شبكة العالم الصغير

مثال على شبكة العالم الصغير: تكون العقد المحورية أكبر من العقد الأخرى.

متوسط ​​الدرجة = 3.833، متوسط ​​طول أقصر مسار = 1.803، معامل التجميع = 0.522

رسم بياني عشوائي، متوسط ​​الدرجة = 2.833، متوسط ​​طول أقصر مسار = 2.109، معامل التجميع = 0.167

شبكة العالم الصغير هي رسم بياني يتميز بمعامل تجميع عالٍ ومسافات قصيرة . في مثال الشبكة الاجتماعية، يشير التجميع العالي إلى احتمال كبير أن يكون صديقان لشخص ما صديقين أيضًا. أما المسافات القصيرة، فتعني وجود سلسلة قصيرة من العلاقات الاجتماعية بين أي شخصين (يُعرف هذا التأثير بست درجات من التباعد ). ^{[ 1 ]} وبالتحديد، تُعرَّف شبكة العالم الصغير بأنها شبكة ينمو فيها متوسط ​​المسافة L بين عقدتين مختارتين عشوائيًا (عدد الخطوات المطلوبة) تناسبًا طرديًا مع لوغاريتم عدد العقد N في الشبكة، أي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle L\propto \log N}$

في حين أن معامل التجميع العالمي ليس صغيراً.

في سياق الشبكات الاجتماعية، ينتج عن ذلك ظاهرة العالم الصغير ، حيث يرتبط الغرباء بسلسلة قصيرة من المعارف . تُظهر العديد من الرسوم البيانية التجريبية تأثير العالم الصغير، بما في ذلك الشبكات الاجتماعية ، ومواقع الويكي مثل ويكيبيديا، وشبكات الجينات ، وحتى البنية الأساسية للإنترنت . وهي مصدر إلهام للعديد من بنى الشبكات على رقاقة في أجهزة الحاسوب المعاصرة . ^{[ 3 ]}

حدد دنكان واتس وستيفن ستروغاتز في عام 1998 فئة معينة من شبكات العالم الصغير كنوع من الرسوم البيانية العشوائية. ^{[ 4 ]} لاحظا أنه يمكن تصنيف الرسوم البيانية وفقًا لسمتين هيكليتين مستقلتين، وهما معامل التجميع ، ومتوسط ​​المسافة بين العقد (المعروف أيضًا باسم متوسط ​​طول أقصر مسار ). تُظهر الرسوم البيانية العشوائية البحتة، المبنية وفقًا لنموذج إردوش-ريني (ER) ، متوسط ​​طول أقصر مسار صغيرًا (يتغير عادةً مع لوغاريتم عدد العقد) إلى جانب معامل تجميع صغير. لاحظ واتس وستروغاتز أن العديد من الشبكات الواقعية تتميز في الواقع بمتوسط ​​طول أقصر مسار صغير، ولكن أيضًا بمعامل تجميع أعلى بكثير مما هو متوقع بالصدفة. ثم اقترح واتس وستروغاتز نموذجًا جديدًا للرسوم البيانية، يُسمى حاليًا نموذج واتس وستروغاتز ، يتميز بـ (1) متوسط ​​طول أقصر مسار صغير، و(2) معامل تجميع كبير. تم وصف الانتقال في نموذج واتس-ستروغاتز بين "عالم كبير" (مثل الشبكة) وعالم صغير لأول مرة بواسطة بارتيليمي وأمارال في عام 1999. ^{[ 5 ]} تبع هذا العمل العديد من الدراسات، بما في ذلك النتائج الدقيقة (بارات وويغت، 1999؛ دوروغوفستيف ومينديس ؛ بارمبوتيس وموراي، 2010).

