القطع الناقص العظيم

القطع الناقص العظيم هو قطع ناقص يمر بنقطتين على سطح كروي وله نفس مركز السطح الكروي. أو بعبارة أخرى، هو قطع ناقص على سطح كروي مركزه نقطة الأصل ، أو المنحنى الناتج عن تقاطع السطح الكروي مع مستوى يمر بمركزه. ^{[ 1 ]} بالنسبة للنقاط التي تفصل بينها مسافة أقل من ربع محيط الأرض تقريبًا، أي حوالي${\displaystyle 10\,000\,\mathrm {km} }$يبلغ طول القطع الناقص الكبير الذي يربط النقاط مسافة قريبة (في حدود جزء واحد من 500,000) من المسافة الجيوديسية . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ولذلك، يُقترح القطع الناقص الكبير أحيانًا كمسار مناسب للملاحة البحرية. ويُعدّ القطع الناقص الكبير حالة خاصة من مسار مقطع الأرض .

افترض أن الشكل الإهليلجي، وهو شكل بيضاوي دوراني، له نصف قطر استوائي${\displaystyle a}$ونصف المحور القطبي${\displaystyle b}$عرّف التسطيح${\displaystyle f=(ab)/a}$، الغرابة${\displaystyle e={\sqrt {f(2-f)}}}$والغرابة الثانية${\displaystyle e'=e/(1-f)}$ضع في اعتبارك نقطتين:${\displaystyle A}$عند خط العرض (الجغرافي)${\displaystyle \phi _{1}}$وخط الطول${\displaystyle \lambda _{1}}$و${\displaystyle B}$عند خط العرض${\displaystyle \phi _{2}}$وخط الطول${\displaystyle \lambda _{2}}$القطع الناقص الكبير الرابط (من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle B}$) له طول${\displaystyle s_{12}}$وله سمت${\displaystyle \alpha _{1}}$و${\displaystyle \alpha _{2}}$عند النقطتين الطرفيتين.

توجد طرق مختلفة لتحويل شكل بيضاوي إلى كرة نصف قطرها${\displaystyle a}$بطريقة تسمح بتحويل القطع الناقص العظيم إلى دائرة عظيمة، مما يسمح باستخدام أساليب الملاحة باستخدام الدائرة العظمى :

• يمكن تمديد الشكل الإهليلجي في اتجاه موازٍ لمحور الدوران؛ وهذا يحدد نقطة خط عرض${\displaystyle \phi }$على سطح الإهليلج إلى نقطة على الكرة ذات خط العرض${\displaystyle \beta }$، خط العرض البارامتري .
• يمكن تمثيل نقطة على سطح القطع الناقص شعاعيًا على الكرة على طول الخط الواصل بينها وبين مركز القطع الناقص؛ وهذا يمثل نقطة خط عرض${\displaystyle \phi }$على سطح الإهليلج إلى نقطة على الكرة ذات خط العرض${\displaystyle \theta }$، خط العرض الجيومركزي .
• يمكن تمديد الشكل الإهليلجي ليصبح شكلاً إهليلجياً متطاولاً بنصف محور قطبي${\displaystyle a^{2}/b}$ثم يتم إسقاطها شعاعيًا على الكرة؛ وهذا يحافظ على خط العرض - خط العرض على الكرة هو${\displaystyle \phi }$، خط العرض الجغرافي .

توفر الطريقة الأخيرة وسيلة سهلة لإنشاء سلسلة من نقاط الطريق على القطع الناقص الكبير الذي يربط بين نقطتين معروفتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$أوجد طول الدائرة العظمى بين${\displaystyle (\phi _{1},\lambda _{1})}$و${\displaystyle (\phi _{2},\lambda _{2})}$ثم ابحث عن نقاط الطريق على الدائرة العظمى . هذه النقاط تُقابلها نقاط طريق على القطع الناقص العظيم المقابل.

