كثافة الولايات

في فيزياء المادة المكثفة ، تصف كثافة الحالات ( DOS ) لنظام ما عدد الأنماط أو الحالات المسموح بها لكل وحدة نطاق طاقة. وتُعرَّف كثافة الحالات على النحو التالي:${\displaystyle D(E)=N(E)/V}$، أين${\displaystyle N(E)\delta E}$يمثل عدد الحالات في نظام الحجم${\displaystyle V}$والتي تتراوح طاقاتها بين${\displaystyle E}$ل${\displaystyle E+\delta E}$يُعبَّر عنها رياضيًا كتوزيع بواسطة دالة كثافة احتمالية ، وهي عمومًا متوسطٌ على نطاقي المكان والزمان لمختلف الحالات التي يشغلها النظام. ترتبط كثافة الحالات ارتباطًا مباشرًا بعلاقات التشتت لخصائص النظام. تشير كثافة الحالات العالية عند مستوى طاقة محدد إلى توفر العديد من الحالات للإشغال.

بشكل عام، تكون كثافة حالات المادة متصلة. أما في الأنظمة المعزولة ، مثل الذرات أو الجزيئات في الحالة الغازية، فإن توزيع الكثافة يكون منفصلاً ، مثل الكثافة الطيفية . وتُعرف التغيرات الموضعية، التي غالباً ما تنتج عن تشوهات في النظام الأصلي، باسم كثافات الحالات الموضعية (LDOSs).

في الأنظمة الكمومية، يمكن للأمواج، أو الجسيمات الشبيهة بالأمواج، أن تشغل أنماطًا أو حالات بأطوال موجية واتجاهات انتشار تحددها طبيعة النظام. على سبيل المثال، في بعض الأنظمة، قد تسمح المسافة بين الذرات والشحنة الذرية للمادة بوجود إلكترونات ذات أطوال موجية محددة فقط. وفي أنظمة أخرى، قد يسمح التركيب البلوري للمادة للأمواج بالانتشار في اتجاه واحد، بينما يمنع انتشارها في اتجاه آخر. غالبًا ما تُسمح حالات محددة فقط. وبالتالي، قد يحدث أن تتوفر حالات عديدة لشغل مستوى طاقة معين، بينما لا تتوفر أي حالات عند مستويات طاقة أخرى.

عند النظر إلى كثافة حالات الإلكترونات عند حافة نطاق الطاقة بين نطاقي التكافؤ والتوصيل في أشباه الموصلات، نجد أنه بالنسبة للإلكترون الموجود في نطاق التوصيل، فإن زيادة طاقة الإلكترون تتيح له شغل المزيد من الحالات. في المقابل، تكون كثافة الحالات غير متصلة ضمن نطاق طاقة معين، مما يعني عدم وجود حالات متاحة للإلكترونات لشغلها ضمن فجوة الطاقة للمادة. ويعني هذا الشرط أيضًا أن الإلكترون الموجود عند حافة نطاق التوصيل يجب أن يفقد على الأقل طاقة فجوة الطاقة للمادة للانتقال إلى حالة أخرى في نطاق التكافؤ.

يُحدد هذا ما إذا كانت المادة عازلة أم معدنية في بُعد الانتشار. كما أن عدد الحالات في نطاق الطاقة مفيدٌ للتنبؤ بخصائص التوصيل. على سبيل المثال، في بنية بلورية أحادية البعد، يؤدي وجود عدد فردي من الإلكترونات لكل ذرة إلى امتلاء النطاق العلوي بنصف طاقته؛ وتوجد إلكترونات حرة عند مستوى فيرمي، مما ينتج عنه مادة معدنية. من ناحية أخرى، يؤدي وجود عدد زوجي من الإلكترونات إلى ملء عدد صحيح من نطاقات الطاقة، تاركًا الباقي فارغًا. إذا كان مستوى فيرمي يقع في فجوة نطاق طاقة مشغولة بين أعلى حالة مشغولة وأدنى حالة فارغة، فإن المادة ستكون عازلة أو شبه موصلة .

بحسب النظام الكمومي، يمكن حساب كثافة الحالات للإلكترونات أو الفوتونات أو الفونونات ، ويمكن التعبير عنها كدالة للطاقة أو متجه الموجة k . وللتحويل بين كثافة الحالات كدالة للطاقة وكثافة الحالات كدالة لمتجه الموجة، يجب معرفة علاقة تشتت الطاقة الخاصة بالنظام بين E و k .

