السببية لغرانجر

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
عندما تؤثر السلسلة الزمنية X على السلسلة الزمنية Y وفقًا لتأثير غرانجر ، فإن الأنماط في X تتكرر تقريبًا في Y بعد فترة زمنية معينة (يُشار إلى مثالين بالأسهم). وبالتالي، يمكن استخدام القيم السابقة لـ X للتنبؤ بالقيم المستقبلية لـ Y.

اختبار غرانجر للسببية هو اختبار فرضية إحصائية لتحديد ما إذا كانت سلسلة زمنية ما مفيدة في التنبؤ بسلسلة أخرى، وقد طُرح لأول مرة عام 1969. [ 1 ] عادةً، تعكس الانحدارات مجرد ارتباطات ، لكن كلايف غرانجر جادل بأن السببية في الاقتصاد يمكن اختبارها بقياس القدرة على التنبؤ بالقيم المستقبلية لسلسلة زمنية باستخدام القيم السابقة لسلسلة زمنية أخرى. ولأن مسألة "السببية الحقيقية" ذات طابع فلسفي عميق، ونظرًا لمغالطة " بعد هذا، إذن بسببه " التي تفترض أن حدثًا ما يسبق حدثًا آخر يمكن استخدامه كدليل على السببية، يؤكد علماء الاقتصاد القياسي أن اختبار غرانجر لا يجد سوى "السببية التنبؤية". [ 2 ] إن استخدام مصطلح "السببية" وحده تسمية خاطئة، إذ يُوصف مفهوم سببية غرانجر بشكل أدق بأنه "أسبقية"، [ 3 ] أو كما ادعى غرانجر نفسه لاحقًا عام 1977، "مرتبط زمنيًا". [ 4 ] بدلاً من اختبار ما إذا كان X يسبب Y، فإن اختبار السببية لغرانجر يختبر ما إذا كان X يتنبأ بـ Y. [ 5 ]

يقال إن السلسلة الزمنية X تسبب Y وفقًا لغرانجر إذا أمكن إثبات ذلك، عادةً من خلال سلسلة من اختبارات t واختبارات F على القيم المتأخرة لـ X (مع تضمين القيم المتأخرة لـ Y أيضًا)، أن قيم X هذه توفر معلومات ذات دلالة إحصائية حول القيم المستقبلية لـ Y. 

Granger also stressed that some studies using "Granger causality" testing in areas outside economics reached "ridiculous" conclusions.[6] "Of course, many ridiculous papers appeared", he said in his Nobel lecture.[7] However, it remains a popular method for causality analysis in time series due to its computational simplicity.[8][9] The original definition of Granger causality does not account for latent confounding effects and does not capture instantaneous and non-linear causal relationships, though several extensions have been proposed to address these issues.[8]

Intuition

We say that a variable X that evolves over time Granger-causes another evolving variable Y if predictions of the value of Y based on its own past values and on the past values of X are better than predictions of Y based only on Y's own past values.

Underlying principles

Granger defined the causality relationship based on two principles:[8][10]

  1. The cause happens prior to its effect.
  2. The cause has unique information about the future values of its effect.

Given these two assumptions about causality, Granger proposed to test the following hypothesis for identification of a causal effect of X{\displaystyle X} on Y{\displaystyle Y}:

P[Y(t+1)∈A∣I(t)]≠P[Y(t+1)∈A∣I−X(t)],{\displaystyle \mathbb {P} [Y(t+1)\in A\mid {\mathcal {I}}(t)]\neq \mathbb {P} [Y(t+1)\in A\mid {\mathcal {I}}_{-X}(t)],}

where P{\displaystyle \mathbb {P} } refers to probability, A{\displaystyle A} is an arbitrary non-empty set, and I(t){\displaystyle {\mathcal {I}}(t)} and I−X(t){\displaystyle {\mathcal {I}}_{-X}(t)} respectively denote the information available as of time t{\displaystyle t} in the entire universe, and that in the modified universe in which X{\displaystyle X} is excluded. If the above hypothesis is accepted, we say that X{\displaystyle X} Granger-causes Y{\displaystyle Y}.[8][10]

