نموذج الالكترون الحر

في فيزياء الحالة الصلبة ، نموذج الإلكترون الحر هو نموذج ميكانيكي كمي لسلوك حاملات الشحنة في مادة صلبة معدنية . تم تطويره في عام 1927، ^[1] بشكل أساسي من قبل أرنولد سومرفيلد ، الذي جمع بين نموذج درود الكلاسيكي وإحصائيات فيرمي-ديراك الميكانيكية الكمومية ، ومن ثم يُعرف أيضًا باسم نموذج درود-سومرفيلد . ^{[أشكروفت وميرمين 1] [كيتل 1]}

نظرًا لبساطته، فإنه ناجح بشكل مدهش في تفسير العديد من الظواهر التجريبية، وخاصة

• قانون فيدمان-فرانز الذي يربط بين التوصيل الكهربائي والتوصيل الحراري ؛
• اعتماد السعة الحرارية للإلكترون على درجة الحرارة ؛
• شكل الكثافة الإلكترونية للحالات ؛
• نطاق قيم طاقة الربط؛
• الموصلات الكهربائية؛
• معامل سيبيك للتأثير الحراري الكهربائي ؛
• انبعاث الإلكترونات الحرارية وانبعاث الإلكترونات الميدانية من المعادن السائبة.

حل نموذج الإلكترون الحر العديد من التناقضات المتعلقة بنموذج درود وأعطى نظرة ثاقبة للعديد من الخصائص الأخرى للمعادن. يعتبر نموذج الإلكترون الحر أن المعادن تتكون من غاز إلكترون كمي حيث لا تلعب الأيونات أي دور تقريبًا. يمكن أن يكون النموذج تنبؤيًا للغاية عند تطبيقه على القلويات والمعادن النبيلة .

في نموذج الإلكترون الحر يتم أخذ أربعة افتراضات رئيسية في الاعتبار: ^{[Ashcroft & Mermin 2]}

• تقريب الإلكترون الحر: يتم إهمال التفاعل بين الأيونات وإلكترونات التكافؤ في الغالب، باستثناء الظروف الحدودية. تحافظ الأيونات فقط على حياد الشحنة في المعدن. على عكس نموذج درود، فإن الأيونات ليست بالضرورة مصدرًا للتصادمات.
• تقريب الإلكترون المستقل : يتم تجاهل التفاعلات بين الإلكترونات. تكون المجالات الكهروستاتيكية في المعادن ضعيفة بسبب تأثير الغربلة .
• تقريب زمن الاسترخاء: هناك آلية تشتت غير معروفة بحيث تكون احتمالية تصادم الإلكترونات متناسبة عكسياً مع زمن الاسترخاء ، والذي يمثل متوسط ​​الوقت بين التصادمات. لا تعتمد التصادمات على التكوين الإلكتروني.${\displaystyle \tau }$
• مبدأ استبعاد باولي : لا يمكن أن يشغل كل حالة كمية من النظام إلا إلكترون واحد. يؤخذ هذا التقييد لحالات الإلكترون المتاحة في الاعتبار من خلال إحصاءات فيرمي-ديراك (انظر أيضًا غاز فيرمي ). يتم استنباط التنبؤات الرئيسية لنموذج الإلكترون الحر من خلال توسع سومرفيلد لإشغال فيرمي-ديراك للطاقات حول مستوى فيرمي .

يأتي اسم النموذج من الافتراضين الأولين، حيث يمكن التعامل مع كل إلكترون كجسيم حر مع علاقة تربيعية خاصة بين الطاقة والزخم.

لم يتم أخذ الشبكة البلورية في الاعتبار صراحةً في نموذج الإلكترون الحر، ولكن تم تقديم مبرر ميكانيكي كمي بعد عام (1928) بواسطة نظرية بلوخ : يتحرك الإلكترون غير المرتبط في جهد دوري كإلكترون حر في الفراغ، باستثناء أن كتلة الإلكترون m _e ​​تصبح كتلة فعالة m* والتي قد تنحرف بشكل كبير عن m _e ​​(يمكن للمرء حتى استخدام كتلة فعالة سلبية لوصف التوصيل بواسطة ثقوب الإلكترون ). يمكن اشتقاق الكتل الفعالة من حسابات بنية النطاق التي لم تؤخذ في الاعتبار في الأصل في نموذج الإلكترون الحر. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تتبع العديد من الخصائص الفيزيائية بشكل مباشر من نموذج درود ، حيث لا تعتمد بعض المعادلات على التوزيع الإحصائي للجسيمات. إن أخذ توزيع السرعة الكلاسيكي للغاز المثالي أو توزيع السرعة لغاز فيرمي لا يغير النتائج المتعلقة بسرعة الإلكترونات إلا. ^{[أشكروفت وميرمين 3]}

