معادلة تفاضلية وظيفية

تُعدّ المعادلة التفاضلية الوظيفية البسيطة هي المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى ذات التأخير ^{[ 4 ]} والتي تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle x'(t)=\alpha _{1}x(t)+\alpha _{2}x(t-\tau )+f(t),t\geq 0}$

أين${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\tau }$هي ثوابت،${\displaystyle f(t)}$هي دالة متصلة ، و${\displaystyle x}$هو كمية قياسية. فيما يلي جدول يقارن بين عدة معادلات تفاضلية عادية ووظيفية. ^{[ ملاحظة 1 ]}

	معادلة تفاضلية عادية	معادلة تفاضلية وظيفية
أمثلة	${\displaystyle f'(x)=x^{2}-3}$	${\displaystyle f'(x)=3x-f(x-4)}$
	${\displaystyle f'(x)=f(x)-8}$	${\displaystyle x'(t)=3x(2t)-{\bigl [}x(t-1){\bigr ]}^{2}}$
	${\displaystyle F{\bigl (}t,x(t),x'(t),x''(t){\bigr )}=0}$	${\displaystyle 2x(3t+1)-5x(4t)=1}$
	${\displaystyle f'(x)=4f(x)-3x}$

المعادلات التفاضلية الفرقية هي معادلات تفاضلية وظيفية تكون فيها قيم الوسائط منفصلة. ^{[ 1 ]} الصيغة العامة للمعادلات التفاضلية الوظيفية ذات عدد محدود من الوسائط المنفصلة المتغيرة هي

${\displaystyle x^{(n)}(t)=f{\Bigl (}t,x^{(n_{1})}{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x^{(n_{2})}{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x^{(n_{k})}{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}}$

أين${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{m},\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}\geq 0,}$و${\displaystyle \tau _{1}(t),\tau _{2}(t),\ldots ,\tau _{i}(t)\geq 0}$

تُعرف المعادلات التفاضلية الفرقية أيضاً بالمعادلات التفاضلية الوظيفية المتأخرة ، والمحايدة ، والمتقدمة ، والمختلطة . ويعتمد هذا التصنيف على ما إذا كان معدل تغير الحالة الراهنة للنظام يعتمد على القيم السابقة، أو القيم المستقبلية، أو كليهما. ^{[ 5 ]}

تصنيفات المعادلات التفاضلية الفرقية [ 6 ]
متخلف عقلياً	${\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}}$
حيادي	${\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ),x'(t-\tau ){\bigr )}}$
متقدم	${\displaystyle x'(t-\tau )=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}}$

المعادلات التكاملية التفاضلية من نوع فولتيرا هي معادلات تفاضلية وظيفية ذات قيم وسيطة متصلة. ^{[ 1 ]} تتضمن المعادلات التكاملية التفاضلية كلاً من التكاملات والمشتقات لدالة ما بالنسبة إلى وسيطها.

المعادلة التكاملية التفاضلية المستمرة للمعادلات التفاضلية الوظيفية المتأخرة،${\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t-\tau _{1}(t)),x(t-\tau _{2}(t)),\ldots ,x(t-\tau _{k}(t)){\bigr )}}$، ويمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle x'(t)=f{\Biggl (}t,\int _{t-\tau (t)}^{t}K(t,\theta ,x(\theta ))\,\mathrm {d} \theta {\Biggr )},\quad \tau (t)\geq 0}$

تُعطى المعادلة اللوجستية لنمو السكان على النحو التالي:$${\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right),}$$ حيث ρ هو معدل التكاثر و k هي القدرة الاستيعابية .${\displaystyle x(t)}$يمثل حجم السكان في الوقت t ، و${\textstyle \rho \left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right)}$معدل التكاثر الذي يعتمد على الكثافة. ^{[ 7 ]}

إذا قمنا الآن بتطبيق هذا على وقت سابق${\displaystyle t-\tau }$، نحصل $${\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t-\tau )}{k}}\right)}$$

عند التعرض لتطبيقات المعادلات التفاضلية العادية، يصادف الكثيرون نموذج الخلط لبعض المحاليل الكيميائية .

