صياغة فضاء الطور

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 32 صور
الموسوعة الحرة

صياغة فضاء الطور هي صياغة في ميكانيكا الكم تضع متغيرات الموضع والزخم على قدم المساواة في فضاء الطور . وتتمثل السمتان الرئيسيتان لصياغة فضاء الطور في أن الحالة الكمومية تُوصف بتوزيع شبه احتمالي (بدلاً من دالة موجية أو متجه حالة أو مصفوفة كثافة ) ، وأن عملية ضرب المؤثرات تُستبدل بالضرب النجمي .

تم تطوير النظرية بالكامل من قبل هيلبراند غرونيفولد في عام 1946 في أطروحته للدكتوراه، [ 1 ] وبشكل مستقل من قبل جو مويال ، [ 2 ] حيث استند كل منهما إلى أفكار سابقة لهيرمان ويل [ 3 ] ويوجين ويغنر . [ 4 ]

على النقيض من صياغة فضاء الطور، تستخدم صورة شرودنغر تمثيلات الموضع أو الزخم (انظر أيضًا فضاء الموضع والزخم ).

تتمثل الميزة الرئيسية لصياغة فضاء الطور في أنها تجعل ميكانيكا الكم تبدو أقرب ما يكون إلى ميكانيكا هاميلتون بتجنبها صيغة المؤثرات، وبالتالي "تحرير" تكميم "عبء" فضاء هيلبرت . [ 5 ] هذه الصياغة إحصائية بطبيعتها، وتوفر روابط منطقية بين ميكانيكا الكم والميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية ، مما يتيح مقارنة طبيعية بينهما (انظر الحد الكلاسيكي ). غالبًا ما تُفضَّل ميكانيكا الكم في فضاء الطور في بعض تطبيقات البصريات الكمية (انظر فضاء الطور البصري )، أو في دراسة فقدان الترابط ومجموعة من المشكلات التقنية المتخصصة، على الرغم من أن هذه الصيغة أقل شيوعًا في التطبيقات العملية. [ 6 ]

لقد تفرعت الأفكار المفاهيمية التي يقوم عليها تطوير ميكانيكا الكم في فضاء الطور إلى فروع رياضية مثل التكميم التشوهي لكونتسيفيتش (انظر صيغة التكميم لكونتسيفيتش ) والهندسة غير التبادلية .

توزيع فضاء الطور

يُعدّ توزيع فضاء الطور f ( x ,  p ) لحالة كمومية توزيعًا شبه احتمالي. في صياغة فضاء الطور، يمكن اعتبار توزيع فضاء الطور الوصف الأساسي الأولي للنظام الكمومي، دون أي إشارة إلى الدوال الموجية أو مصفوفات الكثافة. [ 7 ]

توجد عدة طرق مختلفة لتمثيل التوزيع، وكلها مترابطة. [ 8 ] [ 9 ] أبرزها تمثيل ويغنر ، W ( x ,  p ) ، الذي اكتُشف أولًا. [ 4 ] تشمل التمثيلات الأخرى (مرتبة تنازليًا تقريبًا حسب شيوعها في الأدبيات) تمثيلات غلاوبر-سودارشان P ، [ 10 ] [ 11 ] وهوسيمي Q ، [ 12 ] وكيركوود-ريهاكزيك، وميهتا، وريفيير، وبورن-جوردان. [ 13 ] [ 14 ] تُعد هذه البدائل مفيدة للغاية عندما يأخذ الهاميلتوني شكلًا معينًا، مثل الترتيب الطبيعي لتمثيل غلاوبر-سودارشان P. ولأن تمثيل ويغنر هو الأكثر شيوعًا، فسيقتصر هذا المقال عليه عادةً، ما لم يُنص على خلاف ذلك.

يمتلك توزيع فضاء الطور خصائص مشابهة لكثافة الاحتمال في فضاء طور ذي بُعدين (2n ) . على سبيل المثال، هو دالة حقيقية القيمة ، على عكس دالة الموجة ذات القيمة المركبة عمومًا. يمكننا فهم احتمالية التواجد ضمن فاصل موضعي، على سبيل المثال، بتكامل دالة ويغنر على جميع قيم الزخم وعلى الفاصل الموضعي.

