الجبر الكليفوردي المعمم

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، جبر كليفورد المعمم (GCA) هو جبر ترابطي أحادي يعمم جبر كليفورد ، ويعود إلى عمل هيرمان ويل ، [ 1 ] الذي استخدم ورسم مؤثرات الساعة والإزاحة التي قدمها جيه جيه سيلفستر ( 1882)، [ 2 ] ونظمها كارتان (1898) [ 3 ] وشوينجر . [ 4 ]

تُستخدم مصفوفات الساعة والإزاحة بشكل روتيني في العديد من مجالات الفيزياء الرياضية ، مما يُشكّل حجر الزاوية في ديناميكيات ميكانيكا الكم في فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] ويمكن ربط مفهوم السبينور بهذه الجبريات. [ 6 ]

يمكن أن يشير مصطلح جبر كليفورد المعمم أيضًا إلى الجبر الترابطي الذي يتم بناؤه باستخدام أشكال من درجات أعلى بدلاً من الأشكال التربيعية . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

التعريف والخصائص

تعريف مجرد

يتم تعريف جبر كليفورد المعمم ذو الأبعاد n على أنه جبر ترابطي على حقل F ، يتم توليده بواسطة [ 12 ]

هـجهـك=ωجكهـكهـجωجكهـℓ=هـℓωجكωجكωℓم=ωℓمωجك{\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{\ell }&=e_{\ell }\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{\ell m}&=\omega _{\ell m}\omega _{jk}\end{aligned}}}

و

هـجشمالج=1=ωجكشمالج=ωجكشمالك{\displaystyle e_{j}^{N_{j}}=1=\أوميغا _{jk}^{N_{j}}=\أوميغا _{jk}^{N_{ك}}\,}

∀ j , k , ℓ , m = 1, . . . , n .

علاوة على ذلك، في أي تمثيل مصفوفي غير قابل للاختزال، ذي صلة بالتطبيقات الفيزيائية، يُشترط أن

ωجك=ωكج-1=هـ2πأناνكج/شمالكج{\displaystyle \omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}}

لكل j ، k = 1، ...، n ،  وشمالكج={\displaystyle N_{kj}={}}القاسم المشترك الأكبر(شمالج،شمالك){\displaystyle (N_{j},N_{k})}. عادةً ما يُؤخذ الحقل F على أنه الأعداد المركبة C.

تعريف أكثر تحديدا

في الحالات الأكثر شيوعًا لـ GCA، [ 6 ] يتمتع جبر كليفورد المعمم ذو البعد n من الرتبة p بالخاصية ω kj = ω ،شمالك=ص{\displaystyle N_{k}=p}  لكل j و k وνكج=1{\displaystyle \nu _{kj}=1}ويترتب على ذلك أن

هـجهـك=ωهـكهـجωهـℓ=هـℓω{\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{\ell }&=e_{\ell }\omega \,\end{محاذاة}}}

و

هـجص=1=ωص{\displaystyle e_{j}^{p}=1\أوميغا ^{p}\,}

لكل j و k و ℓ = 1، ...، n ، و

ω=هـ2πأنا/ص{\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}

هو الجذر النوني للعدد 1.

توجد عدة تعريفات لجبر كليفورد المعمم في الأدبيات. [ 13 ]

جبر كليفورد

في جبر كليفورد (المتعامد)، تتبع العناصر قاعدة التبادل المضاد، مع ω = −1، و p = 2 .

تمثيل المصفوفة

يمكن تمثيل مصفوفات الساعة والإزاحة [ 14 ] بواسطة مصفوفات n×n في تدوين شوينجر المتعارف عليه كما يلي

V=(010⋯0001⋯000⋱10⋮⋮⋮⋱⋮100⋯0)،يو=(100⋯00ω0⋯000ω2⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯ω(ن-1))،دبليو=(111⋯11ωω2⋯ωن-11ω2(ω2)2⋯ω2(ن-1)⋮⋮⋮⋱⋮1ωن-1ω2(ن-1)⋯ω(ن-1)2){\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega \end{pmatrix} ....

تجدر الإشارة إلى أن V <sub>n</sub> = 1 ، وVU = ωUV ( علاقات التضفير لـ Weyl )، و W <sup>-1</sup> VW = U ( تحويل فورييه المنفصل ). وبوجود e <sub>1 </sub> = V ، و e <sub>2 </sub> = VU ، و e <sub>3</sub> = U ، نحصل على ثلاثة عناصر أساسية، تُحقق مع ω الشروط المذكورة أعلاه لجبر كليفورد المعمم (GCA).

تم تقديم هاتين المصفوفتين، V و U ، واللتان يشار إليهما عادةً باسم " مصفوفات الإزاحة والساعة "، بواسطة جيه جيه سيلفستر في ثمانينيات القرن التاسع عشر. (لاحظ أن المصفوفات V هي مصفوفات تبديل دورية تقوم بإزاحة دائرية ؛ لا ينبغي الخلط بينها وبين مصفوفات الإزاحة العلوية والسفلية التي تحتوي على الرقم واحد فقط إما فوق القطر أو تحته، على التوالي).

أمثلة محددة

الحالة n = p = 2

في هذه الحالة، لدينا ω = −1، و

V=(0110)،يو=(100-1)،دبليو=(111-1){\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

هكذا

هـ1=(0110)،هـ2=(0-110)،هـ3=(100-1)،{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}

والتي تشكل مصفوفات باولي .

