Fundamental theorem of Riemannian geometry

هنا، سيتم استخدام اصطلاح جمع أينشتاين ، أي أن الفهرس المكرر كدليل سفلي وعلوي يُجمع على جميع القيم. لنرمز ببعد M إلى m . تذكر أنه بالنسبة للمخطط المحلي، يُعطى الاتصال بواسطة m³ من الدوال الملساء ^.$${\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}$$ مع $${\displaystyle (\nabla _{X}Y)^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}+X^{j}Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}}$$ لأي حقلين متجهين X و Y. ^{[ 11} ] يشير انعدام الالتواء في الاتصال إلى الشرط الذي يكون فيه ^∇XY − ∇YX = [X , Y ] لأي _X و _Y. وبكتابة ذلك بدلالة الإحداثيات المحلية ، يكون هذا مكافئًا لـ$${\displaystyle 0=X^{j}Y^{k}(\Gamma ^{i}{}_{jk}-\Gamma ^{i}{}_{kj}),}$$ وهذا، بحكم عشوائية X و Y ، يكافئ الشرط Γ ⁱ _jk = Γ ⁱ _kj . ^{[ 12 ]} وبالمثل، فإن شرط التوافق المتري يكافئ الشرط ^{[ 13 ].}$${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\Gamma ^{l}{}_{ki}g_{lj}+\Gamma ^{l}{}_{kj}g_{il}.}$$ وبهذا، يتضح أن شروط انعدام الالتواء والتوافق المتري يمكن اعتبارها نظامًا خطيًا من المعادلات للوصلة، حيث تُعطى معاملات و"الطرف الأيمن" للنظام بالمقياس ومشتقته الأولى. ويمكن اعتبار النظرية الأساسية للهندسة الريمانية بمثابة بيان أن لهذا النظام الخطي حلًا وحيدًا. ويتضح ذلك من خلال الحساب التالي: ^{[ 14 ]}$$// ^ {p} {} _ {ji} g_ {pl} +\ Gamma ^ {p} {}_ {jl} g_ {ip} \ right) - \ left (\ Gamma ^ {p} {} _ {li} g_ {pj} + \ Gamma ^ {p} {} _ {lj} g_ {ip} \ right) \\&= 2 \ Gamma ^ {p} {} _ {ij} g_ {pl} \ end {محاذاة}}}$$ حيث يُستخدم شرط التوافق المتري ثلاث مرات للمساواة الأولى، ويُستخدم شرط انعدام الالتواء ثلاث مرات للمساواة الثانية. تُعرف الصيغة الناتجة أحيانًا باسم متطابقة كريستوفيل الأولى . ^{[ 15 ]} ويمكن اختزالها مع معكوس المقياس، g ^kl ، لإيجاد متطابقة كريستوفيل الثانية : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right).}$$ يثبت هذا تفرد شرط انعدام الالتواء والتوافق المتري؛ أي أن أي اتصال من هذا القبيل يجب أن يُعطى بالصيغة المذكورة أعلاه. ولإثبات وجوده، يجب التحقق من أن الصيغة المذكورة أعلاه تُعرّف اتصالاً خالياً من الالتواء ومتوافقاً مترياً. ويمكن القيام بذلك مباشرةً.

يمكن التعبير عن البرهان أعلاه أيضًا بدلالة حقول المتجهات. ^{[ 17 ]} يشير انعدام الالتواء إلى الشرط الذي $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$$ وتشير التوافقية المترية إلى الشرط الذي $${\displaystyle X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$ حيث X و Y و Z هي حقول متجهة اختيارية. يمكن كتابة الحساب الذي تم إجراؤه سابقًا في الإحداثيات المحلية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\&={\Big (}g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z){\Big )}+{\Big (}g(\nabla _{Y}X,Z)+g(X,\nabla _{Y}Z){\Big )}-{\Big (}g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y){\Big )}\\&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=g(2\nabla _{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{محاذاة}}}$$ يختزل هذا مباشرةً إلى متطابقة كريستوفيل الأولى في حالة كون X و Y و Z حقول متجهات إحداثية. يمكن إعادة ترتيب المعادلات المعروضة أعلاه لإنتاج صيغة أو متطابقة كوزول.$${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}$$ يثبت هذا تفرد شرط عدم وجود التواء وتوافق القياس، لأنه إذا كانت g ( W , Z ) تساوي g ( U , Z ) لأي قيمة لـ Z ، فإن W يجب أن تساوي U. هذه نتيجة لعدم انحلال القياس. في الصيغة المحلية المذكورة أعلاه، استُخدمت هذه الخاصية الأساسية للقياس ضمنيًا، بنفس الطريقة، من خلال وجود gkl . علاوة على ذلك، وبالمنطق نفسه، يمكن استخدام صيغة كوزول لتعريف حقل متجه _∇XY عند إعطاء X و Y ، ومن السهل التحقق من أن هذا يُعرّف اتصالًا خاليًا ^من الالتواء ومتوافقًا مع القياس. ^{[ 18 ]}