المُكمِّم المعمم

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 109 صور
الموسوعة الحرة

في علم الدلالة الرسمي ، يُعدّ المُكمِّم المُعمَّم ( GQ ) تعبيرًا يدل على مجموعة من المجموعات . هذه هي الدلالة القياسية المُخصصة للعبارات الاسمية المُكمَّمة . على سبيل المثال، يُشير المُكمِّم المُعمَّم " كل ولد" إلى مجموعة المجموعات التي ينتمي إليها كل ولد. {X|∀x(x هو صبي→x∈X)}{\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}كان هذا التعامل مع أدوات التحديد الكمي أساسياً في تحقيق دلالات تركيبية للجمل التي تحتوي على أدوات التحديد الكمي. [ 1 ] [ 2 ]

نظرية النموذج

تعريف

في منطق الرتبة الأولى، يوجد نوعان من المحددات الكمية∀،∃{\displaystyle \forall ,\exists }. لها معنى ثابت في دلالات نظرية النموذج (أي دلالات نظرية المجموعة) لمنطق الرتبة الأولى، كما يلي.

بالنظر إلى لغة من الدرجة الأولى ، نموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}اللغة، وتفسيرهاأنا{\displaystyle I}بالنسبة للمتغيرات، نكتبم⊨أنا∀xψ{\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi }بمعنى "صيغة كمية"∀xψ{\displaystyle \forall x\psi }يتم نمذجته بواسطة النموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}مع التفسيرأنا{\displaystyle I}"بحسب التعريف،م⊨أنا∀xψ⟺∀أ∈م،م⊨أنا[أ/x]ψ{\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi \iff \forall a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }أينم{\displaystyle M}هو عالم النموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}.

بصورة مماثلة،م⊨أنا∃xψ⟺∃أ∈م،م⊨أنا[أ/x]ψ{\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi \iff \exists a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }يمكن كتابة ذلك باستخدام تدوين نظرية المجموعات على النحو التالي:م⊨أنا∀xψ⟺{أ∈م:م⊨أنا[أ/x]ψ}∈{م}م⊨أنا∃xψ⟺{أ∈م:م⊨أنا[أ/x]ψ}∈{S∈P(م):S≠∅}{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{M\}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}\end{aligned}}}أينP{\displaystyle {\mathcal {P}}}يشير إلى عملية مجموعة الطاقة .

قد يبدو هذا الأمر دائريًا بعض الشيء، إذ تُصاغ نظرية المجموعات عادةً في منطق من الدرجة الأولى (كما في نظرية مجموعات ZFC ). مع ذلك، إذا ما اعتُبرت نظرية مجموعات كهذه أساسًا مُعطى، فإنه يُمكن بناء منطقات أخرى من الدرجة الأولى فوقها. هذا هو المنظور المعتاد في نظرية النماذج.

بعد ذلك، سننظر في∀،∃{\displaystyle \forall ,\exists }أنفسهم كرموز يتم نمذجتها. وهذا مشابه لكيفية تفسير المساواة نفسها كرمز علاقة ثنائية في منطق الرتبة الأولى مع المساواة . ثم نعيد كتابتها مرة أخرى:م⊨أنا∀xψ⟺{أ∈م:م⊨أنا[أ/x]ψ}∈∀مم⊨أنا∃xψ⟺{أ∈م:م⊨أنا[أ/x]ψ}∈∃م{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \forall ^{\mathcal {M}}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \exists ^{\mathcal {M}}\end{aligned}}}أين∀م:={م}{\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}:=\{M\}}هو نموذج الرمز∀{\displaystyle \forall }في النموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}، و∃م:={S∈P(م):S≠∅}{\displaystyle \exists ^{\mathcal {M}}:=\{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}}هو نموذج الرمز∃{\displaystyle \exists }في النموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}.