بشكل أساسي، يتنبأ نموذج الإلكترون الحر ونموذج درود بنفس الموصلية الكهربائية للتيار المستمر σ لقانون أوم ، أي ^{[Ashcroft & Mermin 4]}

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \quad }$مع${\displaystyle \quad \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m_{e}}},}$

أين هي كثافة التيار ، هو المجال الكهربائي الخارجي، هي الكثافة الإلكترونية (عدد الإلكترونات/الحجم)، هو متوسط ​​الزمن الحر و هي الشحنة الكهربائية للإلكترون . ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle e}$

الكميات الأخرى التي تظل كما هي في نموذج الإلكترون الحر كما في نموذج درود هي قابلية التيار المتردد، وتردد البلازما ، ومقاومة المغناطيسية ، ومعامل هول المرتبط بتأثير هول . ^{[أشكروفت وميرمين 3]}

تتبع العديد من خصائص نموذج الإلكترون الحر بشكل مباشر المعادلات المتعلقة بغاز فيرمي، حيث يؤدي التقريب المستقل للإلكترون إلى مجموعة من الإلكترونات غير المتفاعلة. بالنسبة لغاز الإلكترون ثلاثي الأبعاد، يمكننا تعريف طاقة فيرمي على أنها ^{[Ashcroft & Mermin 5]}

${\displaystyle E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}n\right)^{\frac {2}{3}},}$

أين هو ثابت بلانك المخفض . تحدد طاقة فيرمي طاقة الإلكترون الأعلى طاقة عند درجة حرارة الصفر. بالنسبة للمعادن، تكون طاقة فيرمي في حدود وحدات الإلكترون فولت أعلى من الحد الأدنى لطاقة نطاق الإلكترون الحر. ^[2]${\displaystyle \hbar }$

الكثافة ثلاثية الأبعاد للحالات (عدد حالات الطاقة، لكل طاقة لكل حجم) لغاز الإلكترون غير المتفاعل تعطى بواسطة: ^{[ بحاجة لمصدر ]}

${\displaystyle g(E)={\frac {m_{e}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {2m_{e}E}}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}{\sqrt {\frac {E}{E_{\rm {F}}}}},}$

حيث هي طاقة الإلكترون المعطى. تأخذ هذه الصيغة في الاعتبار انحطاط الدوران ولكنها لا تأخذ في الاعتبار تحول الطاقة المحتمل بسبب قاع نطاق التوصيل . بالنسبة إلى 2D تكون كثافة الحالات ثابتة وبالنسبة إلى 1D تتناسب عكسياً مع الجذر التربيعي لطاقة الإلكترون. ${\textstyle E\geq 0}$

تُعرف أيضًا الإمكانات الكيميائية للإلكترونات في مادة صلبة بمستوى فيرمي ، ومثل طاقة فيرمي ذات الصلة ، غالبًا ما يشار إليها بـ . يمكن استخدام توسع سومرفيلد لحساب مستوى فيرمي ( ) عند درجات حرارة أعلى على النحو التالي: ^{[Ashcroft & Mermin 6]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle E_{\rm {F}}}$${\displaystyle T>0}$

${\displaystyle E_{\rm {F}}(T)=E_{\rm {F}}(T=0)\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{4}+\cdots \right],}$

أين هي درجة الحرارة ونعرفها بدرجة حرارة فيرمي ( هي ثابت بولتزمان ). النهج المضطرب مبرر لأن درجة حرارة فيرمي عادة ما تكون حوالي 10 ⁵ كلفن للمعدن، وبالتالي في درجة حرارة الغرفة أو أقل تكون طاقة فيرمي والإمكانات الكيميائية متكافئة عمليًا. ${\displaystyle T}$${\textstyle T_{\rm {F}}=E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$${\displaystyle E_{\rm {F}}(T=0)}$${\displaystyle E_{\rm {F}}(T>0)}$

