سلسلة فولتيرا

سلسلة فولتيرا هي نموذج للسلوك غير الخطي يشبه سلسلة تايلور . وهي تختلف عن سلسلة تايلور في قدرتها على التقاط تأثيرات "الذاكرة". يمكن استخدام سلسلة تايلور لتقريب استجابة نظام غير خطي لمدخل معين إذا كان خرج النظام يعتمد بشكل صارم على المدخل في ذلك الوقت المعين. في سلسلة فولتيرا، يعتمد خرج النظام غير الخطي على مدخل النظام في جميع الأوقات الأخرى. يوفر هذا القدرة على التقاط تأثير "الذاكرة" للأجهزة مثل المكثفات والمحثات .

تم تطبيقه في مجالات الطب ( الهندسة الطبية الحيوية ) وعلم الأحياء، وخاصة علم الأعصاب . ^[1] كما يتم استخدامه في الهندسة الكهربائية لنمذجة تشوه التعديل المتبادل في العديد من الأجهزة، بما في ذلك مكبرات الطاقة وخلاطات التردد . ^{[ بحاجة لمصدر ]} تكمن ميزته الرئيسية في إمكانية تعميمه: يمكنه تمثيل مجموعة واسعة من الأنظمة. وبالتالي، يُعتبر أحيانًا نموذجًا غير معياري .

في الرياضيات ، تشير سلسلة فولتيرا إلى توسع وظيفي لدالة ديناميكية غير خطية ثابتة زمنيًا . تُستخدم سلسلة فولتيرا بشكل متكرر في تحديد النظام . سلسلة فولتيرا، التي تُستخدم لإثبات نظرية فولتيرا، هي مجموع لا نهائي من التكاملات التلافيفية متعددة الأبعاد.

سلسلة فولتيرا هي نسخة حديثة من نظرية الوظائف التحليلية من عالم الرياضيات الإيطالي فيتو فولتيرا ، في عمله الذي يرجع تاريخه إلى عام 1887. ^{[2] [3] أصبح} نوربرت وينر مهتمًا بهذه النظرية في عشرينيات القرن العشرين بسبب اتصاله بطالب فولتيرا بول ليفي . طبق وينر نظريته في الحركة البراونية لتكامل الوظائف التحليلية لفولتيرا. نشأ استخدام سلسلة فولتيرا لتحليل النظام من تقرير مقيد في زمن الحرب عام 1942 ^[4] لوينر، الذي كان آنذاك أستاذًا للرياضيات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . استخدم السلسلة لإجراء تحليل تقريبي لتأثير ضوضاء الرادار في دائرة مستقبل غير خطية. أصبح التقرير عامًا بعد الحرب. ^[5] كطريقة عامة لتحليل الأنظمة غير الخطية، دخلت سلسلة فولتيرا حيز الاستخدام بعد حوالي عام 1957 نتيجة لسلسلة من التقارير، التي تم تداولها بشكل خاص في البداية، من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وأماكن أخرى. ^[6] الاسم نفسه، سلسلة فولتيرا ، دخل حيز الاستخدام بعد بضع سنوات.

يمكن النظر إلى نظرية سلسلة فولتيرا من منظورين مختلفين:

• تعيين عامل بين مساحتين وظيفيتين (حقيقيتين أو معقدتين)
• تعيين وظيفي حقيقي أو معقد من فضاء دالة إلى أعداد حقيقية أو معقدة

يتم استخدام منظور رسم الخرائط الوظيفية الأخير بشكل أكثر تكرارًا بسبب ثبات النظام مع الزمن.

يمكن توسيع نظام مستمر ثابت زمنيًا مع x ( t ) كمدخل و y ( t ) كمخرج في سلسلة فولتيرا على النحو التالي:

${\displaystyle y(t)=h_{0}+\sum _{n=1}^{N}\int _{a}^{b}\cdots \int _{a}^{b}h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})\prod _{j=1}^{n}x(t-\tau _{j})\,d\tau _{j}.}$

هنا، عادةً ما يتم أخذ المصطلح الثابت على الجانب الأيمن ليكون صفرًا من خلال الاختيار المناسب لمستوى الإخراج . تسمى الدالة نواة فولتيرا من الدرجة n . ويمكن اعتبارها استجابة نبضية من الدرجة الأعلى للنظام. لكي يكون التمثيل فريدًا، يجب أن تكون النوى متناظرة في المتغيرات n . إذا لم تكن متناظرة، فيمكن استبدالها بنواة متناظرة، وهي المتوسط ​​على n ! تبديلات لهذه المتغيرات n . ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

إذا كان N منتهيًا، يُقال إن السلسلة مقطوعة . إذا كانت a و b و N منتهية، تُسمى السلسلة منتهية بشكل مضاعف .