بشكل عام، تؤثر الخصائص الطوبولوجية للنظام، مثل بنية النطاقات، تأثيرًا كبيرًا على خصائص كثافة الحالات. تتميز الأنظمة الأكثر شهرة، مثل المادة النيوترونية في النجوم النيوترونية وغازات الإلكترونات الحرة في المعادن (أمثلة على المادة المنحلة وغاز فيرمي ) ، بطوبولوجيا إقليدية ثلاثية الأبعاد . أما الأنظمة الأقل شيوعًا، مثل غازات الإلكترونات ثنائية الأبعاد في طبقات الجرافيت ونظام تأثير هول الكمي في أجهزة MOSFET ، فتتميز بطوبولوجيا إقليدية ثنائية الأبعاد. وتُعد أنابيب الكربون النانوية والأسلاك الكمية وسائل لوتنجر ، ذات الطوبولوجيا أحادية البعد، أقل شيوعًا. ومن المرجح أن تصبح الأنظمة ذات الطوبولوجيا أحادية وثنائية الأبعاد أكثر شيوعًا، بافتراض استمرار التطورات في تكنولوجيا النانو وعلوم المواد .

يتم تعريف كثافة الحالات المتعلقة بالحجم V ومستويات الطاقة N القابلة للعد على النحو التالي:$${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\,\sum _{i=1}^{N}\delta (EE({\mathbf {k} }_{i})).}$$ لأن أصغر تغيير مسموح به في الزخم${\displaystyle k}$بالنسبة لجزيء في صندوق ذي أبعاد${\displaystyle d}$والطول${\displaystyle L}$يكون${\displaystyle (\Delta k)^{d}=({2\pi }/{L})^{d}}$، يتم الحصول على كثافة الحالات المتعلقة بالحجم لمستويات الطاقة المستمرة في الحد${\displaystyle L\to \infty }$مثل $${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (EE(\mathbf {k} )),}$$ هنا،${\displaystyle d}$يمثل البعد المكاني للنظام المدروس و${\displaystyle \mathbf {k} }$متجه الموجة.

بالنسبة للأنظمة أحادية البعد المتناحية ذات تشتت الطاقة المكافئ، فإن كثافة الحالات هي${\textstyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{2\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$في بعدين، تكون كثافة الحالات ثابتة .${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}}$بينما في ثلاثة أبعاد يصبح${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$.

وبالمثل، يمكن فهم كثافة الحالات أيضًا على أنها مشتقة دالة التقسيم الميكروكانونية${\displaystyle Z_{m}(E)}$(أي العدد الإجمالي للحالات ذات الطاقة الأقل من${\displaystyle E}$) فيما يتعلق بالطاقة: $${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}.}$$

عدد الحالات التي تحتوي على طاقة${\displaystyle E'}$(درجة الانحطاط) تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\,\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$$ حيث لا تنطبق المساواة الأخيرة إلا عندما تكون نظرية القيمة المتوسطة للتكاملات صالحة.

هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأنظمة وأنواع الحالات التي يمكن إجراء حسابات كثافة الحالات لها.

تتمتع بعض أنظمة المادة المكثفة بتناظر بنيوي على المستوى المجهري، ما يُسهّل حساب كثافة حالاتها. في الأنظمة ذات التناظر الكروي، تكون تكاملات الدوال أحادية البعد، لأن جميع المتغيرات في الحساب تعتمد فقط على المعامل القطري لعلاقة التشتت. تُعدّ السوائل والزجاج والمواد الصلبة غير المتبلورة أمثلة على نظام متناظر، حيث تتمتع علاقات التشتت فيه بتناظر دوراني.

تتطلب القياسات على المساحيق أو العينات متعددة البلورات تقييم وحساب الدوال والتكاملات على كامل نطاق علاقات التشتت للنظام المدروس ، وغالبًا ما يكون هذا النطاق هو نطاق بريلوين . في بعض الأحيان، يكون تناظر النظام عاليًا، مما يؤدي إلى ظهور شكل الدوال التي تصف علاقات التشتت عدة مرات على كامل نطاق علاقة التشتت. في مثل هذه الحالات، يمكن تقليل الجهد المبذول لحساب كثافة الحالات بشكل كبير عند حصر الحساب في نطاق مُصغّر أو نطاق أساسي . ^{[ 1 ]} يتميز نطاق بريلوين للشبكة المكعبة ذات المراكز الوجهية (FCC) في الشكل على اليمين بتناظر 48 طية للمجموعة النقطية O _h مع تناظر ثماني السطوح كامل . هذا التكوين يعني أنه يمكن اختزال التكامل على كامل نطاق بريلوين إلى جزء من 48 من نطاق بريلوين بأكمله. كما يُظهر الجدول الدوري للبنية البلورية ، توجد العديد من العناصر ذات البنية البلورية المكعبة المتمركزة على الوجوه (FCC)، مثل الماس والسيليكون والبلاتين ، وتتميز مناطق بريلوين وعلاقات التشتت الخاصة بها بتناظر 48. ومن بين البنى البلورية الشائعة الأخرى، الشبكة المكعبة المتمركزة على الجسم (BCC) والبنية السداسية المتراصة (HCP)، حيث تتميز الأولى بشبكة مكعبة والثانية بشبكة سداسية. تتمتع بنية BCC بتناظر بيريتوهيدرالي 24 لمجموعة التناظر T _h . أما بنية HCP، فتتمتع بتناظر ثنائي السطوح موشوري 12 لمجموعة التناظر D _3h . ويمكن الاطلاع على قائمة كاملة بخصائص التناظر لمجموعة التناظر في جداول خصائص مجموعات التناظر .