يمكن أيضًا حساب إجمالي الطاقة لكل وحدة حجم (عند ) عن طريق التكامل على مساحة الطور للنظام، نحصل على ^{[Ashcroft & Mermin 7]}${\textstyle T=0}$

${\displaystyle u(0)={\frac {3}{5}}nE_{\rm {F}},}$

والتي لا تعتمد على درجة الحرارة. قارن مع طاقة كل إلكترون في الغاز المثالي: ، والتي تكون معدومة عند درجة حرارة الصفر. لكي يكون للغاز المثالي نفس طاقة غاز الإلكترون، يجب أن تكون درجات الحرارة من رتبة درجة حرارة فيرمي. من الناحية الديناميكية الحرارية، تتوافق طاقة غاز الإلكترون هذه مع ضغط درجة حرارة الصفر المعطى بواسطة ^{[Ashcroft & Mermin 7]}${\textstyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {2}{3}}u(0),}$

حيث هو الحجم و هو إجمالي الطاقة، المشتقة التي يتم إجراؤها عند درجة حرارة وثابت الجهد الكيميائي. يُطلق على هذا الضغط ضغط انحلال الإلكترون ولا يأتي من تنافر أو حركة الإلكترونات ولكن من القيد الذي لا يمكن لأكثر من إلكترونين (بسبب قيمتي الدوران) أن يشغلا نفس مستوى الطاقة. يحدد هذا الضغط قابلية الانضغاط أو معامل الكتلة للمعدن ^{[Ashcroft & Mermin 7]}${\textstyle V}$${\textstyle U(T)=u(T)V}$

${\displaystyle B=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {5}{3}}P={\frac {2}{3}}nE_{\rm {F}}.}$

يعطي هذا التعبير الترتيب الصحيح لحجم معامل المرونة للمعادن القلوية والمعادن النبيلة، مما يوضح أن هذا الضغط مهم بقدر أهمية التأثيرات الأخرى داخل المعدن. بالنسبة للمعادن الأخرى، يجب أخذ البنية البلورية في الاعتبار.

وفقًا لنظرية بور-فان ليوين ، لا يمكن لنظام كلاسيكي في حالة توازن ترموديناميكي أن يكون له استجابة مغناطيسية. الخصائص المغناطيسية للمادة من حيث النظرية المجهرية هي ميكانيكية كمية بحتة. بالنسبة لغاز الإلكترون، تكون الاستجابة المغناطيسية الكلية بارامغناطيسية وقابليتها المغناطيسية تُعطى بواسطة ^{[ بحاجة لمصدر ]}

${\displaystyle \chi ={\frac {2}{3}}\mu _{0}\mu _{\mathrm {B} }^{2}g(E_{\mathrm {F} }),}$

أين هي نفاذية الفراغ و هي مغناطيسية بور . تنشأ هذه القيمة من منافسة مساهمتين: مساهمة مغناطيسية مضادة (تُعرف باسم مغناطيسية لانداو ) تأتي من الحركة المدارية للإلكترونات في وجود مجال مغناطيسي، ومساهمة مغناطيسية بارامغناطيسية (مغناطيسية باولي). المساهمة الأخيرة أكبر بثلاث مرات من حيث القيمة المطلقة من المساهمة المغناطيسية المضادة وتأتي من دوران الإلكترون ، وهي درجة حرية كمية جوهرية يمكن أن تأخذ قيمتين منفصلتين وهي مرتبطة بالعزم المغناطيسي للإلكترون . ${\textstyle \mu _{0}}$${\textstyle \mu _{\rm {B}}}$

كانت إحدى المشكلات المفتوحة في فيزياء الحالة الصلبة قبل ظهور ميكانيكا الكم هي فهم السعة الحرارية للمعادن. وفي حين أن معظم المواد الصلبة كانت لها سعة حرارية حجمية ثابتة تعطى بموجب قانون دولونج-بيتي بنحو 10 ... ${\displaystyle 3nk_{\rm {B}}}$

يوفر الحساب الكلاسيكي باستخدام نموذج درود، استنادًا إلى الغاز المثالي، سعة حرارية حجمية تعطى بواسطة

${\displaystyle c_{V}^{\text{Drude}}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}}$.

