الاحتمال الحر
الاحتمال الحر هو نظرية رياضية تدرس المتغيرات العشوائية غير التبادلية . خاصية "الحرية" أو الاستقلال الحر هي نظير للمفهوم الكلاسيكي للاستقلال ، وهي مرتبطة بالضرب الحر .
بدأ دان فويكوليسكو هذه النظرية حوالي عام ١٩٨٦ بهدف معالجة مشكلة تماثل عوامل الزمر الحرة، وهي مشكلة مهمة لم تُحل بعد في نظرية جبر المؤثرات . إذا كانت لدينا زمرة حرة على عدد معين من المولدات، فيمكننا اعتبار جبر فون نيومان المُوَلَّد بواسطة جبر الزمرة ، وهو عامل من النوع الثاني . تتساءل مشكلة التماثل عما إذا كان هذان العاملان متماثلين لأعداد مختلفة من المولدات. بل إنه من غير المعروف حتى ما إذا كان أي عاملين من عوامل الزمر الحرة متماثلين. يشبه هذا مشكلة تارسكي للزمر الحرة ، التي تتساءل عما إذا كانت زمرتان حرتان مختلفتان غير تبديليتين ومولدتان نهائيًا تمتلكان نفس النظرية الأولية.
أُقيمت لاحقًا روابط مع نظرية المصفوفات العشوائية ، والتوافقية ، وتمثيلات المجموعات المتناظرة ، والانحرافات الكبيرة ، ونظرية المعلومات الكمومية ، وغيرها من النظريات. ويخضع الاحتمال الحر حاليًا لبحوث مكثفة.
عادةً ما تقع المتغيرات العشوائية في جبر أحادي A، مثل جبر C* أو جبر فون نيومان . يأتي هذا الجبر مزودًا بتوقع غير تبادلي ، وهو دالة خطية φ: A → C بحيث φ(1) = 1. يُقال إن الجبر الجزئي الأحادي A₁ , ..., Aᵐ مستقل تمامًا إذا كان توقع حاصل ضرب a₁ , ... , aₙ يساوي صفرًا عندما يكون لكل aⱼ توقع يساوي صفرًا، ويقع في Aᵏ، ولا يوجد أي aⱼ متجاور ينتمي إلى نفس الجبر الجزئي Aᵏ ، ويكون n غير صفري . تكون المتغيرات العشوائية مستقلة تمامًا إذا ولّدت جبرًا جزئيًا أحاديًا مستقلًا تمامًا.
كان أحد أهداف نظرية الاحتمال الحر (التي لم تتحقق بعد) هو بناء ثوابت جديدة لجبر فون نيومان ، ويُعتبر البُعد الحر مرشحًا معقولًا لهذا الغرض. والأداة الرئيسية المستخدمة في بناء البُعد الحر هي الإنتروبيا الحرة.
تُعدّ العلاقة بين الاحتمال الحر والمصفوفات العشوائية سببًا رئيسيًا لانتشار استخدام الاحتمال الحر في مجالات أخرى. قدّم فوكوليسكو مفهوم الحرية حوالي عام ١٩٨٣ في سياق جبري للمؤثرات؛ في البداية، لم تكن هناك أي علاقة بالمصفوفات العشوائية. لم يُكشف عن هذه العلاقة إلا لاحقًا في عام ١٩٩١ على يد فوكوليسكو؛ إذ كان دافعه هو أن التوزيع الحدي الذي وجده في نظرية النهاية المركزية الحرة قد ظهر سابقًا في قانون نصف الدائرة لويغنر في سياق المصفوفات العشوائية.
يلعب دالة التراكم الحر (التي قدمها رولاند سبايشر ) [ 1 ] دورًا رئيسيًا في النظرية. وهي مرتبطة بشبكة التقسيمات غير المتقاطعة للمجموعة {1، ...، n } بنفس الطريقة التي ترتبط بها دالة التراكم الكلاسيكية بشبكة جميع تقسيمات تلك المجموعة.
انظر أيضاً
مراجع
الاقتباسات
- ↑ سبيشر، رولاند (1994)، "الدوال الضربية على شبكة التقسيمات غير المتقاطعة والالتفاف الحر"، حوليات الرياضيات ، 298 (4): 611-628 ، doi : 10.1007/BF01459754 ، MR 1268597 .
استطلاعات تمهيدية
- مقالات استعراضية لرولاند سبايشر حول الاحتمالات الحرة، تم تحديثها آخر مرة في عام 1998.
- بيان، فيليب (30-09-1998). "الاحتمالية المجانية لعلماء الاحتمالات". arXiv : math/9809193 .
- ميتشنر، بي دي (2005). "نظرية الاحتمالات غير التبادلية" (ملف PDF) (نسخة أولية). مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 20 أكتوبر 2022.
- تاو، تيرينس (10-02-2010). "254أ، ملاحظات 5: الاحتمال الحر" . terrytao.wordpress.com (ملاحظات الدورة).
دراسات تمهيدية
- نيكا، ألكسندرو؛ سبيشر، رولاند (2006). محاضرات في توافقية الاحتمالات الحرة (ملف PDF) . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511735127 . ISBN 978-0-521-85852-6.
- Voiculescu, Dan; Stammeier, Nicolai; Weber, Moritz, eds. (2016). Free probability and operator algebras. Münster lectures in mathematics. Vol. 1. Zürich: European Mathematical Society. doi:10.4171/165. ISBN 978-3-03719-165-1.
- Mingo, James A.; Speicher, Roland (2017). Free Probability and Random Matrices(PDF). Fields Institute Monographs. Springer. arXiv:1404.3393. doi:10.1007/978-1-4939-6942-5. ISBN 978-1-4939-6942-5.
- Speicher, Roland (2019). "Free Probability Theory"(PDF). rolandspeicher.com (Course notes).
- Potters, Marc; Bouchaud, Jean-Philippe (2020-11-30). A First Course in Random Matrix Theory: for Physicists, Engineers and Data Scientists. Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108768900. ISBN 978-1-108-76890-0.
Research monographs
- Voiculescu, D. V.; Dykema, K. J.; Nica, A. (1992). Free random variables: a noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras, and harmonic analysis on free groups. CRM monograph series. Providence, R.I., USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6999-4. OCLC 26852238.
- Voiculescu, Dan, ed. (1997). Free probability theory. Fields Institute Communications (1 ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/fic/012. ISBN 978-0-8218-0675-3. MR 1426832.
- Speicher, Roland (1998). Combinatorial theory of the free product with amalgamation and operator-valued free probability theory(PDF). Memoirs of the American Mathematical Society. Vol. 132. doi:10.1090/memo/0627. ISSN 0065-9266. MR 1407898.
- Hiai, Fumio; Petz, Dénes (2000). The semicircle law, free random variables, and entropy. Mathematical surveys and monographs. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2081-0.
External links
- Voiculescu receives NAS award in mathematics— contains a readable description of free probability.
- RMTool— A MATLAB-based free probability calculator.
- Functional analysis
- Exotic probabilities
- Free probability theory