اتصال أفيني

في الهندسة التفاضلية ، يُعدّ الاتصال الأفيني ^{[ a ]} كائنًا هندسيًا على مشعب أملس يربط بين فضاءات مماسية متجاورة ، مما يسمح بتفاضل حقول المتجهات المماسية كما لو كانت دوالًا على المشعب بقيم في فضاء متجهي ثابت . وتُعتبر الاتصالات من أبسط طرق تعريف تفاضل مقاطع حزم المتجهات . ^[³^]

يعود مفهوم الاتصال الأفيني إلى هندسة القرن التاسع عشر وحساب الموترات ، لكنه لم يتطور بشكل كامل إلا في أوائل عشرينيات القرن العشرين، على يد إيلي كارتان (كجزء من نظريته العامة للاتصالات ) وهيرمان فايل (الذي استخدم المفهوم كجزء من أسس النسبية العامة ). ويُعزى هذا المصطلح إلى كارتان ^{[ ب ]} ، ويعود أصله إلى تحديد الفضاءات المماسية في الفضاء الإقليدي $Rⁿ عن طريق الإزاحة: الفكرة هي أن اختيار اتصال أفيني يجعل متعدد الشعب يبدو بشكل متناهي الصغر كالفضاء الإقليدي ،$ ليس فقط بسلاسة، بل كفضاء أفيني .

على أي متشعب ذي بُعد موجب، يوجد عدد لا نهائي من الاتصالات الأفينية. إذا زُوِّد المتشعب بموتر متري، فإنه يوجد خيار طبيعي للاتصال الأفيني، يُسمى اتصال ليفي-تشيفيتا . يُكافئ اختيار الاتصال الأفيني تحديد طريقة لتفاضل حقول المتجهات تُحقق عدة خصائص معقولة ( الخطية وقاعدة لايبنتز ). يُؤدي هذا إلى تعريف مُحتمل للاتصال الأفيني كمشتق متغاير أو اتصال (خطي) على حزمة المماس . كما يُكافئ اختيار الاتصال الأفيني مفهوم النقل المتوازي ، وهو طريقة لنقل متجهات المماس على طول المنحنيات. يُعرّف هذا أيضًا النقل المتوازي على حزمة الإطار . يُعطي النقل المتوازي المتناهي الصغر في حزمة الإطار وصفًا آخر للاتصال الأفيني، إما كاتصال كارتان للمجموعة الأفينية أو كاتصال رئيسي على حزمة الإطار.

الثوابت الرئيسية للاتصال الأفيني هي التواءه وانحناؤه . يقيس الالتواء مدى إمكانية استعادة قوس لي لحقول المتجهات من الاتصال الأفيني. يمكن أيضًا استخدام الاتصالات الأفينية لتعريف الجيوديسيات (الأفينية) على مشعب، مما يعمم الخطوط المستقيمة في الفضاء الإقليدي، على الرغم من أن هندسة هذه الخطوط المستقيمة قد تختلف اختلافًا كبيرًا عن الهندسة الإقليدية المعتادة ؛ وتتلخص الاختلافات الرئيسية في انحناء الاتصال.

الدافع والتاريخ

المتشعب الأملس هو كائن رياضي يبدو محليًا كتشوه أملس للفضاء الإقليدي $Rⁿ :$ على سبيل المثال، يبدو المنحنى أو السطح الأملس محليًا كتشوه أملس لخط أو مستوى. يمكن تعريف الدوال الملساء وحقول المتجهات على المتشعبات، تمامًا كما هو الحال في الفضاء الإقليدي، ويمكن تفاضل الدوال العددية على المتشعبات بطريقة طبيعية. مع ذلك، فإن تفاضل حقول المتجهات أقل وضوحًا: هذه مسألة بسيطة في الفضاء الإقليدي، لأن الفضاء المماسي للمتجهات الأساسية عند نقطة $p$ يمكن تحديده بشكل طبيعي (بالانتقال) مع الفضاء المماسي عند نقطة قريبة $q$ . على المتشعب العام، لا يوجد مثل هذا التحديد الطبيعي بين الفضاءات المماسية المتجاورة، وبالتالي لا يمكن مقارنة متجهات المماس عند النقاط المتجاورة بطريقة محددة جيدًا. تم تقديم مفهوم الاتصال الأفيني لمعالجة هذه المشكلة عن طريق ربط الفضاءات المماسية المتجاورة. يمكن تتبع أصول هذه الفكرة إلى مصدرين رئيسيين: نظرية السطوح وحساب الموترات .

الدافع من نظرية السطح

لنفترض سطحًا أملسًا $S$ في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. بالقرب من أي نقطة، يمكن تقريب $S$ بمستواه المماس عند تلك النقطة، وهو فضاء فرعي أفيني من الفضاء الإقليدي. اهتم علماء الهندسة التفاضلية في القرن التاسع عشر بمفهوم التطور الذي يتم فيه دحرجة سطح على سطح آخر دون انزلاق أو التواء . على وجه الخصوص، يمكن دحرجة المستوى المماس لنقطة على $S على$ $S$ : يسهل تصور ذلك عندما يكون $S$ سطحًا مثل الكرة ثنائية الأبعاد، وهي الحد الأملس لمنطقة محدبة . عند دحرجة المستوى المماس على $S$ ، ترسم نقطة التماس منحنى على $S.$ وعلى العكس، عند وجود منحنى على $S$ ، يمكن دحرجة المستوى المماس على طول ذلك المنحنى. يوفر هذا طريقة لتحديد المستويات المماسية عند نقاط مختلفة على طول المنحنى: على وجه الخصوص، يتم تحديد متجه مماس في الفضاء المماس عند نقطة ما على المنحنى بمتجه مماس فريد عند أي نقطة أخرى على المنحنى. يتم تحديد هذه العلاقات دائمًا عن طريق التحويلات الأفينية من مستوى مماس إلى آخر.

يتميز مفهوم النقل المتوازي لمتجهات المماس، عبر التحويلات الأفينية، على طول منحنى، بخاصية مميزة: تتحرك نقطة تماس المستوى المماس مع السطح دائمًا مع المنحنى عند الانتقال المتوازي (أي، مع تحرك المستوى المماس على طول السطح، تتحرك نقطة التماس). هذه الخاصية العامة هي سمة مميزة لوصلات كارتان . في المناهج الحديثة، تُعتبر نقطة التماس هي نقطة الأصل في المستوى المماس (الذي يصبح حينها فضاءً متجهيًا)، ويتم تصحيح حركة نقطة الأصل بانتقال، بحيث يكون النقل المتوازي خطيًا، وليس أفينيًا.

من منظور اتصالات كارتان، تُعدّ الفضاءات الجزئية الأفينية للفضاء الإقليدي أسطحًا نموذجية - فهي أبسط الأسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، ومتجانسة تحت تأثير المجموعة الأفينية للمستوى - ولكل سطح أملس سطح نموذجي فريد مماس له عند كل نقطة. تُعرف هذه الأسطح النموذجية باسم هندسات كلاين وفقًا لبرنامج إرلانجن لفيلكس كلاين . وبشكل أعم، يُعدّ الفضاء الأفيني ذو البعد $n$ هندسة كلاين للمجموعة الأفينية $Aff($ $n$ $)$ ، حيث يكون مُثبِّت النقطة هو المجموعة الخطية العامة $GL($ $n$ $)$ . وبالتالي، فإنّ المتشعب الأفيني ذو البعد $n$ هو متشعب يشبه إلى حد كبير الفضاء الأفيني ذي البعد $n .$

الدافع من حساب الموترات

الدافع الثاني للوصلات الأفينية ينبع من مفهوم المشتقة المتغيرة لحقول المتجهات. قبل ظهور الطرق المستقلة عن الإحداثيات، كان من الضروري التعامل مع حقول المتجهات عن طريق تضمين متجهاتها الإقليدية في أطلس . يمكن تفاضل هذه المكونات، لكن المشتقات لا تتحول بطريقة قابلة للتحكم عند تغيير الإحداثيات. في سبعينيات القرن التاسع عشر، أدخل إلوين برونو كريستوفيل (متبعًا أفكار برنارد ريمان ) حدود تصحيحية بحيث تتحول المشتقة (المصححة) لحقل متجه على طول حقل آخر بشكل متغير عند تحويل الإحداثيات - عُرفت هذه الحدود التصحيحية لاحقًا برموز كريستوفيل .