إذا كان الأمر كذلك، فإن السعة الحرارية للمعادن يجب أن تكون 1.5 من تلك التي تم الحصول عليها بواسطة قانون دولونج-بيتي.

ومع ذلك، لم يتم قياس مثل هذه المساهمة الإضافية الكبيرة في السعة الحرارية للمعادن، مما أثار الشكوك حول الحجة المذكورة أعلاه. باستخدام توسع سومرفيلد، يمكن للمرء الحصول على تصحيحات لكثافة الطاقة عند درجة حرارة محدودة والحصول على السعة الحرارية الحجمية لغاز الإلكترون، والتي يتم تحديدها بواسطة: ^{[Ashcroft & Mermin 8]}

${\displaystyle c_{V}=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{n}={\frac {\pi ^{2}}{2}}{\frac {T}{T_{\rm {F}}}}nk_{\rm {B}}}$,

حيث أن العامل المسبق إلى أصغر بشكل كبير من 3/2 الموجود في ، أصغر بحوالي 100 مرة في درجة حرارة الغرفة وأصغر بكثير في درجات حرارة أقل . ${\displaystyle nk_{B}}$${\textstyle c_{V}^{\text{Drude}}}$${\textstyle T}$

من الواضح أن المساهمة الإلكترونية وحدها لا تتنبأ بقانون دولونج-بيتيت ، أي ملاحظة أن السعة الحرارية للمعدن لا تزال ثابتة عند درجات الحرارة العالية. يمكن تحسين نموذج الإلكترون الحر بهذا المعنى عن طريق إضافة مساهمة اهتزازات الشبكة البلورية. يتضمن تصحيحان كميان مشهوران نموذج أينشتاين الصلب ونموذج ديباي الأكثر دقة . مع إضافة الأخير، يمكن كتابة السعة الحرارية الحجمية للمعدن عند درجات الحرارة المنخفضة بشكل أكثر دقة في الشكل، ^{[Ashcroft & Mermin 9]}

${\displaystyle c_{V}\approx \gamma T+AT^{3}}$,

حيث و هما ثوابت مرتبطة بالمادة. يأتي المصطلح الخطي من المساهمة الإلكترونية بينما يأتي المصطلح المكعب من نموذج ديباي. عند درجة حرارة عالية، لم يعد هذا التعبير صحيحًا، ويمكن إهمال السعة الحرارية الإلكترونية، وتميل السعة الحرارية الكلية للمعدن إلى ثابت معطى بواسطة قانون دولونج-بيتي. ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A}$

لاحظ أنه بدون تقريب زمن الاسترخاء، لا يوجد سبب لانحراف الإلكترونات عن حركتها، حيث لا توجد تفاعلات، وبالتالي يجب أن يكون متوسط ​​المسار الحر لانهائيًا. اعتبر نموذج درود أن متوسط ​​المسار الحر للإلكترونات قريب من المسافة بين الأيونات في المادة، مما يعني الاستنتاج السابق بأن الحركة الانتشارية للإلكترونات كانت بسبب الاصطدامات مع الأيونات. بدلاً من ذلك، يتم إعطاء متوسط ​​المسارات الحرة في نموذج الإلكترون الحر بواسطة (حيث هي سرعة فيرمي) وهي في حدود مئات الأنجستروم ، على الأقل مرتبة واحدة من حيث الحجم أكبر من أي حساب كلاسيكي ممكن. ^{[أشكروفت وميرمين 10]} وبالتالي فإن متوسط ​​المسار الحر ليس نتيجة لاصطدامات الإلكترون بالأيون ولكنه بدلاً من ذلك مرتبط بالعيوب في المادة، إما بسبب العيوب والشوائب في المعدن، أو بسبب التقلبات الحرارية. ^[3]${\textstyle \lambda =v_{\rm {F}}\tau }$${\textstyle v_{\rm {F}}={\sqrt {2E_{\rm {F}}/m_{e}}}}$

في حين أن نموذج درود يتنبأ بقيمة مماثلة للتوصيل الكهربائي مثل نموذج الإلكترون الحر، فإن النماذج تتنبأ بموصلية حرارية مختلفة قليلاً.

