دالة حقيقية موجبة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

الدوال الحقيقية الموجبة ، والتي تُختصر غالبًا إلى دالة PR أو PRF ، هي نوع من الدوال الرياضية التي ظهرت لأول مرة في تصميم الشبكات الكهربائية . وهي دوال مركبة ، Z ( s )، لمتغير مركب، s . تُعرَّف الدالة الكسرية بأنها تتمتع بخاصية PR إذا كان لها جزء حقيقي موجب، وكانت تحليلية في النصف الأيمن من المستوى المركب، وتأخذ قيمًا حقيقية على المحور الحقيقي. أي:

ℜ[Z(s)]>0لوℜ(s)>0ℑ[Z(s)]=0لوℑ(s)=0{\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{إذا كان}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{إذا كان}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}}

في تحليل الشبكات الكهربائية ، يمثل Z ( s ) تعبيرًا عن المعاوقة و s هو متغير التردد المركب ، وغالبًا ما يتم التعبير عنه بأجزائه الحقيقية والخيالية؛

s=σ+أناω{\displaystyle s=\sigma +i\omega \,\!}

بأي صيغة يمكن تحديد شرط العلاقات العامة؟

ℜ[Z(s)]>0لوσ>0ℑ[Z(s)]=0لوω=0{\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{إذا كان}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{إذا كان}}\quad \omega =0\end{aligned}}}

تكمن أهمية شرط PR في تحليل الشبكات في شرط قابلية التحقيق. تكون Z ( s ) قابلة للتحقيق كممانعة نسبية أحادية المنفذ إذا وفقط إذا استوفت شرط PR. وتعني قابلية التحقيق في هذا السياق إمكانية بناء الممانعة من عدد محدود (وبالتالي نسبي) من العناصر الخطية السلبية المثالية المنفصلة ( المقاومات والمحاثات والمكثفات في المصطلحات الكهربائية). [ 1 ]

تعريف

تم تعريف مصطلح الدالة الحقيقية الموجبة في الأصل بواسطة [ 1 ] أوتو برون لوصف أي دالة Z ( s ) التي [ 2 ]

  • هو عدد نسبي (ناتج قسمة كثيرتي حدود )،
  • يكون حقيقيًا عندما يكون s حقيقيًا
  • يكون الجزء الحقيقي موجبًا عندما يكون الجزء الحقيقي لـ s موجبًا

يلتزم العديد من المؤلفين بهذا التعريف التزامًا صارمًا من خلال اشتراط العقلانية صراحةً، [ 3 ] أو من خلال حصر الاهتمام بالدوال الكسرية، على الأقل في البداية . [ 4 ] ومع ذلك، فقد سبق أن تناول كاوير شرطًا مشابهًا وأكثر عمومية، لا يقتصر على الدوال الكسرية، [ 1 ] وينسب بعض المؤلفين مصطلح "الحقيقي الموجب" إلى هذا النوع من الشروط ، بينما يعتبره آخرون تعميمًا للتعريف الأساسي. [ 4 ]

تاريخ

اقترح ويلهلم كاوير (1926) [ 5 ] هذا الشرط لأول مرة ، وقرر أنه شرط ضروري. ثم صاغ أوتو برون (1931) [ 2 ] [ 6 ] مصطلح "الواقع الموجب" لهذا الشرط، وأثبت أنه شرط ضروري وكافٍ في آنٍ واحد لتحقيقه.

ملكيات

  • مجموع دالتين من نوع PR هو PR.
  • إن تركيب دالتين من نوع PR هو PR. على وجه الخصوص، إذا كانت Z ( s ) من نوع PR، فإن 1/ Z ( s ) و Z (1/ s ) من نوع PR أيضًا.
  • جميع أصفار وأقطاب دالة PR تقع في النصف الأيسر من المستوى أو على حدوده مع المحور التخيلي.
  • أي أقطاب وأصفار على المحور التخيلي تكون بسيطة (لها تعدد يساوي واحدًا).
  • أي أقطاب على المحور التخيلي لها بقايا حقيقية موجبة تمامًا ، وبالمثل عند أي أصفار على المحور التخيلي، يكون للدالة مشتقة حقيقية موجبة تمامًا.
  • في النصف الأيمن من المستوى، تحدث القيمة الدنيا للجزء الحقيقي من دالة PR على المحور التخيلي (لأن الجزء الحقيقي من الدالة التحليلية يشكل دالة توافقية على المستوى، وبالتالي يحقق مبدأ القيمة القصوى ).
  • بالنسبة لدالة PR النسبية ، يختلف عدد الأقطاب وعدد الأصفار بمقدار واحد على الأكثر.

