التكميم الهندسي

يفترض${\displaystyle (M,\omega )}$هو متعدد شعب تماثلي ذو شكل تماثلي${\displaystyle \omega }$لنفترض في البداية أن${\displaystyle \omega }$دقيق، مما يعني وجود جهد تماثلي محدد عالميًا${\displaystyle \theta }$مع${\displaystyle d\theta =\omega }$يمكننا اعتبار "فضاء هيلبرت ما قبل الكمي" للدوال القابلة للتكامل التربيعي على${\displaystyle M}$(فيما يتعلق بمقياس حجم ليوفيل). لكل دالة سلسة${\displaystyle f}$على${\displaystyle M}$يمكننا تعريف مؤثر ما قبل الكم كوستانت-سورياو $${\displaystyle Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1}{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f.}$$ أين${\displaystyle X_{f}}$هو حقل متجه هاميلتوني المرتبط بـ${\displaystyle f}$.

وبشكل أعم، لنفترض${\displaystyle (M,\omega )}$له خاصية أن تكامل${\displaystyle \أوميغا /(2\pi \hbar )}$على أي سطح مغلق يكون عددًا صحيحًا. عندئذٍ يمكننا إنشاء حزمة خطية${\displaystyle L}$مع وصلة يكون شكل انحنائها من الدرجة الثانية${\displaystyle \أوميغا /\hbar }$في هذه الحالة، يكون فضاء هيلبرت ما قبل الكم هو فضاء المقاطع القابلة للتكامل التربيعي لـ${\displaystyle L}$ونستبدل الصيغة بـ${\displaystyle Q(f)}$أعلاه مع $${\displaystyle Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f,}$$ مع${\displaystyle \nabla }$الاتصال. تحقق المؤثرات ما قبل الكمومية $${\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})}$$ لجميع الوظائف السلسة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$[ ^{3 ]​}

بناء مساحة هيلبرت السابقة والمشغلين${\displaystyle Q(f)}$يُعرف هذا باسم التكميم المسبق .

تتمثل الخطوة التالية في عملية التكميم الهندسي في اختيار الاستقطاب. الاستقطاب هو اختيار يتم عند كل نقطة في${\displaystyle M}$فضاء لاغرانجي فرعي من الفضاء المماسي المعقد لـ${\displaystyle M}$ينبغي أن تُشكّل الفضاءات الجزئية توزيعًا قابلًا للتكامل، أي أن مُبدِّل حقلين متجهين يقعان في الفضاء الجزئي عند كل نقطة يجب أن يقع أيضًا في الفضاء الجزئي عند كل نقطة. فضاء هيلبرت الكمومي (على عكس فضاء ما قبل الكمومي) هو فضاء مقاطع${\displaystyle L}$التي تكون ثابتة تباينياً في اتجاه الاستقطاب. ^{[ 4 ] [ ب ]} الفكرة هي أنه في فضاء هيلبرت الكمومي، يجب أن تكون المقاطع دوالًا لـ فقط${\displaystyle n}$المتغيرات على${\displaystyle 2n}$فضاء الطور الكلاسيكي ذو الأبعاد n.

لو${\displaystyle f}$إذا كانت دالة يحافظ تدفق هاميلتوني المرتبط بها على الاستقطاب،${\displaystyle Q(f)}$سيحافظ على فضاء هيلبرت الكمومي. ^{[ 5 ]} الافتراض بأن تدفق${\displaystyle f}$يُعد الحفاظ على الاستقطاب شرطًا أساسيًا. وعادةً، لا تحقق الكثير من الدوال هذا الافتراض.

يُعدّ تصحيح نصف الشكل - المعروف أيضًا باسم التصحيح الميتابليكتي - تعديلًا تقنيًا للإجراء المذكور أعلاه، وهو ضروري في حالة الاستقطابات الحقيقية للحصول على فضاء هيلبرت كمومي غير صفري؛ كما أنه مفيد في كثير من الأحيان في الحالة المركبة. حزمة الخط${\displaystyle L}$يتم استبدالها بالضرب الموتري لـ${\displaystyle L}$مع الجذر التربيعي للحزمة الأساسية للاستقطاب. في حالة الاستقطاب الرأسي، على سبيل المثال، بدلاً من النظر في الدوال${\displaystyle f(x)}$ل${\displaystyle x}$والتي مستقلة عن${\displaystyle p}$، ينظر المرء إلى الأشياء من الشكل${\displaystyle f(x){\sqrt {dx}}}$صيغة لـ${\displaystyle Q(f)}$يجب بعد ذلك استكمالها بحد مشتق لي إضافي. ^{[ 6 ]} في حالة الاستقطاب المركب على المستوى، على سبيل المثال، يسمح تصحيح نصف الشكل بتكميم المذبذب التوافقي لإعادة إنتاج الصيغة الميكانيكية الكمية القياسية للطاقات،${\displaystyle (n+1/2)\hbar \omega }$، مع "${\displaystyle +1/2}$"بفضل الأشكال النصفية. ^{[ 7 ]}

كما تم تطوير التكميم الهندسي لمتشعبات بواسون والتوريقات التبسيطية. على سبيل المثال، ينطبق هذا على أنظمة هاميلتونية قابلة للتكامل جزئيًا وأنظمة هاميلتونية فائقة التكامل ، وعلى الميكانيكا غير المستقلة .