تذبذبات فريدل

كنموذج بسيط، ضع في اعتبارك غاز الإلكترونات أحادي البعد في نصف الفضاء${\displaystyle x>0}$لا تخترق الإلكترونات نصف الفضاء${\displaystyle x\leq 0}$وبالتالي فإن شرط الحدود لدالة الموجة الإلكترونية هو${\displaystyle \psi (x=0)=0}$الدوال الموجية المتذبذبة التي تحقق هذا الشرط هي

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin kx}$،

أين${\displaystyle k>0}$هو متجه الموجة الإلكترونية، و${\displaystyle L}$يمثل طول الصندوق أحادي البعد (نستخدم هنا معيار "الصندوق"). نعتبر غازًا إلكترونيًا متحللًا، بحيث تشغل الإلكترونات حالات ذات طاقات أقل من طاقة فيرمي.${\displaystyle E_{\rm {F}}}$ثم كثافة الإلكترون${\displaystyle n(x)}$يتم حسابها على النحو التالي:

${\displaystyle n(x)=2\sum _{k<k_{F}}|\psi _{k}(x)|^{2}}$،

حيث يتم إجراء عملية الجمع على جميع متجهات الموجة الأقل من متجه موجة فيرمي${\displaystyle k_{\rm {F}}={\sqrt {2mE_{\rm {F}}/\hbar ^{2}}}}$، يُفسر العامل 2 انحلال الدوران. بتحويل المجموع على${\displaystyle k}$في التكامل نحصل على

${\displaystyle n(x)=2{\frac {L}{\pi }}\int \limits _{0}^{k_{\rm {F}}}|\psi _{k}(x)|^{2}dk={\frac {2k_{\rm {F}}}{\pi }}\left(1-{\frac {\sin 2k_{\rm {F}}x}{2k_{\rm {F}}x}}\right)}$.

نلاحظ أن الحدود تُؤثر على كثافة الإلكترونات مما يؤدي إلى تذبذباتها المكانية ذات الدورة${\displaystyle \lambda _{\rm {F}}=\pi /k_{\rm {F}}}$بالقرب من الحدود. تتلاشى هذه التذبذبات في الكتلة، ويُعطى طول التلاشي أيضًا بواسطة${\displaystyle \lambda _{\rm {F}}}$. في${\displaystyle x\to +\infty }$كثافة الإلكترون تساوي الكثافة غير المضطربة لغاز الإلكترون أحادي البعد${\displaystyle 2k_{\rm {F}}/\pi }$.

تتصرف الإلكترونات التي تتحرك عبر معدن أو شبه موصل مثل الإلكترونات الحرة لغاز فيرمي ذي دالة موجية تشبه الموجة المستوية ، أي

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$.

تتصرف الإلكترونات في المعدن بشكل مختلف عن الجسيمات في الغاز العادي، لأنها فرميونات وتخضع لإحصاءات فيرمي-ديراك . هذا السلوك يعني أن كل حالة k في الغاز لا يمكن أن يشغلها إلا إلكترونان ذوا دوران متعاكس . تملأ الحالات المشغولة كرة في فضاء k لبنية النطاقات، حتى مستوى طاقة ثابت، يُسمى طاقة فيرمي . يُسمى نصف قطر هذه الكرة في فضاء k ، k_{_F ،} متجه موجة فيرمي .

إذا وُجدت ذرة غريبة مُدمجة في المعدن أو شبه الموصل، تُسمى شوائب ، فإن الإلكترونات التي تتحرك بحرية عبر المادة الصلبة تتشتت بفعل الجهد المنحرف للشوائب. خلال عملية التشتت، يتشتت متجه الموجة الابتدائية k_{_i} لدالة موجة الإلكترون إلى متجه موجة نهائي k_{_f} . ولأن غاز الإلكترونات هو غاز فيرمي، فإن الإلكترونات ذات الطاقات القريبة من مستوى فيرمي فقط هي التي يمكنها المشاركة في عملية التشتت، إذ يجب أن تكون هناك حالات نهائية فارغة لتنتقل إليها الحالات المُشتتة. أما الإلكترونات التي تقل طاقتها كثيرًا عن طاقة فيرمي EF فلا يمكنها الانتقال إلى حالات غير مشغولة. تشغل الحالات المحيطة بمستوى فيرمي، والتي يمكن تشتيتها، نطاقًا محدودًا من _قيم k أو الأطوال الموجية. لذا، فإن الإلكترونات التي تقع ضمن نطاق محدود من الأطوال الموجية بالقرب من طاقة فيرمي فقط هي التي تتشتت، مما ينتج عنه تعديل في الكثافة حول الشوائب على النحو التالي:

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\rho _{0}+\delta n{\frac {\cos(2k_{\rm {F}}|\mathbf {r} |+\delta )}{|\mathbf {r} |^{3}}}}$.

في السيناريو الكلاسيكي لحجب الشحنة الكهربائية، يُلاحظ انخفاض في شدة المجال الكهربائي في سائل متحرك يحمل شحنة عند وجود جسم مشحون. ولأن حجب الشحنة الكهربائية يعتبر الشحنات المتحركة في السائل نقاطًا، فإن تركيز هذه الشحنات يتناقص أُسّيًا مع المسافة من النقطة. وتخضع هذه الظاهرة لمعادلة بواسون-بولتزمان . ^{[ 4 ]} يُنمذج الوصف الكمومي للاضطراب في سائل فيرمي أحادي البعد باستخدام سائل توموناغا-لوتينغر . ^{[ 5 ]} لا يمكن اعتبار الفرميونات في السائل، التي تُشارك في الحجب، نقاطًا، بل يلزم متجه موجي لوصفها. كثافة الشحنة بعيدًا عن الاضطراب ليست متصلة، بل تتوزع الفرميونات في مسافات منفصلة بعيدًا عن الاضطراب. هذا التأثير هو سبب التموجات الدائرية حول الشوائب.

ملاحظة: في حين أنه يمكن ملاحظة عدد هائل من الجسيمات ذات الشحنات المتعاكسة بالقرب من الاضطراب المشحون كلاسيكيًا، فإنه في سيناريو ميكانيكا الكم لتذبذبات فريدل، تظهر ترتيبات دورية من الفرميونات ذات الشحنات المتعاكسة متبوعة بفراغات ذات مناطق مشحونة بنفس الشحنة. ^{[ 2 ]}

في الشكل على اليمين، تم توضيح تذبذبات فريدل ثنائية الأبعاد باستخدام صورة مجهر المسح النفقي لسطح نظيف. عند التقاط الصورة على سطح ما، تترك مناطق الكثافة الإلكترونية المنخفضة نوى الذرات "مكشوفة"، مما ينتج عنه شحنة موجبة صافية.