لذلك، يمكننا تعريف نموذج المُكمِّم المعمم على النحو التالي. بالنظر إلى لغة من الدرجة الأولى مُعزَّزة بمُكمِّمات معممةسؤال1،سؤال2،...{\displaystyle Q_{1},Q_{2},\dots }نموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}من نماذج اللغة لكل منهاسؤالن{\displaystyle Q_{n}}كمجموعةسؤالنم⊂P(م){\displaystyle Q_{n}^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M)}بحيثم⊨أناسؤالنxψ⟺{أ∈م:م⊨أنا[أ/x]ψ}∈سؤالنم{\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}Q_{n}x\psi \iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in Q_{n}^{\mathcal {M}}}وبشكل أعم، أداة التحديد الكميسؤال{\displaystyle Q}قد يتم تحديد كمية k من المتغيرات. عندئذٍ يكون نموذجها عبارة عن مجموعةسؤالم⊂P(مك){\displaystyle Q^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M^{k})}نوع هذا المُكمِّم هو⟨ك⟩{\displaystyle \langle k\rangle }.

وبصورة مكافئة، بما أن مجموعة فرعية منمك{\displaystyle M^{k}}يمكن اعتبارها علاقة من الرتبة k علىم{\displaystyle M}يمكن اعتبار المُكمِّم على k متغيرات بمثابة مسند للعلاقات k -ary علىم{\displaystyle M}.

وبشكل أعم، أداة التحديد الكميسؤال{\displaystyle Q}يُستخدم على النحو التالي:سؤالx1،1،...،x1،م1؛x2،1،...،x2،م2؛...؛xن،1،...،xن،من(ψ1،...،ψن){\displaystyle Qx_{1,1},\dots ,x_{1,m_{1}};x_{2,1},\dots ,x_{2,m_{2}};\dots ;x_{n,1},\dots ,x_{n,m_{n}}(\psi _{1},\dots ,\psi _{n})}يتم تمثيلها بعلاقة من الرتبة n علىم1{\displaystyle m_{1}}العلاقة -ary،م2{\displaystyle m_{2}}العلاقة -ary، ...،من{\displaystyle m_{n}}العلاقة -ary علىم{\displaystyle M}يُطلق على هذا التعريف العام، وهو تعريف مُكمِّم مُعمَّم، أحيانًا اسم مُكمِّم ليندستروم .

يُقال إن هذا النوع من المحددات الكمية له بصمة.⟨م1،م2،...،من⟩{\displaystyle \langle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\rangle }إذا كان توقيعه على شكل⟨1،1،...،1⟩{\displaystyle \langle 1,1,\dots ,1\rangle }إذا كان الأمر كذلك، فهو أحادي ، وإلا فهو متعدد .

أمثلة

من النوع ⟨1⟩:

  • ∃=1{\displaystyle \exists _{=1}}يُعرَّف معنى "يوجد واحد فقط" بواسطة∃=1م:={{أ}:أ∈م}{\displaystyle \exists _{=1}^{\mathcal {M}}:=\{\{a\}:a\in M\}}
  • وبشكل أعم، يمكننا تعريف∃=2،∃=3،...{\displaystyle \exists _{=2},\exists _{=3},\dots }بواسطة∃=2م:={{أ،ب}:أ∈م،ب∈م،أ≠ب}{\displaystyle \exists _{=2}^{\mathcal {M}}:=\{\{a,b\}:a\in M,b\in M,a\neq b\}}، إلخ.
  • ∃≤ن{\displaystyle \exists _{\leq n}}يُعرَّف معنى "يوجد على الأكثر n " بواسطة∃≤نم:={S:S⊂م،|S|≤ن}{\displaystyle \exists _{\leq n}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|\leq n\}}.
  • ∃≥ω{\displaystyle \exists _{\geq \omega }}يُعرَّف معنى "يوجد عدد لا نهائي" بـ∃≥ωم:={S:S⊂م،S لا نهائي}{\displaystyle \exists _{\geq \omega }^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,S{\text{ is infinite}}\}}.
  • يُعرَّف مُحدِّد ريشر، الذي يعني "في أغلب الأحيان"، بواسطةسؤالRم:={S:S⊂م،|S|>|م∖S|}{\displaystyle Q_{R}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|>|M\setminus S|\}}.