Method

إذا كانت السلسلة الزمنية عملية مستقرة ، يُجرى الاختبار باستخدام القيم الأساسية لمتغيرين (أو أكثر). أما إذا كانت المتغيرات غير مستقرة، فيُجرى الاختبار باستخدام الفروق الأولى (أو الفروق الأعلى). يُحدد عدد الفترات الزمنية المتأخرة عادةً باستخدام معيار معلومات، مثل معيار معلومات أكايكي أو معيار معلومات شوارتز . تُحتفظ بأي قيمة متأخرة لأحد المتغيرات في نموذج الانحدار إذا (1) كانت ذات دلالة إحصائية وفقًا لاختبار t، و(2) أضافت هي والقيم المتأخرة الأخرى للمتغير معًا قوة تفسيرية للنموذج وفقًا لاختبار F. عندئذٍ، لا تُرفض الفرضية الصفرية لعدم وجود علاقة سببية وفقًا لاختبار غرانجر إلا إذا لم تُحتفظ بأي قيم متأخرة لمتغير تفسيري في نموذج الانحدار.

من الناحية العملية، قد يتبين أن أياً من المتغيرين لا يسبب الآخر وفقًا لاختبار غرانجر، أو أن كلًا من المتغيرين يسبب الآخر وفقًا لاختبار غرانجر.

بيان رياضي

لنفترض أن y و x سلسلتان زمنيتان ثابتتان. لاختبار الفرضية الصفرية القائلة بأن x لا يسبب y وفقًا لاختبار غرانجر ، يجب أولاً إيجاد القيم المتأخرة المناسبة لـ y لإدراجها في نموذج الانحدار الذاتي أحادي المتغير لـ y :

yت=أ0+أ1yت-1+أ2yت-2+⋯+أمyت-م+خطأت.{\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{m}y_{tm}+{\text{error}}_{t}.}

بعد ذلك، يتم تعزيز الانحدار الذاتي من خلال تضمين القيم المتأخرة لـ x :

yت=أ0+أ1yت-1+أ2yت-2+⋯+أمyت-م+بصxت-ص+⋯+بqxت-q+خطأت.{\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{m}y_{tm}+b_{p}x_{tp}+\cdots +b_{q}x_{tq}+{\text{error}}_{t}.}

في هذا الانحدار، تُحتفظ بجميع القيم المتأخرة لـ x التي تُعتبر ذات دلالة إحصائية فردية وفقًا لإحصائيات t الخاصة بها، شريطة أن تُضيف مجتمعةً قوة تفسيرية للانحدار وفقًا لاختبار F (الذي تنص فرضيته الصفرية على عدم وجود قوة تفسيرية مُضافة بشكل مشترك بواسطة x ). في تدوين الانحدار المُعزز أعلاه، يُمثل p أقصر فترة تأخير، و q أطول فترة تأخير تكون فيها القيمة المتأخرة لـ x ذات دلالة إحصائية.

لا يتم رفض الفرضية الصفرية القائلة بأن x لا يسبب y وفقًا لغرانجر إذا وفقط إذا لم يتم الاحتفاظ بأي قيم متأخرة لـ x في الانحدار.

التحليل متعدد المتغيرات

عادةً ما يتم إجراء تحليل السببية لغرانجر متعدد المتغيرات عن طريق تركيب نموذج الانحدار الذاتي المتجهي (VAR) على السلسلة الزمنية. على وجه الخصوص، لنفترضX(ت)∈Rد×1{\displaystyle X(t)\in \mathbb {R} ^{d\times 1}}لت=1،...،تي{\displaystyle t=1,\ldots ,T}كند{\displaystyle d}سلسلة زمنية متعددة المتغيرات ذات أبعاد n. يتم إجراء اختبار السببية لغرانجر عن طريق تركيب نموذج VAR معل{\displaystyle L}الفترات الزمنية كالتالي:

X(ت)=∑τ=1لأτX(ت-τ)+ε(ت)،{\displaystyle X(t)=\sum _{\tau =1}^{L}A_{\tau }X(t-\tau )+\varepsilon (t),}