تم تطوير هذه الفكرة إلى نظرية حساب التفاضل المطلق (المعروف الآن باسم حساب الموترات ) بواسطة غريغوريو ريتشي كورباسترو وطالبه توليو ليفي سيفيتا بين عامي 1880 وبداية القرن العشرين.

لكنّ حساب الموترات شهد ازدهاراً حقيقياً مع ظهور نظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين عام 1915. وبعد بضع سنوات، صاغ ليفي-تشيفيتا العلاقة الفريدة المرتبطة بالمقياس الريماني، والمعروفة الآن باسم علاقة ليفي-تشيفيتا . ثم دُرست علاقات أفينية أكثر عمومية حوالي عام 1920، على يد هيرمان فايل [ ⁵^] الذي وضع أساساً رياضياً مفصلاً للنسبية العامة، وإيلي كارتان ^[⁶^] الذي ربطها بالأفكار الهندسية المستمدة من نظرية السطوح ^.

الأساليب

وقد أدى التاريخ المعقد إلى تطوير مناهج وتعميمات متباينة على نطاق واسع لمفهوم الاتصال الأفيني.

لعلّ التعريف الأكثر شيوعًا هو التعريف المُستند إلى المشتقات المتغيرة. فمن جهة، تبنّى الفيزيائيون أفكار فايل في صورة نظرية القياس والمشتقات المتغيرة للقياس . ومن جهة أخرى، استخلص جان لويس كوزول مفهوم التفاضل المتغير ، مُعرّفًا الاتصالات (الخطية أو اتصالات كوزول) على حزم المتجهات . وبلغة هذا التعريف، يُعدّ الاتصال الأفيني ببساطة مشتقًا متغيرًا أو اتصالًا (خطيًا) على حزمة المماس .

مع ذلك، لا يُفسر هذا النهج الهندسة الكامنة وراء الاتصالات الأفينية ولا كيفية اكتسابها اسمها. ^{[ ج ]} يعود أصل المصطلح إلى تحديد الفضاءات المماسية في الفضاء الإقليدي عن طريق الإزاحة: تعني هذه الخاصية أن الفضاء الإقليدي ذو البعد $n$ هو فضاء أفيني . (أو بعبارة أخرى، الفضاء الإقليدي هو فضاء متجانس رئيسي أو فضاء تورسور تحت زمرة الإزاحات، وهي زمرة جزئية من الزمرة الأفينية). كما ذُكر في المقدمة، توجد عدة طرق لتوضيح ذلك بدقة: إحداها تستخدم حقيقة أن الاتصال الأفيني يُعرّف مفهوم النقل المتوازي لحقول المتجهات على طول منحنى. وهذا يُعرّف أيضًا النقل المتوازي على حزمة الإطار . يُعطي النقل المتوازي المتناهي الصغر في حزمة الإطار وصفًا آخر للاتصال الأفيني، إما كاتصال كارتان للزمرة الأفينية $Aff(n) أو كاتصال$ $GL(n)$ رئيسي على حزمة الإطار.

التعريف الرسمي كمؤثر تفاضلي

ليكن $M$ متعدد شعب أملس ، وليكن $Γ(TM) فضاء$ الحقول المتجهة على $M$ ، أي فضاء المقاطع الملساء للحزمة المماسية $TM$ . عندئذٍ، يكون الاتصال الأفيني على $M$ تطبيقًا ثنائي الخطية $.$

{\begin{aligned}\Gamma (\mathrm {T} M)\times \Gamma (\mathrm {T} M)&\rightarrow \Gamma (\mathrm {T} M)\\(X,Y)&\mapsto \nabla _{X}Y\,,\end{محاذاة}}

بحيث يكون لكل $f$ في مجموعة الدوال الملساء على $M$ ، المكتوبة $C \infty (M, R)$ ، وجميع حقول المتجهات $X و Y$ على $M$ :

$\nabla fX Y = f \nabla X Y$ ، أي أن ∇ خطي $C$ ∞ $(M, R) في المتغير$ الأول ؛
$\nabla X (fY) = (\partial X f) Y + f \nabla X Y$ ، حيث $\partial X$ تشير إلى المشتقة الاتجاهية ؛ أي أن $\nabla$ تحقق قاعدة لايبنيز في المتغير الثاني.

الخصائص الأولية

$يستنتج من الخاصية 1 أعلاه$ أن قيمة $\nablaXY$ عند نقطة $x \in M$ تعتمد فقط على قيمة $X$ عند $x$ $،$ وليس على قيمة $X$ في $M - {x} . كما يستنتج$ $من$ $الخاصية 2$ أعلاه أن قيمة $\nablaXY$ عند نقطة $x \in M$ تعتمد فقط على قيمة $Y$ في جوار $x$ .
إذا كانت $\nabla 1 و \nabla 2$ وصلات خطية، فإن قيمة $\nabla$ $1$ $X$ $Y$ $- \nabla$ $2$ $X$ $Y$ عند $x$ يمكن كتابتها على النحو التالي: $Γ$ $x$ $($ $X$ $x$ $,$ $Y$ $x$ $)$ حيث $\Gamma _{x}:\mathrm {T} _{x}M\times \mathrm {T} _{x}M\to \mathrm {T} _{x}M$ هي دالة ثنائية الخطية وتعتمد بسلاسة على $x$ (أي أنها تُعرّف تشاكل حزم أملس ). وعلى العكس، إذا كان $\nabla$ اتصالًا أفينيًا و $Γ$ تشاكل حزم ثنائي الخطية أملس (يُسمى شكل اتصال على $M$ )، فإن $\nabla + Γ$ يكون اتصالًا أفينيًا.
إذا كانت $M$ مجموعة جزئية مفتوحة من $Rⁿ ،$ فإن حزمة المماس لـ $M$ هي الحزمة التافهة $M \times Rⁿ .$ $في هذه الحالة ،$ يوجد اتصال تآلفي قانوني $d$ على $M$ : أي حقل متجهي $Y$ يُعطى بدالة ملساء $V$ من $M$ إلى $Rⁿ$ ؛ عندئذٍ يكون $dXY$ هو الحقل المتجهي المقابل للدالة الملساء $dV (X) = \partialXY$ من $M$ إلى $Rⁿ$ . بالتالي ، يمكن كتابة أي اتصال $تآلفي$ آخر $\nabla$ على $M$ $على$ $النحو$ $التالي$ $:$ $\nabla = d + Γ$ ، حيث $Γ$ هي صيغة اتصال على $M.$
بشكل أعم، يُعدّ التبسيط الموضعي للحزمة المماسية تماثلاً حزمياً بين تقييد $T M$ إلى مجموعة فرعية مفتوحة $U$ من $M$ ، و $U \times R n$ . ويمكن كتابة تقييد اتصال أفيني $\nabla$ إلى $U$ على الصورة $d + Γ$ حيث $Γ$ هي صيغة اتصال على $U.$

النقل المتوازي للوصلات الأفينية

إن مقارنة متجهات المماس عند نقاط مختلفة على سطح متعدد الشعب ليست عملية محددة جيدًا بشكل عام. يوفر الاتصال الأفيني إحدى طرق معالجة هذه المشكلة باستخدام مفهوم النقل المتوازي ، ويمكن بالفعل استخدام هذا المفهوم لتقديم تعريف للاتصال الأفيني.

ليكن $M$ متعدد الشعب ذو اتصال أفيني $\nabla$ . يُقال إن حقل متجهي $X$ متوازٍ إذا كان $\nablaX$ $= 0،$ $بمعنى$ أنه لأي حقل متجهي $Y$ ، $يكون \nablaYX$ $= 0.$ وبشكل بديهي، فإن جميع مشتقات المتجهات المتوازية تساوي صفرًا، وبالتالي فهي ثابتة بمعنى ما . بتقييم حقل متجهي متوازٍ عند نقطتين $x$ و $y$ ، نحصل على تطابق بين متجه مماس عند $x$ وآخر عند $y$ . يُقال إن هذه المتجهات المماسية هي نقلات متوازية لبعضها البعض.