من النوع ⟨2⟩:

  • دبليو{\displaystyle W}يُعرَّف معنى " الترتيب الجيد " من خلالدبليوم:={S:S⊂م×م،S هو ترتيب جيد لـ م}{\displaystyle W^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M\times M,S{\text{ is a well-ordering of }}M\}}. على سبيل المثال،دبليوxy،x<y{\displaystyle Wxy,x<y}وسائل "<{\displaystyle <}"ترتيب جيد". بالنظر إلى نموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}لدبليوxy،x<y{\displaystyle Wxy,x<y}، الهيكل(م،<م){\displaystyle (M,<^{\mathcal {M}})}هي مجموعة مرتبة جزئياً مرتبة ترتيباً جيداً. والجدير بالذكر أن الترتيب الجيد لا يمكن وضع بديهيات له في منطق الرتبة الأولى القياسي، مما يدل على أننا وسعنا نطاق قوة اللغة المنطقية.
  • مُحدد رامزي الكميسؤال2{\displaystyle Q^{2}}، كما هو محدد بواسطةS∈(سؤال2)م{\displaystyle S\in (Q^{2})^{\mathcal {M}}}إذا وُجد شيء لانهائيأ⊂م{\displaystyle A\subset M}بحيث∀x≠y∈أ،(x،y)∈S{\displaystyle \forall x\neq y\in A,(x,y)\in S}على سبيل المثال، تنص نظرية رامزي اللانهائية على أنه إذا كان لدينا مجموعة لانهائيةم{\displaystyle M}وإذا رسمنا ضلعًا بين أي زوج من النقاط، ولونا كل ضلع بأحد الألوان المحدودة، فإنه يوجد زمرة لانهائية من نفس اللون.ج1،...،جم{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{m}}تكون العلاقات ثنائية، بحيثجأنا(x،y){\displaystyle C_{i}(x,y)}وسائلx≠y{\displaystyle x\neq y}والحافة(x،y){\displaystyle (x,y)}يتم تلوينها باللون رقم i . ثم تنص نظرية رامزي اللانهائية على أن⋁أنا=1مسؤال2(جأنا){\displaystyle \bigvee _{i=1}^{m}Q^{2}(C_{i})}.

من النوع ⟨n⟩:

  • مُحدد رامزي الكميسؤالن{\displaystyle Q^{n}}، كما هو محدد بواسطةS∈(سؤالن)م{\displaystyle S\in (Q^{n})^{\mathcal {M}}}إذا وُجد شيء لانهائيأ⊂م{\displaystyle A\subset M}بحيث تكون أي مجموعة جزئية بحجم n{أ1،...،أن}⊂أ{\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset A}لدينا(أ1،...،أن)∈S{\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in S}يمكن صياغة نظرية رامزي اللانهائية باستخدامسؤالن{\displaystyle Q^{n}}[ 3 ]​

من النوع ⟨1, 1⟩:

  • يُعرَّف "الكل" بواسطةالجميعم:={(أ،ب):أ⊂ب،ب⊂م}{\displaystyle {\text{All}}^{\mathcal {M}}:=\{(A,B):A\subset B,B\subset M\}}على سبيل المثال، تُكتب عبارة "كل الرجال فانون" على النحو التالي:الجميع x،y،(رجل(x)،فانٍ(y)){\displaystyle {\text{All }}x,y,({\text{man}}(x),{\text{mortal}}(y))}وبالمثل، فإنّ "بعض" و"ليس أي" و"ليس كل" هي من النوع ⟨1, 1⟩. وبهذه الطريقة، يتم التعبير عن الأنواع الأربعة من الجمل في منطق المصطلحات بشكل طبيعي في منطق الرتبة الأولى باستخدام المحددات المعممة.
  • وبالمثل، "خمسة على الأقل"، "ثلاثة بالضبط"، "عدد زوجي من"، "هناك أكثر من"، .
  • المُكمِّم هارتيغ، ويعني "متساوي العدد". [ 4 ]

العمليات

يمكن دمج المحددات الكمية وتعديلها لإنشاء المزيد من المحددات الكمية، باستخدام العمليات على المحددات الكمية.