بشكل عام، يسهل حساب كثافة الحالات عندما يكون تناظر النظام أعلى وعدد الأبعاد الطوبولوجية لعلاقة التشتت أقل. غالبًا ما يمكن حساب كثافة الحالات لعلاقات التشتت ذات التناظر الدوراني تحليليًا. هذه النتيجة مفيدة، نظرًا لأن العديد من المواد ذات الأهمية العملية، مثل الفولاذ والسيليكون، تتمتع بتناظر عالٍ.

في أنظمة المادة المكثفة غير المتناحية، مثل البلورة الأحادية لمركب ما، قد تختلف كثافة الحالات في اتجاه بلوري عن غيره. وهذا يجعل تصور كثافة الحالات غير المتناحية أكثر صعوبة، وقد يتطلب الأمر استخدام طرق مثل حساب كثافة الحالات لنقاط أو اتجاهات محددة فقط، أو حساب كثافة الحالات المسقطة (PDOS) على اتجاه بلوري معين.

تعتمد كثافة الحالات على الأبعاد الكلية للجسم. في نظام ثلاثي الأبعاد (ثلاثة أبعاد) تُقاس كثافة الحالات بوحدة الطاقة/ الحجم، وفي نظام ثنائي الأبعاد تُقاس بوحدة الطاقة/المساحة، ^وفي نظام أحادي الأبعاد تُقاس ^بوحدة الطاقة/الطول. يُشير الحجم المذكور إلى حجم فضاء k، وهو الفضاء المحصور بسطح الطاقة الثابتة للنظام، والمُستنتج من علاقة التشتت التي تربط الطاقة (E) ^{بـ k} . يوضح الشكل 1 مثالًا على فضاء k ثلاثي الأبعاد . ^يتضح من الشكل ^أن أبعاد النظام تُقيد زخم الجسيمات داخله.

يتم تحديد علاقة التشتت للإلكترونات في مادة صلبة من خلال بنية النطاق الإلكتروني .

تعتمد الطاقة الحركية للجسيم على مقدار واتجاه متجه الموجة k ، وخصائص الجسيم، والبيئة التي يتحرك فيها. على سبيل المثال، تُعطى الطاقة الحركية للإلكترون في غاز فيرمي بالعلاقة التالية:$${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$$

حيث m هي كتلة الإلكترون . علاقة التشتت عبارة عن قطع مكافئ متناظر كرويًا وهي تتزايد باستمرار، لذا يمكن حساب كثافة الحالات بسهولة.

بالنسبة للفونونات الطولية في سلسلة من الذرات، تُعطى علاقة التشتت للطاقة الحركية في فضاء k أحادي البعد ، كما هو موضح في الشكل 2، بالصيغة التالية: $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$$ أين${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\text{F}}/m}}}$تردد المذبذب،${\displaystyle m}$كتلة الذرات،${\displaystyle k_{\text{F}}}$ثابت القوة بين الذرات و${\displaystyle a}$المسافة بين الذرات. بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle k\ll \pi /a}$العلاقة التشتتية خطية: $${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$$

متى${\displaystyle k\approx \pi /a}$الطاقة هي $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$$

مع التحول${\displaystyle q=k-\pi /a}$وصغيرة${\displaystyle q}$يمكن تحويل هذه العلاقة إلى $${\displaystyle E\approx 2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$$

التشتت المكافئ

في حالة علاقة التشتت المكافئة ( p = 2)، كما هو الحال بالنسبة للإلكترونات الحرة في غاز فيرمي، فإن كثافة الحالات الناتجة،${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$، بالنسبة للإلكترونات في الأنظمة ذات الأبعاد n هو

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{c_{k}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\,.\end{aligned}}}$$

ل${\displaystyle E>E_{0}}$، مع${\displaystyle D(E)=0}$ل${\displaystyle E<E_{0}}$.