إذا كانت هناك حاجة إلى المسافات والاتجاهات، فمن الأسهل استخدام أول عملية ربط. ^{[ 5 ]} بالتفصيل، تكون عملية الربط كما يلي (هذا الوصف مأخوذ من ^{[ 6 ]} ):

• خط العرض الجغرافي${\displaystyle \phi }$على الخرائط الإهليلجية إلى خط العرض البارامتري${\displaystyle \beta }$على الكرة، حيث

  ${\displaystyle a\tan \beta =b\tan \phi .}$

• خط الطول${\displaystyle \lambda }$لم يتغير.
• السمت${\displaystyle \alpha }$تُشير الخرائط على القطع الناقص إلى سمت${\displaystyle \gamma }$على الكرة حيث

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{محاذاة}}}$

  وأرباع${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \gamma }$هما متماثلان.
• المواقع على الدائرة العظمى ذات نصف القطر${\displaystyle a}$يتم تحديدها بواسطة طول القوس${\displaystyle \sigma }$يُقاس من نقطة عبور خط الاستواء شمالاً. للقطع الناقص الكبير نصف محورين.${\displaystyle a}$و${\displaystyle a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}}$، أين${\displaystyle \gamma _{0}}$هو سمت الدائرة العظمى عند عبور خط الاستواء شمالاً، و${\displaystyle \sigma }$هي الزاوية البارامترية على القطع الناقص.

(يتم إجراء عملية إسقاط مماثلة على كرة مساعدة في حل الخطوط الجيوديسية على سطح بيضاوي . والاختلاف هو أن السمت${\displaystyle \alpha }$يتم الحفاظ على خط الطول في عملية رسم الخرائط، بينما يتم الحفاظ على خط الطول${\displaystyle \lambda }$الخرائط إلى خط طول "كروي"${\displaystyle \omega }$. القطع الناقص المكافئ المستخدم في حسابات المسافة له أنصاف محاور.${\displaystyle b{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\alpha _{0}}}}$و${\displaystyle b}$.)

تتمثل "المسألة العكسية" في تحديد${\displaystyle s_{12}}$،${\displaystyle \alpha _{1}}$، و${\displaystyle \alpha _{2}}$، بالنظر إلى مواقف${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم حل هذه المسألة عن طريق الحساب${\displaystyle \beta _{1}}$و${\displaystyle \beta _{2}}$وحل الدائرة العظمى بين${\displaystyle (\beta _{1},\lambda _{1})}$و${\displaystyle (\beta _{2},\lambda _{2})}$.

تمت إعادة تسمية السمت الكروي على النحو التالي:${\displaystyle \gamma }$(من${\displaystyle \alpha }$). هكذا${\displaystyle \gamma _{0}}$،${\displaystyle \gamma _{1}}$، و${\displaystyle \gamma _{2}}$والسمت الكروي عند خط الاستواء وعند${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$. سمت نهايتي القطع الناقص الكبير،${\displaystyle \alpha _{1}}$و${\displaystyle \alpha _{2}}$، يتم حسابها من${\displaystyle \gamma _{1}}$و${\displaystyle \gamma _{2}}$.

يمكن إيجاد أنصاف محاور القطع الناقص الكبير باستخدام قيمة${\displaystyle \gamma _{0}}$.

كما يتم تحديد أطوال الأقواس كجزء من حل مسألة الدائرة العظمى،${\displaystyle \sigma _{01}}$و${\displaystyle \sigma _{02}}$، مقاسة من نقطة عبور خط الاستواء إلى${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$المسافة${\displaystyle s_{12}}$يُحسب طول قوس خط الزوال بدلالة خط العرض البارامتري عن طريق حساب طول جزء من محيط القطع الناقص . عند تطبيق هذه الصيغة، استخدم أنصاف محاور القطع الناقص الكبير (بدلاً من أنصاف محاور خط الزوال) واستبدلها.${\displaystyle \sigma _{01}}$و${\displaystyle \sigma _{02}}$ل${\displaystyle \beta }$.

حل "المسألة المباشرة"، وتحديد موقع${\displaystyle B}$منح${\displaystyle A}$،${\displaystyle \alpha _{1}}$، و${\displaystyle s_{12}}$ويمكن إيجادها بطريقة مماثلة (يتطلب ذلك، بالإضافة إلى ذلك، صيغة المسافة العكسية بين خطوط الطول ). وهذا يُمكّن أيضًا من إيجاد نقاط وسيطة (مثل سلسلة من النقاط الوسيطة المتساوية التباعد) في حل المسألة العكسية.

• مسارات تقسيم الأرض
• الملاحة على الدائرة العظمى
• الخطوط الجيوديسية على سطح بيضاوي
• قوس خط الزوال
• خط الرومب

• تطبيق برنامج Matlab لحلول المسائل المباشرة والمعكوسة للقطع الناقص الكبير.