خط الرومب

في الملاحة ، يُعرف خط الرومب ( أو اللوكسودروم ) بأنه قوس يعبر جميع خطوط الطول بزاوية واحدة . وهو مسار ذو سمت ثابت بالنسبة للشمال الحقيقي ، ويمكن توجيهه بالحفاظ على مسار ذي اتجاه ثابت . عندما لا يكون الانحراف عاملاً مؤثراً ، فإن التتبع الدقيق لمسار خط الرومب لا يعتمد على السرعة .

في الملاحة العملية، يُفرَّق بين خط الرومب الحقيقي وخط الرومب المغناطيسي ، حيث يُمثِّل الأخير مسارًا ذا اتجاه ثابت بالنسبة للشمال المغناطيسي . وبينما يستطيع الملاح بسهولة توجيه مساره على خط الرومب المغناطيسي باستخدام البوصلة المغناطيسية ، فإن هذا المسار لن يكون دقيقًا لأن الانحراف المغناطيسي - الزاوية بين الشمال الحقيقي والشمال المغناطيسي - يختلف عبر سطح الأرض.

لاتباع خط الرومب الصحيح باستخدام البوصلة المغناطيسية، يجب على الملاح تعديل الاتجاه المغناطيسي باستمرار لتصحيح تغير الانحراف المغناطيسي. كان هذا تحديًا كبيرًا خلال عصر السفن الشراعية ، إذ لم يكن بالإمكان تحديد الانحراف المغناطيسي الصحيح إلا إذا كان خط طول السفينة معروفًا بدقة، وهي المشكلة الأساسية التي لم تُحل في الملاحة قبل العصر الحديث.

باستخدام السدس ، وتحت سماء صافية ليلاً، يُمكن التوجيه بالنسبة لنجم قطب سماوي مرئي . لا تُعدّ الأقطاب المغناطيسية ثابتة الموقع. في نصف الكرة الشمالي، كان نجم القطب الشمالي (بولاريس) بمثابة مؤشر دقيق للشمال الحقيقي في معظم التاريخ الحديث. أما في نصف الكرة الجنوبي، فلا يوجد نجم مماثل، ولذا اعتمد الملاحون على أساليب أكثر تعقيدًا، مثل استنتاج موقع القطب السماوي الجنوبي بالرجوع إلى كوكبة الصليب الجنوبي ( كروكس ).

أصبح توجيه خط الرومب الحقيقي باستخدام البوصلة وحدها أمراً عملياً مع اختراع البوصلة الجيروسكوبية الحديثة ، وهي أداة تحدد الشمال الحقيقي ليس عن طريق المغناطيسية، ولكن عن طريق الرجوع إلى متجه داخلي ثابت لعزمها الزاوي .

تمت مناقشة تأثير اتباع مسار خط الرومب على سطح الكرة الأرضية لأول مرة من قبل عالم الرياضيات البرتغالي بيدرو نونيس في عام 1537، في كتابه "رسالة في الدفاع عن الخريطة البحرية" ، مع مزيد من التطوير الرياضي من قبل توماس هاريوت في تسعينيات القرن السادس عشر.

يمكن التمييز بين خط الرومب والدائرة العظمى ، وهي أقصر مسار بين نقطتين على سطح الكرة. على الدائرة العظمى، لا يبقى اتجاه نقطة الوصول ثابتًا. فلو أراد شخص ما قيادة سيارة على طول دائرة عظمى، لكان سيُبقي عجلة القيادة ثابتة، أما لاتباع خط الرومب، فسيتعين عليه تدوير العجلة، مع زيادة حدة التدوير كلما اقترب من القطبين. بعبارة أخرى، الدائرة العظمى "مستقيمة" محليًا بانحناء جيوديسي معدوم ، بينما خط الرومب له انحناء جيوديسي غير معدوم.

تُشكّل خطوط الطول ودوائر العرض حالات خاصة من خط الرومب، حيث تكون زوايا تقاطعهما 0° و90° على التوالي. ويتطابق مسار خط الرومب مع دائرة عظمى عند المرور من الشمال إلى الجنوب، كما هو الحال عند المرور من الشرق إلى الغرب على طول خط الاستواء .

في خريطة إسقاط مركاتور ، يكون أي خط رومب خطًا مستقيمًا؛ ويمكن رسم خط الرومب على هذه الخريطة بين أي نقطتين على سطح الأرض دون أن يتجاوز حافة الخريطة. ولكن يمكن أن يمتد إلى ما وراء حافة جانبية للخريطة، حيث يستمر من الحافة المقابلة بنفس الميل وخط العرض اللذين انطلق منهما (بافتراض أن الخريطة تغطي 360 درجة طولية بالضبط).

