الهندسة الأفينية

في الرياضيات ، الهندسة الأفينية هي ما يتبقى من الهندسة الإقليدية عند تجاهل (يقول علماء الرياضيات غالبًا "نسيان " ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) المفاهيم المترية للمسافة والزاوية .

بما أن مفهوم الخطوط المتوازية يُعدّ من الخصائص الرئيسية المستقلة عن أي مقياس، فإن الهندسة الأفينية تُعتبر غالبًا دراسةً للخطوط المتوازية. ولذلك، فإن بديهية بلايفير (إذا كان لدينا خط L ونقطة P لا تقع على L ، فإنه يوجد خط واحد فقط موازٍ لـ L ويمر بالنقطة P ) تُعدّ أساسية في الهندسة الأفينية. وتُجرى مقارنات الأشكال في الهندسة الأفينية باستخدام التحويلات الأفينية ، وهي عبارة عن دوال تحافظ على محاذاة النقاط وتوازي الخطوط.

يمكن تطوير الهندسة الأفينية بطريقتين متكافئتين أساساً. ^{[ 3 ]}

في الهندسة التركيبية ، الفضاء الأفيني هو مجموعة من النقاط التي ترتبط بها مجموعة من الخطوط، والتي تحقق بعض البديهيات (مثل بديهية بلايفير).

يمكن أيضًا تطوير الهندسة الأفينية بالاعتماد على الجبر الخطي . في هذا السياق، يُعرَّف الفضاء الأفيني بأنه مجموعة من النقاط مزودة بمجموعة من التحويلات (أي التطبيقات التقابلية )، وهي الإزاحات ، التي تُشكِّل فضاءً متجهيًا (على حقل مُعطى ، عادةً ما يكون حقل الأعداد الحقيقية )، بحيث يوجد لكل زوج مرتب من النقاط إزاحة وحيدة تُحوِّل النقطة الأولى إلى الثانية؛ وتركيب إزاحتين هو مجموعهما في الفضاء المتجهي للإزاحات.

بصورة أكثر تحديدًا، يُعادل هذا وجود عملية تربط أي زوج مرتب من النقاط بمتجه، وعملية أخرى تسمح بنقل نقطة بواسطة متجه للحصول على نقطة أخرى؛ ويجب أن تُحقق هاتان العمليتان عددًا من البديهيات (لا سيما أن عمليتي نقل متتاليتين تُؤديان إلى نقل بواسطة متجه المجموع). باختيار أي نقطة كـ" أصل "، تُصبح النقاط مُطابقة تمامًا للمتجهات، ولكن لا يوجد اختيار مُفضل للأصل؛ وبالتالي، يُمكن اعتبار الفضاء الأفيني مُشتقًا من فضاء المتجهات المرتبط به عن طريق "تجاهل" الأصل (المتجه الصفري).

يمكن تطبيق فكرة نسيان المقياس في نظرية المتشعبات ، وقد تم تطوير ذلك في مقالة الاتصال الأفيني .

في عام 1748، قدّم ليونارد أويلر مصطلح " الهندسة الأفينية" ^{[ 4 ] [ 5 ]} ( من الكلمة اللاتينية affinis التي تعني " مرتبط " ) في كتابه " مقدمة في تحليل اللانهائيات" (المجلد 2، الفصل 18). وفي عام 1827، كتب أوغسطس موبيوس عن الهندسة الأفينية في كتابه "حساب مركز الثقل" (الفصل 3). 

بعد برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين ، تم الاعتراف بالهندسة الأفينية كتعميم للهندسة الإقليدية . ^{[ 6 ]}

في عام 1918، أشار هيرمان فايل إلى الهندسة الأفينية في كتابه " الفضاء، الزمان، المادة ". وقد استخدم الهندسة الأفينية لتقديم جمع وطرح المتجهات ^{[ 7 ]} في المراحل الأولى من تطويره للفيزياء الرياضية . وفي وقت لاحق، كتب إي. تي. ويتاكر : ^{[ 8 ]}

تُعدّ هندسة فايل ذات أهمية تاريخية لكونها أولى الهندسات الأفينية التي تمّ تطويرها بالتفصيل: فهي تعتمد على نوع خاص من النقل المتوازي [...] باستخدام خطوط العالم لإشارات الضوء في الزمكان رباعي الأبعاد. يُمكن تسمية عنصر قصير من أحد خطوط العالم هذه بالمتجه الصفري ؛ وعندها يكون النقل المتوازي المعنيّ بحيث ينقل أي متجه صفري عند نقطة ما إلى موضع متجه صفري عند نقطة مجاورة.

تم طرح العديد من المناهج البديهية للهندسة الأفينية:

قانون بابوس

بما أن الهندسة الأفينية تتعامل مع الخطوط المتوازية، فقد تم اعتبار إحدى خصائص الخطوط المتوازية التي لاحظها بابوس الإسكندري بمثابة فرضية: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

• لنفترض أن النقاط A وB وC تقع على خط مستقيم، والنقاط A' وB' وC' تقع على خط مستقيم آخر. إذا كان الخطان AB' و A'B متوازيين، والخطان BC' و B'C متوازيين، فإن الخطين CA' و C'A يكونان متوازيين أيضًا. (هذه هي الصيغة الأفينية لنظرية بابوس السداسية ).

يتضمن نظام البديهيات الكامل المقترح النقطة والخط والخط الذي يحتوي على نقطة كمفاهيم أولية :

• نقطتان موجودتان في سطر واحد فقط.
• لأي خط مستقيم L وأي نقطة P لا تقع على L ، يوجد خط مستقيم واحد فقط يمر بالنقطة P ولا يمر بأي نقطة من L. ويقال إن هذا الخط موازٍ لـ L.
• يحتوي كل خط على نقطتين على الأقل.
• هناك ثلاث نقاط على الأقل لا تنتمي إلى خط واحد.

بحسب إتش إس إم كوكسيتر :

تزداد أهمية هذه البديهيات الخمس نظرًا لإمكانية تطويرها إلى مجموعة واسعة من القضايا، التي لا تنطبق فقط على الهندسة الإقليدية ، بل أيضًا على هندسة مينكوفسكي للزمان والمكان (في الحالة البسيطة ذات البعدين 1 + 1، بينما تتطلب النظرية النسبية الخاصة بُعدين 1 + 3). ويتحقق التوسع إلى الهندسة الإقليدية أو هندسة مينكوفسكي بإضافة بديهيات أخرى متنوعة للتعامد، وما إلى ذلك. ^{[ 11 ]}

تُقابل أنواع الهندسة الأفينية المختلفة التفسير المُعتمد للدوران . تُقابل الهندسة الإقليدية مفهوم الدوران العادي ، بينما تُقابل هندسة مينكوفسكي الدوران الزائدي . بالنسبة للخطوط العمودية ، فإنها تبقى عمودية عند إخضاع المستوى لدوران عادي. في هندسة مينكوفسكي، تبقى الخطوط المتعامدة زائديًا على هذه العلاقة عند إخضاع المستوى لدوران زائدي.

من الناحية الهندسية، تحافظ التحويلات الأفينية (الأفينية) على الاستقامة : لذلك فهي تحول الخطوط المتوازية إلى خطوط متوازية وتحافظ على نسب المسافات على طول الخطوط المتوازية.

نُعرّف النظريات الأفينية بأنها أي نتيجة هندسية ثابتة تحت تأثير المجموعة الأفينية (في برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين ، تُعرف هذه المجموعة باسم مجموعة تحويلات التناظر الأساسية للهندسة الأفينية). لنفترض في فضاء متجهي V المجموعة الخطية العامة GL ( V ) . وهي ليست المجموعة الأفينية الكاملة ، إذ يجب أن نسمح أيضًا بالإزاحات بواسطة المتجهات v في V. (مثل هذه الإزاحة تُحوّل أي متجه w في V إلى w + v ). تتولد المجموعة الأفينية من المجموعة الخطية العامة والإزاحات، وهي في الواقع حاصل ضربهما شبه المباشر.${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V).}$(هنا نفكر في V كمجموعة تحت عملية الجمع الخاصة بها، ونستخدم التمثيل المحدد لـ GL( V ) على V لتعريف الضرب شبه المباشر.)

فعلى سبيل المثال، تعتمد نظرية الهندسة المستوية للمثلثات ، المتعلقة بتلاقي الخطوط الواصلة بين كل رأس ومنتصف الضلع المقابل (عند مركز الثقل ) ، على مفهومي المنتصف ومركز الثقل كثوابت تآلفية. ومن الأمثلة الأخرى نظريات سيفا ومينيلوس .

يمكن أن تساعد الثوابت الأفينية أيضًا في الحسابات. على سبيل المثال، تشكل الخطوط التي تقسم مساحة المثلث إلى نصفين متساويين غلافًا داخل المثلث. نسبة مساحة الغلاف إلى مساحة المثلث ثابتة أفينية، وبالتالي يكفي حسابها من حالة بسيطة مثل مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين للحصول على${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$أي 0.019860... أو أقل من 2%، لجميع المثلثات.

Familiar formulas such as half the base times the height for the area of a triangle, or a third the base times the height for the volume of a pyramid, are likewise affine invariants. While the latter is less obvious than the former for the general case, it is easily seen for the one-sixth of the unit cube formed by a face (area 1) and the midpoint of the cube (height 1/2). Hence it holds for all pyramids, even slanting ones whose apex is not directly above the center of the base, and those with base a parallelogram instead of a square. The formula further generalizes to pyramids whose base can be dissected into parallelograms, including cones by allowing infinitely many parallelograms (with due attention to convergence). The same approach shows that a four-dimensional pyramid has 4Dhypervolume one quarter the 3D volume of its parallelepiped base times the height, and so on for higher dimensions.

يمكن النظر إلى الهندسة الأفينية على أنها هندسة فضاء أفيني ذي بُعد n ، مُنسق على حقل K. يوجد أيضًا (في بُعدين) تعميم توافقي للفضاء الأفيني المُنسق، كما هو مُطور في الهندسة التركيبية المحدودة . في الهندسة الإسقاطية، يُقصد بالفضاء الأفيني مُتمِّم المستوى الفائق عند اللانهاية في فضاء إسقاطي . يمكن أيضًا النظر إلى الفضاء الأفيني على أنه فضاء متجهي تقتصر عملياته على التراكيب الخطية التي مجموع معاملاتها يساوي واحدًا، على سبيل المثال: 2x - y ، x - y + z ، ( x + y + z )/3 ، ix + (1 - i ) y ، إلخ.

باختصار، تُعرَّف المستويات الأفينية بأنها هندسات أفينية ثنائية الأبعاد، تُحدَّد بدلالة العلاقات بين النقاط والخطوط (أو أحيانًا، في الأبعاد الأعلى، المستويات الفائقة ). وبتعريف الهندسات الأفينية (والإسقاطية) على أنها تكوينات من النقاط والخطوط (أو المستويات الفائقة) بدلًا من استخدام الإحداثيات، نحصل على أمثلة لا تحتوي على حقول إحداثيات. ومن أهم خصائص هذه الأمثلة أنها ذات بُعد 2. وقد كانت الأمثلة المحدودة في البُعد 2 ( المستويات الأفينية المحدودة ) ذات قيمة في دراسة التكوينات في الفضاءات الأفينية اللانهائية، وفي نظرية الزمر ، وفي التوافقية .

على الرغم من كونها أقل عمومية من النهج التكويني، إلا أن النهج الأخرى التي تمت مناقشتها كانت ناجحة للغاية في تسليط الضوء على أجزاء الهندسة المتعلقة بالتناظر .

في الهندسة التقليدية ، تُعتبر الهندسة الأفينية دراسةً تقع بين الهندسة الإقليدية والهندسة الإسقاطية . فمن جهة، تُعدّ الهندسة الأفينية هندسةً إقليديةً مع استبعاد التطابق ؛ ومن جهة أخرى، يُمكن اشتقاقها من الهندسة الإسقاطية بتحديد خط أو مستوى معين لتمثيل النقاط عند اللانهاية . ^{[ 19 ]} في الهندسة الأفينية، لا يوجد بنية مترية، لكن مسلمة التوازي تبقى قائمة. تُوفّر الهندسة الأفينية الأساس للبنية الإقليدية عند تعريف الخطوط المتعامدة ، أو الأساس لهندسة مينكوفسكي من خلال مفهوم التعامد الزائدي . ^{[ 20 ]} من هذا المنظور، يُعدّ التحويل الأفيني تحويلاً إسقاطياً لا يُبدّل النقاط المحدودة بالنقاط عند اللانهاية، وتُعنى هندسة التحويلات الأفينية بدراسة الخصائص الهندسية من خلال تأثير مجموعة التحويلات الأفينية.

• الهندسة غير الإقليدية

• إميل أرتين (1957) الجبر الهندسي ، الفصل 2: ​​"الهندسة الأفينية والإسقاطية" ، عبر أرشيف الإنترنت
• VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) أفكار وأساليب الهندسة الأفينية والإسقاطية (باللغة الروسية )، وزارة التعليم، موسكو.
• إم كيه بينيت (1995) الهندسة الأفينية والإسقاطية ، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-11315-8.
• HSM Coxeter (1955) "المستوى الأفيني"، Scripta Mathematica 21:5–14، محاضرة ألقيت أمام منتدى جمعية أصدقاء Scripta Mathematica يوم الاثنين 26 أبريل 1954.
• فيليكس كلاين (1939) الرياضيات الابتدائية من وجهة نظر متقدمة: الهندسة ، ترجمة إي آر هيدريك وسي إيه نوبل، الصفحات 70-86، شركة ماكميلان .
• بروس إي. ميسيرف (1955) المفاهيم الأساسية للهندسة ، الفصل 5 الهندسة الأفينية، الصفحات 150-184، أديسون-ويسلي .
• بيتر شيرك ورولف لينجنبرغ (1975) أساسيات الهندسة الأفينية المستوية ، العروض الرياضية رقم 20، مطبعة جامعة تورنتو .
• واندا شميلو (1984) من الهندسة الأفينية إلى الهندسة الإقليدية: منهج بديهي ، د. ريدل ، ISBN 90-277-1243-3.
• أوزوالد فيبلين (1918) الهندسة الإسقاطية ، المجلد 2، الفصل 3: المجموعة الأفينية في المستوى، الصفحات من 70 إلى 118، جين وشركاه.

• كتاب بيتر كاميرون " الهندسة الإسقاطية والهندسة الأفينية" من جامعة لندن .
• جان إتش. غالييه (2001). الأساليب الهندسية وتطبيقاتها في علوم وهندسة الحاسوب ، الفصل 2: ​​"أساسيات الهندسة الأفينية" (PDF)، نصوص سبرينغر في الرياضيات التطبيقية رقم 38، الفصل متاح على الإنترنت من جامعة بنسلفانيا .