تميل شبكات العالم الصغير إلى احتواء مجموعات فرعية ، ومجموعات فرعية شبه فرعية، أي شبكات فرعية تربطها روابط بين أي عقدتين تقريبًا داخلها. وينتج هذا عن خاصية مميزة تتمثل في معامل التجميع العالي . ثانيًا، ترتبط معظم أزواج العقد بمسار قصير واحد على الأقل. وينتج هذا عن خاصية مميزة تتمثل في أن يكون متوسط ​​طول أقصر مسار صغيرًا. ترتبط عدة خصائص أخرى بشبكات العالم الصغير. عادةً ما يكون هناك وفرة في المحاور - وهي عقد في الشبكة ذات عدد كبير من الروابط (تُعرف بالعقد ذات الدرجة العالية ). تعمل هذه المحاور كوصلات مشتركة تُسهّل أطوال المسارات القصيرة بين الحواف الأخرى. على سبيل المثال، تتميز شبكة العالم الصغير لرحلات الطيران بمتوسط ​​طول مسار قصير (أي أنه من المرجح أن تحتاج إلى ثلاث رحلات أو أقل بين أي مدينتين) لأن العديد من الرحلات تمر عبر مدن محورية . غالبًا ما تُحلل هذه الخاصية من خلال النظر في نسبة العقد في الشبكة التي لها عدد معين من الروابط الداخلة إليها (توزيع درجة الشبكة). ستحتوي الشبكات التي تضم عددًا أكبر من المتوقع من المحاور على نسبة أكبر من العقد ذات الدرجة العالية، وبالتالي سيكون توزيع الدرجة غنيًا بقيم الدرجة العالية. يُعرف هذا بشكل عام باسم التوزيع ذي الذيل السميك . تُعتبر الرسوم البيانية ذات البنية المختلفة جدًا شبكات عالم صغير طالما أنها تستوفي الشرطين التعريفيين المذكورين أعلاه.

تم قياس خاصية العالم الصغير للشبكة بواسطة معامل صغير.${\displaystyle \sigma }$، ويتم حسابها عن طريق مقارنة التجميع وطول المسار لشبكة معينة بنموذج إردوش-ريني بنفس الدرجة في المتوسط. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \sigma ={\frac {\frac {C}{C_{r}}}{\frac {L}{L_{r}}}}}$

لو${\displaystyle \sigma >1}$(${\textstyle C\gg C_{r}}$و${\textstyle L\approx {L_{r}}}$تُصنف هذه الشبكة ضمن فئة الشبكات الصغيرة. ومع ذلك، من المعروف أن هذا المقياس ضعيف الأداء لأنه يتأثر بشدة بحجم الشبكة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

تعتمد طريقة أخرى لتحديد مدى صغر حجم الشبكة على التعريف الأصلي لشبكة العالم الصغير، حيث تُقارن عملية تجميع البيانات في شبكة معينة بشبكة شبكية مكافئة، وطول مسارها بشبكة عشوائية مكافئة. مقياس العالم الصغير (${\displaystyle \omega }$) يُعرَّف على أنه ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \omega ={\frac {L_{r}}{L}}-{\frac {C}{C_{\ell }}}}$

حيث يتم حساب طول المسار المميز L ومعامل التجميع C من الشبكة التي تقوم باختبارها، و C _ℓ هو معامل التجميع لشبكة شبكية مكافئة و L _r هو طول المسار المميز لشبكة عشوائية مكافئة.

ثمة طريقة أخرى لقياس خاصية العالم الصغير، وهي تطبيع كل من تكتل الشبكة وطول المسار بالنسبة لهذه الخصائص في الشبكات الشبكية والعشوائية المكافئة. يُعرَّف مؤشر العالم الصغير (SWI) على النحو التالي ^{[ 9 ].}

${\displaystyle {\text{SWI}}={\frac {L-L_{\ell }}{L_{r}-L_{\ell }}}\times {\frac {C-C_{r}}{C_{\ell }-C_{r}}}}$