في بعض الأحيان يتم تقسيم المصطلح من الدرجة n على n !، وهي اتفاقية مناسبة عند أخذ مخرجات نظام Volterra كمدخل لنظام آخر ("التتابع").

شرط السببية : نظرًا لأن الناتج في أي نظام قابل للتحقيق فعليًا لا يمكن أن يعتمد إلا على القيم السابقة للمدخلات، فإن النوى ستكون صفرًا إذا كانت أي من المتغيرات سالبة. يمكن بعد ذلك كتابة التكاملات على نصف النطاق من الصفر إلى ما لا نهاية. لذا إذا كان العامل سببيًا، . ${\displaystyle h_{n}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$${\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle a\geq 0}$

مبرهنة تقريب فريشيه : غالبًا ما يتم تبرير استخدام سلسلة فولتيرا لتمثيل علاقة وظيفية ثابتة مع الزمن من خلال الاستئناف إلى مبرهنة فريشيه . تنص هذه المبرهنة على أنه يمكن تقريب علاقة وظيفية ثابتة مع الزمن (تلبي شروطًا عامة معينة جدًا) بشكل موحد وبدرجة تعسفية من الدقة بواسطة سلسلة فولتيرا ذات رتبة محدودة عالية بدرجة كافية. من بين الشروط الأخرى، يجب أن تكون مجموعة وظائف الإدخال المقبولة التي سيصدق عليها التقريب مضغوطة . وعادةً ما يُنظر إليها على أنها مجموعة من الوظائف المتساوية الاستمرارية والمحدودة بشكل موحد ، والتي تكون مضغوطة وفقًا لنظرية أرزيلا-أسكولي . في العديد من المواقف الفيزيائية، يكون هذا الافتراض حول مجموعة الإدخال معقولاً. ومع ذلك، لا تعطي المبرهنة أي إشارة إلى عدد الحدود اللازمة لتقريب جيد، وهو سؤال أساسي في التطبيقات. ${\displaystyle x(t)}$

حالة الزمن المنفصل تشبه حالة الزمن المتصل، إلا أن التكاملات يتم استبدالها بالمجاميع:

$${\displaystyle y(n)=h_{0}+\sum _{p=1}^{P}\sum _{\tau _{1}=a}^{b}\cdots \sum _{\tau _{p}=a}^{b}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}),}$$ حيث تسمى كل دالة نواة فولتيرا ذات الزمن المنفصل . إذا كانت P منتهية، يقال إن عامل السلسلة مقطوع . إذا كانت a و b و P منتهية، يسمى عامل السلسلة متسلسلة فولتيرا ذات النهاية المزدوجة . إذا ، يقال إن العامل سببي . ${\displaystyle P\in \{1,2,\dots \}\cup \{\infty \}.}$${\displaystyle h_{p}}$${\displaystyle a\geq 0}$

يمكننا دائمًا اعتبار النواة متناظرة، دون فقدان العمومية . في الواقع، بالنسبة لتبادلية الضرب، من الممكن دائمًا تحقيق التماثل من خلال تكوين نواة جديدة تؤخذ كمتوسط ​​للنوى لجميع تبديلات المتغيرات . ${\displaystyle h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})}$${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{p}}$

بالنسبة لنظام سببي ذو نوى متماثلة، يمكننا إعادة كتابة الحد n تقريبًا في شكل مثلث

${\displaystyle \sum _{\tau _{1}=0}^{M}\sum _{\tau _{2}=\tau _{1}}^{M}\cdots \sum _{\tau _{p}=\tau _{p-1}}^{M}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}).}$