النسبية : علاقة من الرتبة nR{\displaystyle R}على مجموعةم{\displaystyle M}يمكن نسبها إلى مجموعة فرعيةشمال⊂م{\displaystyle N\subset M}، من خلال التعريفR↾شمال:=R∩شمالن{\displaystyle R\upharpoonright N:=R\cap N^{n}}. بعبارة أخرى،∀أ1،...،أن∈شمال،R↾شمال(أ1،...،أن)⟺R(أ1،...،أن){\displaystyle \forall a_{1},\dots ,a_{n}\in N,R\upharpoonright N(a_{1},\dots ,a_{n})\iff R(a_{1},\dots ,a_{n})}باستخدام هذه العملية، يتم تحديد الكميةسؤال{\displaystyle Q}من النوع⟨م1،...،من⟩{\displaystyle \langle m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }يمكن ربطها بمحدد كميسؤالrel{\displaystyle Q_{\text{rel}}}من النوع⟨1،م1،...،من⟩{\displaystyle \langle 1,m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }من خلال اعتبار خانتها الأولى هي المجموعة التي تُنسب إليها:سؤالrelم(شمال،R1،...،Rن):=سؤالم(R1↾شمال،...،Rن↾شمال){\displaystyle Q_{\text{rel}}^{\mathcal {M}}(N,R_{1},\dots ,R_{n}):=Q^{\mathcal {M}}(R_{1}\upharpoonright N,\dots ,R_{n}\upharpoonright N)}التكرار : بالنظر إلى اثنين من المحددات الكمية ⟨1⟩سؤال،سؤال′{\displaystyle Q,Q'}لدينا مُكمِّم ⟨2⟩سؤال⋅سؤال′{\displaystyle Q\cdot Q'}ويتم الحصول على ذلك من خلال تعميم البناء لـ∀،∃{\displaystyle \forall ,\exists }. على وجه التحديد، بالنظر إلى علاقة ثنائيةR{\displaystyle R}الجملة∀x∃y،R(x،y){\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}يمكن تحليلها على النحو التالي(∀⋅∃)xy،R(x،y){\displaystyle (\forall \cdot \exists )xy,R(x,y)}، أين∀⋅∃{\displaystyle \forall \cdot \exists }هو مُكمِّم ⟨2⟩ يتم الحصول عليه عن طريق التكرار∀{\displaystyle \forall }ل∃{\displaystyle \exists }.

نموذجم{\displaystyle {\mathcal {M}}}نماذج∀x∃y،R(x،y){\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}إذا∀م({أ∈م:∃م(Rم(أ،⋅))}){\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}(\{a\in M:\exists ^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}، أينRم(أ،⋅){\displaystyle R^{\mathcal {M}}(a,\cdot )}العلاقة من الدرجة الأولى علىم{\displaystyle M}تم الحصول عليها عن طريق التوصيلأ∈م{\displaystyle a\in M}إلى الخانة الأولى من العلاقة الثنائيةR{\displaystyle R}علىم{\displaystyle M}.

بالتعميم، بالنظر إلى مُكمِّمَينسؤال،سؤال′{\displaystyle Q,Q'}من النوعين ⟨1⟩، ⟨1⟩، يتكررون إلى مُكمِّم من النوع ⟨2⟩:(سؤال⋅سؤال′)م(Rم):=سؤالم({أ∈م:سؤال′م(Rم(أ،⋅))}){\displaystyle (Q\cdot Q')^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}):=Q^{\mathcal {M}}(\{a\in M:Q'^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}منحسؤال1،...،سؤالن{\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{n}}محددات الأنواع⟨م1⟩،...،⟨من⟩{\displaystyle \langle m_{1}\rangle ,\dots ,\langle m_{n}\rangle }، ثم يكررون ذلك إلىسؤال1⋅⋯⋅سؤالن{\displaystyle Q_{1}\cdot \dots \cdot Q_{n}}، أ⟨م1+⋯+من⟩{\displaystyle \langle m_{1}+\dots +m_{n}\rangle }المُكمِّم.