$لا توجد، بشكل عام، حقول متجهات متوازية غير صفرية ،$ لأن المعادلة $\nablaX = 0$ هي معادلة تفاضلية جزئية زائدة التحديد : شرط التكامل لهذه المعادلة هو انعدام انحناء ∇ (انظر أدناه). مع ذلك، إذا اقتصرت هذه المعادلة على منحنى من $x$ إلى $y،$ $فإنها$ تصبح معادلة تفاضلية عادية . عندئذٍ، يوجد حل وحيد لأي قيمة ابتدائية لـ $X$ عند $x$ .

بتعبير أدق، إذا كانت $γ : I \to M$ منحنى أملسًا مُعطى بمعامل الفترة $[a, b]$ و $ξ \in T x M$ ، حيث $x = γ (a)$ ، فإن حقل المتجهات $X$ على طول $γ$ (وخاصةً قيمة حقل المتجهات هذا عند $y = γ (b)$ ) يُسمى النقل الموازي لـ $ξ$ على طول $γ$ إذا

$\nabla γ' (t) X = 0$ , لجميع $t \in [a, b]$
$X γ (a) = ξ$ .

بصورة رسمية، يعني الشرط الأول أن $X$ موازية بالنسبة لوصلة السحب الخلفي على حزمة السحب الخلفي $γ * T M.$ ومع ذلك، في حالة التبسيط المحلي، فإنها عبارة عن نظام من الدرجة الأولى من المعادلات التفاضلية الخطية العادية ، والتي لها حل وحيد لأي شرط ابتدائي معطى بالشرط الثاني (على سبيل المثال، بواسطة نظرية بيكارد-ليندلوف ).

وبالتالي، يوفر النقل المتوازي طريقةً لتحريك متجهات المماس على طول منحنى باستخدام الاتصال الأفيني للحفاظ على اتجاهها "نفسه" بشكل بديهي، وهذا يُنشئ تماثلًا خطيًا بين فضاءات المماس عند طرفي المنحنى. ويعتمد التماثل الناتج بهذه الطريقة عمومًا على اختيار المنحنى: فإذا لم يكن كذلك، يُمكن استخدام النقل المتوازي على طول أي منحنى لتعريف حقول متجهات متوازية على $M$ ، وهو ما لا يتحقق إلا إذا كان انحناء $\nabla$ يساوي صفرًا.

يُحدد التشاكل الخطي من خلال تأثيره على أساس أو إطار مُرتب . لذا، يمكن وصف النقل المتوازي أيضًا بأنه طريقة لنقل عناصر حزمة الإطار (المماس) $GL($ $M$ $)$ على طول منحنى. بعبارة أخرى، يوفر الاتصال الأفيني رفعًا لأي منحنى $γ$ في $M$ إلى منحنى $γ̃$ في $GL($ $M$ $)$ $.$

التعريف الرسمي لحزمة الإطار

يمكن تعريف الاتصال الأفيني أيضًا على أنه اتصال رئيسي $GL(n)$ $ω$ على حزمة الإطار $F M$ أو $GL(M)$ لمتشعب $M.$ بتفصيل أكثر، $ω$ عبارة عن تطبيق سلس من حزمة المماس $T(F M)$ لحزمة الإطار إلى فضاء المصفوفات $n \times n$ (وهو جبر لي $gl (n)$ لمجموعة لي $GL(n) للمصفوفات$ $n \times n$ القابلة للعكس ) يحقق خاصيتين:

$ω$ متغيرة بالنسبة لتأثير $GL($ $n$ $)$ على $T($ F $M$ $)$ و $gl$ $($ $n$ $)$ ؛
$ω (X ξ) = ξ$ لأي $ξ$ في $gl (n)$ ، حيث $X ξ$ هو حقل المتجهات على $F M$ المقابل لـ $ξ$ .

يُعرّف هذا الاتصال $ω$ مباشرةً مشتقًا متغايرًا ليس فقط على حزمة المماس، بل أيضًا على حزم المتجهات المرتبطة بأي تمثيل زنكي لـ $GL(n)$ ، بما في ذلك حزم الموترات وكثافات الموترات . وعلى العكس، يُحدد اتصال تآلفي على حزمة المماس اتصالًا تآلفيًا على حزمة الإطار، على سبيل المثال، باشتراط أن $ω$ ينعدم على متجهات المماس لرفع المنحنيات إلى حزمة الإطار المُعرّفة بالنقل المتوازي.

تأتي حزمة الإطار مزودةً أيضًا بصيغة لحام $θ : T(F M) \to R n$ وهي أفقية بمعنى أنها تتلاشى على المتجهات الرأسية مثل قيم النقاط لحقول المتجهات $X ξ$ : في الواقع، تُعرَّف $θ$ أولًا بإسقاط متجه مماس (إلى $F M$ عند إطار $f$ ) على $M$ ، ثم بأخذ مركبات هذا المتجه المماس على $M$ بالنسبة للإطار $f$ . لاحظ أن $θ$ متغيرة أيضًا بالنسبة لـ $GL(n)$ (حيث يؤثر $GL(n) على$ $R n$ عن طريق ضرب المصفوفات).

يحدد الزوج $(θ ، ω)$ تماثل الحزمة لـ $T(F M)$ مع الحزمة التافهة $F M \times aff (n)$ ، حيث $aff (n)$ هو حاصل الضرب الديكارتي لـ $R n$ و $gl (n)$ (يُنظر إليه على أنه جبر لي للمجموعة الأفينية، وهو في الواقع حاصل ضرب شبه مباشر - انظر أدناه).

الاتصالات الأفينية كوصلات كارتان

يمكن تعريف الاتصالات الأفينية ضمن الإطار العام لكارتان. ^{[ 7 ]} في المنهج الحديث، يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بتعريف الاتصالات الأفينية على حزمة الإطار. في الواقع، في إحدى الصيغ، يُعد اتصال كارتان توازيًا مطلقًا لحزمة $رئيسية$ تحقق خصائص مناسبة. من هذا المنظور، فإن الشكل الأحادي ذو القيم الأفينية $(θ$ $, ω) :$ $T$ $(F$ $M$ $)$ $\to$ $aff$ $($ $n$ $)$ على حزمة الإطار (لمتشعب أفيني ) هو اتصال كارتان. مع ذلك، اختلف منهج كارتان الأصلي عن هذا في عدة جوانب:

لم يكن مفهوم الحزم الإطارية أو الحزم الرئيسية موجودًا؛
تم النظر إلى الاتصال من حيث النقل المتوازي بين نقاط متناهية الصغر في الصغر؛ ^{[ د ]}
كان هذا النقل الموازي تآلفيًا، وليس خطيًا؛
لم تكن الأشياء التي يتم نقلها متجهات مماسية بالمعنى الحديث، بل كانت عناصر من فضاء أفيني بنقطة مميزة، والتي يحددها اتصال كارتان في النهاية بالفضاء المماسي.

التفسيرات والحدس التاريخي

يسهل شرح النقاط المذكورة آنفًا بالعكس، انطلاقًا من الدافع الذي توفره نظرية الأسطح. في هذه الحالة، على الرغم من أن المستويات التي تُدحرج فوق السطح هي مستويات مماسية بالمعنى البسيط، فإن مفهوم الفضاء المماسي هو في الواقع مفهوم متناهي الصغر ، ^{[ هـ ]} بينما المستويات، باعتبارها فضاءات فرعية أفينية من $R³ ،$ لا نهائية الامتداد. مع ذلك، فإن جميع هذه المستويات الأفينية لها نقطة مميزة، وهي نقطة التماس مع السطح، وهي مماسية للسطح عند هذه النقطة. ينشأ الالتباس إذًا لأن الفضاء الأفيني ذي النقطة المميزة يمكن تعريفه بأنه فضاؤه المماسي عند تلك النقطة. مع ذلك، فإن النقل المتوازي المحدد بالتدحرج لا يُثبت هذا الأصل: فهو أفيني وليس خطيًا؛ ويمكن استعادة النقل المتوازي الخطي بتطبيق إزاحة.