إن تقدير معاملات فولتيرا بشكل فردي أمر معقد، لأن الدوال الأساسية لسلسلة فولتيرا مترابطة. وهذا يؤدي إلى مشكلة حل مجموعة من المعادلات التكاملية للمعاملات في وقت واحد. وبالتالي، يتم تقدير معاملات فولتيرا بشكل عام عن طريق تقدير معاملات سلسلة متعامدة، على سبيل المثال سلسلة وينر ، ثم إعادة حساب معاملات سلسلة فولتيرا الأصلية. تكمن جاذبية سلسلة فولتيرا الرئيسية على السلسلة المتعامدة في بنيتها البديهية والتقليدية، أي أن جميع تفاعلات المدخلات لها درجة ثابتة واحدة. ستكون الدوال الأساسية المتعامدة معقدة للغاية بشكل عام.

هناك جانب مهم، تختلف فيه الطرق التالية، وهو ما إذا كان سيتم تنفيذ تقويم الوظائف الأساسية على المواصفات المثالية لإشارة الإدخال (على سبيل المثال، الضوضاء البيضاء الغاوسية ) أو على التحقيق الفعلي للإدخال (أي النسخة شبه العشوائية المحدودة البيضاء تقريبًا من الضوضاء البيضاء الغاوسية، أو أي حافز آخر). وقد ثبت أن الطرق الأخيرة، على الرغم من افتقارها إلى الأناقة الرياضية، أكثر مرونة (حيث يمكن استيعاب المدخلات التعسفية بسهولة) ودقة (بسبب التأثير المتمثل في أن النسخة المثالية لإشارة الإدخال لا يمكن تحقيقها دائمًا).

هذه الطريقة، التي طورها لي و شيتزن، تتعامد مع الوصف الرياضي الفعلي للإشارة، أي أن الإسقاط على الوظائف الأساسية الجديدة يعتمد على معرفة لحظات الإشارة العشوائية.

يمكننا كتابة سلسلة فولتيرا من حيث المشغلات المتجانسة ، كما يلي:

${\displaystyle y(n)=h_{0}+\sum _{p=1}^{P}H_{p}x(n),}$

أين

${\displaystyle H_{p}x(n)=\sum _{\tau _{1}=a}^{b}\cdots \sum _{\tau _{p}=a}^{b}h_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})\prod _{j=1}^{p}x(n-\tau _{j}).}$

للسماح بتحديد التعامد، يجب إعادة ترتيب سلسلة Volterra من حيث مشغلي G غير المتجانسين المتعامدين ( سلسلة Wiener ):

${\displaystyle y(n)=\sum _{p}H_{p}x(n)\equiv \sum _{p}G_{p}x(n).}$

يمكن تعريف مشغلي G على النحو التالي :

${\displaystyle E\{H_{i}x(n)G_{j}x(n)\}=0;\quad i<j,}$

${\displaystyle E\{G_{i}x(n)G_{j}x(n)\}=0;\quad i\neq j,}$

كلما كان فولتيرا متجانسًا تعسفيًا، فإن x ( n ) عبارة عن ضوضاء بيضاء ثابتة (SWN) بمتوسط ​​صفري وتباين A.${\displaystyle H_{i}x(n)}$

مع التذكير بأن كل دالة فولتيرا متعامدة مع كل دالة وينر ذات الترتيب الأكبر، ونظرًا لدالة فولتيرا التالية:

${\displaystyle H_{\overline {p}}^{*}x(n)=\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j}),}$

يمكننا أن نكتب

${\displaystyle E\left\{y(n)H_{\overline {p}}^{*}x(n)\right\}=E\left\{\sum _{p=0}^{\infty }G_{p}x(n)H_{\overline {p}}^{*}x(n)\right\}.}$

إذا كان x هو SWN، وبترك ، لدينا ${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}\neq \ldots \neq \tau _{P}}$${\displaystyle A=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle E\left\{y(n)\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j})\right\}=E\left\{G_{\overline {p}}x(n)\prod _{j=1}^{\overline {p}}x(n-\tau _{j})\right\}={\overline {p}}!A^{\overline {p}}k_{\overline {p}}(\tau _{1},\dots ,\tau _{\overline {p}}).}$

لذلك إذا استبعدنا العناصر القطرية، فإنه ${\displaystyle {\tau _{i}\neq \tau _{j},\ \لكل i,j}}$