P⁡[أ≤X≤ب]=∫أب∫-∞∞دبليو(x،ص)دصدx.{\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}

إذا كان Â ( x ,  p ) مؤثرًا يمثل كمية قابلة للرصد، فيمكن تحويله إلى فضاء الطور كـ A ( x , p ) من خلال تحويل ويغنر . وعلى العكس من ذلك، يمكن استعادة هذا المؤثر بواسطة تحويل ويل .

القيمة المتوقعة للمتغير القابل للملاحظة بالنسبة لتوزيع فضاء الطور هي [ 2 ] [ 15 ]

⟨أ^⟩=∫أ(x،ص)دبليو(x،ص)دصدx.{\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}

مع ذلك، ثمة نقطة تحذيرية: على الرغم من التشابه الظاهري، فإن W ( x ,  p ) ليس توزيعًا احتماليًا مشتركًا حقيقيًا ، لأن المناطق الواقعة تحته لا تمثل حالات متنافية، كما هو مطلوب في البديهية الثالثة لنظرية الاحتمالات . علاوة على ذلك، يمكن أن يأخذ، بشكل عام، قيمًا سالبة حتى بالنسبة للحالات النقية، باستثناء الحالات المتماسكة ( المضغوطة اختياريًا ) ، وهو ما يخالف البديهية الأولى .

يمكن إثبات أن المناطق ذات هذه القيمة السالبة "صغيرة": فهي لا يمكن أن تمتد إلى مناطق مضغوطة أكبر من بضعة أضعاف ħ ، وبالتالي تختفي في الحد الكلاسيكي . وهي محمية بمبدأ عدم اليقين ، الذي لا يسمح بتحديد دقيق للموقع داخل مناطق فضاء الطور الأصغر من ħ ، مما يجعل هذه "الاحتمالات السالبة" أقل تناقضًا. إذا فُسِّر الطرف الأيسر من المعادلة على أنه قيمة متوقعة في فضاء هيلبرت بالنسبة لمؤثر، فإن هذه المعادلة تُعرف في سياق البصريات الكمومية باسم نظرية التكافؤ البصري . (للحصول على تفاصيل حول خصائص دالة ويغنر وتفسيرها، انظر مقالتها الرئيسية ).

يسعى نهج بديل لميكانيكا الكم، قائم على فضاء الطور، إلى تعريف دالة موجية (وليس مجرد كثافة شبه احتمالية) في فضاء الطور، وذلك عادةً باستخدام تحويل سيغال-بارغمان . ولضمان التوافق مع مبدأ عدم اليقين، لا يمكن أن تكون الدالة الموجية في فضاء الطور دالة عشوائية، وإلا فقد تنحصر في منطقة صغيرة بشكل تعسفي من فضاء الطور. بل إن تحويل سيغال-بارغمان هو دالة تحليلية لـx+أناص{\displaystyle x+ip}. هناك كثافة شبه احتمالية مرتبطة بدالة الموجة في فضاء الطور؛ إنها تمثيل Husimi Q لدالة الموجة الموضعية.

منتج مميز

المؤثر الثنائي غير التبادلي الأساسي في صياغة فضاء الطور، والذي يحل محل ضرب المؤثرات القياسي، هو الضرب النجمي ، ويرمز له بالرمز ★ . [ 1 ] لكل تمثيل لتوزيع فضاء الطور ضرب نجمي مميز . ولتوضيح الأمر، سنقتصر في هذا النقاش على الضرب النجمي ذي الصلة بتمثيل ويغنر-ويل.

لتبسيط الترميز، نقدم مفهومي المشتقة اليسرى والمشتقة اليمنى . بالنسبة لزوج من الدوال f و g ، تُعرَّف المشتقة اليسرى والمشتقة اليمنى كما يلي:

و∂←xز=(∂و∂x)ز،و∂→xز=و(∂ز∂x).{\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}

التعريف التفاضلي للضرب النجمي هو

و⋆ز=وخبرة⁡(أناℏ2(∂←x∂→ص-∂←ص∂→x))ز،{\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}

