جبر الزمر لمجموعة متراصة محليًا

في التحليل الوظيفي والمجالات الرياضية ذات الصلة ، يُعرَّف جبر الزمر بأنه أي من البنى المختلفة التي تُستخدم لتعيين جبر المؤثرات ( أو بشكل أعم، جبر باناخ ) لزمرة متراصة محليًا ، بحيث ترتبط تمثيلات الجبر بتمثيلات الزمرة. وبذلك، فهي تُشبه حلقة الزمر المرتبطة بزمرة منفصلة.

إذا كانت G زمرة هاوسدورف محلية التراص ، فإن G تحمل مقياس بوريل μ فريدًا من نوعه، ثابتًا من اليسار، وقابلًا للعد والجمع، ويُسمى مقياس هار . باستخدام مقياس هار، يمكن تعريف عملية التفاف على الفضاء C_{_c} ( G ) للدوال المتصلة ذات القيم المركبة على G ذات الدعم المتراص ؛ ويمكن إعطاء C_{_c} ( G ) أيًا من المعايير المختلفة ، وسيكون الإكمال جبرًا زمريًا.

لتعريف عملية الالتفاف، ليكن f و g دالتين في C _c ( G ). لكل t في G ، عرّف

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

حقيقة أن${\displaystyle f*g}$إن كون الدالة متصلة هو أمر بديهي من نظرية التقارب المسيطر . كذلك

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

حيث تمثل النقطة حاصل الضرب في G. كما أن لـ C _c ( G ) انقلابًا طبيعيًا محددًا بواسطة:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

حيث Δ هي الدالة النمطية على G. مع هذا الانعكاس، تصبح جبرًا *- .

نظرية. مع المعيار:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

يصبح C _c ( G ) جبرًا معياريًا انعكاسيًا مع هوية تقريبية .

يمكن فهرسة الهوية التقريبية على أساس الجوار للهوية المكونة من مجموعات متراصة. في الواقع، إذا كانت V جوارًا متراصًا للهوية، فليكن f( _V) دالة متصلة غير سالبة مدعومة في V بحيث

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

إذن، { f _V } _V هي متطابقة تقريبية. يحتوي جبر المجموعة على متطابقة، وليس مجرد متطابقة تقريبية، إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا على المجموعة هي الطوبولوجيا المنفصلة .

لاحظ أنه بالنسبة للمجموعات المنفصلة، ​​فإن C _c ( G ) هو نفس الشيء مثل حلقة المجموعة المعقدة C [ G ].

تكمن أهمية جبر الزمر في أنه يجسد نظرية التمثيل الوحدوي لـ G كما هو موضح فيما يلي

نظرية. لتكن G زمرة متراصة محليًا. إذا كان U تمثيلًا وحدويًا متصلًا بقوة لـ G على فضاء هيلبرت H ، فإن

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

هي تمثيل غير منحل ومحدود من النوع * للجبر المعياري C _c ( G ). الخريطة

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

هي تقابل بين مجموعة التمثيلات الوحدوية المتصلة بقوة لـ G والتمثيلات *-المحدودة غير المنحلة لـ C _c ( G ). يحافظ هذا التقابل على التكافؤ الوحدوي والاحتواء القوي . على وجه الخصوص، π _U غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كانت U غير قابلة للاختزال.

عدم انحلال تمثيل π لـ C _c ( G ) على فضاء هيلبرت H _π يعني أن

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

كثيف في H _π .

إنها نظرية قياسية في نظرية القياس مفادها أن إكمال C _c ( G ) في معيار L ¹ ( G ) متماثل مع الفضاء L ¹ ( G ) لفئات التكافؤ للدوال القابلة للتكامل بالنسبة إلى قياس هار ، حيث، كالمعتاد، تعتبر دالتان متكافئتين إذا وفقط إذا اختلفتا فقط على مجموعة من قياس هار الصفري.