استئناف : بالنظر إلى مُكمِّمسؤال{\displaystyle Q}من النوع⟨1،...،1⟩{\displaystyle \langle 1,\dots ,1\rangle }، ويمكن اختصارها إلى مُكمِّمريسك⁡(سؤال){\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)}من النوع⟨ك،...،ك⟩{\displaystyle \langle k,\dots ,k\rangle }، باستخدام حقيقة أن العلاقة من الرتبة kR{\displaystyle R}على مجموعةم{\displaystyle M}هو نفسه علاقة أحادية علىمك{\displaystyle M^{k}}:ريسك⁡(سؤال)م(R1،...،Rن)⟺سؤالم(R1،...،Rن){\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})\iff Q^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})}لاحظ أنه على الرغم من تشابههما شكليًا، إلا أن أنواعهما مختلفة. أحدهما هو... ولتوضيح ذلك، انظر إلى استئناف...∃{\displaystyle \exists }الصيغة∃x،أولاً(x)=ثانية(x){\displaystyle \exists x,{\text{first}}(x)={\text{second}}(x)}هي صيغة يتم تفسيرها على نموذج يتم فيه تعريف "الأول" و"الثاني"، على وجه الخصوص النماذج التي تكون أكوانها على شكلم×م{\displaystyle M\times M}، بينماريس2⁡(∃)x1x2،x1=x2{\displaystyle \operatorname {Res} _{2}(\exists )x_{1}x_{2},x_{1}=x_{2}}هي صيغة يتم تفسيرها على نموذج بسيط.

نظرية الأنواع

يُستخدم أحد أشكال نظرية الأنواع غالبًا لتوضيح دلالات أنواع التعبيرات المختلفة. ويُعرّف البناء القياسي مجموعة الأنواع بشكل تكراري كما يلي:

  1. e و t نوعان.
  2. إذا كان كل من a و b من النوعين، فإنهما كذلك.⟨أ،ب⟩{\displaystyle \langle a,b\rangle }
  3. لا يوجد شيء من النوع، باستثناء ما يمكن بناؤه على أساس السطرين 1 و 2 أعلاه.

بناءً على هذا التعريف، لدينا النوعان البسيطان e و t ، ولكن لدينا أيضًا عدد لا نهائي قابل للعد من الأنواع المعقدة، والتي يتضمن بعضها ما يلي: ⟨هـ،ت⟩؛⟨ت،ت⟩؛⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩؛⟨هـ،⟨هـ،ت⟩⟩؛⟨⟨هـ،ت⟩،⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩⟩؛...{\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle  ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle  ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle  ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle  ;\qquad \ldots }

  • تُشير التعبيرات من النوع e إلى عناصر عالم الخطاب ، أي مجموعة الكيانات التي يدور حولها الخطاب. وعادةً ما تُكتب هذه المجموعة على النحو التالي:دهـ{\displaystyle D_{e}}ومن أمثلة التعبيرات من النوع e : John و he .
  • تُشير التعبيرات من النوع t إلى قيمة منطقية ، وعادةً ما يتم تمثيلها كمجموعة{0،1}{\displaystyle \{0,1\}}حيث يرمز الرقم 0 إلى "الخطأ" ويرمز الرقم 1 إلى "الصواب". ومن أمثلة التعبيرات التي يُقال أحيانًا أنها من النوع t الجمل أو القضايا .
  • تعبيرات من النوع⟨هـ،ت⟩{\displaystyle \langle e,t\rangle }تُشير إلى الدوال التي تربط مجموعة الكيانات بمجموعة قيم الصواب. وتُعرض هذه المجموعة من الدوال على النحو التالي:دتدهـ{\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}تُعرف هذه الدوال بالدوال المميزة للمجموعات . فهي تُسند إلى كل عنصر من عناصر المجموعة القيمة "صحيح"، وإلى كل ما عدا ذلك القيمة "خطأ". ويُشاع أنها تُشير إلى مجموعات بدلاً من دوال مميزة، مع أن الوصف الأخير أدقّ. ومن أمثلة هذا النوع من التعبيرات: المسندات ، والأسماء، وبعض أنواع الصفات .
  • بشكل عام، تعبيرات الأنواع المعقدة⟨أ،ب⟩{\displaystyle \langle a,b\rangle }تشير إلى الدوال من مجموعة الكيانات من النوعأ{\displaystyle a}إلى مجموعة الكيانات من النوعب{\displaystyle b}، وهو تركيب يمكننا كتابته على النحو التالي:دبدأ{\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}.

يمكننا الآن تحديد أنواع الكلمات في جملتنا أعلاه (كل ولد ينام) على النحو التالي.