${\displaystyle k_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})={\frac {E\left\{y(n)x(n-\tau _{1})\cdots x(n-\tau _{p})\right\}}{p!A^{p}}}.}$

إذا أردنا أن نأخذ في الاعتبار العناصر القطرية، فإن الحل الذي اقترحه لي وشيتزن هو

${\displaystyle k_{p}(\tau _{1},\dots ,\tau _{p})={\frac {E\left\{\left(y(n)-\sum \limits _{m=0}^{p-1}G_{m}x(n)\right)x(n-\tau _{1})\cdots x(n-\tau _{p})\right\}}{p!A^{p}}}.}$

العيب الرئيسي لهذه التقنية هو أن أخطاء التقدير، التي تحدث على جميع عناصر النواة ذات الترتيب الأدنى، ستؤثر على كل عنصر قطري من الترتيب p عن طريق الجمع ، الذي تم تصوره كحل لتقدير العناصر القطرية نفسها. توجد صيغ فعالة لتجنب هذا العيب ومراجع لتقدير عنصر النواة القطرية ^{[7] [8]}${\displaystyle \sum \limits _{m=0}^{p-1}G_{m}x(n)}$

بمجرد تحديد حبات وينر، يمكن الحصول على حبات فولتيرا باستخدام صيغ وينر إلى فولتيرا، كما هو موضح أدناه لسلسلة فولتيرا من الدرجة الخامسة:

${\displaystyle h_{5}=k_{5},}$

${\displaystyle h_{4}=k_{4},}$

${\displaystyle h_{3}=k_{3}-10A\sum _{\tau _{4}}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4}),}$

${\displaystyle h_{2}=k_{2}-6A\sum _{\tau _{3}}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{1}=k_{1}-3A\sum _{\tau _{2}}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})+15A^{2}\sum _{\tau 2}\sum _{\tau _{3}}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{0}=k_{0}-A\sum _{\tau _{1}}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1})+3A^{2}\sum _{\tau _{1}}\sum _{\tau _{2}}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}).}$

في الخوارزمية المتعامدة التقليدية، فإن استخدام المدخلات ذات القيم العالية له ميزة تحفيز اللاخطية عالية الترتيب، وذلك لتحقيق تحديد أكثر دقة للنواة عالية الترتيب. وكعيب، فإن استخدام القيم العالية يسبب خطأ تعريف مرتفع في النوى ذات الترتيب الأدنى، ^[9] ويرجع ذلك أساسًا إلى عدم مثالية المدخلات وأخطاء الاختصار. ${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$

على العكس من ذلك، فإن استخدام المستوى الأدنى في عملية التعريف يمكن أن يؤدي إلى تقدير أفضل للنواة ذات الترتيب الأدنى، ولكن قد يكون غير كافٍ لتحفيز اللاخطية ذات الترتيب العالي. ${\displaystyle \sigma _{x}}$

يمكن الكشف عن هذه الظاهرة، والتي يمكن تسميتها بمحلية سلسلة فولتيرا المقطوعة، من خلال حساب خطأ الإخراج لسلسلة كدالة لتباينات مختلفة للمدخلات. ويمكن تكرار هذا الاختبار مع سلسلة تم تحديدها بتباينات مختلفة للمدخلات، والحصول على منحنيات مختلفة، كل منها بحد أدنى يتوافق مع التباين المستخدم في التعريف.

للتغلب على هذا القيد، يجب استخدام قيمة منخفضة للنواة ذات الترتيب الأدنى وزيادتها تدريجيًا للنواة ذات الترتيب الأعلى. هذه ليست مشكلة نظرية في تحديد نواة وينر، نظرًا لأن وظائف وينر متعامدة مع بعضها البعض، ولكن هناك حاجة إلى التطبيع المناسب في صيغ تحويل وينر إلى فولتيرا لوضع استخدام التباينات المختلفة في الاعتبار. علاوة على ذلك، هناك حاجة إلى صيغ تحويل وينر إلى فولتيرا جديدة. ${\displaystyle \sigma _{x}}$

ينبغي تغيير هوية نواة Wiener التقليدية على النحو التالي: ^[9]