أينε(ت){\displaystyle \varepsilon (t)}هو متجه عشوائي غاوسي أبيض، وأτ{\displaystyle A_{\tau }}هي مصفوفة لكلτ{\displaystyle \tau }سلسلة زمنيةXأنا{\displaystyle X_{i}}يُطلق عليه اسم سبب غرانجر لسلسلة زمنية أخرىXج{\displaystyle X_{j}}، إذا كان أحد العناصر على الأقلأτ(ج،أنا){\displaystyle A_{\tau }(j,i)}لτ=1،...،ل{\displaystyle \tau =1,\ldots ,L}أكبر بكثير من الصفر (بالقيمة المطلقة). [ 11 ]

اختبار لا معلمي

تُعدّ الطرق الخطية المذكورة أعلاه مناسبة لاختبار السببية وفقًا لغرانجر في المتوسط. إلا أنها لا تستطيع الكشف عن السببية وفقًا لغرانجر في العزوم العليا، مثل التباين. وقد صُممت اختبارات السببية غير المعلمية لغرانجر لمعالجة هذه المشكلة. [ 12 ] تعريف السببية وفقًا لغرانجر في هذه الاختبارات عام ولا يتضمن أي افتراضات نمذجة، مثل نموذج الانحدار الذاتي الخطي. ويمكن استخدام اختبارات السببية غير المعلمية لغرانجر كأدوات تشخيصية لبناء نماذج معلمية أفضل تتضمن عزومًا من الرتب العليا و/أو اللاخطية. [ 13 ]

القيود

كما يوحي اسمها، فإن السببية وفقًا لغرانجر ليست بالضرورة سببية حقيقية. [ 14 ] فإذا كان كل من X و Y مدفوعين بعملية ثالثة مشتركة ذات فترات تأخير مختلفة، فقد لا يُرفض الفرض البديل للسببية وفقًا لغرانجر. ومع ذلك، فإن تغيير أحد المتغيرين لن يُغير الآخر. في الواقع، صُممت اختبارات السببية وفقًا لغرانجر للتعامل مع أزواج من المتغيرات، وقد تُنتج نتائج مُضللة عندما تتضمن العلاقة الحقيقية ثلاثة متغيرات أو أكثر. مع ذلك، فقد قيل إنه بالنظر إلى المنظور الاحتمالي للسببية، يُمكن اعتبار السببية وفقًا لغرانجر سببية حقيقية بهذا المعنى، خاصةً عند الأخذ في الاعتبار مفهوم رايشنباخ "للحجب" في السببية الاحتمالية. [ 15 ] ومن المصادر الأخرى المحتملة لنتائج الاختبار المُضللة ما يلي: (1) عدم كفاية أو كثرة أخذ العينات، (2) علاقة سببية غير خطية، (3) عدم استقرار السلاسل الزمنية وعدم خطيتها، و(4) وجود توقعات عقلانية. [ 14 ] يمكن تطبيق اختبار مماثل يتضمن المزيد من المتغيرات باستخدام الانحدار الذاتي المتجهي .

لقد تم الطعن في صحة اختبار غرانجر للسببية في الأدبيات الأكاديمية، [ 16 ] في ورقة بحثية تدعي أنه "لا يتم تلبية حتى الشرط الأساسي الذي يقوم عليه أي تعريف ممكن للسببية بواسطة اختبار غرانجر للسببية ... يجب أن يشير أي تعريف للسببية إلى التنبؤ بالمستقبل من الماضي ... نجد أن غرانجر يسمح أيضًا للمرء بـ "التنبؤ" بالماضي من المستقبل".

الإضافات

طُوِّرت طريقة لاختبار السببية وفقًا لغرانجر، وهي طريقة لا تتأثر بالانحرافات عن افتراض التوزيع الطبيعي لحد الخطأ. [ 17 ] تُعدّ هذه الطريقة مفيدةً بشكل خاص في الاقتصاد المالي، نظرًا لأن العديد من المتغيرات المالية لا تتبع التوزيع الطبيعي. [18 ] وقد اقتُرح مؤخرًا في الأدبيات اختبار السببية غير المتماثلة لفصل الأثر السببي للتغيرات الإيجابية عن السلبية. [ 19 ] كما يتوفر امتداد لاختبار السببية (أو عدم السببية) وفقًا لغرانجر ليشمل بيانات اللوحات. [ 20 ] ويتوفر اختبار سببية غرانجر مُعدَّل ، قائم على نماذج السلاسل الزمنية ذات القيم الصحيحة من نوع GARCH (الانحدار الذاتي الشرطي المعمم غير المتجانس)، في العديد من المجالات . [ 21 ] [ 22 ]