باستخلاص هذه الفكرة، ينبغي أن يكون المشعب الأفيني مشعبًا من الرتبة $n،$ $M،$ مع فضاء أفيني $A x$ ، ذي بُعد $n$ ، مُرتبط بكل $عنصر x \in M$ عند نقطة مُحددة $a x \in A x$ ، بالإضافة إلى طريقة لنقل عناصر هذه الفضاءات الأفينية على طول أي منحنى $C$ في $M.$ ويجب أن تُحقق هذه الطريقة عدة خصائص:

بالنسبة لأي نقطتين $x و y$ على $C$ ، فإن النقل المتوازي هو تحويل خطي من $A x$ إلى $A y$ ؛
يتم تعريف النقل المتوازي بشكل متناهي الصغر بمعنى أنه قابل للتفاضل عند أي نقطة على $C$ ويعتمد فقط على متجه المماس لـ $C$ عند تلك النقطة؛
مشتق النقل الموازي عند $x$ يحدد تماثلًا خطيًا من $T x M$ إلى $T a x A x$ .

يصعب تحديد هاتين النقطتين الأخيرتين بدقة، ^{[ 9 ]} لذا تُعرَّف الاتصالات الأفينية غالبًا بشكل متناهي الصغر. ولتوضيح ذلك، يكفي النظر في كيفية تحول الأطر المرجعية الأفينية بشكل متناهي الصغر بالنسبة للنقل المتوازي. (هذا هو أصل طريقة كارتان للأطر المتحركة ). يتكون الإطار الأفيني عند نقطة ما من قائمة $(p, e1, ..., en) ، حيث$ p $\in Ax [$ ^{f ] وتشكل} ei $أساسًا$ لـ $Tp$ $( Ax) . يُعطى$ $الاتصال$ الأفيني رمزيًا بواسطة نظام تفاضلي من الدرجة الأولى $.$

(*){\begin{cases}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\mathbf {e} _{n}\\\mathrm {d} \mathbf {e} _{i}&=\omega _{i}^{1}\mathbf {e} _ {1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\mathbf {e} _{n}\end{cases}}\quad i=1,2,\ldots ,n

تُعرَّف هذه المجموعة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى $($ $θj, ωji$ $) . هندسيًا ، يخضع$ إطار تآلفي لإزاحة على طول منحنى $γ$ من $γ (t)$ إلى $γ (t + δt)$ تُعطى (تقريبًا، أو بشكل متناهي الصغر) $بواسطة$

{\begin{aligned}p(\gamma (t+\delta t))-p(\gamma (t))&=\left(\theta ^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\theta ^{n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _ {n}\right)\mathrm {\delta} t\\\mathbf {e} _{i}(\gamma (t+\delta t))-\mathbf {e} _{i}(\gamma (t))&=\left(\omega _{i}^{1}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{1}+\cdots +\omega _ {i} ^ {n}\left(\gamma '(t)\right)\mathbf {e} _{n}\right)\delta t\,.\end{aligned}}

علاوة على ذلك، يُشترط أن تكون الفضاءات الأفينية $A x$ $مماسية لـ M$ بالمعنى غير الرسمي الذي يمكن من خلاله تحديد إزاحة $a x$ على طول $γ$ (تقريبًا أو بشكل متناهي الصغر) مع متجه المماس $γ'(t)$ إلى $γ$ عند $x = γ (t)$ (وهو الإزاحة المتناهية الصغر لـ $x$ ).

a_{x}(\gamma (t+\delta t))-a_{x}(\gamma (t))=\theta \left(\gamma '(t)\right)\delta t\,,

حيث يتم تعريف $θ بواسطة$ $θ (X) = θ 1 (X) e 1 + \dots + θ n (X) e n$ ، يتم إعطاء هذا التعريف بواسطة $θ$ ، لذا فإن الشرط هو أن يكون $θ تماثلًا خطيًا عند كل نقطة.$

وبالتالي، يتم تحديد الفضاء الأفيني المماسي $A x$ بشكل بديهي مع جوار أفيني متناهي الصغر لـ $x$ .

يُضفي المنظور الحديث مزيدًا من الدقة على هذا الحدس باستخدام الحزم الرئيسية (وتتمثل الفكرة الأساسية في استبدال الإطار أو الإطار المتغير بفضاء جميع الإطارات والدوال الموجودة على هذا الفضاء). كما يستلهم هذا المنظور من برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين [ ¹⁰^]^، حيث تُعرَّف الهندسة بأنها فضاء متجانس . يُعد الفضاء الأفيني هندسةً بهذا المعنى، وهو مزود بوصلة كارتان مسطحة . وبالتالي، يُنظر إلى مشعب أفيني عام على أنه تشويه منحني للهندسة النموذجية المسطحة للفضاء الأفيني.

الفضاء الأفيني كهندسة نموذجية مسطحة

تعريف الفضاء الأفيني

بصورة غير رسمية، الفضاء الأفيني هو فضاء متجهي بدون نقطة أصل محددة . يصف هذا الفضاء هندسة النقاط والمتجهات الحرة في الفضاء. ونتيجةً لعدم وجود نقطة أصل، لا يمكن جمع النقاط في الفضاء الأفيني، إذ يتطلب ذلك اختيار نقطة أصل لتكوين قانون متوازي الأضلاع لجمع المتجهات. مع ذلك، يمكن جمع المتجه $v$ مع النقطة $p$ بوضع نقطة بداية المتجه عند $p$ ثم نقل $p$ إلى نقطة النهاية. العملية الموصوفة $p \to p + v$ هي إزاحة p على طول $v$ . من الناحية التقنية، الفضاء الأفيني ذو البعد $n$ $هو$ مجموعة $A $ $n$ مزودة بتأثير متعدٍ حر لمجموعة المتجهات $R$ $n$ عليها من خلال عملية إزاحة النقاط هذه: وبالتالي، فإن $A$ $n$ هو فضاء متجانس رئيسي لمجموعة المتجهات $R$ $n$ .

الزمرة الخطية العامة $GL$ $(n)$ هي زمرة تحويلات Rⁿ التي تحافظ على البنية الخطية لـ $Rⁿ$ بمعنى أن $T$ $($ $av$ $+$ $bw$ $)$ $=$ $aT$ $($ $v$ $) +$ $bT$ $($ $w$ $)$ . وبالمثل، فإن الزمرة الأفينية $Aff($ $n$ $)$ هي زمرة تحويلات $Aⁿ$ $التي$ تحافظ على البنية الأفينية . وبالتالي، $يجب$ أن يحافظ $φ$ $\in Aff($ $n$ $)$ على الإزاحات بمعنى أن

\varphi (p+v)=\varphi (p)+T(v)

حيث $T$ تحويل خطي عام. التطبيق الذي يُرسل $φ \in Aff(n)$ إلى $T \in GL(n)$ هو تشاكل زمر . نواته هي زمرة الإزاحات $Rⁿ .$ بالتالي، يمكن تحديد مُثبِّت أي نقطة $p$ في $A مع$ $GL(n)$ باستخدام هذا الإسقاط: وهذا يُحقق الزمرة الأفينية كحاصل ضرب شبه مباشر لـ $GL(n)$ و $Rⁿ ،$ والفضاء الأفيني كالفضاء المتجانس $Aff(n)/GL(n)$ .

الإطارات الأفينية والوصلة الأفينية المسطحة

يتكون الإطار الأفيني للفضاء $A$ من نقطة $p \in A$ وقاعدة $(e1, ..., en) للفضاء المتجهي TpA = Rn. تؤثر المجموعة الخطية العامة GL(n) بحرية على مجموعة FA لجميع الإطارات الأفينية بتثبيت p وتحويل القاعدة (e1, ..., en$ ) $بالطريقة المعتادة ،$ والخريطة $π التي ترسل$ إطارًا $أفينيًا ($ p $;$ e1 $,$ $...$ $,$ $en$ $)$ $إلى$ $p$ هي $خريطة$ $القسمة$ . $بالتالي$ $،$ $فإن$ $F$ $$ $A$ $$ $هي$ حزمة $رئيسية$ من GL ( $n$ $)$ $فوق$ $A.$ $يمتد$ تأثير GL ( $n$ $)$ $بشكل$ طبيعي $إلى$ تأثير $متعدٍ$ $حر$ $للمجموعة$ الأفينية $Aff($ $n$ $)$ على $F A$ ، بحيث تكون $F A$ $$ $حزمة Aff(n)$ -torsor ، واختيار إطار مرجعي يُعرّف $F A \to A$ بالحزمة الرئيسية $Aff(n) \to Aff(n)/GL(n)$ .

على $F A$ توجد مجموعة من $n + 1$ دالة معرفة بواسطة

\pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p

(كما كان من قبل) و

\varepsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}\,.