في الأنظمة أحادية البعد، تتباعد كثافة الحالات عند أسفل النطاق كما${\displaystyle E}$انخفاض إلى${\displaystyle E_{0}}$في الأنظمة ثنائية الأبعاد، يتبين أن كثافة الحالات مستقلة عن${\displaystyle E}$وأخيرًا، بالنسبة للأنظمة ثلاثية الأبعاد، ترتفع كثافة الحالات كجذر تربيعي للطاقة. ^{[ 4 ]}

بما في ذلك العامل المسبق${\displaystyle s/V_{k}}$، التعبير عن كثافة الحالات ثلاثية الأبعاد هو $${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}},}$$

أين${\displaystyle V}$هو الحجم الإجمالي، و${\displaystyle N(E-E_{0})}$يتضمن ذلك انحلال الدوران الثنائي.

تلعب كثافة الحالات دورًا هامًا في النظرية الحركية للمواد الصلبة . يمثل حاصل ضرب كثافة الحالات في دالة توزيع الاحتمال عدد الحالات المشغولة لكل وحدة حجم عند طاقة معينة لنظام في حالة اتزان حراري. تُستخدم هذه القيمة على نطاق واسع لدراسة مختلف الخصائص الفيزيائية للمادة. فيما يلي أمثلة، باستخدام دالتي توزيع شائعتين، توضح كيف يمكن لتطبيق دالة توزيع على كثافة الحالات أن يُنتج خصائص فيزيائية.

إحصاءات فيرمي-ديراك : تُستخدم دالة توزيع احتمالية فيرمي-ديراك، الموضحة في الشكل 4، لإيجاد احتمالية وجود فرميون في حالة كمومية محددة ضمن نظام في حالة توازن حراري. الفرميونات هي جسيمات تخضع لمبدأ استبعاد باولي (مثل الإلكترونات والبروتونات والنيوترونات). يمكن كتابة دالة التوزيع على النحو التالي: $${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}$$

${\displaystyle \mu }$هو الجهد الكيميائي (يرمز له أيضًا بـ E _F ويسمى مستوى فيرمي عندما T = 0)،${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$هو ثابت بولتزمان، و${\displaystyle T}$درجة الحرارة. يوضح الشكل 4 كيف يمكن لناتج دالة توزيع فيرمي-ديراك وكثافة الحالات ثلاثية الأبعاد لأشباه الموصلات أن يعطي نظرة ثاقبة على الخصائص الفيزيائية مثل تركيز حاملات الشحنة وفجوات نطاق الطاقة.

إحصاءات بوز-أينشتاين : دالة توزيع بوز-أينشتاين${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)}$هو متوسط ​​عدد البوزونات التي تشغل أي حالة كمومية ذات طاقة${\displaystyle E}$في نظام في حالة توازن حراري. البوزونات هي جسيمات لا تخضع لمبدأ استبعاد باولي (مثل الفونونات والفوتونات)، لذلك${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)}$يمكن أن تكون أكبر من 1. يمكن كتابة دالة التوزيع على النحو التالي: $${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\text{B}}T}}\right)-1}}.}$$

من خلال هذين التوزيعين، يمكن حساب خصائص مثل الطاقة الداخلية لكل وحدة حجم${\displaystyle u}$عدد الجسيمات${\displaystyle N}$السعة الحرارية النوعية${\displaystyle c}$، والتوصيل الحراري${\displaystyle k}$العلاقات بين هذه الخصائص وحاصل ضرب كثافة الحالات وتوزيع الاحتمال، مع الإشارة إلى كثافة الحالات بـ${\displaystyle g(E)}$بدلاً من${\displaystyle D(E)}$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]N&=V\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]c&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d}$الأبعاد،${\displaystyle \nu }$هي سرعة الصوت و${\displaystyle \Lambda }$يعني المسار الحر .

تظهر كثافة الحالات في العديد من مجالات الفيزياء، وتساعد في تفسير عدد من الظواهر الميكانيكية الكمومية.