السببية المتغيرة مع الزمن لغرانجر

يُتيح توسيع نطاق السببية لغرانجر ليشمل طبيعتها الديناميكية والمتغيرة مع الزمن فهمًا أدق لكيفية تطور العلاقات السببية في بيانات السلاسل الزمنية بمرور الوقت. [ 23 ] تستخدم هذه المنهجية تقنيات تكرارية مثل نوافذ التوسع الأمامي (FE) والتدحرج (RO) والتطور التكراري (RE) للتغلب على قيود اختبارات السببية التقليدية لغرانجر وفهم التغيرات في العلاقات السببية عبر فترات زمنية مختلفة. [ 24 ] يُعدّ أمر 'tvgc' في برنامج Stata جانبًا أساسيًا من هذه المنهجية. [ 23 ] تُبرز التطبيقات العملية، مثل البيانات المتعلقة برسوم المعاملات والأنظمة الاقتصادية الفرعية على شبكة إيثيريوم، الطبيعة الديناميكية للعلاقات الاقتصادية بمرور الوقت. [ 25 ]

في علم الأعصاب

كان الاعتقاد السائد منذ زمن طويل حول وظائف الدماغ هو أن مناطق الدماغ المختلفة متخصصة في مهام محددة؛ وأن الترابط البنيوي المحلي لمنطقة معينة يحدد وظيفتها. ومع تراكم الأبحاث على مر السنين، ظهر توجه جديد نحو منهج يركز على الشبكات لوصف تدفق المعلومات في الدماغ. بدأ تفسير الوظائف يشمل مفهوم وجود شبكات على مستويات مختلفة وفي مواقع متعددة في الدماغ. [ 26 ] يمكن وصف سلوك هذه الشبكات بعمليات غير حتمية تتطور بمرور الوقت. بمعنى آخر، عند إعطاء نفس المحفز، لن تحصل على نفس المخرجات من الشبكة. تخضع ديناميكيات هذه الشبكات للاحتمالات، لذا نتعامل معها كعمليات عشوائية (ستوكاستيكية) لنتمكن من رصد هذه الديناميكيات بين مناطق الدماغ المختلفة.

لقد تم استكشاف طرق مختلفة في الماضي للحصول على قياس لتدفق المعلومات من نشاط إطلاق العصبون ومجموعة العصبونات المحيطة به، إلا أنها محدودة في أنواع الاستنتاجات التي يمكن استخلاصها، ولا تقدم سوى القليل من المعلومات حول اتجاه تدفق المعلومات، وحجم تأثيره، وكيفية تغيره مع مرور الوقت. [ 27 ] وقد طُبقت مؤخرًا نظرية السببية لغرانجر لمعالجة بعض هذه المشكلات. [ 28 ] وبعبارة أخرى، يتم دراسة أفضل طريقة للتنبؤ بمستقبل العصبون: إما باستخدام مجموعة العصبونات بأكملها، أو باستخدامها باستثناء عصبون مستهدف معين. إذا تدهور التنبؤ باستبعاد العصبون المستهدف، فإننا نقول إن له علاقة سببية من نوع "g" مع العصبون الحالي.

امتدادات لنماذج العمليات النقطية

كانت طرق غرانجر السببية السابقة تقتصر على البيانات ذات القيم المستمرة، لذا تطلّب تحليل تسجيلات سلاسل النبضات العصبية تحويلاتٍ تُغيّر في نهاية المطاف الخصائص العشوائية للبيانات، مما يُؤثر بشكل غير مباشر على صحة الاستنتاجات المُستخلصة منها. إلا أنه في عام ٢٠١١، طُرح إطار عمل جديد للأغراض العامة لغرانجر السببية، يُمكن تطبيقه مباشرةً على أي نمط، بما في ذلك سلاسل النبضات العصبية. [ ٢٧ ]