يتم إعطاء الموصلية الحرارية بواسطة للجسيمات الحرة، والتي تتناسب مع السعة الحرارية ومتوسط ​​المسار الحر الذي يعتمد على النموذج ( هو متوسط ​​(مربع) سرعة الإلكترونات أو سرعة فيرمي في حالة نموذج الإلكترون الحر). ^{[Ashcroft & Mermin 10]} وهذا يعني أن النسبة بين الموصلية الحرارية والكهربائية تعطى بواسطة قانون فيدمان-فرانز ، ${\displaystyle \kappa =c_{V}\tau \langle v^{2}\rangle /3}$${\displaystyle \langle v^{2}\rangle ^{1/2}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {m_{\rm {e}}c_{V}\langle v^{2}\rangle }{3ne^{2}}}=LT}$

أين رقم لورينز الذي أعطاه ^{[أشكروفت وميرمين 11]؟}${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}\;,&{\text{Drude}}\\\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}\;,&{\text{free electron model.}}\end{matrix}}\right.}$

إن نموذج الإلكترون الحر أقرب إلى القيمة المقاسة لـ V ² /K ² بينما تنبؤ درود بعيد عن القيمة بنحو النصف، وهو ليس فرقًا كبيرًا. كان التنبؤ القريب من رقم لورينز في نموذج درود نتيجة لكون الطاقة الحركية الكلاسيكية للإلكترون أصغر بنحو 100 من النسخة الكمومية، مما يعوض القيمة الكبيرة للسعة الحرارية الكلاسيكية. ${\displaystyle L=2.44\times 10^{-8}}$

ومع ذلك، يتنبأ وضع درود بالترتيب الخاطئ لحجم معامل سيبيك (القدرة الحرارية)، والذي يربط بين توليد فرق الجهد من خلال تطبيق تدرج درجة الحرارة عبر عينة . يمكن إظهار أن هذا المعامل هو ، وهو متناسب تمامًا مع السعة الحرارية، لذلك يتنبأ نموذج درود بثابت أكبر بمئة مرة من قيمة نموذج الإلكترون الحر. ^{[Ashcroft & Mermin 12]} بينما يحصل الأخير على معامل خطي في درجة الحرارة ويوفر قيمًا مطلقة أكثر دقة في حدود بضع عشرات من μV / K في درجة حرارة الغرفة. ^{[Ashcroft & Mermin 10] [Ashcroft & Mermin 12]} ومع ذلك، يفشل هذا النموذج في التنبؤ بتغير الإشارة ^{[Ashcroft & Mermin 13]} للطاقة الحرارية في الليثيوم والمعادن النبيلة مثل الذهب والفضة. ^[4]${\displaystyle \nabla V=-S\nabla T}$${\displaystyle S=-{c_{\rm {V}}}/{|ne|}}$

يقدم نموذج الإلكترون الحر العديد من أوجه القصور التي تتناقض مع الملاحظة التجريبية. نذكر بعض أوجه القصور أدناه: ^{[Ashcroft & Mermin 13]}

الاعتماد على درجة الحرارة

يقدم نموذج الإلكترون الحر العديد من الكميات الفيزيائية التي لها اعتماد خاطئ على درجة الحرارة، أو لا تعتمد على الإطلاق مثل الموصلية الكهربائية. يمكن التنبؤ بالموصلية الحرارية والحرارة النوعية بشكل جيد للمعادن القلوية في درجات الحرارة المنخفضة، لكنها تفشل في التنبؤ بسلوك درجات الحرارة المرتفعة الناتج عن حركة الأيونات وتشتت الفونون .