بعد اختيار نقطة أساس لـ $A$ ، تصبح جميع هذه الدوال ذات قيم في $Rⁿ ،$ لذا يُمكن اشتقاقها خارجيًا للحصول على أشكال تفاضلية من الدرجة الأولى ذات قيم في $Rⁿ .$ وبما أن الدوال $εᵢ$ تُعطي أساسًا لـ $Rⁿ$ $عند$ كل نقطة من $FₐA ،$ فلا بد أن تكون هذه الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى قابلة للتعبير عنها كمجموعات من الشكل التالي $:$

{\begin{aligned}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{aligned}}

بالنسبة لمجموعة $(θᵢ, ωⱼ, kⱼ) حيث 1 \leq i, j, k \leq n$ من الأشكال التفاضلية الحقيقية من الرتبة الأولى على $Aff(n)$ . يُعرّف نظام الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى على الحزمة الرئيسية $F A \to A$ الاتصال الأفيني على $A.$

وبأخذ المشتقة الخارجية مرة ثانية، وباستخدام حقيقة أن $d 2 = 0$ بالإضافة إلى الاستقلال الخطي لـ $ε i$ ، نحصل على العلاقات التالية:

{\begin{aligned}\mathrm {d} \theta ^{j}-\sum _{i}\omega _{i}^{j}\wedge \theta ^{i}&=0\\\mathrm {d} \omega _{i}^{j}-\sum _{k}\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}&=0\,.\end{aligned}}

هذه هي معادلات ماورر-كارتان لمجموعة لي $Aff(n)$ (المُعرَّفة بـ $F A$ باختيار إطار مرجعي). علاوة على ذلك:

النظام الـ Pfaffian $θ j = 0$ (لكل $j$ ) قابل للتكامل ، ومتشعباته التكاملية هي ألياف الحزمة الرئيسية $Aff(n) \to A$ .
النظام Pfaffian $ω j i = 0$ (لكل $i ، j$ ) قابل للتكامل أيضًا، وتحدد مشعباته التكاملية النقل المتوازي في $F A$ .

وبالتالي فإن الأشكال $(ω j i) تحدد$ اتصالًا رئيسيًا مسطحًا على $F A \to A.$

لإجراء مقارنة دقيقة مع الدافع، ينبغي تعريف النقل المتوازي في حزمة رئيسية من نوع $Aff(n)$ فوق $A.$ يمكن تحقيق ذلك بسحب $F$ $A$ للخلف بواسطة التطبيق السلس $φ$ $:$ $R$ $n$ $\times$ $A$ $ \to$ $A$ المعرف بالإزاحة. عندئذٍ، يكون المركب $φ$ $'*$ $A$ $ \to F$ $A$ $ \to$ $A$ حزمة رئيسية من نوع $Aff($ $n$ $)$ فوق $A$ ، وتُسحب الأشكال $($ $θ$ $i$ $,$ $ω$ $kj$ $$ $)$ للخلف لتكوين اتصال رئيسي مسطح من نوع $Aff($ $n$ $)$ على هذه الحزمة.

الهندسات الأفينية العامة: التعريفات الرسمية

الفضاء الأفيني، كما هو الحال مع أي هندسة كلاين ملساء تقريبًا ، هو متعدد الشعب مزود بوصلة كارتان مسطحة. ويمكن الحصول على متعددات شعب أفينية أو هندسات أفينية أكثر عمومية بسهولة عن طريق حذف شرط التسطح المُعبَّر عنه بمعادلات ماورر-كارتان. توجد عدة طرق لتعريف الفضاء الأفيني، وسنقدم اثنتين منها. كلا التعريفين مُيسَّران بإدراك أن الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى $(θᵢ,$ $ωⱼkⱼ$ $)$ $في النموذج المسطح تتلاءم معًا$ لتُعطي شكلًا تفاضليًا من الرتبة الأولى بقيم في جبر لي $aff (n)$ للمجموعة الأفينية $Aff(n)$ .

في هذه التعريفات، $M$ عبارة عن مشعب أملس $n$ و $A = Aff(n)/GL(n)$ عبارة عن فضاء أفيني من نفس البعد.

التعريف عبر التوازي المطلق

ليكن $M$ متعدد الشعب، و $P$ حزمة رئيسية من نوع $GL(n)$ فوق $M.$ عندئذٍ، يكون الاتصال الأفيني شكلاً تفاضلياً من الدرجة الأولى $η$ على $P$ بقيم في $aff (n)$ تحقق الخصائص التالية

$η$ متغيرة بالنسبة لتأثير $GL(n)$ على $P$ و $aff (n)$ ؛
$η (X ξ) = ξ$ للجميع $ξ$ في جبر Lie $gl (n)$ لجميعمصفوفات $n \times n ؛$
$η$ هو تماثل خطي لكل فضاء مماس لـ $P$ مع $aff (n)$ .

يعني الشرط الأخير أن $η$ عبارة عن توازي مطلق على $P$ ، أي أنه يُعرّف حزمة المماس لـ $P$ بحزمة تافهة (في هذه الحالة $P \times aff (n)$ ). يُحدد الزوج $(P, η)$ بنية هندسة أفينية على $M$ ، مما يجعلها متعددة شعب أفينية .

$ينقسم$ جبر لي الأفيني $aff (n)$ إلى حاصل ضرب شبه مباشر بين Rⁿ و $gl ($ $n) ، وبالتالي$ يمكن كتابة $η$ كزوج $(θ, ω)$ حيث تأخذ $θ$ قيمًا في $Rⁿ$ وتأخذ $ω$ قيمًا في $gl (n)$ . الشرطان 1 و2 مكافئان لكون $ω$ اتصالًا رئيسيًا من نوع $GL$ $(n)$ و $θ$ شكلًا تفاضليًا أفقيًا من الدرجة الأولى، مما يُنشئ تشاكلًا حزميًا من $Tₘ$ إلى الحزمة المرتبطة $P \times GL(n) Rⁿ .$ الشرط 3 مكافئ لكون هذا التشاكل الحزمي تماثليًا. (مع ذلك، فإن هذا التفكيك هو نتيجة للبنية الخاصة نوعًا ما للمجموعة الأفينية). بما أن P $هي$ حزمة الإطار لـ $P \times GL(n) Rⁿ ،$ فإنه يترتب على ذلك أن $θ$ يوفر تماثلًا حزميًا بين $P$ $وحزمة$ الإطار $Fₘ$ لـ $M.$ هذا يعيد تعريف الاتصال الأفيني باعتباره اتصال $GL($ $n$ $)$ رئيسي على $F$ $M.$

الأشكال من الدرجة 1 التي تنشأ في النموذج المسطح هي مجرد مكونات $θ$ و $ω$ .

التعريف باعتباره اتصالًا أفينيًا رئيسيًا

الاتصال الأفيني على $M$ هو حزمة رئيسية من النوع $Aff(n)$ تُسمى $Q$ فوق $M$ ، بالإضافة إلى حزمة فرعية رئيسية من النوع $GL(n)$ تُسمى $P$ من $Q$ ، واتصال رئيسي من النوع $Aff(n) يُسمى$ $α$ (شكل تفاضلي من الرتبة 1 على $Q$ بقيم في $aff (n) ) يحقق$ شرط كارتان (العام) التالي . المكون $Rⁿ$ من عملية السحب العكسي لـ $α$ إلى $P هو شكل تفاضلي أفقي من$ $الرتبة$ 1، وبالتالي يُعرّف تشاكل حزم من $T M$ إلى $P \times GL(n) Rⁿ :$ وهذا التشاكل مطلوب ليكون تماثلاً.

العلاقة بالدافع

بما أن $Aff(n)$ تؤثر على $A$ ، فإنه يوجد، مرتبط بالحزمة الرئيسية $Q$ ، حزمة $A = Q \times Aff(n) A$ ، وهي حزمة ليفية فوق $M،$ $حيث يكون ليفها عند x في M فضاءً أفينيًا Ax. يحدد مقطع a من A (يحدد نقطة مميزة ax في Ax$ $لكل x$ ∈ $M$ ) $حزمة$ فرعية $رئيسية GL$ ( $n$ ) $P$ من $Q$ ( $كحزمة$ مثبتات $هذه$ $النقاط$ $المميزة$ ) ، $والعكس$ $صحيح$ $.$ $يحدد$ الاتصال $الرئيسي$ α اتصال إهرسمان $على$ هذه الحزمة، ومن ثم مفهوم النقل المتوازي. يضمن شرط كارتان أن المقطع المميز $a$ يتحرك دائمًا تحت النقل المتوازي.