لنفترض وجود وعاء يحتوي على لترات من الماء المالح. يتدفق الماء المالح إلى داخل الوعاء وخارجه بنفس المعدل${\displaystyle r}$بمعدل لترات في الثانية. بعبارة أخرى، معدل تدفق الماء الداخل يساوي معدل تدفق محلول الماء المالح الخارج. لنفترض${\displaystyle V}$كمية الماء المالح في الحاوية باللترات و${\displaystyle x(t)}$ليكن التركيز المنتظم بالجرام لكل لتر من الماء المالح في وقت${\displaystyle t}$ثم لدينا المعادلة التفاضلية ^{[ 8 ]}$${\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t),{\frac {r}{V}}>0}$$

تكمن مشكلة هذه المعادلة في افتراضها أن كل قطرة ماء تدخل الوعاء تمتزج فورًا بالمحلول. ويمكن التغلب على هذا الافتراض باستخدام معادلة تفاضلية جزئية بدلًا من معادلة تفاضلية عادية.

يترك${\displaystyle x(t)}$ليكن متوسط ​​التركيز في الوقت${\displaystyle t}$بدلاً من أن يكون منتظمًا. لنفترض إذن أن المحلول يغادر الحاوية في الوقت${\displaystyle t}$يساوي${\displaystyle x(t-\tau ),\tau >0}$، وهو متوسط ​​التركيز في وقت سابق. عندئذٍ، تكون المعادلة معادلة تفاضلية تأخيرية من الشكل ^{[ 8 ].}$${\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t-\tau )}$$

طُوّر نموذج لوتكا -فولتيرا للعلاقة بين المفترس والفريسة في الأصل لرصد أعداد أسماك القرش والأسماك الأخرى في البحر الأدرياتيكي؛ إلا أن هذا النموذج استُخدم في العديد من المجالات الأخرى لأغراض مختلفة، مثل وصف التفاعلات الكيميائية. وقد حظي نمذجة أعداد المفترس والفريسة باهتمام بحثي واسع النطاق لفترة طويلة، ونتيجة لذلك، ظهرت العديد من الصيغ المختلفة للمعادلة الأصلية.

يُعطى أدناه مثال واحد، كما أوضحه Xu و Wu (2013)، ^{[ 9 ]} لنموذج Lotka–Volterra مع تأخير زمني: $${\displaystyle p'(t)=p(t){\Biggl [}r_{1}(t)-a_{11}(t)p{\biggl (}t-\tau _{11}(t){\biggr )}-a_{12}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{12}(t){\biggr )}-a_{13}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{13}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$$${\displaystyle P_{1}'(t)=P_{1}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{21}(t)p{\biggl (}t-\tau _{21}(t){\biggr )}-a_{22}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{22}(t){\biggr )}-a_{23}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{23}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$$${\displaystyle P_{2}'(t)=P_{2}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{31}(t)p{\biggl (}t-\tau _{31}(t){\biggr )}-a_{32}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{32}(t){\biggr )}-a_{33}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{33}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}$$ أين${\displaystyle p(t)}$يشير إلى كثافة أعداد الفرائس في الوقت t،${\displaystyle P_{1}(t)}$و${\displaystyle P_{2}(t)}$تشير إلى كثافة أعداد الحيوانات المفترسة في وقت معين${\displaystyle t,r_{i},a_{ij}\in C(\mathbb {R} ,[0,\infty ))}$و${\displaystyle \tau _{ij}\in C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

فيما يلي أمثلة على نماذج أخرى استخدمت المعادلات التفاضلية الجزئية، وتحديداً المعادلات التفاضلية الجزئية ذات التردد المنخفض:

• الحركة المتحكم بها لجسم صلب ^{[ 1 ]}
• الحركات الدورية ^{[ 8 ]}
• دائرة القلب والقلاب كأداة اختبار غير متلفة ^{[ 8 ]}
• نموذج لوباء فيروس نقص المناعة البشرية
• النماذج الرياضية لكمية السكر في الدم ^{[ 1 ]}
• معادلات تطور الأنواع المفردة ^{[ 1 ]}
• انتشار العدوى بين نوعين ^{[ 8 ]}
• الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ^{[ 10 ]}