يتراوح كل من ω ′ وSWI بين 0 و1، وقد ثبت أنهما يعكسان جوانب من خاصية العالم الصغير. مع ذلك، فهما يتبنيان مفاهيم مختلفة قليلاً عن خاصية العالم الصغير المثالية. بالنسبة لمجموعة معينة من القيود (مثل الحجم، والكثافة، وتوزيع الدرجات)، توجد شبكة يكون فيها ω ′ = 1، وبالتالي يهدف ω إلى تحديد مدى كون الشبكة ذات القيود المعطاة أقرب ما يمكن إلى خاصية العالم الصغير. في المقابل، قد لا توجد شبكة يكون فيها SWI  =  1، وبالتالي يهدف SWI إلى تحديد مدى اقتراب الشبكة ذات القيود المعطاة من خاصية العالم الصغير النظرية المثالية، وهي شبكة _يكون فيها C ≈ Cℓ و L ≈ Lr _. ^{[ 9 ]}

تُلاحظ خصائص العالم الصغير في العديد من الظواهر الواقعية، بما في ذلك مواقع الويب ذات قوائم التصفح، وشبكات الغذاء، وشبكات الطاقة الكهربائية، وشبكات معالجة الأيض، وشبكات الخلايا العصبية في الدماغ ، وشبكات الناخبين، ومخططات المكالمات الهاتفية، وشبكات المطارات. ^{[ 10 ]} كما ثبت أن الشبكات الثقافية ^{[ 11 ]} وشبكات تكرار الكلمات ^{[ 12 ] هي شبكات عالم صغير.}

تتمتع شبكات البروتينات المتصلة بخصائص العالم الصغير، مثل توزيعات الدرجات التي تخضع لقانون القوة. ^{[ 13 ]} وبالمثل، تتمتع الشبكات النسخية ، التي تكون فيها العقد هي الجينات ، وترتبط إذا كان لأحد الجينات تأثير تنظيمي تصاعدي أو تنازلي على الآخر، بخصائص شبكة العالم الصغير. ^{[ 14 ]}

في مثال آخر، تفترض نظرية " ست درجات من التباعد " الشهيرة بين الناس ضمنيًا أن مجال الخطاب هو مجموعة الأشخاص الأحياء في أي وقت. من شبه المؤكد أن عدد درجات التباعد بين ألبرت أينشتاين والإسكندر الأكبر أكبر من 30 ^{[ 15 ]} ، وهذه الشبكة لا تتمتع بخصائص العالم الصغير. شبكة مماثلة في قيودها هي شبكة "التدريس معًا": إذا التحق شخصان بنفس الكلية بفارق عشر سنوات، فمن غير المرجح أن يكون لديهما معارف مشتركة بين الطلاب.

وبالمثل، لم يكن عدد محطات الترحيل التي تمر بها الرسالة قليلاً دائمًا. ففي الأيام التي كان يُنقل فيها البريد يدويًا أو على ظهور الخيل، كان عدد مرات انتقال الرسالة بين المرسل والمستلم أكبر بكثير مما هو عليه اليوم. وكان عدد مرات انتقال الرسالة في عصر التلغراف المرئي (حوالي 1800-1850) محددًا بشرط أن تكون المحطتان متصلتين بخط رؤية مباشر.

إن الافتراضات الضمنية، إذا لم يتم فحصها، يمكن أن تتسبب في تحيز في الأدبيات المتعلقة بالرسوم البيانية لصالح إيجاد شبكات العالم الصغير (مثال على تأثير درج الملفات الناتج عن تحيز النشر ).

يفترض بعض الباحثين، مثل ألبرت-لازلو باراباسي ، أن شيوع شبكات العالم الصغير في الأنظمة البيولوجية قد يعكس ميزة تطورية لهذا النوع من البنية. أحد الاحتمالات هو أن شبكات العالم الصغير أكثر مقاومة للاضطرابات من غيرها من بنيات الشبكات. إذا صحّ هذا، فإنه سيوفر ميزة للأنظمة البيولوجية المعرضة للتلف بسبب الطفرات أو العدوى الفيروسية .