خصائص أخرى

الانحناء والالتواء

يُعدّ الانحناء والالتواء من الثوابت الرئيسية للوصلة الأفينية. وكما توجد طرق متكافئة عديدة لتعريف مفهوم الوصلة الأفينية، توجد أيضاً طرق مختلفة عديدة لتعريف الانحناء والالتواء.

من وجهة نظر اتصال كارتان، فإن الانحناء هو فشل الاتصال الأفيني $η$ في تلبية معادلة ماورر-كارتان

\mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,

حيث يمثل الحد الثاني على الجانب الأيسر الضرب الخارجي باستخدام قوس لي في $aff (n)$ لتقليص القيم. وبتوسيع $η$ إلى الزوج $(θ, ω)$ وباستخدام بنية جبر لي $aff (n)$ ، يمكن توسيع هذا الجانب الأيسر إلى الصيغتين التاليتين.

\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta \quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega \,,

حيث يتم حساب حاصل الضرب الخارجي باستخدام ضرب المصفوفات. يُطلق على التعبير الأول اسم التواء الوصلة، ويُطلق على التعبير الثاني اسم الانحناء.

هذه التعبيرات هي أشكال تفاضلية من الدرجة الثانية على الفضاء الكلي لحزمة إطار. ومع ذلك، فهي أفقية ومتغيرة، وبالتالي تُعرّف كائنات موترية. ويمكن تعريف هذه الكائنات مباشرةً من المشتقة المتغيرة المستحثة $\nabla$ $على$ TM $كما$ يلي.

يُعطى الالتواء بالصيغة التالية

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].

إذا اختفى الالتواء، يقال إن الوصلة خالية من الالتواء أو متناظرة .

يُعطى الانحناء بالصيغة التالية

R_{X,Y}^{\nabla}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.

لاحظ أن $[X, Y]$ هو قوس لي لحقول المتجهات

[X,Y]=\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}

باستخدام تدوين أينشتاين . وهذا مستقل عن اختيار نظام الإحداثيات و

\partial _{i}=\left({\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\right)_{p}\,,

متجه المماس عند النقطة $p$ لمنحنى الإحداثيات $i$ . تمثل $\partial$ $i$ أساسًا طبيعيًا لفضاء المماس عند النقطة $p$ ، و $X$ $i$ هي الإحداثيات المقابلة لحقل المتجهات $X$ $=$ $X$ $i$ $\partial$ $i$ .

عندما يختفي كل من الانحناء والالتواء، فإن الاتصال يحدد بنية جبر ما قبل لي على فضاء المقاطع العالمية للحزمة المماسية.

العلاقة بين ليفي-تشيفيتا

إذا كانت $(M, g)$ متعددة شعب ريمانية، فإن هناك اتصالًا تآلفيًا فريدًا $\nabla$ على $M$ بالخاصيتين التاليتين:

الاتصال خالٍ من الالتواء، أي أن $T \nabla$ يساوي صفرًا، بحيث يكون $\nabla X Y - \nabla Y X = [X, Y]$ ؛
النقل المتوازي هو عملية متساوية القياس، أي أن الضرب الداخلي (المحدد باستخدام $g$ ) بين متجهات المماس يتم الحفاظ عليه.

يُطلق على هذا الارتباط اسم ارتباط ليفي-تشيفيتا .

$يُستخدم مصطلح "متناظر" غالبًا بدلًا من "$ خالٍ من الالتواء" للخاصية الأولى. أما الشرط الثاني فيعني أن الاتصال هو اتصال متري بمعنى أن المقياس الريماني $g$ متوازي: $\nablag = 0.$ بالنسبة للاتصال الخالي من الالتواء، يُكافئ هذا الشرط المتطابقة $Xg (Y, Z)$ = $g (\nablaXY, Z) +$ g $(Y$ $,$ $\nablaXZ$ $)$ $،$ $أي$ $"$ التوافق مع المقياس". ^{[ 11 ]} $في الإحداثيات المحلية ،$ تُسمى مركبات الشكل رموز كريستوفيل : نظرًا لتفرد اتصال ليفي-سيفيتا، توجد صيغة لهذه المركبات بدلالة مركبات $g$ .

الخطوط الجيوديسية

بما أن الخطوط المستقيمة مفهومٌ في الهندسة الأفينية، فإن الاتصالات الأفينية تُعرّف مفهومًا مُعمّمًا للخطوط المستقيمة (المُعَلمة) على أي مشعب أفيني، وتُسمى هذه الخطوط الجيوديسية الأفينية. بصورة مجردة، يكون المنحنى البارامتري $γ : I \to M$ خطًا مستقيمًا إذا ظل متجه المماس له موازيًا لنفسه عند نقله على طول $γ$ . أي أن المنحنى الأملس $γ : I \to M$ هو خط جيوديسي أفيني إذا ${\dot {\gamma }}$ يتم نقلها بالتوازي على طول $γ$ حتى الوصول إلى مقياس القياس، أي

\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)=k(t){\dot {\gamma }}(t)

حيث $τ s t : T γ s M \to T γ t M$ هي خريطة النقل المتوازي التي تحدد الاتصال و $k(t)$ هي دالة سلسة ذات قيمة موجبة.

من حيث الاتصال المتناهي الصغر $\nabla$ ، فإن مشتقة هذه المعادلة تعني

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=s(t){\dot {\gamma }}(t)

لكل $t \in I$ ودالة سلسة ما $s$ .

لا يوجد تمثيلٌ لطول القوس ، لأن متجهات المماس لم تعد لها أطوال. لكن النسبة بين متجهات المماس المتوازية لا تزال محددة جيدًا. وهذا يسمح لنا بتعريف التمثيل الخطي : أن ${\dot {\gamma }}$ يتم نقلها بشكل متوازٍ تمامًا على طول $γ$ : $\tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t),\quad \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$ أي أن متجهات المماس متوازية ومتساوية القوة على طول الخط الجيوديسي.

تكون المعلمة الأفينية فريدة من نوعها حتى اختيار إعادة المعلمة الأفينية $γ (t) \to γ (at + b)$ ، حيث $a$ و $b$ ثابتان.

لكل $x \in M$ ولكل $X \in T x M$ ، يوجد مسار جيوديسي تآلفي وحيد $γ : I \to M$ حيث $γ (0) = x$ و $γ̇ (0) = X$ ، و $I$ هي الفترة المفتوحة القصوى في $R$ التي تحتوي على 0، والتي يُعرَّف عليها المسار الجيوديسي. هذا ناتج عن نظرية بيكارد-ليندلوف ، ويسمح بتعريف دالة أسية مرتبطة بالوصلة التآلفية. على وجه الخصوص، عندما يكون $M$ متعدد شعب ( شبه ) ريماني و $\nabla$ هو وصلة ليفي-سيفيتا ، فإن المسارات الجيوديسية التآلفية هي المسارات الجيوديسية المعتادة في الهندسة الريمانية، وهي المنحنيات التي تُقلِّل المسافة محليًا.

غالباً ما تتم دراسة الجيوديسيات غير المعلمة من وجهة نظر الهندسة التفاضلية الإسقاطية ، حيث لم تعد النسبة بين متجهات المماس محددة بشكل جيد، ولكن الاستقامة لا تزال محددة بشكل جيد.

تطوير

يُعرّف الاتصال الأفيني مفهوم تطور المنحنيات. وبشكل بديهي، يُجسّد التطور فكرة أنه إذا كان $x t$ منحنىً في $M$ ، فإن الفضاء المماسي الأفيني عند $x 0$ يمكن دحرجته على طول المنحنى. وعند حدوث ذلك، ترسم نقطة التماس المحددة بين الفضاء المماسي والمتشعب منحنىً $C t$ في هذا الفضاء الأفيني: وهو تطور $x t$ .

بصورة رسمية، ليكن $τ 0 t : T x t M \to T x 0 M$ خريطة النقل الخطي المتوازي المرتبطة بالوصلة الأفينية. عندئذٍ، يكون التطور $C t$ هو المنحنى في $T x 0 M$ الذي يبدأ من 0 ويكون موازيًا لمماس $x t$ لجميع الأزمنة $t$ .