حيث يمكن تفسير وسيط الدالة الأسية على أنه متسلسلة قوى . تسمح العلاقات التفاضلية الإضافية بكتابة ذلك بدلالة تغيير في وسيطي الدالتين f و g :

(و⋆ز)(x،ص)=و(x+أناℏ2∂→ص،ص-أناℏ2∂→x)⋅ز(x،ص)=و(x،ص)⋅ز(x-أناℏ2∂←ص،ص+أناℏ2∂←x)=و(x+أناℏ2∂→ص،ص)⋅ز(x-أناℏ2∂←ص،ص)=و(x،ص-أناℏ2∂→x)⋅ز(x،ص+أناℏ2∂←x).{\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}

من الممكن أيضًا تعريف الضرب ★ في شكل تكاملي التفافي، [ 16 ] بشكل أساسي من خلال تحويل فورييه :

(و⋆ز)(x،ص)=1π2ℏ2∫و(x+x′،ص+ص′)ز(x+x"،ص+ص")خبرة⁡(2أناℏ(x′ص"-x"ص′))دx′دص′دx"دص".{\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}

(على سبيل المثال، [ 7 ] تتكون الدوال الغاوسية بشكل زائدي :

خبرة⁡(-أ(x2+ص2))⋆خبرة⁡(-ب(x2+ص2))=11+ℏ2أبخبرة⁡(-أ+ب1+ℏ2أب(x2+ص2))،{\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}

أو

دلتا(x)⋆دلتا(ص)=2حخبرة⁡(2أناxصℏ)،{\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}

إلخ.)

تُعرف توزيعات حالات الطاقة الذاتية باسم حالات النجمة ، أو حالات النجمة- ، أو دوال النجمة ، أو دوال النجمة- ، وتُعرف الطاقات المرتبطة بها باسم قيم النجمة أو قيم النجمة- . ويتم حل هذه المعادلات، على غرار معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن ، باستخدام معادلة قيمة النجمة- ، [ 17 ] [ 18 ] .

ح⋆دبليو=هـ⋅دبليو،{\displaystyle H\star W=E\cdot W,}

حيث H هو الهاميلتوني، وهو دالة فضاء طور بسيطة، وغالبًا ما تكون مطابقة للهاميلتوني الكلاسيكي.

التطور الزمني

يُعطى التطور الزمني لتوزيع فضاء الطور بتعديل كمي لتدفق ليوفيل . [ 2 ] [ 9 ] [ 19 ] وتنتج هذه الصيغة من تطبيق تحويل ويغنر على نسخة مصفوفة الكثافة لمعادلة ليوفيل الكمية ، وهي معادلة فون نيومان .

في أي تمثيل لتوزيع فضاء الطور مع حاصل ضربه النجمي المرتبط به، يكون هذا

∂و∂ت=-1أناℏ(و⋆ح-ح⋆و)،{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}

أو، بالنسبة لدالة ويغنر على وجه الخصوص،

∂دبليو∂ت=-{{دبليو،ح}}=-2ℏدبليوالخطيئة⁡(ℏ2(∂←x∂→ص-∂←ص∂→x))ح=-{دبليو،ح}+يا(ℏ2)،{\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}

حيث {{  ,  }} هو قوس مويال ، وهو تحويل ويغنر للمبدل الكمومي، بينما {  ,  } هو قوس بواسون الكلاسيكي . [ 2 ]

يُقدّم هذا توضيحًا موجزًا ​​لمبدأ التوافق : إذ تختزل هذه المعادلة بوضوح إلى معادلة ليوفيل الكلاسيكية في حالة ħ  →  0. مع ذلك، في الامتداد الكمومي للتدفق، لا تُحفظ كثافة النقاط في فضاء الطور ؛ إذ يبدو سائل الاحتمالية "انتشاريًا" وقابلًا للانضغاط. [ 2 ] لذا، يُعدّ مفهوم المسار الكمومي مسألة حساسة هنا. [ 20 ] شاهد الفيديو الخاص بجهد مورس، أدناه، لتقدير اللا موضعية في تدفق الطور الكمومي.