في شبكة العالم الصغير ذات توزيع الدرجات الذي يتبع قانون القوة ، نادرًا ما يؤدي حذف عقدة عشوائية إلى زيادة كبيرة في متوسط ​​طول أقصر مسار (أو انخفاض كبير في معامل التجميع ). ويعود ذلك إلى أن معظم أقصر المسارات بين العقد تمر عبر المحاور ، وإذا حُذفت عقدة طرفية، فمن غير المرجح أن تعيق المرور بين العقد الطرفية الأخرى. ولأن نسبة العقد الطرفية في شبكة العالم الصغير أعلى بكثير من نسبة المحاور ، فإن احتمال حذف عقدة مهمة منخفض للغاية. على سبيل المثال، إذا أُغلق المطار الصغير في صن فالي، أيداهو ، فلن يزيد ذلك من متوسط ​​عدد الرحلات التي يتعين على المسافرين الآخرين في الولايات المتحدة القيام بها للوصول إلى وجهاتهم. مع ذلك، إذا أصاب حذف عقدة عشوائية محورًا بالصدفة، فقد يزداد متوسط ​​طول المسار بشكل كبير. ويمكن ملاحظة ذلك سنويًا عندما تُغلق مطارات المحاور الشمالية، مثل مطار أوهير في شيكاغو، بسبب الثلوج؛ حيث يضطر الكثير من الناس إلى القيام برحلات إضافية.

على النقيض من ذلك، في الشبكة العشوائية، حيث تمتلك جميع العقد عددًا متقاربًا من الاتصالات، من المرجح أن يؤدي حذف عقدة عشوائية إلى زيادة طفيفة ولكنها ذات دلالة إحصائية في متوسط ​​طول أقصر مسار لأي عقدة محذوفة تقريبًا. وبهذا المعنى، فإن الشبكات العشوائية عرضة للاضطرابات العشوائية، بينما تتميز شبكات العالم الصغير بالمتانة. ومع ذلك، فإن شبكات العالم الصغير عرضة للهجمات الموجهة على المحاور، في حين لا يمكن استهداف الشبكات العشوائية لإحداث فشل كارثي.

الآلية الرئيسية لبناء شبكات العالم الصغير هي آلية واتس-ستروغاتز .

يمكن أيضًا إدخال شبكات العالم الصغير مع تأخير زمني، ^{[ 16 ]} مما لا ينتج عنه كسور هندسية فحسب، بل ينتج عنه أيضًا فوضى ^{[ 17 ]} في ظل الظروف المناسبة، أو الانتقال إلى الفوضى في الشبكات الديناميكية. ^{[ 18 ]}

بعد فترة وجيزة من نشر آلية واتس-ستروغاتز ، طوّر مشاغي وزملاؤه مناهج لإنشاء نماذج شبكية تُظهر ارتباطات عالية الدرجة، مع الحفاظ على توزيع الدرجات المطلوب وخصائص العالم الصغير. تعتمد هذه المناهج على تحويل الحافة الثنائية، ويمكن استخدامها لإنشاء نماذج شبكية للعالم الصغير قابلة للحل التحليلي لأغراض البحث في هذه الأنظمة. ^{[ 19 ]}

تُبنى الرسوم البيانية ذات الدرجة والقطر بحيث يكون عدد الجيران لكل رأس في الشبكة محدودًا، بينما تُقلَّل المسافة من أي رأس في الشبكة إلى أي رأس آخر ( قطر الشبكة). ويتم بناء هذه الشبكات ذات العالم الصغير كجزء من الجهود المبذولة لإيجاد رسوم بيانية من رتبة قريبة من حد مور .