{\dot {C}}_{t}=\tau _{t}^{0}{\dot {x}}_{t}\,,\quad C_{0}=0.

على وجه الخصوص، يكون $x t$ خطًا جيوديسيًا إذا وفقط إذا كان تطوره خطًا مستقيمًا ذا معلمات خطية في $T x 0 M$ . ^{[ 12 ]}

إعادة النظر في نظرية السطح

إذا كان $M$ سطحًا في $R³ ،$ فمن السهل ملاحظة أن $M$ يمتلك اتصالًا تآلفيًا طبيعيًا. من منظور الاتصال الخطي، يُعرَّف المشتق المتغير لحقل متجهي بتفاضل الحقل المتجهي، باعتباره دالة من $M$ إلى $R³ ،$ ثم إسقاط الناتج عموديًا على الفضاءات المماسية لـ $M.$ من السهل ملاحظة أن هذا الاتصال التآلفي خالٍ من الالتواء. علاوة على ذلك، فهو اتصال متري بالنسبة للمقياس الريماني على $M$ الناتج عن الضرب الداخلي على $R³ ،$ وبالتالي فهو اتصال ليفي-تشيفيتا لهذا المقياس.

مثال: كرة الوحدة في الفضاء الإقليدي

ليكن $⟨ , ⟩ هو$ الضرب القياسي المعتاد على $R³ ،$ ولتكن $S²$ هي كرة الوحدة. يُعرَّف الفضاء $المماسي لـ S²$ $عند$ النقطة $x بشكل طبيعي بأنه$ $الفضاء الشعاعي الجزئي$ $لـ$ $R³$ الذي يتكون من جميع المتجهات المتعامدة مع $x . ويترتب$ $على$ $ذلك$ أن حقل المتجهات $Y$ على $S²$ يمكن اعتباره تطبيقًا $Y : S² \to R³ يحقق$

\langle Y_{x},x\rangle =0\,,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.

لنرمز بـ $d إلى$ المصفوفة التفاضلية (مصفوفة جاكوبي) لمثل هذه الخريطة. عندئذٍ لدينا:

اللمة . الصيغة

(\nabla _{Z}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(Z_{x})+\langle Z_{x},Y_{x}\rangle x

يُعرّف اتصالًا خطيًا على

S 2

مع التواء متلاشي.

البرهان . من السهل إثبات أن

\nabla

تحقق متطابقة لايبنتز وأنها خطية من

الفئة

C\infty (S²) بالنسبة للمتغير

الأول . لذا

،

كل ما يلزم إثباته هنا هو أن التطبيق أعلاه يُعرّف بالفعل حقل متجه مماس. أي، نحتاج إلى إثبات أنه لكل

x

في

S²

{\bigl \langle }(\nabla _{Z}Y)_{x},x{\bigr \rangle }=0\,.\qquad {\text{(Eq.1)}}

انظر إلى الخريطة

{\begin{aligned}f:\mathbf {S} ^{2}&\to \mathbf {R} \\x&\mapsto \langle Y_{x},x\rangle \,.\end{aligned}}

الدالة f ثابتة، وبالتالي فإن تفاضلها يساوي صفرًا. على وجه الخصوص

\mathrm {d} f_{x}(Z_{x})={\bigl \langle }(\mathrm {d} Y)_{x}(Z_{x}),x(\gamma '(t)){\bigr \rangle }+\langle Y_{x},Z_{x}\rangle =0\,.

المعادلة 1 أعلاه تلي ذلك .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يُطلق على الاتصال الخطي أيضًا اسم الاتصال الأفيني أو ببساطةالاتصال ، [ 1^{] ولذلك لا} يوجد اتفاق على التعريفات الدقيقة لهذه المصطلحات (يُطلق عليه جون إم. لي ببساطة اسم الاتصال ).^{[ 2 ]}
↑ يوضح كارتان أنه استعار هذا المصطلح (أي "الرابطة الأفينية") من كتاب هـ. ويل وأشار إليه ( الزمكان والمادة )، على الرغم من أنه استخدمه في سياق أكثر عمومية.^{[ 4 ]}
نتيجةً لذلك، يستخدم العديد من علماء الرياضيات مصطلح "الاتصال الخطي" (بدلاً من "الاتصال الأفيني ") للإشارة إلى اتصال على حزمة المماس، انطلاقاً من كون النقل المتوازي خطياً وليس أفينياً. مع ذلك، تنطبق الخاصية نفسها على أي اتصال (كوزول أو إهريسمان الخطي) على حزمة متجهة . في الأصل، يُعد مصطلح " الاتصال الأفيني" اختصاراً للاتصال الأفيني بالمعنى الكارتاني، وهذا يعني أن الاتصال مُعرَّف على حزمة المماس، وليس على حزمة متجهة عشوائية. لا يُعد مفهوم اتصال كارتان الخطي منطقياً تماماً، لأن التمثيلات الخطية ليست متعدية.
↑ من الصعب جعل حدس كارتان دقيقًا دون اللجوء إلى التحليل اللامتناهي السلس ، ولكن إحدى الطرق هي اعتبار نقاطه متغيرة ، أي أنها خرائط من فضاء معلمات غير مرئي إلى المتشعب، والذي يمكن بعد ذلك تفاضله.
↑ تقليديًا، كان يُنظر إلى الفضاء المماسي على أنه تقريب متناهي الصغر، بينما في الهندسة التفاضلية الحديثة، غالبًا ما تُعرَّف الفضاءات المماسية بدلالة الكائنات التفاضلية مثل الاشتقاقات.^{[ 8 ]}
↑ يمكن اعتبار هذا اختيارًا للأصل: في الواقع يكفي النظر فقط في الحالةp $= a x ؛$ كارتان يحدد هذا ضمنيًا مع $x$ في $M.$

الاقتباسات

↑ لي 1997 ، ص 51.
↑ لي 2018 ، ص 91.
↑ لي 2018 ، ص 88، الروابط.
↑ أكيفيس وروزنفيلد 1993 ، ص 213.
↑ ويل 1918 ، 5 طبعات حتى عام 1922.
↑ كارتان 1923 .
↑ كارتان 1926 .
^ كوباياشي ونوميزو 1996 ، المجلد الأول، الأقسام 1.1-1.2
↑ لمزيد من التفاصيل، انظر لوميست (2001ب) . المعالجة الحدسية التالية هي تلك التي قدمها كارتان (1923) وكارتان (1926) .
↑ انظر R. Hermann (1983)، الملحق 1-3 لكارتان (1951) ، وأيضًا شارب (1997) .
^ كوباياشي ونوميزو 1996 ، ص. 160 ، المجلد. أنا
↑ هذا التناول للتطور مأخوذ من كوباياشي ونوميزو (1996 ، المجلد 1، الاقتراح III.3.1) ؛ انظر القسم III.3 لمزيد من التفاصيل الهندسية. انظر أيضًا شارب (1997) لمناقشة شاملة للتطور في سياقات هندسية أخرى.

مراجع

أكيفيس، ماجستير؛ روزنفيلد، بوريس (1993). إيلي كارتان (1869-1951) . ترجمة غولدبيرغ، VV AMS . ISBN 978-0-8218-5355-9.
لي، جون م. (1997). مشعبات ريمان: مقدمة في الانحناء . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 176. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-98322-6. OCLC 54850593 .
لي، جون م. (2018). مقدمة في مشعبات ريمان . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 176 ( الطبعة الثانية). دار نشر سبرينغر . doi : 10.1007/978-3-319-91755-9 . ISBN 978-3-319-91755-9.

فهرس

المراجع التاريخية الأساسية

كريستوفل، إلوين برونو (1869)، “Über die Transformation der Homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik ، 1869 (70): 46–70 ، دوى : 10.1515/crll.1869.70.46 ، S2CID 122999847
Levi-Civita، Tullio (1917)، “Nozione di موازية في مجموعة متنوعة من المواصفات الهندسية المتسقة لانحناء Riemanniana” ، Rend. سيرك. حصيرة. باليرمو ، 42 : 173-205 ، دوى : 10.1007 / bf03014898 ، S2CID 122088291
كارتان، إيلي (1923)، “Sur les variétés à connexion affine، et la théorie de la relativité généralisée (الجزء الأول)”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا ، 40 : 325– 412، دوى : 10.24033/asens.751
كارتان، إيلي (1924)، “Sur les variétés à connexion affine، et la théorie de la relativité généralisée (الجزء الأول) (جناح)”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة , 41 : 1– 25، دوى : 10.24033/asens.753
كارتان، إيلي (1986)، حول المتشعبات ذات الاتصال الأفيني ونظرية النسبية العامة ، دار النشر للعلوم الإنسانية

يتناول كارتان موضوع الاتصالات الأفينية انطلاقاً من دراسة نظرية النسبية. ويتضمن ذلك نقاشاً مفصلاً حول فيزياء الأطر المرجعية، وكيف يعكس هذا الاتصال المفهوم الفيزيائي للنقل على طول خط العالم .