ملاحظة: نظرًا للقيود التي يفرضها مبدأ عدم اليقين على التموضع، فقد أنكر نيلز بور بشدة الوجود الفيزيائي لمثل هذه المسارات على المستوى المجهري. وباستخدام مسارات فضاء الطور الرسمية، يمكن حل مشكلة التطور الزمني لدالة ويغنر بدقة باستخدام طريقة التكامل المساري [ 21 ] وطريقة الخصائص الكمومية [ 22 ] ، على الرغم من وجود عقبات عملية كبيرة في كلتا الحالتين.

أمثلة

مذبذب توافقي بسيط

دالة ويغنر للحالات العددية أ) n  =  0، ب) n  =  1، و ج) n  = 19. يتم استعادة  التوزيعات الهامشية لـ x و p عن طريق التكامل على p و x على التوالي.

الهاميلتوني للمذبذب التوافقي البسيط في بُعد مكاني واحد في تمثيل ويغنر-ويل هو

ح=12مω2x2+ص22م.{\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}

تصبح معادلة القيمة العامة للدالة ويغنر الساكنة كما يلي :

ح⋆دبليو=(12مω2x2+ص22م)⋆دبليو=(12مω2(x+أناℏ2∂→ص)2+12م(ص-أناℏ2∂→x)2)دبليو=(12مω2(x2-ℏ24∂→ص2)+12م(ص2-ℏ24∂→x2))دبليو+أناℏ2(مω2x∂→ص-صم∂→x)دبليو=هـ⋅دبليو.{\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}
تطور دالة ويغنر للحالة الأرضية والحالة المثارة الأولى مجتمعتين مع الزمن للمذبذب التوافقي البسيط. لاحظ الحركة الصلبة في فضاء الطور التي تتوافق مع التذبذبات التقليدية في فضاء الإحداثيات.
دالة ويغنر للحالة الأرضية للمذبذب التوافقي، المزاحة عن مركز فضاء الطور، أي حالة متماسكة . لاحظ الدوران الصلب، المطابق للحركة الكلاسيكية: هذه سمة خاصة للمذبذب التوافقي البسيط، توضح مبدأ التوافق . من موقع الويب الخاص بالتربية العامة. [ 23 ]

لننظر أولاً إلى الجزء التخيلي من معادلة القيمة العامة ★ ،

ℏ2(مω2x∂→ص-صم∂→x)⋅دبليو=0{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}

وهذا يعني أنه يمكن كتابة ★ -genstates كدوال لوسيط واحد:

دبليو(x،ص)=F(12مω2x2+ص22م)≡F(u).{\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}

مع هذا التغيير في المتغيرات، من الممكن كتابة الجزء الحقيقي من معادلة ★ -genvalue في شكل معادلة لاغير معدلة (ليست معادلة هيرميت !)، والتي يتضمن حلها كثيرات حدود لاغير كما في [ 18 ].

Fن(u)=(-1)نπℏلن(4uℏω)هـ-2u/ℏω،{\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}

تم تقديمها بواسطة غرونيفولد، [ 1 ] مع قيم ★ المرتبطة بها

هـن=ℏω(ن+12).{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}

بالنسبة للمذبذب التوافقي، يكون التطور الزمني لتوزيع ويغنر العشوائي بسيطًا. يتطور توزيع ويغنر الأولي W ( x , p ; t = 0) = F ( u )   وفقًا لمعادلة التطور المذكورة أعلاه، مدفوعًا بهاملتوني المذبذب المعطى، ببساطة عن طريق الدوران الصلب في فضاء الطور ، [ 1 ]

دبليو(x،ص؛ت)=دبليو(xكوس⁡ωت-صمωالخطيئة⁡ωت،صكوس⁡ωت+مωxالخطيئة⁡ωت؛0).{\displaystyle W(x,p;t)=W\left(x\cos \omega t-{\frac {p}{m\omega }}\sin \omega t,\,p\cos \omega t+m\omega x\sin \omega t;\,0\right).}
دالة ويغنر للمذبذب التوافقي البسيط عند مستويات إثارة مختلفة.(q،ص){\displaystyle (q,p)}يتم تغيير حجمها بواسطةن+1{\displaystyle {\sqrt {n+1}}}من أجل إظهار أن دالة ويغنر تتذبذب داخل ذلك نصف القطر، وتتلاشى بسرعة خارج ذلك نصف القطر.