${\displaystyle k_{0}^{(0)}=E\{y^{(0)}(n)\},}$

${\displaystyle k_{1}^{(1)}(\tau _{1})={\frac {1}{A_{1}}}E\left\{y^{(1)}(n)x^{(1)}(n-\tau _{1})\right\},}$

${\displaystyle k_{2}^{(2)}(\tau _{1},\tau _{2})={\frac {1}{2!A_{2}^{2}}}\left\{E\left\{y^{(2)}(n)\prod _{i=1}^{2}x^{(2)}(n-\tau _{i})\right\}-A_{2}k_{0}^{(2)}\delta _{\tau _{1}\tau _{2}}\right\},}$

${\displaystyle k_{3}^{(3)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})={\frac {1}{3!A_{3}^{3}}}\left\{E\left\{y^{(3)}(n)\prod _{i=1}^{3}x^{(3)}(n-\tau _{i})\right\}-A_{3}^{2}\left[k_{1}^{(3)}(\tau _{1})\delta _{\tau _{2}\tau _{3}}+k_{1}^{(3)}(\tau _{2})\delta _{\tau _{1}\tau _{3}}+k_{1}^{(3)}(\tau _{3})\delta _{\tau _{1}\tau _{2}}\right]\right\}.}$

في الصيغ أعلاه، يتم تقديم وظائف النبضات لتحديد نقاط النواة القطرية. إذا تم استخراج نوى وينر باستخدام الصيغ الجديدة، فستكون هناك حاجة إلى صيغ وينر إلى فولتيرا التالية (موضحة حتى الدرجة الخامسة):

${\displaystyle h_{5}=k_{5}^{(5)},}$

${\displaystyle h_{4}=k_{4}^{(4)},}$

${\displaystyle h_{3}=k_{3}^{(3)}-10A_{3}\sum _{\tau _{4}}k_{5}^{(5)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4}),}$

${\displaystyle h_{2}=k_{2}^{(2)}-6A_{2}\sum _{\tau _{3}}k_{4}^{(4)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{1}=k_{1}^{(1)}-3A_{1}\sum _{\tau _{2}}k_{3}^{(3)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})+15A_{1}^{2}\sum _{\tau 2}\sum _{\tau _{3}}k_{5}^{(5)}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3}),}$

${\displaystyle h_{0}=k_{0}^{(0)}-A_{0}\sum _{\tau _{1}}k_{2}^{(2)}(\tau _{1},\tau _{1})+3A_{0}^{2}\sum _{\tau _{1}}\sum _{\tau _{2}}k_{4}^{(4)}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2}).}$

كما يمكن ملاحظة ذلك، فإن العيب فيما يتعلق بالصيغة السابقة ^[8] هو أنه لتحديد النواة من الدرجة n ، يجب تحديد جميع النوى الأقل مرة أخرى باستخدام التباين الأعلى. ومع ذلك، سيتم الحصول على تحسن ملحوظ في MSE الناتج إذا تم الحصول على نوى Wiener وVolterra باستخدام الصيغ الجديدة. ^[9]

تم تطوير هذه الطريقة بواسطة Wray وGreen (1994) وهي تستفيد من حقيقة أن الشبكة العصبية البسيطة المكونة من طبقتين متصلتين بالكامل (أي، المدرك متعدد الطبقات ) تعادل حسابيًا سلسلة Volterra وبالتالي تحتوي على النوى المخفية في بنيتها. بعد تدريب مثل هذه الشبكة للتنبؤ بنجاح بالإخراج بناءً على الحالة الحالية وذاكرة النظام، يمكن بعد ذلك حساب النوى من أوزان وتحيزات تلك الشبكة.

يتم إعطاء الترميز العام لنواة Volterra من الدرجة n بواسطة

${\displaystyle h_{n}(\tau _{1},\dots ,\tau _{n})=\sum _{i=1}^{M}(c_{i}a_{ni}\omega _{\tau _{1}i}\dots \omega _{\tau _{n}i}),}$

حيث يمثل الترتيب والأوزان لعقدة الإخراج الخطية ومعاملات التوسع متعدد الحدود لدالة الإخراج للعقد المخفية وهما الأوزان من طبقة الإدخال إلى الطبقة المخفية غير الخطية. من المهم ملاحظة أن هذه الطريقة تسمح باستخراج النواة حتى عدد تأخيرات الإدخال في بنية الشبكة. علاوة على ذلك، من الضروري إنشاء حجم طبقة إدخال الشبكة بعناية بحيث تمثل الذاكرة الفعالة للنظام. ${\displaystyle n}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle a_{ji}}$${\displaystyle \omega _{ji}}$