كارتان ، إيلي (1926)، “Espaces à connexion affine، projective et conforme”، Acta Math. , 48 : 1– 42, دوى : 10.1007/BF02629755

شرح أكثر دافعية رياضية للروابط الأفينية.

كارتان ، إيلي (1951) ، مع ملاحق روبرت هيرمان (محرر)، هندسة الفضاءات الريمانية (ترجمة جيمس جلازبروك من Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann ، 2nd ed.)، Math Sci Press، Massachusetts (نُشرت عام 1983)، ISBN 978-0-915692-34-7{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .

تتناول ملاحق روبرت هيرمان موضوع الاتصالات الأفينية من منظور الهندسة الريمانية ، وتناقش الدافع وراءها من منظور نظرية السطوح، بالإضافة إلى مفهوم الاتصالات الأفينية بالمعنى الحديث لكوزول. كما يطور هيرمان الخصائص الأساسية للمؤثر التفاضلي ∇، ويربطها بالاتصالات الأفينية الكلاسيكية بمفهوم كارتان.

فايل، هيرمان (1918)، المكان، الزمان، المادة (5 طبعات حتى عام 1922، مع تعليقات يورغن إيلرز (1980)، ترجمة الطبعة الرابعة: المكان، الزمان، المادة لهنري بروس، 1922 (ميثوين، أعيد طبعه عام 1952 بواسطة دوفر )، سبرينغر، برلين، ISBN 0-486-60267-2{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

المراجع الثانوية

كوباياشي، شوشيتشي ؛ نوميزو، كاتسومي (1996)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلدان 1 و2 ( طبعة جديدة)، وايلي-إنترساينس، ISBN 0-471-15733-3.

هذا هو المرجع الرئيسي للتفاصيل التقنية للمقال. يقدم المجلد الأول، الفصل الثالث، شرحًا مفصلًا للاتصالات الأفينية من منظور الحزم الرئيسية على متعدد الشعب، والنقل المتوازي، والتطوير، والجيوديسية، والمؤثرات التفاضلية المرتبطة بها. ويتناول الفصل السادس من المجلد الأول التحويلات الأفينية، والالتواء، والنظرية العامة للجيوديسيا الأفينية. أما المجلد الثاني، فيقدم عددًا من تطبيقات الاتصالات الأفينية على الفضاءات المتجانسة ومتعددات الشعب المعقدة ، بالإضافة إلى مواضيع أخرى متنوعة.

Lumiste، Ülo (2001a) [1994]، “Affine Connection” ، in Hazewinkel، Michiel (ed.)، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، ISBN 978-1-55608-010-4.
لوميست، أولو (2001ب) [1994]، "الوصلات على متعدد الشعب" ، في هازوينكل، ميشيل (محرر)، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، رقم ISBN 978-1-55608-010-4.

مقالتان للكاتب لوميست، تُقدّمان شروطًا دقيقة على خرائط النقل المتوازية لكي تُحدّد الاتصالات الأفينية. كما تتناولان الانحناء والالتواء ومواضيع قياسية أخرى من منظور كلاسيكي (غير حزمة رئيسية).

شارب، آر دبليو (1997)، الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن كلاين ، Springer-Verlag، New York، ISBN 0-387-94732-9.

يُقدّم هذا بعض التفاصيل التاريخية، ويُوفّر شرحًا مبسطًا أكثر سهولة للقارئ حول اتصالات كارتان بشكل عام. يُوضّح الملحق (أ) العلاقة بين وجهتي نظر الاتصال الرئيسي والتوازي المطلق. أما الملحق (ب) فيُسدّ الفجوة بين نموذج "التدحرج" الكلاسيكي للاتصالات الأفينية، والنموذج الحديث القائم على الحزم الرئيسية والمؤثرات التفاضلية.

[3] يُطلق على الاتصال الخطي أيضًا اسم الاتصال الأفيني أو ببساطةالاتصال ، [ 1^{] ولذلك لا} يوجد اتفاق على التعريفات الدقيقة لهذه المصطلحات (يُطلق عليه جون إم. لي ببساطة اسم الاتصال ).^{[ 2 ]}

[6] يوضح كارتان أنه استعار هذا المصطلح (أي "الرابطة الأفينية") من كتاب هـ. ويل وأشار إليه ( الزمكان والمادة )، على الرغم من أنه استخدمه في سياق أكثر عمومية.^{[ 4 ]}

[9] نتيجةً لذلك، يستخدم العديد من علماء الرياضيات مصطلح "الاتصال الخطي" (بدلاً من "الاتصال الأفيني ") للإشارة إلى اتصال على حزمة المماس، انطلاقاً من كون النقل المتوازي خطياً وليس أفينياً. مع ذلك، تنطبق الخاصية نفسها على أي اتصال (كوزول أو إهريسمان الخطي) على حزمة متجهة . في الأصل، يُعد مصطلح " الاتصال الأفيني" اختصاراً للاتصال الأفيني بالمعنى الكارتاني، وهذا يعني أن الاتصال مُعرَّف على حزمة المماس، وليس على حزمة متجهة عشوائية. لا يُعد مفهوم اتصال كارتان الخطي منطقياً تماماً، لأن التمثيلات الخطية ليست متعدية.

[11] من الصعب جعل حدس كارتان دقيقًا دون اللجوء إلى التحليل اللامتناهي السلس ، ولكن إحدى الطرق هي اعتبار نقاطه متغيرة ، أي أنها خرائط من فضاء معلمات غير مرئي إلى المتشعب، والذي يمكن بعد ذلك تفاضله.

[13] تقليديًا، كان يُنظر إلى الفضاء المماسي على أنه تقريب متناهي الصغر، بينما في الهندسة التفاضلية الحديثة، غالبًا ما تُعرَّف الفضاءات المماسية بدلالة الكائنات التفاضلية مثل الاشتقاقات.^{[ 8 ]}

[15] يمكن اعتبار هذا اختيارًا للأصل: في الواقع يكفي النظر فقط في الحالةp $= a x ؛$ كارتان يحدد هذا ضمنيًا مع $x$ في $M.$

[FOOTNOTELee199751-1] لي 1997 ، ص 51.

[FOOTNOTELee201891-2] لي 2018 ، ص 91.

[FOOTNOTELee201888Connections-4] لي 2018 ، ص 88، الروابط.

[FOOTNOTEAkivisRosenfeld1993213-5] أكيفيس وروزنفيلد 1993 ، ص 213.

[7] ويل 1918 ، 5 طبعات حتى عام 1922.

[Cartan-affine-8] كارتان 1923 .

[10] كارتان 1926 .

[12] كوباياشي ونوميزو 1996 ، المجلد الأول، الأقسام 1.1-1.2

[14] لمزيد من التفاصيل، انظر لوميست (2001ب) . المعالجة الحدسية التالية هي تلك التي قدمها كارتان (1923) وكارتان (1926) .

[16] انظر R. Hermann (1983)، الملحق 1-3 لكارتان (1951) ، وأيضًا شارب (1997) .

[17] كوباياشي ونوميزو 1996 ، ص. 160 ، المجلد. أنا

[18] هذا التناول للتطور مأخوذ من كوباياشي ونوميزو (1996 ، المجلد 1، الاقتراح III.3.1) ؛ انظر القسم III.3 لمزيد من التفاصيل الهندسية. انظر أيضًا شارب (1997) لمناقشة شاملة للتطور في سياقات هندسية أخرى.

[ a ]

[

[ ب ]

5

6

[ ج ]

[ 7 ]

[ د ]

[ هـ ]

[ 9 ]

f ] وتشكل

10

[ 11 ]

[ 12 ]

] ولذلك لا

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