عادةً، يمكن أن تمثل "النتوءة" (أو الحالة المتماسكة) للطاقة E ≫ ħω كميةً ماكروسكوبية، وتظهر كجسم كلاسيكي يدور بانتظام في فضاء الطور، أي مذبذب ميكانيكي بسيط (انظر الأشكال المتحركة). وبإجراء التكامل على جميع أطوار هذه الأجسام (مواضع البداية عند t  = 0)، نحصل على "سياج" متصل، مما ينتج عنه تكوين مستقل عن الزمن مشابه لحالات ★ -genstates  الثابتة المذكورة أعلاه F ( u ) ، وهو تصور بديهي للحد الكلاسيكي لأنظمة الفعل الكبير. [ 6 ]

يمكن أيضًا وصف الدوال الذاتية بأنها حالات نقية متناظرة دورانيًا (وبالتالي ثابتة مع الزمن). أي أنها دوال من الشكلدبليو(x،ص)=و(x2+ص2){\displaystyle W(x,p)=f({\sqrt {x^{2}+p^{2}}})} ذلك يرضيدبليو⋆دبليو=(2πℏ)-1دبليو{\displaystyle W\star W=(2\pi \hbar )^{-1}W}.

الزخم الزاوي للجسيم الحر

لنفترض أن جسيمًا ما موجود في البداية في حالة غاوسية ذات حد أدنى من عدم اليقين ، حيث تتمركز القيم المتوقعة للموضع والزخم عند نقطة الأصل في فضاء الطور. دالة ويغنر لمثل هذه الحالة التي تنتشر بحرية هي

دبليو(x،ص؛ت)=1(πℏ)3خبرة⁡(-α2ر2-ص2α2ℏ2(1+(تτ)2)+2تℏτx⋅ص) ،{\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}

حيث α هو معلمة تصف العرض الأولي للتوزيع الغاوسي، و τ = m / α 2 ħ .

في البداية، لا يوجد ترابط بين الموضع والزخم. وبالتالي، في ثلاثة أبعاد، نتوقع أن يكون احتمال أن يكون متجهي الموضع والزخم متعامدين على بعضهما البعض ضعف احتمال أن يكونا متوازيين.

ومع ذلك، يصبح الموقع والزخم مرتبطين بشكل متزايد مع تطور الحالة، لأن أجزاء التوزيع الأبعد عن نقطة الأصل في الموقع تتطلب زخمًا أكبر للوصول إليها: بشكل تقاربي،

دبليو⟶1(πℏ)3خبرة⁡[-α2(x-صتم)2].{\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}

(يعكس هذا "الانضغاط" النسبي انتشار حزمة الموجة الحرة في فضاء الإحداثيات.)

في الواقع، من الممكن إظهار أن الطاقة الحركية للجسيم تصبح شعاعية بشكل مقارب فقط، بما يتفق مع المفهوم الكمي القياسي للزخم الزاوي غير الصفري في الحالة الأرضية الذي يحدد استقلال الاتجاه: [ 24 ]

كراد=α2ℏ22م(32-11+(ت/τ)2){\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}
كأنج=α2ℏ22م11+(ت/τ)2 .{\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}

إمكانية مورس

يُستخدم جهد مورس لتقريب البنية الاهتزازية لجزيء ثنائي الذرات.

تطور دالة ويغنر مع الزمن لجهد مورس U ( x ) = 20(1 − e −0.16x ) ² بالوحدات الذرية ( au ). تمثل الخطوط المتصلة مجموعة مستويات الهاميلتوني H ( x , p ) = p² / 2 + U ( x ).

النفق الكمومي

النفق الكمومي ظاهرة مميزة في ميكانيكا الكم، حيث يمر جسيم كمومي، رغم عدم امتلاكه طاقة كافية للتحرك فوق حاجز، عبر هذا الحاجز. هذه الظاهرة غير موجودة في الميكانيكا الكلاسيكية.

دالة ويغنر للنفق الكمومي عبر حاجز الجهد U ( x ) = 8e⁻⁰.²⁵x² بالوحدات الذرية ( au). تمثل الخطوط المتصلة مجموعة مستويات الهاميلتوني H ( x , p ) = p² / 2 + U ( x ) .