خطوط الرومب التي تقطع خطوط الطول بزوايا مائلة هي منحنيات لوكسودرومية حلزونية تتجه نحو القطبين. ^{[ 1 ]} في إسقاط مركاتور، يقع القطب الشمالي والقطب الجنوبي عند اللانهاية، ولذلك لا يظهران أبدًا. مع ذلك، فإن اللوكسودروم الكامل على خريطة ذات ارتفاع لانهائي يتكون من عدد لا نهائي من القطع المستقيمة بين الحافتين. في خريطة الإسقاط المجسم ، يكون اللوكسودروم حلزونًا متساوي الزوايا ، مركزه القطب الشمالي أو الجنوبي.

تتخذ جميع خطوط اللوكسودروم شكلاً حلزونياً من أحد القطبين إلى الآخر. بالقرب من القطبين، تقترب هذه الخطوط من كونها حلزونات لوغاريتمية (وهي كذلك تماماً في الإسقاط المجسم ، انظر أدناه)، لذا فهي تلتف حول كل قطب عدداً لا نهائياً من المرات، لكنها تصل إلى القطب في مسافة محدودة. طول خط اللوكسودروم من القطب إلى القطب (بافتراض كرة مثالية ) هو طول خط الزوال مقسوماً على جيب تمام الاتجاه بعيداً عن الشمال الحقيقي. لا تُعرَّف خطوط اللوكسودروم عند القطبين.

• ثلاث صور لمدرج قطارات يمتد من القطب إلى القطب
• 
• 
• 

كلمة "لوكسودروم" مشتقة من اليونانية القديمة λοξός ( لوكسوس ) وتعني "مائل"، بالإضافة إلى δρόμος (دروموس ) وتعني "جري" (من δραμεῖν ( درامين ) وتعني "يجري"). أما كلمة "رومب " فقد تكون مشتقة من الإسبانية أو البرتغالية " رومبو/رومو " (مسار أو اتجاه)، ومن اليونانية ῥόμβος (رومبوس) ، ^{[ 2 ]} من "ريمبين" .

يصف إصدار عام 1878 من موسوعة غلوب للمعلومات العالمية خط اللوكسودروم على النحو التالي: ^{[ 3 ]}

الخط اللوزودرومي هو منحنى يقطع جميع عناصر نظام خطوط الانحناء لسطح معين بنفس الزاوية. ترسم السفينة التي تبحر باتجاه نفس النقطة على البوصلة خطًا كهذا يقطع جميع خطوط الطول بنفس الزاوية. في إسقاط مركاتور (انظر هناك)، تكون الخطوط اللوزودرومية مستقيمة بوضوح. ^{[ 3 ]}

قد ينشأ سوء فهم لأن مصطلح "rhumb" لم يكن له معنى دقيق عند استخدامه. فقد كان ينطبق على خطوط بوصلة الرياح كما ينطبق على خطوط اللوكسودروم، لأن المصطلح كان يُستخدم "محليًا" فقط، ويعني ما يفعله البحار للإبحار باتجاه ثابت ، بكل ما ينطوي عليه ذلك من عدم دقة. لذلك، كان مصطلح "rhumb" ينطبق على الخطوط المستقيمة على خرائط بورتولان عندما كانت هذه الخرائط قيد الاستخدام، كما كان ينطبق دائمًا على الخطوط المستقيمة على خرائط ميركاتور. بالنسبة للمسافات القصيرة، لا تختلف خطوط "rhumb" على خرائط بورتولان اختلافًا جوهريًا عن خطوط "rhumb" على خرائط ميركاتور، ولكن في الوقت الحاضر، أصبح مصطلح "rhumb" مرادفًا لمصطلح "loxodrome" الدقيق رياضيًا، لأنه أصبح كذلك بأثر رجعي. كما ذكر ليو باجرو: ^{[ 4 ]}

يُستخدم مصطلح "خط الرومب" بشكل خاطئ لوصف الخرائط البحرية لتلك الفترة، إذ أن خط الرومب لا يُعطي مسارًا دقيقًا إلا عند رسم الخريطة على إسقاط مناسب. وقد كشفت الدراسات الكارتومترية أنه لم يُستخدم أي إسقاط في الخرائط المبكرة، ولذلك نحتفظ باسم "بورتولان".

بالنسبة لكرة نصف قطرها 1، يمكن استخدام الزاوية السمتية λ، والزاوية القطبية −π/2 ≤ φ ≤ π/ 2 ( المعرفة هنا لتتوافق مع خط العرض ) ، ومتجهات الوحدة الديكارتية i و j و k لكتابة متجه نصف القطر r على النحو التالي :

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

يمكن كتابة متجهات الوحدة المتعامدة في الاتجاهين السمتي والقطبي للكرة على النحو التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}}$

والتي تحتوي على الضرب القياسي

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

λ̂ لـ φ ثابتةيرسم خط عرض، بينما φ̂ لـ λ ثابتةيرسم خط طول، ومعًا يولدان مستوى مماسًا للكرة.