يُقدّم بارمبوتيس وآخرون [ ^{20 ] طريقة أخرى لإنشاء شبكة العالم الصغير من الصفر ،} حيث يتم بناء شبكة ذات مسافة متوسطة صغيرة جدًا وتجميع متوسط ​​كبير جدًا. ويُقدّم خوارزمية سريعة ذات تعقيد ثابت، بالإضافة إلى قياسات لمتانة الرسوم البيانية الناتجة. وبحسب تطبيق كل شبكة، يمكن البدء بشبكة "عالم صغير جدًا" واحدة، ثم إعادة توصيل بعض الحواف، أو استخدام عدة شبكات صغيرة كرسوم بيانية فرعية لرسم بياني أكبر.

يمكن أن تنشأ خصائص العالم الصغير بشكل طبيعي في الشبكات الاجتماعية وغيرها من الأنظمة الواقعية من خلال عملية التطور ثنائي المراحل . وهذا شائع بشكل خاص عندما تحد القيود الزمنية أو المكانية من إضافة روابط بين الرؤوس. تتضمن الآلية عمومًا تحولات دورية بين المراحل، حيث تُضاف الروابط خلال مرحلة "عالمية" ويتم تعزيزها أو إزالتها خلال مرحلة "محلية".

يمكن أن تتحول الشبكات ذات العالم الصغير من فئة الشبكات غير المقياسية إلى فئة الشبكات واسعة النطاق، حيث يتميز توزيع الاتصال فيها بانقطاع حاد يتبع نظام قانون القوة، وذلك بسبب القيود التي تحد من إضافة روابط جديدة. ^{[ 21 ]} في حالة وجود قيود قوية بما يكفي، يمكن أن تصبح الشبكات غير المقياسية شبكات أحادية المقياس، حيث يتميز توزيع الاتصال فيها بالتضاؤل ​​السريع. ^{[ 21 ]} كما تم إثبات تحليليًا أن الشبكات غير المقياسية صغيرة للغاية، مما يعني أن المسافة تتناسب مع...${\displaystyle L\propto \log \log N}$[ ^{22 ]​}

• نموذج باراباسي-ألبرت – خوارزمية إنشاء شبكة خالية من النطاق 
• المناخ كشبكات معقدة – نموذج مفاهيمي لتوليد فهم أعمق لعلم المناخ 
• التطور ثنائي المرحلة – عملية تدفع التنظيم الذاتي داخل الأنظمة التكيفية المعقدة 
• رقم دنبار – حد معرفي مقترح ذو أهمية في علم الاجتماع وعلم الإنسان 
• رقم اردوش – درجات الانفصال عن بول اردوش 
• نموذج Erdős – Rényi (ER) - نموذجان مرتبطان ارتباطًا وثيقًا بإنشاء رسوم بيانية عشوائية 
• نماذج الشبكات المتطورة في العالم المحلي
• نظرية الترشيح – نظرية رياضية حول سلوك المجموعات المتصلة في رسم بياني عشوائي 
• علم الشبكات – مجال أكاديمي – النظرية الرياضية للشبكات 
• شبكة لا تعتمد على المقياس - شبكة يتبع توزيع درجاتها قانون القوة 
• ست درجات من كيفن بيكون - لعبة مسلية حول درجات التباعد 
• تجربة العالم الصغير – تجارب لدراسة متوسط ​​طول المسار في الشبكات الاجتماعية 
• الشبكة الاجتماعية – بنية اجتماعية تتكون من مجموعة من الفاعلين الاجتماعيين 
• نموذج واتس-ستروغاتز – طريقة لتوليد رسوم بيانية عشوائية للعالم الصغير 
• شبكة على شريحة – نظام فرعي للاتصالات الإلكترونية على دائرة متكاملة – أنظمة على شريحة مصممة على غرار شبكات العالم الصغير 
• نادي زاكاري للكاراتيه

• شبكات التقارب الديناميكية من تأليف سيث ج. تشاندلر، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
• مدخل شبكات العالم الصغير على موقع Scholarpedia (بقلم ماسون أ. بورتر)