الإمكانات الرباعية

تطور دالة ويغنر مع الزمن للجهد U ( x ) = 0.1 × 4 بالوحدات الذرية (au). تمثل الخطوط المتصلة مجموعة مستويات الهاميلتوني H ( x , p ) = p² / 2 + U ( x ).

حالة قطة شرودنغر

دالة ويغنر لحالتين متماسكتين متداخلتين تتطوران عبر هاميلتونيان المذبذب التوافقي البسيط . تم رسم إسقاطات الزخم والإحداثيات المقابلة على اليمين وأسفل مخطط فضاء الطور.

مراجع

  1. 1 2 3 4 غرونيفولد، هـ. ج. (1946). "حول مبادئ ميكانيكا الكم الأولية". فيزيكا . 12 (7): 405-460 . Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
  2. 1 2 3 4 5 مويال، جيه إي؛ بارتليت، إم إس (1949). "ميكانيكا الكم كنظرية إحصائية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 45 (1): 99-124 . Bibcode : 1949PCPS...45...99M . doi : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 . 
  3. ^ ويل ، هـ. (1927). “ميكانيكا الكم و Gruppentheorie”. Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 46 ( 1– 2): 1– 46. بيب كود : 1927ZPhy...46....1W . دوى : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 . 
  4. 1 2 ويغنر، إي. (1932). "حول التصحيح الكمي للتوازن الديناميكي الحراري". مجلة Physical Review . 40 (5): 749–759 . Bibcode : 1932PhRv...40..749W . doi : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .
  5. ↑ علي، س. تواريك؛ إنجليش، ميروسلاف (2005). "أساليب التكميم: دليل للفيزيائيين والمحللين". مراجعات في الفيزياء الرياضية . 17 (4): 391-490 . arXiv : math-ph/0405065 . doi : 10.1142/S0129055X05002376 . S2CID 119152724 . 
  6. 1 2 كورترايت، تي إل؛ زاكوس، سي كيه (2012). "ميكانيكا الكم في فضاء الطور". نشرة آسيا والمحيط الهادئ للفيزياء . 01 : 37-46 . arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 . 
  7. 1 2 سي. زاكوس ، دي. فيرلي ، وتي. كورترايت ، "ميكانيكا الكم في فضاء الطور" (وورلد ساينتيفيك، سنغافورة، 2005) ISBN 978-981-238-384-6.
  8. ↑ كوهين، ل. (1966). "دوال توزيع فضاء الطور المعممة". مجلة الفيزياء الرياضية . 7 (5): 781-786 . Bibcode : 1966JMP.....7..781C . doi : 10.1063/1.1931206 .
  9. 1 2 أغاروال، جي إس؛ وولف، إي. (1970). "حساب التفاضل والتكامل لدوال المؤثرات غير التبادلية وطرق فضاء الطور العامة في ميكانيكا الكم. الجزء الثاني: ميكانيكا الكم في فضاء الطور". مجلة Physical Review D. 2 ( 10): 2187–2205 . Bibcode : 1970PhRvD...2.2187A . doi : 10.1103/PhysRevD.2.2187 .
  10. ↑ سودارشان، إي سي جي (1963). "تكافؤ الوصف شبه الكلاسيكي والكمي لحزم الضوء الإحصائية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 10 (7): 277-279 . Bibcode : 1963PhRvL..10..277S . doi : 10.1103/PhysRevLett.10.277 .
  11. ↑ غلاوبر، روي ج. (1963). "حالات متماسكة وغير متماسكة لحقل الإشعاع". مجلة Physical Review . 131 (6): 2766–2788 . Bibcode : 1963PhRv..131.2766G . doi : 10.1103/PhysRev.131.2766 .
  12. ↑ كودي هوسيمي (1940). "بعض الخصائص الرسمية لمصفوفة الكثافة"، وقائع الجمعية الفيزيائية والرياضية اليابانية 22 : 264-314.