يمكن نمذجة بيانات قطارات النبضات العصبية كعملية نقطية . العملية النقطية الزمنية هي سلسلة زمنية عشوائية من الأحداث الثنائية التي تحدث في زمن متصل. لا يمكن أن تأخذ هذه العملية سوى قيمتين عند كل نقطة زمنية، تشيران إلى ما إذا كان الحدث قد وقع بالفعل أم لا. يناسب هذا النوع من التمثيل الثنائي للمعلومات نشاط المجموعات العصبية لأن جهد فعل العصبون الواحد له شكل موجي نموذجي. وبهذه الطريقة، فإن ما يحمل المعلومات الفعلية الخارجة من العصبون هو حدوث "نبضة"، بالإضافة إلى الوقت بين النبضات المتتالية. باستخدام هذا النهج، يمكن تجريد تدفق المعلومات في الشبكة العصبية إلى مجرد أوقات إطلاق النبضات لكل عصبون خلال فترة الملاحظة. يمكن تمثيل عملية النقطة إما بتوقيت النبضات نفسها، أو أوقات الانتظار بين النبضات، باستخدام عملية العد، أو، إذا تم تقسيم الوقت بشكل كافٍ لضمان أن كل نافذة زمنية لا يمكن أن تحتوي إلا على حدث واحد، أي أن خانة زمنية واحدة لا يمكن أن تحتوي إلا على حدث واحد، كمجموعة من 1 و 0، على غرار النظام الثنائي.

يُعدّ نموذج عملية بواسون أحد أبسط نماذج إطلاق النبضات العصبية . إلا أنه محدودٌ لكونه لا يعتمد على الذاكرة، إذ لا يأخذ في الحسبان أي تاريخ لإطلاق النبضات عند حساب الاحتمالية الحالية. في المقابل، تُظهر الخلايا العصبية اعتمادًا جوهريًا (بيوفيزيائيًا) على تاريخها من خلال فترات الامتناع النسبية والمطلقة. ولمعالجة هذه المشكلة، تُستخدم دالة شدة شرطية لتمثيل احتمالية إطلاق النبضة العصبية، بناءً على تاريخها. تُعبّر دالة الشدة الشرطية عن احتمالية الإطلاق اللحظية، وتُحدّد ضمنيًا نموذج احتمالية كاملًا للعملية النقطية. فهي تُحدّد احتمالية لكل وحدة زمنية. لذا، إذا كانت هذه الوحدة الزمنية صغيرة بما يكفي لضمان حدوث نبضة واحدة فقط خلالها، فإن دالة الشدة الشرطية تُحدّد بدقة احتمالية إطلاق نبضة عصبية معينة خلال فترة زمنية محددة.

في مجال الحوسبة

تم تطوير حزم برمجية لقياس "السببية الغرانجرية" في لغتي بايثون و آر :

انظر أيضاً

  • معايير برادفورد هيل – معايير لقياس السبب والنتيجة 
  • إنتروبيا النقل – إحصائية غير معلمية حول نقل المعلومات 
  • مسلمة كوخ – أربعة معايير تُظهر علاقة سببية بين الميكروب المُسبب للمرض والمرض نفسه. صفحات تعرض أوصافًا موجزة للأهداف المُعاد توجيهها. 

