احتمالية مجانية
الاحتمال الحر هو نظرية رياضية تدرس المتغيرات العشوائية غير التبادلية . خاصية "الحرية" أو الاستقلال الحر هي نظير المفهوم الكلاسيكي للاستقلال ، وهي مرتبطة بالمنتجات الحرة . بدأ هذه النظرية دان فويكوليسكو حوالي عام 1986 من أجل مهاجمة مشكلة تماثل عوامل المجموعة الحرة، وهي مشكلة مهمة لم يتم حلها في نظرية جبر المشغل . بالنظر إلى مجموعة حرة على عدد معين من المولدات، يمكننا النظر في جبر فون نيومان الناتج عن جبر المجموعة ، وهو عامل من النوع الثاني 1. تسأل مشكلة التماثل ما إذا كانت هذه متماثلة لأعداد مختلفة من المولدات. حتى أنه ليس معروفًا ما إذا كان أي عاملين من عوامل المجموعة الحرة متماثلين. هذا مشابه لمشكلة المجموعة الحرة لتارسكي ، والتي تسأل عما إذا كانت مجموعتان حرتان مختلفتان غير أبيلية ومولدتان بشكل محدود لهما نفس النظرية الأولية.
تم لاحقًا تأسيس اتصالات مع نظرية المصفوفة العشوائية ، والتركيبات ، وتمثيلات المجموعات المتماثلة ، والانحرافات الكبيرة ، ونظرية المعلومات الكمومية وغيرها من النظريات. تخضع الاحتمالات الحرة حاليًا لأبحاث نشطة.
عادةً ما تكمن المتغيرات العشوائية في جبر أحادي A مثل جبر C* أو جبر فون نيومان . يأتي الجبر مزودًا بتوقع غير تبادلي ، ودالة خطية φ: A → C بحيث φ(1) = 1. يُقال بعد ذلك إن الجبر الجزئي الأحادي A 1 ، ...، A m مستقلة بحرية إذا كان توقع حاصل الضرب a 1 ... a n يساوي صفرًا كلما كان لكل a j توقع صفري، ويقع في A k ، ولا يأتي أي a j مجاور من نفس الجبر الجزئي A k ، و n غير صفري. تكون المتغيرات العشوائية مستقلة بحرية إذا كانت تولد جبرًا جزئيًا أحاديًا مستقلًا بحرية.
كان أحد أهداف الاحتمالية الحرة (التي لم تتحقق بعد) هو بناء متغيرات ثابتة جديدة لجبر فون نيومان ، ويُعتبر البعد الحر مرشحًا معقولًا لمثل هذا المتغير الثابت. والأداة الرئيسية المستخدمة لبناء البعد الحر هي الإنتروبيا الحرة.
إن العلاقة بين الاحتمال الحر والمصفوفات العشوائية تشكل سبباً رئيسياً للاستخدام الواسع للاحتمال الحر في مجالات أخرى. قدم فويكوليسكو مفهوم الحرية حوالي عام 1983 في سياق جبري عامل؛ في البداية لم تكن هناك أي علاقة على الإطلاق بالمصفوفات العشوائية. لم يكشف فويكوليسكو عن هذه الصلة إلا في وقت لاحق في عام 1991؛ وكان دافعه هو حقيقة أن توزيع الحد الذي وجده في نظرية الحد المركزي الحر قد ظهر من قبل في قانون نصف الدائرة لويغنر في سياق المصفوفة العشوائية.
تلعب الدالة التراكمية الحرة (التي قدمها رولاند سبيشر ) [1] دورًا رئيسيًا في النظرية. وهي مرتبطة بشبكة الأقسام غير المتقاطعة للمجموعة {1، ...، n } بنفس الطريقة التي ترتبط بها الدالة التراكمية الكلاسيكية بشبكة جميع أقسام تلك المجموعة.
انظر أيضا
مراجع
الاستشهادات
مصادر
- د.-ف. فويكوليسكو، ن. ستاماير، م. ويبر (المحررون): الاحتمالات الحرة وجبر المشغلات، محاضرات مونستر في الرياضيات، EMS، 2016
- جيمس أ. مينجو، رولاند سبيشر: الاحتمالات الحرة والمصفوفات العشوائية. دراسات معهد فيلدز، المجلد 35، سبرينغر، نيويورك، 2017.
- أ. نيكا، ر. سبيشر: محاضرات حول تركيبات الاحتمالات الحرة. مطبعة جامعة كامبريدج، 2006، ISBN 0-521-85852-6
- فوميو هياي ودينيس بيتز، قانون نصف الدائرة، والمتغيرات العشوائية الحرة، والإنتروبيا ، ISBN 0-8218-2081-8
- ميتشنر، ب. د. (2005) نظرية الاحتمالات غير التبادلية، طبعة أولية
- Voiculescu, DV; Dykema, KJ; Nica, A. Free random variables. A non-commutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups. CRM Monograph Series, 1. American Mathematical Society, Providence, RI, 1992. ISBN 0-8218-6999-X
- تيرينس تاو ، 254أ، ملاحظات 5: الاحتمالية الحرة (10 فبراير 2010)، ملاحظات الدورة الدراسية للدراسات العليا حول "مواضيع في نظرية المصفوفة العشوائية"
- رولان سبيشر: نظرية الاحتمالات المجانية، ملاحظات الدورة
روابط خارجية
- حصل فويكوليسكو على جائزة الأكاديمية الوطنية للعلوم في الرياضيات - يحتوي على وصف قابل للقراءة للاحتمالات الحرة.
- RMTool — حاسبة احتمالات مجانية تعتمد على MATLAB.
- كرسي ألكاتيل-لوسنت للتطبيقات الراديوية المرنة للاحتمالات الحرة في الاتصالات اللاسلكية.
- مقالات استطلاعية لرولاند سبيشر حول الاحتمالات الحرة.
- مدونة حول الاحتمالات المجانية
- محاضرات مسجلة عن الاحتمالات الحرة