تم اختراع هذه الطريقة ونسختها الأكثر كفاءة (خوارزمية التعامد السريع) بواسطة كورينبيرج. ^[10] في هذه الطريقة، يتم إجراء التعامد تجريبيًا على المدخلات الفعلية. وقد ثبت أنها تعمل بدقة أكبر من طريقة الارتباط المتبادل. ميزة أخرى هي أنه يمكن استخدام مدخلات عشوائية للتعامد وأن عددًا أقل من نقاط البيانات يكفي للوصول إلى مستوى الدقة المطلوب. أيضًا، يمكن إجراء التقدير بشكل تدريجي حتى يتم استيفاء بعض المعايير.

الانحدار الخطي هو أداة قياسية من أدوات التحليل الخطي. وبالتالي، فإن إحدى مزاياه الرئيسية هي الانتشار الواسع لأدوات قياسية لحل الانحدار الخطي بكفاءة. وله بعض القيمة التعليمية، لأنه يسلط الضوء على الخاصية الأساسية لسلسلة فولتيرا: التركيبة الخطية للدوال الأساسية غير الخطية. بالنسبة للتقدير، يجب معرفة ترتيب الأصل، لأن الدوال الأساسية لفولتيرا ليست متعامدة، وبالتالي لا يمكن إجراء التقدير بشكل تدريجي.

تم اختراع هذه الطريقة بواسطة فرانز وشولكوبف ^[11] وتستند إلى نظرية التعلم الإحصائي . وبالتالي، فإن هذا النهج يعتمد أيضًا على تقليل الخطأ التجريبي (يُطلق عليه غالبًا تقليل المخاطر التجريبية ). اقترح فرانز وشولكوبف أن طريقة النواة يمكن أن تحل محل تمثيل سلسلة فولتيرا بشكل أساسي، على الرغم من ملاحظة أن الأخيرة أكثر بديهية. ^[12]

تم تطوير هذه الطريقة بواسطة فان هيمين وزملائه ^[13] وتستخدم وظائف دلتا ديراك لعينة معاملات فولتيرا.

• سلسلة وينر
• معالجة الإشارات متعددة الحدود

• Barrett JF: قائمة ببليوغرافية لسلسلة فولتيرا، وتوسعات هيرميت الوظيفية، والموضوعات ذات الصلة . قسم الهندسة الكهربائية، جامعة آيندهوفن للتكنولوجيا، هولندا 1977، تقرير TH 77-E-71. (قائمة مرتبة زمنيًا للأوراق المبكرة حتى عام 1977) الرابط: http://alexandria.tue.nl/extra1/erap/publichtml/7704263.pdf
• Bussgang, JJ; Ehrman, L.; Graham, JW: تحليل الأنظمة غير الخطية ذات المدخلات المتعددة، Proc. IEEE، المجلد 62، العدد 8، ص 1088-1119، أغسطس 1974
• Giannakis GB & Serpendin E: A bibliography on nonlinear system identify. Signal Processing, 81 2001 533–580. (Alphabetically list to 2001) www.elsevier.nl/locate/sigpro
• كورينبيرج إم جيه هانتر آي دبليو: تحديد الأنظمة البيولوجية غير الخطية: مناهج فولتيرا كيرنيل ، حوليات الهندسة الطبية الحيوية (1996)، المجلد 24، العدد 2.
• كو واي إل: تحليل المجال الترددي للشبكات غير الخطية الضعيفة ، IEEE Trans. Circuits & Systems، المجلد CS-11(4) أغسطس 1977؛ المجلد CS-11(5) أكتوبر 1977 2-6.
• Rugh WJ: نظرية النظام غير الخطي: نهج فولتيرا-فينر. بالتيمور 1981 (دار نشر جامعة جونز هوبكنز) http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee242/pdf/volterra_book.pdf
• شيتزن م: نظريات فولتيرا ووينر للأنظمة غير الخطية ، نيويورك: وايلي، 1980.