  • النوع (ولد) =⟨هـ،ت⟩{\displaystyle \langle e,t\rangle }
  • النوع(النائم) =⟨هـ،ت⟩{\displaystyle \langle e,t\rangle }
  • النوع (كل) =⟨⟨هـ،ت⟩،⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩⟩{\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }
  • النوع (كل ولد) =⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩{\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }

وهكذا نرى أن المُكمِّم المعمم في مثالنا هو من النوع⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩{\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }

وبالتالي، يرمز الرمز "كل" إلى دالة من مجموعة إلى دالة من مجموعة إلى قيمة منطقية. بعبارة أخرى، يرمز إلى دالة من مجموعة إلى مجموعة من المجموعات. وهي تلك الدالة التي تحقق الشرط التالي لأي مجموعتين A وB : كل ( A )( B ) = 1 إذا وفقط إذاأ⊆ب{\displaystyle A\subseteq B}.

حساب التفاضل والتكامل لامدا المكتوب

تُعدّ طريقة حساب لامدا طريقةً مفيدةً لكتابة الدوال المعقدة . على سبيل المثال، يمكن كتابة معنى كلمة " sleeps" على شكل تعبير لامدا التالي، وهو دالة من المتغير x إلى العبارة " x sleeps" . λx.sلهـهـص′(x){\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)} تُعرَّف حدود لامدا هذه بأنها دوال يكون مجالها ما يسبق النقطة، ومدىها ما يليها. إذا كان x متغيرًا يتراوح على عناصردهـ{\displaystyle D_{e}}إذاً، يشير مصطلح لامدا التالي إلى دالة التطابق على الأفراد: λx.x{\displaystyle \lambda x.x}

يمكننا الآن كتابة معنى كل باستخدام مصطلح لامدا التالي، حيث X وY متغيرات من النوع⟨هـ،ت⟩{\displaystyle \langle e,t\rangle }: λX.λY.X⊆Y{\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}

إذا اختصرنا معنى كلمتي " boy" و " sleeps" إلى " B " و " S " على التوالي، فإن جملة " every boy sleeps now" تعني ما يلي: (λX.λY.X⊆Y)(ب)(S){\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)} عن طريق اختزال بيتا ، (λY.ب⊆Y)(S){\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)} و ب⊆S{\displaystyle B\subseteq S}

كلمة "every" هي أداة تعريف . وعند دمجها مع اسم ، فإنها تُنتج مُكمِّمًا عامًا من النوع⟨⟨هـ،ت⟩،ت⟩{\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }.

ملكيات

الرتابة

زيادة رتيبة في عدد الدرجات العامة

يُقال عن المُكمِّم المعمم GQ أنه متزايد بشكل رتيب (ويُسمى أيضًا مُستلزمًا تصاعديًا ) إذا تحقق ما يلي لكل زوج من المجموعات X و Y :

لوX⊆Y{\displaystyle X\subseteq Y}، إذن GQ( X ) يستلزم GQ( Y ).

مجلة GQ لكل فتى تتزايد بشكل رتيب. على سبيل المثال، مجموعة الأشياء التي تجري بسرعة هي مجموعة جزئية من مجموعة الأشياء التي تجري . لذلك، فإن الجملة الأولى أدناه تستلزم الجملة الثانية:

  1. كل ولد يركض بسرعة.
  2. كل الأولاد يركضون.

انخفاض رتيب في GQs

يقال إن GQ متناقصة بشكل رتيب (وتسمى أيضًا متضمنة تنازليًا ) إذا تحقق ما يلي لكل زوج من المجموعات X و Y :

لوX⊆Y{\displaystyle X\subseteq Y}، إذن GQ( Y ) يستلزم GQ( X ).

مثال على صيغة تناقصية رتيبة هو "لا ولد" . بالنسبة لهذه الصيغة، فإن الجملة الأولى أدناه تستلزم الجملة الثانية.

  1. لا يركض أي ولد.
  2. لا يوجد ولد يركض بسرعة.

يُعرَّف مصطلح لامدا الخاص بالمحدد " لا" كما يلي. ويشير إلى أن المجموعتين لهما تقاطع فارغ . λX.λY.X∩Y=∅{\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset } تُعدّ العبارات الرتيبة المتناقصة من بين التعبيرات التي يمكن أن تُجيز استخدام عنصر ذي قطبية سلبية ، مثل كلمة "أي" . أما العبارات الرتيبة المتزايدة فلا تُجيز استخدام عناصر ذات قطبية سلبية.

  1. جيد: لا يملك أي ولد أي نقود.
  2. سيء: *كل ولد لديه بعض المال.