تأثير هول والمقاومة المغناطيسية

إن معامل هول له قيمة ثابتة في نموذج درود وفي نموذج الإلكترون الحر. وهذه القيمة مستقلة عن درجة الحرارة وقوة المجال المغناطيسي. إن معامل هول يعتمد في الواقع على بنية النطاق ويمكن أن يكون الاختلاف مع النموذج كبيرًا جدًا عند دراسة عناصر مثل المغنيسيوم والألمنيوم التي تعتمد بقوة على المجال المغناطيسي. ويتنبأ نموذج الإلكترون الحر أيضًا بأن المقاومة المغناطيسية العابرة، المقاومة في اتجاه التيار، لا تعتمد على قوة المجال. في جميع الحالات تقريبًا ، تعتمد على قوة المجال.${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=-1/|ne|}$

اتجاهي

قد تعتمد موصلية بعض المعادن على اتجاه العينة بالنسبة للحقل الكهربائي. وفي بعض الأحيان، لا يكون التيار الكهربائي موازيًا للحقل. ولا يتم وصف هذا الاحتمال لأن النموذج لا يدمج تبلور المعادن، أي وجود شبكة دورية من الأيونات.

التنوع في الموصلية

ليست كل المواد موصلة للكهرباء ، فبعضها لا يوصل الكهرباء جيدًا ( عوازل )، وبعضها يمكن أن يوصل عند إضافة شوائب مثل أشباه الموصلات . كما توجد أشباه معادن ذات نطاقات توصيل ضيقة. لا يتنبأ النموذج بهذا التنوع ولا يمكن تفسيره إلا من خلال تحليل نطاقات التكافؤ والتوصيل . بالإضافة إلى ذلك، فإن الإلكترونات ليست حاملات الشحنة الوحيدة في المعدن، ويمكن رؤية الفراغات الإلكترونية أو الثقوب كجسيمات شبه حاملة لشحنة كهربائية موجبة. يؤدي توصيل الثقوب إلى إشارة معاكسة لمعاملات هول وسيبيك التي تنبأ بها النموذج.

توجد أوجه قصور أخرى في قانون فيدمان-فرانز عند درجات الحرارة المتوسطة واعتماد المعادن على التردد في الطيف الضوئي. ^{[Ashcroft & Mermin 13]}

يمكن الحصول على قيم أكثر دقة للتوصيل الكهربائي وقانون فيدمان-فرانز عن طريق تخفيف تقريب زمن الاسترخاء من خلال الاستعانة بمعادلات نقل بولتزمان . ^{[Ashcroft & Mermin 13]}

يتم استبعاد التفاعل التبادلي تمامًا من هذا النموذج ويمكن أن يؤدي إدراجه إلى استجابات مغناطيسية أخرى مثل المغناطيسية الحديدية . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يمكن الحصول على استمرارية فورية لنموذج الإلكترون الحر من خلال افتراض تقريب الشبكة الفارغة ، والذي يشكل أساس نموذج بنية النطاق المعروف باسم نموذج الإلكترون الحر تقريبًا . ^{[Ashcroft & Mermin 13]}

إن إضافة التفاعلات التنافرية بين الإلكترونات لا تغير كثيرًا الصورة المقدمة هنا. أظهر ليف لاندو أن غاز فيرمي تحت التفاعلات التنافرية، يمكن اعتباره غازًا من شبه الجسيمات المكافئة التي تعدل قليلاً من خصائص المعدن. يُعرف نموذج لاندو الآن باسم نظرية سائل فيرمي . تتطلب الظواهر الأكثر غرابة مثل الموصلية الفائقة ، حيث يمكن أن تكون التفاعلات جذابة، نظرية أكثر دقة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

• نظرية بلوخ
• الانتروبيا الالكترونية
• ربط محكم
• غاز الإلكترون ثنائي الأبعاد
• إحصائيات بوز-أينشتاين
• سطح فيرمي
• قزم أبيض
• جيليوم

الاستشهادات

مراجع

عام

• كيتل، تشارلز (1972). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة . جامعة ميشيغان: وايلي آند سونز. رقم ISBN 978-0-471-49024-1.
• أشكروفت، نيل ؛ ميرمين، ن. ديفيد (1976). فيزياء الحالة الصلبة . نيويورك: هولت، رينهارت ووينستون. ISBN 978-0-03-083993-1.
• الأماكن القريبة : بيث، هانز (1933). الإلكترون الإلكترونى للمعادن . برلين هايدلبرغ: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 978-3642950025.
• زيمان، جيه إم (1972). مبادئ نظرية المواد الصلبة (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-29733-8.