الحالة n = p = 4

في هذه الحالة لدينا ω = i ، و

V=(0100001000011000)،يو=(10000أنا0000-10000-أنا)،دبليو=(11111أنا-1-أنا1-11-11-أنا-1أنا){\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

ويمكن تحديد e 1 و e 2 و e 3 وفقًا لذلك.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ ويل ، هـ. (1927). “ميكانيكا الكم و Gruppentheorie”. Zeitschrift für Physik . 46 ( 1– 2): 1– 46. بيب كود : 1927ZPhy...46....1W . دوى : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 . — (1950) [1931]. نظرية المجموعات وميكانيكا الكم . دوفر. ISBN 9780486602691.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  2. ↑ سيلفستر، جيه جيه (1882)، كلمة عن البصل غير المتجانس ، منشورات جامعة جونز هوبكنز، المجلد الأول، الصفحات 241-242  ؛ المرجع نفسه، الجزء الثاني (1883)، ص 46؛ المرجع نفسه، الجزء الثالث (1884)، ص 7-9. ملخص في كتاب "مجموعة أوراق الرياضيات لجيمس جوزيف سيلفستر" (مطبعة جامعة كامبريدج، 1909)، المجلد الثالث . متاح على الإنترنت ومصادر أخرى .
  3. ^ كارتان، إي. (1898). "المجموعات الثنائية وأنظمة الأسماء المعقدة" (PDF) . حوليات كلية العلوم بتولوز . 12 (1): ب65 – ب99.
  4. ↑ شوينجر، ج. (أبريل 1960). "قواعد المؤثرات الوحدوية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 46 ( 4): 570-579 . Bibcode : 1960PNAS...46..570S . doi : 10.1073/pnas.46.4.570 . PMC 222876. PMID 16590645 .  — (1960). "التحويلات الوحدوية ومبدأ الفعل" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 46 ( 6): 883-897 . Bibcode : 1960PNAS...46..883S . doi : 10.1073/pnas.46.6.883 . PMC 222951. PMID 16590686 .  
  5. ↑ سانثانام، تي إس؛ تيكومالا، إيه آر (1976). "ميكانيكا الكم في الأبعاد المحدودة". أسس الفيزياء . 6 (5): 583. Bibcode : 1976FoPh....6..583S . doi : 10.1007/BF00715110 . S2CID 119936801 . 
  6. ١ ٢ ٣ انظر على سبيل المثال: غرانيك، أ.؛ روس، م. (١٩٩٦). "حول أساس جديد لجبر كليفورد المعمم وتطبيقه على ميكانيكا الكم" . في أبلاموفيتش، ر.؛ بارا، ج.؛ لونستو، ب. (محررون). جبر كليفورد مع تطبيقات الحساب العددي والرمزي . بيركهاوزر. ص ١٠١-١١٠ . ISBN  0-8176-3907-1.
  7. ↑ كواشنيفسكي، أ.ك. (1999). "حول جبر كليفورد المعمم C (n) ⁴ ومجموعة الكم GLq ( 2;C)". التقدم في جبر كليفورد التطبيقي . 9 (2): 249-260 . arXiv : math/0403061 . doi : 10.1007/BF03042380 . S2CID 117093671 . 
  8. ↑ تيسر، ستيفن باري (2011). "جبر كليفورد المعمم وتمثيلاته". في ميكالي، أ.؛ بوديه، ر.؛ هيلمستيتر، ج. (محررون). جبر كليفورد وتطبيقاته في الفيزياء الرياضية . سبرينغر. ص 133-141 . ISBN  978-90-481-4130-2.
  9. ↑ تشايلدز، ليندسي ن. (30 مايو 2007). "الخطية في الأشكال n-ic وجبر كليفورد المعمم". الجبر الخطي والمتعدد الخطوط . 5 (4): 267-278 . doi : 10.1080/03081087808817206 .
  10. ↑ باباسينا، كريستوفر ج. (يوليو 2000). "حزم المصفوفات وجبر كليفورد المعمم" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 313 ( 1-3 ): 1-20 . doi : 10.1016/S0024-3795(00)00025-2 .
  11. ↑ تشابمان، آدم؛ كو، جونغ مياو (أبريل 2015). "حول جبر كليفورد المعمم لكثير الحدود أحادي المعامل". الجبر الخطي وتطبيقاته . 471 : 184-202 . arXiv : 1406.1981 . doi : 10.1016/j.laa.2014.12.030 . S2CID 119280952 . 
  12. ↑ للاطلاع على مراجعة مفيدة، انظر: Vourdas, A. (2004). "الأنظمة الكمومية ذات فضاء هيلبرت المحدود". تقارير عن التقدم في الفيزياء . 67 (3): 267–320 . Bibcode : 2004RPPh...67..267V . doi : 10.1088/0034-4885/67/3/R03 .
  13. ↑ انظر على سبيل المثال المراجعة الواردة في: سميث، تارا ل. "تحليل جبر كليفورد المعمم" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 12-06-2010.
  14. ↑ راماكريشنان، ألادي (1971). "جبر كليفورد المعمم وتطبيقاته - منهج جديد للأعداد الكمومية الداخلية". وقائع مؤتمر جبر كليفورد وتعميمه وتطبيقاته، 30 يناير - 1 فبراير 1971 (ملف PDF) . مدراس: ماتس ساينس . الصفحات 87-96 . 

للمزيد من القراءة