مجلة GQ غير الرتيبة

يُقال عن المقدار العام أنه غير رتيب إذا لم يكن متزايدًا رتيبًا ولا متناقصًا رتيبًا. مثال على هذا النوع من المقدار العام هو " ثلاثة أولاد بالضبط" . لا تستلزم أي من الجملتين التاليتين الأخرى.

  1. ركض ثلاثة طلاب بالضبط.
  2. ركض ثلاثة طلاب بالضبط بسرعة.

الجملة الأولى لا تستلزم الثانية. فكون عدد الطلاب الذين ركضوا ثلاثة بالضبط لا يعني بالضرورة أن كل واحد منهم ركض بسرعة ، لذا قد يكون عدد الطلاب الذين ركضوا بسرعة أقل من ثلاثة. وعلى العكس، الجملة الثانية لا تستلزم الأولى. فعبارة " ركض ثلاثة طلاب بالضبط بسرعة" قد تكون صحيحة، حتى وإن كان عدد الطلاب الذين ركضوا بسرعة أقل من ثلاثة.

يُعرَّف مصطلح لامدا الخاص بالمحدد (المركب) " ثلاثة بالضبط" كما يلي. ويعني أن عدد عناصر التقاطع بين المجموعتين يساوي 3. λX.λY.|X∩Y|=3{\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}

المحافظة

يُقال إن المحدد D محافظ إذا تحققت المعادلة التالية: د(أ)(ب)↔د(أ)(أ∩ب){\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)} على سبيل المثال، الجملتان التاليتان متكافئتان.

  1. كل الأولاد ينامون.
  2. كل صبي هو صبي ينام.

لقد طُرحت فكرة أن جميع أدوات التعريف والتنكير - في كل لغة طبيعية - تُعتبر أدوات تعريف وتنكير. [ 2 ] لكن عبارة " فقط" ليست كذلك. الجملتان التاليتان ليستا متكافئتين. في الواقع، ليس من الشائع تحليل " فقط " كأداة تعريف وتنكير ، بل تُعامل عادةً كظرف حساس للتركيز .

  1. الأولاد فقط هم من ينامون.
  2. الأولاد فقط هم الأولاد الذين ينامون.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مونتاغ، ريتشارد (1974). "المعالجة الصحيحة للقياس الكمي في اللغة الإنجليزية". في: كولاس، ج.؛ فيتزر، ج. هـ.؛ رانكين، ت. ل. (محررون). الفلسفة واللغة والذكاء الاصطناعي (ملف PDF) . دراسات في الأنظمة المعرفية. المجلد  2. سبرينغر، دوردريخت. الصفحات 141-162 . doi : 10.1007/978-94-009-2727-8_7 . ISBN  978-94-010-7726-2.
  2. 1 2 باروايز، جون ؛ كوبر، روبن (1981). "المحددات الكمية المعممة واللغة الطبيعية" . اللغويات والفلسفة . 4 (2): 159-219 . doi : 10.1007/BF00350139 .
  3. ↑ شمرل، جيمس هـ.؛ سيمبسون، ستيفن ج. (يونيو 1982). "حول دور مُكمِّمات رامزي في الحساب من الدرجة الأولى" . مجلة المنطق الرمزي . 47 (2): 423-435 . doi : 10.2307/2273152 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2273152 .  
  4. ^ هيري، هاينريش؛ كرينيكي، ميشال؛ بينوس، الكسندر. فانانين ، جوكو (ديسمبر 1991). "مقياس هارتيج: مسح" . مجلة المنطق الرمزي . 56 (4): 1153-1183 . دوى : 10.2307 / 2275466 . ISSN 0022-4812 . جستور 2275466 .  

للمزيد من القراءة

  • ستانلي بيترز ؛ داغ ويسترستال (2006). أدوات التحديد الكمي في اللغة والمنطق . مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-929125-0.
  • أنطونيو باديا (2009). أدوات التحديد الكمي في الممارسة: التحديد الكمي المعمم في لغات الاستعلام والمنطق واللغات الطبيعية . سبرينغر. ISBN 978-0-387-09563-9.
  • واجيل م (2021). التحديد الكمي دون الذري (ملف PDF) . برلين: دار نشر علوم اللغة. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.