مراجع

  1. ↑ غرانجر، سي دبليو جيه (1969). "دراسة العلاقات السببية باستخدام النماذج الاقتصادية القياسية وطرق التحليل الطيفي المتقاطع". مجلة Econometrica . 37 (3): 424-438 . doi : 10.2307/1912791 . JSTOR 1912791 . 
  2. ↑ ديبولد، فرانسيس إكس. (2007). عناصر التنبؤ (ملف PDF) ( الطبعة الرابعة). تومسون ساوث ويسترن. الصفحات 230-231 . ISBN   978-0-324-35904-6.
  3. ↑ ليمر، إدوارد إي. (1985). "الانحدارات الذاتية المتجهة للاستدلال السببي؟". سلسلة مؤتمرات كارنيجي-روتشستر حول السياسة العامة . 22 : 283. doi : 10.1016/0167-2231(85)90035-1 .
  4. ↑ غرانجر، سي دبليو جيه؛ نيوبولد، بول (1977). التنبؤ بالسلاسل الزمنية الاقتصادية . نيويورك: أكاديميك برس. ص 225. ISBN  0-12-295150-6.
  5. ↑ هاميلتون، جيمس د. (1994). تحليل السلاسل الزمنية (ملف PDF) . مطبعة جامعة برينستون. الصفحات 306-308 . ISBN  0-691-04289-6.
  6. ↑ ثورمان، والتر (1988). "الدجاج والبيض والسببية: أيهما أتى أولاً؟" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للاقتصاد الزراعي . 70 (2): 237-238 . doi : 10.2307/1242062 . JSTOR 1242062. تاريخ الاسترجاع: 2 أبريل 2022 . 
  7. ↑ غرانجر، كلايف دبليو جيه (2004). "تحليل السلاسل الزمنية، التكامل المشترك، والتطبيقات" (ملف PDF) . المجلة الاقتصادية الأمريكية . 94 (3): 421-425 . CiteSeerX 10.1.1.370.6488 . doi : 10.1257/0002828041464669 . S2CID 154709108. تاريخ الاسترجاع: 12 يونيو 2019 .  
  8. 1 2 3 4 إيخلر، مايكل (2012). "الاستدلال السببي في تحليل السلاسل الزمنية" (ملف PDF) . في بيرزوني، كارلو (محرر). السببية: منظورات وتطبيقات إحصائية ( الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: وايلي. الصفحات 327-352 . ISBN   978-0-470-66556-5.
  9. ↑ سيث، أنيل (2007). "السببية الغرنجرية" . موسوعة سكولاربيديا . 2 (7): 1667. رمز Bibcode : 2007SchpJ...2.1667S . doi : 10.4249/scholarpedia.1667 .
  10. 1 2 غرانجر، سي دبليو جيه (1980). "اختبار السببية: وجهة نظر شخصية". مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم . 2 : 329-352 . doi : 10.1016/0165-1889(80)90069-X .
  11. ↑ لوتكيبول، هيلموت (2005). مقدمة جديدة لتحليل السلاسل الزمنية المتعددة ( الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. الصفحات 41-51 . ISBN   978-3-540-26239-8.
  12. ↑ ديكس، سيس؛ بانشينكو، فالنتين (2006). "إحصائية جديدة وإرشادات عملية لاختبار السببية غير البارامترية لغرانجر" (ملف PDF) . مجلة ديناميكيات الاقتصاد والتحكم . 30 (9): 1647-1669 . doi : 10.1016/j.jedc.2005.08.008 .
  13. ↑ فرانسيس، بيل ب .؛ موغوي، مبودجا؛ بانشينكو، فالنتين (2010). "هل توجد علاقة سببية غير خطية متناظرة بين الشركات الكبيرة والصغيرة؟" (ملف PDF) . مجلة التمويل التجريبي . 17 (1): 23-28 . doi : 10.1016/j.jempfin.2009.08.003 .
  14. 1 2 ماريوس، مازيارز (2015-05-20). "مراجعة لمغالطة السببية لغرانجر" . مجلة الاقتصاد الفلسفي . المجلد الثامن (2). الرقم الدولي الموحد للدوريات 1843-2298 . 
  15. ↑ مانينو، مايكل؛ بريسلر، ستيفن ل. (2015). "وجهات نظر أساسية حول السببية في شبكات الدماغ واسعة النطاق". مراجعات فيزياء الحياة . 15 : 107-23 . Bibcode : 2015PhLRv..15..107M . doi : 10.1016/j.plrev.2015.09.002 . PMID 26429630 . 
  16. ↑ غراسمان، غريتا (2020). "اعتبارات جديدة حول صحة اختبار السببية لـ وينر-غرانجر" . هيليون . 6 ( 10) e05208. Bibcode : 2020Heliy...605208G . doi : 10.1016/j.heliyon.2020.e05208 . PMC 7578691. PMID 33102842 .  