التعميمات

يتم أحيانًا إجراء بعض التعميمات، بهدف توصيف وظائف المعاوقة لفئة أوسع من الشبكات الكهربائية الخطية السلبية.

الدوال غير النسبية

لا يشترط أن تكون معاوقة Z ( s ) لشبكة تتكون من عدد لا نهائي من المكونات (مثل سلم شبه لانهائي) دالة كسرية لـ s ، وقد تحتوي على نقاط تفرع في النصف الأيسر من مستوى s . لذا، لاستيعاب هذه الدوال في تعريف PR، من الضروري تخفيف شرط أن تكون الدالة حقيقية لجميع قيم s الحقيقية ، والاكتفاء بهذا الشرط عندما تكون s موجبة. وبالتالي، تكون الدالة Z ( s )، حتى لو كانت غير كسرية، PR إذا وفقط إذا

  • Z ( s ) تحليلية في النصف الأيمن المفتوح من المستوى s (Re[ s ] > 0)
  • تكون Z ( s ) حقيقية عندما تكون s موجبة وحقيقية
  • Re[ Z ( s )] ≥ 0 عندما Re[ s ] ≥ 0

ينطلق بعض المؤلفين من هذا التعريف الأكثر عمومية، ثم يخصصونه للحالة العقلانية. أما الشرط الثاني فيُصاغ أحيانًا على النحو التالي:Z(s*)=(Z(s))*{\displaystyle Z(s^{*})=(Z(s))^{*}}في النصف الأيمن المفتوح من المستوى (وهو أمر مكافئ بالنظر إلى أن الدالة تحليلية هناك).

الدوال ذات القيم المصفوفية

يمكن وصف الشبكات الكهربائية الخطية ذات المنافذ المتعددة بمصفوفات المعاوقة أو الممانعة . لذا، بتوسيع تعريف PR ليشمل الدوال ذات القيم المصفوفية، يمكن التمييز بين الشبكات الخطية متعددة المنافذ السلبية وتلك غير السلبية. تكون الدالة Z ( s ) ذات القيم المصفوفية، والتي قد تكون غير نسبية، PR إذا وفقط إذا

  • كل عنصر من Z ( s ) تحليلي في النصف الأيمن المفتوح من المستوى s (Re[ s ] > 0)
  • كل عنصر من عناصر Z ( s ) يكون حقيقيًا عندما تكون s موجبة وحقيقية
  • يكون الجزء الهرميتي ( Z ( s ) + Z † ( s ))/2 من Z ( s ) شبه موجب عندما يكون Re[ s ] ≥ 0

امتحان

بحسب التعريف، بالنسبة لدالة كسرية معينةZ(s){\displaystyle Z(s)}لكي يكون الأمر علاقة عامة، يجب أن يكون له جزء حقيقي إيجابي في كل نقطة في النصف الأيمنs{\displaystyle s}المستوى -. ومع ذلك، ليس من الضروري فحص نصف المستوى بأكمله لاختبار ما إذا كان هذا هو الحال.

الشروط الضرورية والكافية

من الشروط الضرورية للعلاقات العامة أنZ(s){\displaystyle Z(s)}لا يوجد لها أقطاب في النصف الأيمن المفتوح من المستوى المركب. في أي منطقة خالية من الأقطاب، يكون الجزء الحقيقي،Rهـ(Z(s)){\displaystyle \mathrm {Re} (Z(s))}هي دالة توافقية ، وبالتالي، وفقًا لمبدأ القيمة القصوى، لا يمكن أن يكون لها قيم قصوى حقيقية. القيم الدنيا والقصوى لـRهـ(Z(s)){\displaystyle \mathrm {Re} (Z(s))}لذا، يجب أن يحدث المرور فوق المنطقة الخالية من الأقطاب على حدود تلك المنطقة، والتي تمثل بالنسبة للنصف الأيمن من المستوى المحور التخيلي بالإضافة إلى النقطة عند اللانهاية . دراسة النصف الأيمنs{\displaystyle s}وبالتالي يتم اختزال المستوى إلى فحص المحور التخيلي (الذي يشمل النقطة عند اللانهاية).