نظرية. L1 ( G ) هو جبر باناخ *- مع حاصل الضرب الالتفافي والالتفاف المعرفين أعلاه، ومع ^معيار L1 . كما ^{أن لـ} L1 ( G ) متطابقة تقريبية محدودة.

ليكن C [ G ] حلقة المجموعة لمجموعة منفصلة G.

بالنسبة لمجموعة مضغوطة محليًا G ، يتم تعريف جبر المجموعة C* C* ( G ) لـ G على أنه جبر الغلاف C* لـ L ¹ ( G )، أي إكمال C _c ( G ) بالنسبة لأكبر معيار C*:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

حيث يمتد π على جميع التمثيلات غير المنحلة * لـ C _c ( G ) على فضاءات هيلبرت. عندما يكون G منفصلاً، فإنه يتبع من متباينة المثلث أنه لأي قيمة لـ π من هذا القبيل ، يكون لدينا:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

وبالتالي فإن المعيار محدد بشكل جيد.

يترتب على التعريف أنه عندما تكون G مجموعة منفصلة، ​​فإن C* ( G ) لها الخاصية العامة التالية : أي تماثل * من C [ G ] إلى B ( H ) (الجبر C* للمؤثرات المحدودة على فضاء هيلبرت H ) يمر عبر خريطة التضمين :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

إن جبر فون نيومان للمجموعة W* ( G ) لـ G هو جبر فون نيومان المغلف لـ C* ( G ).

بالنسبة لمجموعة منفصلة G ، يمكننا اعتبار فضاء هيلبرت ℓ² ( G ⁾ الذي تُشكّل فيه G أساسًا متعامدًا . بما أن G تؤثر على ^ℓ² ( G ) عن طريق تبديل متجهات الأساس، يمكننا تعريف حلقة المجموعة المركبة C [ G ] بجبر جزئي من جبر المؤثرات المحدودة على ℓ² ⁽ G ) . الإغلاق الضعيف لهذا الجبر الجزئي، NG ، هو جبر فون نيومان .

يمكن وصف مركز المجموعة NG بدلالة عناصر المجموعة G التي تكون فئة اقترانها منتهية. على وجه الخصوص، إذا كان العنصر المحايد في G هو العنصر الوحيد في المجموعة الذي يتمتع بهذه الخاصية (أي أن G تتمتع بخاصية فئة اقتران غير منتهية )، فإن مركز NG يتكون فقط من مضاعفات العدد المحايد المركبة.

يكون NG متماثلاً مع العامل ₁ من النوع II فائق التحديد إذا وفقط إذا كان G قابلاً للعد ، وقابلاً للتقريب ، وله خاصية فئة الترافق اللانهائي.

• جبر الرسوم البيانية
• جبر الحوادث
• جبر هيك لمجموعة متراصة محليًا
• جبر المسار
• جبر الزمر الجزئية
• الجبر النمطي
• جبر المجموعة النمطية
• جبر هوبف

• لانغ، س. (2002). الجبر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. سبرينغر. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• فينبرغ، إي. (10 أبريل 2003). دورة في الجبر . دراسات عليا في الرياضيات. المجلد  56. الجمعية الأمريكية للرياضيات. doi : 10.1090/gsm/056 . ISBN 978-0-8218-3413-8.
• ديكسمير، جاك (1982). جبر C* . نورث هولاند. ISBN 978-0-444-86391-1.
• كيريلوف، ألكسندر أ. (1976). عناصر نظرية التمثيلات . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  220. سبرينغر-فيرلاغ. دوى : 10.1007/978-3-642-66243-0 . رقم ISBN 978-3-642-66245-4.
• لوميس، لين هـ. (19 يوليو 2011). مقدمة في التحليل التوافقي المجرد (سلسلة كتب دوفر في الرياضيات) بقلم لين هـ. لوميس (2011). غلاف ورقي . منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-48123-4.
• AI Shtern (2001) [1994]، "جبر الزمر لمجموعة متراصة محليًا" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMSتتضمن هذه المقالة مواد من جبر المجموعة $C^*$ على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .