التوازي (الهندسة)

بالنظر إلى خطين مستقيمين متوازيين l و m في الفضاء الإقليدي ، فإن الخصائص التالية متكافئة:

1. تقع كل نقطة على الخط m على نفس المسافة (الأدنى) بالضبط من الخط l ( خطوط متساوية البعد ).
2. الخط m يقع في نفس مستوى الخط l ولكنه لا يتقاطع مع l (تذكر أن الخطوط تمتد إلى ما لا نهاية في أي اتجاه).
3. عندما يتقاطع الخطان m و l مع خط مستقيم ثالث ( قاطع ) في نفس المستوى، فإن زوايا التقاطع المقابلة مع القاطع تكون متطابقة .

بما أن هذه الخصائص متكافئة، يمكن اعتبار أي منها تعريفًا للخطوط المتوازية في الفضاء الإقليدي، إلا أن الخاصيتين الأولى والثالثة تتضمنان القياس، ولذا فهما "أكثر تعقيدًا" من الثانية. وعليه، تُختار الخاصية الثانية عادةً كخاصية تعريفية للخطوط المتوازية في الهندسة الإقليدية. ^{[ 6 ]} أما الخصائص الأخرى فهي نتائج مسلمة التوازي لإقليدس .

يُعرَّف الخطان المتوازيان بأنهما خطان مستقيمان في مستوى واحد لا يتقاطعان، وذلك في التعريف رقم 23 من الكتاب الأول لكتاب الأصول لإقليدس . ^{[ 7 ]} وقد ناقش علماء يونانيون آخرون تعريفات بديلة، غالبًا في محاولة لإثبات مسلمة التوازي . ينسب بروكلس تعريفًا للخطين المتوازيين بأنهما خطان متساويا البعد إلى بوسيدونيوس، ويستشهد بجيمينوس في سياق مشابه. كما يذكر سيمبليكيوس تعريف بوسيدونيوس، بالإضافة إلى تعديله من قِبل الفيلسوف أغانيس. ^{[ 7 ]}

في أواخر القرن التاسع عشر، في إنجلترا، كان كتاب "الأصول" لإقليدس لا يزال الكتاب المدرسي المعتمد في المدارس الثانوية. وقد تعرّضت المعالجة التقليدية للهندسة لضغوط التغيير نتيجةً للتطورات الجديدة في الهندسة الإسقاطية والهندسة غير الإقليدية ، لذا كُتبت في ذلك الوقت عدة كتب مدرسية جديدة لتدريس الهندسة. ويتمثل أحد الاختلافات الرئيسية بين هذه الكتب الإصلاحية، سواء فيما بينها أو بينها وبين كتاب إقليدس، في طريقة معالجة الخطوط المتوازية. ^{[ 8 ]} لم تخلُ هذه الكتب الإصلاحية من النقاد، وقد كتب أحدهم، تشارلز دودجسون (المعروف أيضًا باسم لويس كارول )، مسرحية بعنوان " إقليدس ومنافسوه المعاصرون" ، انتقد فيها هذه الكتب بشدة. ^{[ 9 ]}

كان كتاب "الهندسة الابتدائية" لجيمس موريس ويلسون، الصادر عام 1868، أحد أوائل كتب الإصلاح في الهندسة. ^{[ 10 ]} بنى ويلسون تعريفه للخطوط المتوازية على المفهوم الأساسي للاتجاه . ووفقًا لويلهلم كيلينغ ^{[ 11 ]} ، يمكن تتبع هذه الفكرة إلى لايبنتز . ^{[ 12 ]} استخدم ويلسون مصطلح الاتجاه في تعريفات أخرى، مثل تعريفه السادس: "خطان مستقيمان يلتقيان لهما اتجاهان مختلفان، والفرق بين اتجاهيهما هو الزاوية بينهما ." (ويلسون، 1868 ، ص 2). وفي التعريف 15، يُعرّف الخطوط المتوازية على النحو التالي: "الخطوط المستقيمة التي لها نفس الاتجاه ، ولكنها ليست جزءًا من خط مستقيم واحد، تُسمى خطوطًا متوازية ." ( ويلسون، 1868 ، ص 12). راجع أوغسطس دي مورغان هذا الكتاب، وأعلن فشله، استنادًا بشكل أساسي إلى هذا التعريف والطريقة التي استخدمها ويلسون لإثبات أمور تتعلق بالخطوط المتوازية. يُخصّص دودجسون أيضاً جزءاً كبيراً من مسرحيته (الفصل الثاني، المشهد السادس، الفقرة 1) لانتقاد معالجة ويلسون للتوازيات. وقد حذف ويلسون هذا المفهوم من الطبعات الثالثة وما بعدها من نصه. ^{[ 13 ]}

لم تكن الخصائص الأخرى، التي اقترحها مصلحون آخرون، والتي استُخدمت كبدائل لتعريف الخطوط المتوازية، أفضل حالًا. تكمن الصعوبة الرئيسية، كما أشار دودجسون، في أن استخدامها بهذه الطريقة يتطلب إضافة بديهيات إضافية إلى النظام. يعاني تعريف بوسيدونيوس للخطوط متساوية البعد، الذي شرحه فرانسيس كوثبرتسون في كتابه " الهندسة الإقليدية" عام 1874 ، من مشكلة تتمثل في ضرورة إثبات أن النقاط التي تقع على مسافة ثابتة معينة على أحد جانبي خط مستقيم تُشكّل خطًا مستقيمًا. لا يمكن إثبات ذلك، ويجب افتراض صحته. ^{[ 14 ]} تتطلب الزوايا المتناظرة المتكونة بواسطة خاصية القاطع، التي استخدمها دبليو دي كولي في كتابه " عناصر الهندسة" عام 1860، بعد تبسيطها وشرحها، إثبات حقيقة أنه إذا تقاطع قاطع مع زوج من الخطوط بزوايا متناظرة متطابقة، فإن جميع القواطع يجب أن تفعل ذلك. مرة أخرى، هناك حاجة إلى بديهية جديدة لتبرير هذا البيان.

تؤدي الخصائص الثلاث المذكورة أعلاه إلى ثلاث طرق مختلفة لإنشاء ^{[ 15 ]} الخطوط المتوازية.

• 
  الخاصية 1: الخط m له نفس المسافة إلى الخط l في كل مكان .
• 
  الخاصية الثانية: خذ خطًا عشوائيًا يمر عبر النقطة أ ويتقاطع مع النقطة ل في النقطة س . حرك النقطة س إلى ما لا نهاية.
• 
  الخاصية 3: يشترك كل من l و m في خط عرضي يمر عبر a ويتقاطع معهما بزاوية 90 درجة.

بما أن الخطوط المتوازية في المستوى الإقليدي متساوية البعد ، فإن المسافة بين أي خطين متوازيين فريدة. وبمعرفة معادلات خطين متوازيين غير رأسيين وغير أفقيين،

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

يمكن إيجاد المسافة بين الخطين بتحديد نقطتين (واحدة على كل خط) تقعان على عمود مشترك على الخطين المتوازيين، ثم حساب المسافة بينهما. بما أن ميل الخطين هو m ، فإن ميل العمود المشترك سيكون -1/ m ، ويمكننا اعتبار الخط الذي معادلته y = -x / m هو العمود المشترك. حل النظام الخطي

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}$

و

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}$

للحصول على إحداثيات النقاط. حلول الأنظمة الخطية هي النقاط

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,}$

و

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right).}$

لا تزال هذه الصيغ تعطي إحداثيات النقاط الصحيحة حتى لو كانت الخطوط المتوازية أفقية (أي، m = 0). المسافة بين النقاط هي

${\displaystyle d={\sqrt {\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

والذي يختزل إلى

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

عندما تُعطى الخطوط بالصيغة العامة لمعادلة الخط المستقيم (بما في ذلك الخطوط الأفقية والرأسية):

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

يمكن التعبير عن المسافة بينهما على النحو التالي:

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$