذلك الوقت. ^{[ 12 ]} نشر فوستر ورقته البحثية في العام التالي، والتي تضمنت صيغ التنفيذ الأساسية. ^{[ 13 ]}

أدرك كاوير في ألمانيا أهمية عمل فوستر واستخدمه كأساس لتوليف الشبكات . ومن بين ابتكارات كاوير العديدة توسيع نطاق عمل فوستر ليشمل جميع الشبكات ثنائية العناصر بعد اكتشاف تماثل بينها. انصب اهتمام كاوير على إيجاد الشرط اللازم والكافي لتحقيق شبكة منطقية أحادية المنفذ انطلاقًا من دالتها متعددة الحدود، وهو شرط يُعرف الآن بأنه دالة حقيقية موجبة ، بالإضافة إلى المسألة العكسية المتمثلة في تحديد الشبكات المتكافئة، أي التي لها نفس الدالة متعددة الحدود. وقد مثّلت هاتان المسألتان أهمية بالغة في نظرية الشبكات وتصميم المرشحات. وتُعد شبكات فوستر مجرد مجموعة فرعية من الشبكات القابلة للتحقيق، ^{[ 14 ]}

• فوستر، آر إم، " نظرية المفاعلة "، مجلة بيل سيستم التقنية ، المجلد 3 ، العدد 2، الصفحات  259-267، نوفمبر 1924.
• كامبل، جي إيه، " النظرية الفيزيائية لمرشح الموجة الكهربائية "، مجلة بيل سيستم التقنية ، المجلد 1 ، العدد 2، الصفحات  1-32، نوفمبر 1922.
• Zobel, OJ," نظرية وتصميم مرشحات الموجات الكهربائية الموحدة والمركبة ", مجلة بيل سيستم التقنية ، المجلد 2، العدد 1، الصفحات  1-46، يناير 1923.
• ماثيو م. رادمانيش، أساسيات تصميم الترددات الراديوية والميكروويف ، دار النشر AuthorHouse، 2007، رقم ISBN 1-4259-7242-X.
• جيمس تي. أبرلي، روبرت لوبسينجر-روماك، هوائيات مع شبكات مطابقة غير فوستر ، دار نشر مورغان وكلايبول، 2007، رقم ISBN 1-59829-102-5.
• كولين تشيري، النبضات والظواهر العابرة في دوائر الاتصالات ، تايلور وفرانسيس، 1950.
• كي سي إيه سميث، آر إي آلي، الدوائر الكهربائية: مقدمة ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1992، رقم ISBN 0-521-37769-2.
• كارول غراي مونتغمري، روبرت هنري ديك، إدوارد إم. بورسيل، مبادئ دوائر الميكروويف ، معهد الهندسة والتكنولوجيا، 1987، رقم ISBN 0-86341-100-2.
• إي. كاوير، دبليو. ماثيس، و ر. باولي، " حياة وعمل فيلهلم كاوير (1900-1945) "، وقائع الندوة الدولية الرابعة عشرة لنظرية الرياضيات للشبكات والأنظمة (MTNS2000) ، بيربينيان، يونيو 2000. تم الاسترجاع في 19 سبتمبر 2008.
• براي، ج.، الابتكار وثورة الاتصالات ، معهد المهندسين الكهربائيين، 2002، رقم ISBN 0-85296-218-5.