  13. ↑ أغاروال، جي إس؛ وولف، إي. (1970). "حساب التفاضل والتكامل لدوال المؤثرات غير التبادلية وطرق فضاء الطور العامة في ميكانيكا الكم. الجزء الأول: نظريات التعيين وترتيب دوال المؤثرات غير التبادلية". مجلة Physical Review D. 2 ( 10): 2161–2186 . Bibcode : 1970PhRvD...2.2161A . doi : 10.1103/PhysRevD.2.2161 .
  14. ↑ كاهيل، ك. إي.؛ غلاوبر، ر. ج. (1969). "التوسعات المرتبة في مؤثرات سعة البوزون" (ملف PDF) . مجلة Physical Review . 177 (5): 1857-1881 . Bibcode : 1969PhRv..177.1857C . doi : 10.1103/PhysRev.177.1857 .كاهيل ، ك. إي.؛ غلاوبر، ر. ج. (1969). "مؤثرات الكثافة وتوزيعات شبه الاحتمالية" . مجلة Physical Review . 177 (5): 1882-1902 . Bibcode : 1969PhRv..177.1882C . doi : 10.1103/PhysRev.177.1882 ..
  15. ↑ لاكس، ملفين (1968). "الضوضاء الكمومية. الحادي عشر. التوافق متعدد الأزمنة بين العمليات العشوائية الكمومية والكلاسيكية". مجلة Physical Review . 172 (2): 350-361 . Bibcode : 1968PhRv..172..350L . doi : 10.1103/PhysRev.172.350 .
  16. ↑ بيكر، جورج أ. (1958). "صياغة ميكانيكا الكم بناءً على توزيع شبه الاحتمالية المستحث على فضاء الطور". مجلة Physical Review . 109 (6): 2198–2206 . Bibcode : 1958PhRv..109.2198B . ​​doi : 10.1103/PhysRev.109.2198 .
  17. ↑ فيرلي، د.ب. (1964). "صياغة ميكانيكا الكم بدلالة دوال فضاء الطور". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 60 (3): 581-586 . Bibcode : 1964PCPS...60..581F . doi : 10.1017/S0305004100038068 . S2CID 122039228 . 
  18. 1 2 كورترايت، ت.؛ فيرلي، د.؛ زاكوس، س. (1998). "خصائص دوال ويغنر المستقلة عن الزمن". مجلة Physical Review D. 58 ( 2) 025002. arXiv : hep-th/9711183 . Bibcode : 1998PhRvD..58b5002C . doi : 10.1103/PhysRevD.58.025002 . S2CID 288935 . 
  19. ↑ ميهتا، سي إل (1964). "صياغة فضاء الطور لديناميكيات المتغيرات الكنسية" . مجلة الفيزياء الرياضية . 5 (5): 677-686 . Bibcode : 1964JMP.....5..677M . doi : 10.1063/1.1704163 .
  20. ↑ م. أوليفا، د. كاكوفينجيتس، أ. ستويرناجل (2018). "الأنظمة الكمومية غير التوافقية لا تتميز بمسارات فضاء الطور". فيزيكا أ . 502 : 201-210 . arXiv : 1611.03303 . Bibcode : 2018PhyA..502..201O . doi : 10.1016/j.physa.2017.10.047 . S2CID 53691877 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  21. ↑ مارينوف، م.س. (1991). "نوع جديد من تكامل مسار فضاء الطور". رسائل الفيزياء أ . 153 (1): 5-11 . Bibcode : 1991PhLA..153....5M . doi : 10.1016/0375-9601(91)90352-9 .
  22. ↑ كريفوروتشينكو، إم. آي.؛ فاسلر، أماند (2007). "رموز فايل لمؤثرات هايزنبرغ للإحداثيات والزخم الكنسي كخصائص كمومية". مجلة الفيزياء الرياضية . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Bibcode : 2007JMP....48e2107K . doi : 10.1063/1.2735816 . S2CID 42068076 . 
  23. ↑ كورترايت، تي إل دوال ويغنر المعتمدة على الزمن .
  24. ↑ دال، ينس بيدر؛ شلايش، وولفغانغ ب. (15 يناير 2002). "مفاهيم الطاقة الحركية الشعاعية والزاوية". مجلة Physical Review A. 65 ( 2) 022109. arXiv : quant-ph/0110134 . Bibcode : 2002PhRvA..65b2109D . doi : 10.1103/physreva.65.022109 . ISSN 1050-2947 . S2CID 39409789 .