متجه الوحدة

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

له زاوية ثابتة β مع متجه الوحدة φ̂ لأي λ و φ ، لأن حاصل ضربهما القياسي هو

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.}$

يُعرَّف اللوكسودروم بأنه منحنى على الكرة الأرضية له زاوية ثابتة β مع جميع خطوط الطول، وبالتالي يجب أن يكون موازيًا لمتجه الوحدة β̂ . ونتيجة لذلك، فإن طولًا تفاضليًا ds على طول اللوكسودروم سينتج عنه إزاحة تفاضلية

${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {r} &={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\,ds\\[8px]{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &={\bigl (}(\sin {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\bigr )}ds\\[8px](\cos {\varphi })\,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac {\cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operatorname {gd} ^{-1}\varphi -\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\operatorname {gd} {\big (}(\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}{\big )}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {gd} }$و${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}}$هما دالة غودرمان ومعكوسها،${\displaystyle \operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),}$${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi ),}$و${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$هو معكوس الجيب الزائدي .

مع هذه العلاقة بين λ و φ ، يصبح متجه نصف القطر دالة بارامترية لمتغير واحد، يرسم مسار نصف القطر على الكرة:

${\displaystyle \mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,}$

أين

${\displaystyle \psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi }$

هو خط العرض المتساوي القياس . ^{[ 5 ]}

في خط الرومب، عندما يقترب خط العرض من القطبين، φ → ± π / 2 ، sin φ → ±1 ، يصبح خط العرض المتساوي القياس arsinh(tan φ ) → ± ∞ ، ويزداد خط الطول λ بلا حدود، يدور حول الكرة بسرعة فائقة في مسار حلزوني نحو القطب، بينما يقترب من طول قوس إجمالي محدود Δ s يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

الاتصال بإسقاط مركاتور

لنفترض أن λ هو خط طول نقطة على الكرة، و φ هو خط عرضها. عندئذٍ، إذا عرّفنا إحداثيات خريطة إسقاط مركاتور على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}}$

سيكون مسار اللوكسودروم ذو الاتجاه الثابت β من الشمال الحقيقي خطًا مستقيمًا، وذلك (باستخدام التعبير الوارد في القسم السابق)

${\displaystyle y=mx}$

بمنحدر

${\displaystyle m=\cot \beta \,.}$

يمكن إيجاد خطوط اللوكسودروم بين نقطتين معطيتين بيانيًا على خريطة ميركاتور، أو بحل نظام غير خطي من معادلتين في المجهولين m = cot β و λ _0. يوجد عدد لا نهائي من الحلول؛ وأقصرها هو الذي يغطي فرق خط الطول الفعلي، أي لا يقوم بدورات إضافية، ولا يسير في الاتجاه المعاكس.

المسافة بين نقطتين Δ s ، المقاسة على طول خط لوكسودروم، هي ببساطة القيمة المطلقة لقاطع الاتجاه (السمت) مضروبًا في المسافة بين الشمال والجنوب (باستثناء دوائر العرض التي تصبح فيها المسافة لا نهائية):

${\displaystyle \Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}}$

حيث R هو أحد أنصاف أقطار الأرض المتوسطة .

يرتبط استخدامها في الملاحة ارتباطًا مباشرًا بأسلوب أو إسقاط خرائط الملاحة. يظهر خط الرومب كخط مستقيم على خريطة إسقاط مركاتور . ^{[ 1 ]}

يُشتق الاسم من الفرنسية القديمة أو الإسبانية على التوالي: "rumb" أو "rumbo"، وهو خط على الخريطة يتقاطع مع جميع خطوط الطول بنفس الزاوية. ^{[ 1 ]} على سطح مستوٍ، يُعد هذا الخط أقصر مسافة بين نقطتين. فوق سطح الأرض عند خطوط العرض المنخفضة أو لمسافات قصيرة، يُمكن استخدامه لرسم مسار مركبة أو طائرة أو سفينة. ^{[ 1 ]} على مسافات أطول و/أو عند خطوط العرض العالية، يكون مسار الدائرة العظمى أقصر بكثير من خط الرومب بين النقطتين نفسيهما. ومع ذلك، فإن صعوبة تغيير الاتجاهات باستمرار أثناء السير على مسار الدائرة العظمى تجعل الملاحة بخط الرومب جذابة في بعض الحالات. ^{[ 1 ]}