  17. ↑ هاكر، ر. سكوت؛ حاتمي-ج، أ. (2006). "اختبارات السببية بين المتغيرات المتكاملة باستخدام التوزيعات التقاربية وتوزيعات بوتستراب: النظرية والتطبيق" . الاقتصاد التطبيقي . 38 (13): 1489-1500 . doi : 10.1080/00036840500405763 . S2CID 121999615 . 
  18. ↑ ماندلبروت، بينوا (1963). "تغير بعض أسعار المضاربة". مجلة الأعمال . 36 (4): 394-419 . doi : 10.1086/294632 .
  19. ↑ حاتمي-ج، أ. (2012). "اختبارات السببية غير المتناظرة مع تطبيق عملي" . الاقتصاد التجريبي . 43 : 447-456 . doi : 10.1007/s00181-011-0484-x . S2CID 153562476 . 
  20. ↑ دوميتريسكو، إي.-آي.؛ هورلين، سي. (2012). "اختبار عدم السببية وفقًا لغرانجر في اللوحات غير المتجانسة". النمذجة الاقتصادية . 29 (4): 1450-1460 . CiteSeerX 10.1.1.395.568 . doi : 10.1016/j.econmod.2012.02.014 . S2CID 9227921 .  
  21. ↑ تشين، كاثي دبليو إس؛ هسيه، يينغ-هين؛ سو، هونغ-تشيه؛ وو، جيا جينغ (2018-02-01). "اختبار السببية بين الجسيمات الدقيقة في الهواء المحيط والإنفلونزا البشرية في تايوان: التباين الخاص بالفئات العمرية وعدم التجانس الجغرافي" . مجلة البيئة الدولية . 111 : 354-361 . Bibcode : 2018EnInt.111..354C . doi : 10.1016/j.envint.2017.10.011 . ISSN 0160-4120 . PMID 29173968 .  
  22. ↑ تشين، كاثي دبليو إس؛ لي، سانغيول (2017). "اختبار السببية البايزية لنماذج السلاسل الزمنية ذات القيم الصحيحة مع تطبيقات على بيانات المناخ والجريمة". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ج (الإحصاء التطبيقي) . 66 (4): 797-814 . doi : 10.1111/rssc.12200 . hdl : 10.1111/rssc.12200 . ISSN 1467-9876 . S2CID 125296454 .  
  23. 1 2 باوم، كريستوفر ف.؛ هيرن، ستان؛ أوتيرو، خيسوس (30-06-2022). "اختبار السببية المتغيرة زمنيًا لغرانجر" . مجلة ستاتا: تعزيز التواصل في الإحصاء وستاتا . 22 (2): 355-378 . doi : 10.1177/1536867X221106403 . ISSN 1536-867X . S2CID 250221497 .  
  24. ↑ شجاعي، علي؛ فوكس، إميلي ب. (2022-03-07). "السببية الغرنجرية: مراجعة وتطورات حديثة" . المراجعة السنوية للإحصاء وتطبيقاته . 9 (1): 289-319 . arXiv : 2105.02675 . Bibcode : 2022AnRSA...9..289S . doi : 10.1146/ annurev -statistics-040120-010930 . ISSN 2326-8298 . PMC 10571505. PMID 37840549 .   
  25. ↑ آنتي، لينارت؛ ساجو، أمان (4 يناير 2024). "العلاقات السببية ثنائية الاتجاه المتغيرة مع الزمن بين رسوم المعاملات والنشاط الاقتصادي للأنظمة الفرعية التي تستخدم شبكة بلوك تشين إيثيريوم" . مجلة إدارة المخاطر والمالية . 17 (1): 19. arXiv : 2501.05299 . doi : 10.3390/jrfm17010019 . ISSN 1911-8074 . 
  26. ↑ نايت، ر. ت. (2007). "علم الأعصاب: الشبكات العصبية تفند علم فراسة الدماغ". مجلة ساينس . 316 (5831): 1578-1579 . doi : 10.1126/science.1144677 . PMID 17569852. S2CID 15065228 .  
  27. 1 2 كيم، سانغيون؛ بوترينو، ديفيد؛ غوش، سوميا؛ براون، إيمري ن (2011). "مقياس غرانجر للسببية لنماذج العمليات النقطية لنشاط النبضات العصبية الجماعية" . مجلة PLOS لعلم الأحياء الحاسوبي . 7 (3) e1001110. Bibcode : 2011PLSCB...7E1110K . doi : 10.1371/journal.pcbi.1001110 . PMC 3063721. PMID 21455283 .  
  28. ↑ بريسلر، ستيفن ل؛ سيث، أنيل ك (2011). " سببية وينر-جرانجر: منهجية راسخة". مجلة NeuroImage . 58 (2): 323-329 . doi : 10.1016/j.neuroimage.2010.02.059 . PMID 20202481. S2CID 36616970 .  

للمزيد من القراءة