الجبر الهندسي (كتاب)

كتاب "الجبر الهندسي" من تأليف إميل أرتين ، ونُشر بواسطة دار نشر إنترساينس في نيويورك عام 1957. وأُعيد نشره عام 1988 ضمن سلسلة وايلي كلاسيكس ( ISBN). 0-471-60839-4).

في عام 1962، نشرت دار غوتييه-فيلار كتاب "الجبر الهندسي" (Algèbre Géométrique) ، وهو ترجمة إلى الفرنسية من تأليف ميشيل لازارد ، وأعيد طبعه في عام 1996. ( ISBN) 2-87647-089-6في عام 1968، نُشرت ترجمة إلى الإيطالية في ميلانو بواسطة دار نشر فيلترينيلي. ^{[ 1 ]} وفي عام 1969، نُشرت ترجمة إلى الروسية في موسكو بواسطة دار نشر ناوكا. ^{[ 2 ]}

يُعد كتاب "الجبر الهندسي" الذي طال انتظاره كجزء ثانٍ لكتاب "الجبر الحديث" (1930)، والذي نشره بارتل فان دير فاردن كنسخة من ملاحظاته التي دوّنها في دورة مع آرتين، دراسة بحثية مناسبة لطلاب الدراسات العليا في الرياضيات. من المقدمة:

الجبر الخطي، والطوبولوجيا، والهندسة التفاضلية والجبرية، أدوات لا غنى عنها لرياضيي عصرنا. وكثيرًا ما يُستحسن ابتكار منهج ذي طابع هندسي، يختلف عن هذه المسارات الفكرية الكبرى، ويمكن تقديمه لطلاب الدراسات العليا المبتدئين، أو حتى لطلاب البكالوريوس المتقدمين. وقد انبثق هذا الكتاب من ملاحظات محاضرات أُلقيت في جامعة نيويورك عام ١٩٥٥، حول هذا المنهج. تمحور هذا المنهج حول أسس الهندسة الأفينية، وهندسة الأشكال التربيعية، وبنية المجموعة الخطية العامة. ورأيتُ ضرورة توسيع محتوى هذه الملاحظات ليشمل الهندسة الإسقاطية والتماثلية ، بالإضافة إلى بنية المجموعات التماثلية والمتعامدة .

يحتوي الكتاب على ستة تكوينات هندسية في الفصل الثاني، والذي يعيد تتبع المسار من البديهيات الهندسية إلى بديهيات المجال التي استكشفها سابقًا كارل فون شتاودت وديفيد هيلبرت .

يحمل الفصل الأول عنوان "مفاهيم تمهيدية". تشرح الأقسام العشرة مفاهيم نظرية المجموعات ، والفضاءات المتجهة ، والتشاكلات ، والازدواجية ، والمعادلات الخطية ، ونظرية الزمر ، ونظرية الحقول ، والحقول المرتبة ، والتقييمات . يقول آرتين في الصفحة السابعة: "ينبغي استخدام الفصل الأول بشكل أساسي كمرجع لإثباتات بعض النظريات المنفردة".

يحمل الفصل الثاني عنوان "الهندسة الأفينية والإسقاطية". يطرح آرتين هذا التحدي المتمثل في توليد الجبر (حقل k ) من البديهيات الهندسية:

بفرض وجود هندسة مستوية تتكون عناصرها من مجموعتين: مجموعة النقاط ومجموعة الخطوط، وبافتراض صحة بعض البديهيات الهندسية، هل من الممكن إيجاد حقل k بحيث يمكن وصف نقاط هذه الهندسة بإحداثيات من k ، والخطوط بمعادلات خطية  ؟

يُستخدم هنا الشكل الانعكاسي للتوازي : فالخطوط المتوازية إما أن تشترك في جميع نقاطها أو لا تشترك في أي منها. وبالتالي، يكون الخط موازياً لنفسه.

تتطلب البديهية الأولى وجود خط فريد لكل زوج من النقاط المختلفة، ونقطة تقاطع فريدة للخطوط غير المتوازية. وتعتمد البديهية الثانية على وجود خط ونقطة؛ إذ تتطلب وجود خط موازٍ للخط ويمر بالنقطة. وتتطلب البديهية الثالثة وجود ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة. وتتطلب البديهية الرابعة (أ) إزاحة لنقل أي نقطة إلى أي نقطة أخرى. وتتطلب البديهية الرابعة (ب) تمددًا عند النقطة P لنقل النقطة Q إلى النقطة R عندما تكون النقاط الثلاث على استقامة واحدة .

يكتب آرتين الخط المار بالنقطتين P و Q على الصورة P + Q. ولتعريف التمدد ، يكتب: "لتكن لدينا نقطتان مختلفتان P و Q وصورتاهما P ′ و Q ′". ولتوضيح دور التلاقي في الهندسة، يُحدد التمدد بهذه الخاصية: "إذا كان l ′ هو الخط الموازي لـ P + Q والذي يمر بالنقطة P ′، فإن Q ′ تقع على l ′". بالطبع، إذا كانت P ′ ≠ Q ′، فإن هذا الشرط يعني أن P + Q موازٍ لـ P ′ + Q ′، وبالتالي فإن التمدد هو تحويل تآلفي .

التمددات التي لا تحتوي على نقاط ثابتة هي عمليات إزاحة ، وقد ثبت أن مجموعة عمليات الإزاحة T هي مجموعة فرعية ثابتة من مجموعة التمددات. بالنسبة لتمدد σ ونقطة P ، يكون الأثر هو P + σP . التطبيقات T → T التي تحافظ على الأثر هي عناصر k . أولًا، ثبت أن k حلقة ترابطية ذات 1 ، ثم حقل معكوس .

في المقابل، توجد هندسة تآلفية مبنية على أي حقل مائل معطى k . البديهيتان 4أ و4ب متكافئتان مع نظرية ديزارج . عندما تتحقق نظرية بابوس السداسية في الهندسة التآلفية، يكون k تبديليًا ، وبالتالي حقلًا.

يحمل الفصل الثالث عنوان "الهندسة التبسيطية والهندسة المتعامدة". يبدأ هذا الفصل بالبنى المترية على الفضاءات المتجهة، ثم يُعرّف الهندسة التبسيطية والهندسة المتعامدة، ويصف خصائصهما المشتركة والخاصة. ويتضمن الفصل أقسامًا عن الهندسة على الحقول المنتهية وعلى الحقول المرتبة.

يتناول الفصل الرابع الزمر الخطية العامة . يبدأ بنظرية جان ديودونيه للمحددات على "الحقول غير التبادلية" ( حلقات القسمة ). يصف آرتين بنية زمرة GL( n, k ). ويُقدّم المزيد من التفاصيل حول الفضاءات المتجهة على الحقول المنتهية.

الفصل الخامس بعنوان "بنية المجموعات التبسيطية والمتعامدة". ويتضمن أقسامًا حول الفضاءات الإهليلجية ، وجبر كليفورد ، والمعيار الدوراني.

كتبت أليس تي. شيفر : "سيجد علماء الرياضيات في صفحات عديدة أدلة وافرة على قدرة المؤلف على فهم الموضوع بعمق وعرض المادة بأسلوب أنيق للغاية". وتشير إلى التداخل بين نص آرتين وكتاب باير " الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية" أو كتاب ديودونيه " هندسة المجموعات الكلاسيكية" . ^{[ 3 ]}

قام جان ديودونيه بمراجعة الكتاب لصالح مجلة Mathematical Reviews ووضعه في مستوى كتاب هيلبرت Grundlagen der Geometrie . ^{[ 4 ]}

• الجبر الهندسي في أرشيف الإنترنت