الشروط اللازمة والكافية الدقيقة لدالة كسرية معينةZ(s){\displaystyle Z(s)}أن يكونوا متخصصين في العلاقات العامة هم:

  • Z(s){\displaystyle Z(s)}يكون حقيقياً عندماs{\displaystyle s}حقيقي
  • Z(s){\displaystyle Z(s)}لا توجد أعمدة في النصف الأيمن المفتوحs{\displaystyle s}-طائرة.
  • Rهـ(Z(s))⩾0{\displaystyle \mathrm {Re} (Z(s))\geqslant 0}في جميع النقاط على المستوى التخيليs{\displaystyle s}المحور -، باستثناء أي قطبين.
  • أي أعمدة منZ(s){\displaystyle Z(s)}على الخياليs{\displaystyle s}المحاور بسيطة (لها تعدد يساوي واحدًا)، ولها بقايا موجبة حقيقية .

نقطة في اللانهاية

عند فحص الأقطاب على المحور التخيلي، لا يكفي النظر فقط إلى أصفار مقام الكسر.Z(s){\displaystyle Z(s)}ولكن من الضروري أيضًا فحص أي قطب عند اللانهاية (الحالة التيZ(s){\displaystyle Z(s)}لا نهائي لـ لا نهائيs{\displaystyle s}على سبيل المثال، الدالةZ(s)=-s{\displaystyle Z(s)=-s}ليست دالة PR لأنها تحتوي على قطب عند اللانهاية مع باقي سالب، والدالةZ(s)=s3{\displaystyle Z(s)=s^{3}}الدالة الكسرية ليست دالة كسرية نسبية (PR) لأنها تحتوي على قطب غير بسيط عند اللانهاية. هذا يعني أنه يمكن تصنيف الدالة الكسرية مباشرةً على أنها غير كسرية نسبية إذا كان الفرق بين درجتي بسطها ومقامها أكبر من واحد، لأن الدالة أو مقلوبها في هذه الحالة تحتوي على قطب من رتبة أعلى عند اللانهاية. وبالمثل، إذا كان البسط أو المقام يفتقر إلى كل من الثوابت والحدود من الدرجة الأولى، فإن الدالة أو مقلوبها تحتوي على قطب من رتبة أعلى عند الصفر، وبالتالي فإن الدالة ليست كسرية نسبية نسبية.

الأقطاب والأصفار

تكون الدالة PR إذا وفقط إذا كان مقلوبها PR. أقطاب المقلوب هي أصفار الدالة الأصلية. لذلك، يمكن اختبار ما إذا كانت الدالة PR بفحص قيمتها على المحور التخيلي وموقع أقطابها أو أصفارها. مع ذلك، فإن فحص كل من الأقطاب والأصفار لا يُغني عن فحص المحور التخيلي. وجود جميع الأقطاب وجميع الأصفار في النصف الأيسر من المستوى المركب شرط ضروري ولكنه غير كافٍ لكون الدالة PR.

مراجع

  1. 1 2 3 إي. كاوير، دبليو. ماثيس، و ر. باولي، "حياة وعمل فيلهلم كاوير (1900 – 1945)"، وقائع الندوة الدولية الرابعة عشرة لنظرية الرياضيات للشبكات والأنظمة (MTNS2000) ، بيربينيان، يونيو 2000. تم استرجاعه عبر الإنترنت في 19 سبتمبر 2008.
  2. 1 2 برون، أو، "توليف شبكة طرفية ثنائية محدودة تكون معاوقة نقطة القيادة فيها دالة محددة للتردد"، أطروحة دكتوراه، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، 1931. تم استرجاعها عبر الإنترنت في 3 يونيو 2010.
  3. ↑ باكشي، أوداي؛ باكشي، أجاي (2008). نظرية الشبكات . بونا: منشورات تقنية. ISBN 978-81-8431-402-1.
  4. 1 2 وينغ، عمر (2008). نظرية الدوائر الكلاسيكية . سبرينغر. ISBN 978-0-387-09739-8.
  5. ^ كاور، دبليو، “Die Verwirklichung der Wechselstromwiderst ände vorgeschriebener Frequenzabh ängigkeit”، Archiv für Elektrotechnik ، المجلد 17 ، الصفحات 355–388، 1926.
  6. ↑ برون، أو، "توليف شبكة طرفية ثنائية محدودة تكون معاوقة نقطة القيادة دالة محددة للتردد"، مجلة الرياضيات والفيزياء ، المجلد 10 ، الصفحات 191-236، 1931.