تتسم الأنظمة المثيرة للاهتمام عمومًا بالتعقيد، مثل المركبات والجزيئات الحيوية والبوليمرات، وما إلى ذلك. ونظرًا لتعقيد هذه الأنظمة، فإن الحساب التحليلي لكثافة الحالات يكون مستحيلاً في معظم الحالات. توفر المحاكاة الحاسوبية مجموعة من الخوارزميات لتقييم كثافة الحالات بدقة عالية. إحدى هذه الخوارزميات تُعرف بخوارزمية وانغ ولاندو . ^{[ 9 ]}

في مخطط وانغ ولاندو، لا يُشترط معرفة مسبقة بكثافة الحالات. ويتم ذلك على النحو التالي: تُجزأ دالة التكلفة (مثل الطاقة) للنظام. وفي كل مرة يتم الوصول إلى الخانة i ، يتم تحديث الرسم البياني لكثافة الحالات.${\displaystyle g(i)}$، بواسطة $${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$$ حيث يُطلق على f اسم عامل التعديل. بمجرد زيارة كل خانة في الرسم البياني عددًا معينًا من المرات (10-15)، يتم تقليل عامل التعديل وفقًا لمعيار معين، على سبيل المثال، $${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$$ حيث يرمز n إلى خطوة التحديث رقم n . تنتهي المحاكاة عندما يكون عامل التعديل أقل من عتبة معينة، على سبيل المثال${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$.

تتميز خوارزمية وانغ ولاندو ببعض المزايا مقارنةً بالخوارزميات الشائعة الأخرى، مثل المحاكاة متعددة القنوات والتسخين المتوازي . فعلى سبيل المثال، تُحسب كثافة الحالات كناتج رئيسي للمحاكاة. إضافةً إلى ذلك، فإن محاكاة وانغ ولاندو مستقلة تمامًا عن درجة الحرارة. وتتيح هذه الميزة حساب كثافة الحالات لأنظمة ذات سطح طاقة غير منتظم للغاية، مثل البروتينات. ^{[ 10 ]}

رياضياً، تتم صياغة كثافة الحالات من حيث برج من الخرائط التغطية. ^{[ 11 ]}

من أهم خصائص تعريف كثافة الحالات (DOS) إمكانية تعميمه على أي نظام. ومن خصائصه الثبات الانتقالي، ما يعني أن كثافة الحالات متجانسة ومتساوية عند كل نقطة في النظام. لكن هذه حالة خاصة، بينما تقدم كثافة الحالات المحلية (LDOS) وصفًا أوسع بكثافة حالات غير متجانسة في جميع أنحاء النظام.

تعريف عام

في الكثافة المحلية للحالات، يتم ترجيح مساهمة كل حالة بكثافة دالة الموجة الخاصة بها عند النقطة.${\displaystyle N(E)}$يصبح${\displaystyle n(E,x)}$

$${\displaystyle n(E,x)=\sum _{j}|\phi _{j}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

عامل${\displaystyle |\phi _{j}(x)|^{2}}$وهذا يعني أن كل ولاية تساهم بشكل أكبر في المناطق ذات الكثافة السكانية العالية. متوسط ​​على${\displaystyle x}$سيؤدي هذا التعبير إلى استعادة الصيغة المعتادة لكثافة الحالات. تُعد كثافة الحالات المحلية مفيدة في الأنظمة غير المتجانسة، حيث${\displaystyle n(E,x)}$يحتوي على معلومات أكثر من${\displaystyle n(E)}$وحيد.

بالنسبة لنظام أحادي البعد ذي جدار، تعطي الموجات الجيبية

$${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$$

أين${\textstyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$.

في نظام ثلاثي الأبعاد مع${\displaystyle x>0}$التعبير هو

$${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$$

في الواقع، يمكننا تعميم الكثافة المحلية للحالات بشكل أكبر إلى

$${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

تُسمى هذه الدالة بالدالة الطيفية ، وهي دالة تحتوي على كل دالة موجية على حدة في متغيرها الخاص. في النظريات المتقدمة، ترتبط هذه الدالة بدوال غرين، وتوفر تمثيلاً موجزاً لبعض النتائج، مثل الامتصاص الضوئي .

• تشين، غانغ. نقل الطاقة وتحويلها على المستوى النانوي. نيويورك: أكسفورد، 2005
• ستريتمان، بن جي. وسانجاي بانيرجي. أجهزة إلكترونية صلبة الحالة. أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول، 2000.
• مولر، ريتشارد إس. وثيودور آي. كامينز. إلكترونيات الأجهزة للدوائر المتكاملة. نيويورك: جون وايلي وأولاده، 2003.
• كيتل، تشارلز وهربرت كرومر. الفيزياء الحرارية. نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، 1980
• سزي، سيمون م. فيزياء أجهزة أشباه الموصلات. نيويورك: جون وايلي وأولاده، 1981

• محاضرة عبر الإنترنت: محاضرة رقم 8 من مقرر هندسة الحاسوب والكهرباء 606: كثافة الحالات، إعداد: م. علم
• العلماء يسلطون الضوء على المواد المتوهجة: كيفية قياس كثافة الحالات الضوئية المحلية