يمكن توضيح هذه النقطة بمثال مسار يمتد من الشرق إلى الغرب على طول خط طول 90 درجة على خط الاستواء ، حيث تتساوى مسافة الدائرة العظمى مع مسافة خط الاتجاه، أي 10,000 كيلومتر (5,400 ميل بحري) . عند خط عرض 20 درجة شمالاً، تبلغ مسافة الدائرة العظمى 9,254 كيلومترًا (4,997 ميلًا بحريًا)، بينما تبلغ مسافة خط الاتجاه 9,397 كيلومترًا (5,074 ميلًا بحريًا) ، أي بزيادة قدرها 1.5% تقريبًا. أما عند خط عرض 60 درجة شمالاً، فتبلغ مسافة الدائرة العظمى 4,602 كيلومترًا (2,485 ميلًا بحريًا)، بينما تبلغ مسافة خط الاتجاه 5,000 كيلومتر (2,700 ميلًا بحريًا) ، أي بفارق 8.5%. وثمة حالة أكثر تطرفًا وهي المسار الجوي بين مدينة نيويورك وهونغ كونغ ، حيث يبلغ طول مسار خط الاتجاه 18,000 كيلومتر (9,700 ميلًا بحريًا) . يبلغ طول مسار الدائرة العظمى فوق القطب الشمالي 13000 كم (7000 ميل بحري) ، أو 5 + 1/2 ساعة أقل من وقت الطيران بسرعة الطيران النموذجية .            

تحتوي بعض الخرائط القديمة المرسومة بإسقاط مركاتور على شبكات تتكون من خطوط العرض والطول ، ولكنها تُظهر أيضًا خطوطًا اتجاهية (خطوط الرومب) موجهة مباشرة نحو الشمال، أو بزاوية قائمة مع الشمال، أو بزاوية معينة من الشمال تُشكل جزءًا نسبيًا من زاوية قائمة. كانت هذه الخطوط الاتجاهية تُرسَم بحيث تتقارب عند نقاط محددة على الخريطة: فالخطوط المتجهة في جميع الاتجاهات تتقارب عند كل نقطة من هذه النقاط. انظر إلى بوصلة الاتجاهات . كانت هذه الخرائط بالضرورة مرسومة بإسقاط مركاتور، ولذلك لم تكن جميع الخرائط القديمة قادرة على إظهار علامات خطوط الرومب.

تُسمى الخطوط الشعاعية على بوصلة الاتجاهات أيضًا بالخطوط الشعاعية . وقد استُخدم تعبير "الإبحار على خط شعاعي" في القرنين السادس عشر والتاسع عشر للإشارة إلى اتجاه بوصلة معين. ^{[ 1 ]}

استخدم الملاحون الأوائل، قبل اختراع الكرونومتر البحري، خطوط الرومب في رحلاتهم البحرية الطويلة، إذ كان بالإمكان تحديد خط عرض السفينة بدقة من خلال رصد الشمس أو النجوم، بينما لم تكن هناك طريقة دقيقة لتحديد خط الطول. فكانت السفينة تبحر شمالًا أو جنوبًا حتى تصل إلى خط عرض وجهتها، ثم تبحر شرقًا أو غربًا على طول خط الرومب (وهو في الواقع خط موازٍ ، يُعد حالة خاصة من خط الرومب)، محافظةً على خط عرض ثابت ومسجلةً تقديرات منتظمة للمسافة المقطوعة حتى ظهور اليابسة. ^{[ 6 ]}

• دائرة عظيمة
• الخطوط الجيوديسية على سطح بيضاوي
• القطع الناقص العظيم
• خط متساوي السمت
• شبكة الرومبلاين
• حلزون سيفيرت
• دائرة صغيرة

ملاحظة: تتضمن هذه المقالة نصًا من طبعة عام 1878 من موسوعة غلوب للمعلومات العالمية ، وهو عمل يقع في الملكية العامة.

• العناوين الثابتة وخطوط الرومب في صفحات الرياضيات.
• RhumbSolve(1) ، أداة مساعدة لحسابات خط رومب الإهليلجي (أحد مكونات GeographicLib ).
• نسخة إلكترونية من RhumbSolve .
• خوارزميات الملاحة مؤرشفة في 16 أكتوبر 2018 في Wayback Machine ورقة بحثية: The Sailings.
• برنامج Chart Work المجاني - خوارزميات الملاحة : خط الرومب، الدائرة العظمى، الإبحار المركب، الأجزاء الزوالية. خطوط تحديد المواقع. الملاحة - التيارات وتحديد المواقع الساحلية.
• ماث وورلد لوكسودروم.