الملاحة على الدائرة العظمى

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 44 صور
الموسوعة الحرة
مسار خط الاستقامة مرسوم على الكرة الأرضية

الملاحة على الدائرة العظمى أو الملاحة الأرثودرومية (المرتبطة بالمسار الأرثودرومي ؛ من اليونانية القديمة ορθός ( أورثوس ) بمعنى " زاوية قائمة " و δρόμος ( دروموس ) بمعنى " مسار " ) هي ممارسة توجيه سفينة ( أو طائرة ) على طول دائرة عظمى . توفر هذه المسارات أقصر مسافة بين نقطتين على سطح الأرض. [ 1 ]  

دورة

الشكل 1. مسار الدائرة الكبرى بين ( φ 1 , lect 1 ) و ( φ 2 , lect 2 ).  

يمكن إيجاد مسار الدائرة العظمى باستخدام حساب المثلثات الكروية ؛ وهذا هو الشكل الكروي لمسألة الجيوديسيا العكسية . إذا بدأ ملاح من النقطة P1 = ( φ1 , λ1 ) ويخطط للسفر على طول الدائرة العظمى إلى النقطة P2 = ( φ2 , λ2 ) (انظر الشكل 1، حيث φ هو خط العرض، موجب باتجاه الشمال، و λ هو خط الطول، موجب باتجاه الشرق) ، فإن المسارين الابتدائي والنهائي α1 و α2 يُحددان بصيغ حل المثلث الكروي .    

لون برونزي⁡α1=كوس⁡ϕ2الخطيئة⁡λ12كوس⁡ϕ1الخطيئة⁡ϕ2-الخطيئة⁡ϕ1كوس⁡ϕ2كوس⁡λ12،لون برونزي⁡α2=كوس⁡ϕ1الخطيئة⁡λ12-كوس⁡ϕ2الخطيئة⁡ϕ1+الخطيئة⁡ϕ2كوس⁡ϕ1كوس⁡λ12،{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _ {2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end {محاذاة}}}

حيث λ₁₂ = λ₂ − λ₁ [ ملاحظة 1 ] ، ويتم تحديد أرباع α₁ و α₂ من خلال إشارات البسط والمقام في صيغ الظل (على سبيل المثال، باستخدام دالة atan₂ ). وتُعطى الزاوية المركزية بين النقطتين، σ₁₂ ، بالعلاقة التالية :    

لون برونزي⁡σ12=(كوس⁡ϕ1الخطيئة⁡ϕ2-الخطيئة⁡ϕ1كوس⁡ϕ2كوس⁡λ12)2+(كوس⁡ϕ2الخطيئة⁡λ12)2الخطيئة⁡ϕ1الخطيئة⁡ϕ2+كوس⁡ϕ1كوس⁡ϕ2كوس⁡λ12.{\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _ {12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}[ ملاحظة 2 ] [ ملاحظة 3 ]

(يحتوي بسط هذه الصيغة على الكميات المستخدمة لتحديد tan α 1 ). ستكون المسافة على طول الدائرة العظمى s 12 = R σ 12 ، حيث R هو نصف قطر الأرض المفترض، و σ 12 مُقاس بالراديان . باستخدام متوسط ​​نصف قطر الأرض ، R = R 1 ≈ 6371 كم (3959 ميلًا)، نحصل على نتائج للمسافة s 12 ضمن نطاق 1% من طول المسار الجيوديسي للإهليلج WGS84 ؛ راجع قسم "المسارات الجيوديسية على الإهليلج" لمزيد من التفاصيل.         

العلاقة بنظام الإحداثيات الجيومركزية

زاوية موضع النقطة t عند النقطة s هي الزاوية التي يتقاطع عندها الخط الأخضر والدائرة العظمى المتقطعة عند s . يتم تمييز اتجاهات الوحدة uE و uN ومحور الدوران ω بواسطة الأسهم .

يُمكن إجراء تقييم مُفصّل للاتجاه الأمثل إذا تم تقريب سطح البحر بسطح كروي. تُحدد الحسابات القياسية موقع السفينة عند خط عرض جيوديسي φs وخط طول جيوديسي λs ، حيث تُعتبر φ موجبة إذا كانت شمال خط الاستواء، وتُعتبر λ موجبة إذا كانت شرق غرينتش . في نظام الإحداثيات الجيومركزي المُتمركز في مركز الكرة، تكون المُركبات الديكارتية هي

s=R(كوس⁡φsكوس⁡λsكوس⁡φsالخطيئة⁡λsالخطيئة⁡φs){\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}

والموقع المستهدف هو

ت=R(كوس⁡φتكوس⁡λتكوس⁡φتالخطيئة⁡λتالخطيئة⁡φت).{\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}

يقع القطب الشمالي عند

شمال=R(001).{\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}

المسافة الدنيا d هي المسافة على طول دائرة عظمى تمر بالنقطتين s و t . ويتم حسابها في مستوى يحتوي على مركز الكرة والدائرة العظمى .

دs،ت=Rθs،ت{\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}

حيث θ هي المسافة الزاوية بين نقطتين عند النظر إليهما من مركز الكرة، مقاسة بالراديان . ويتم حساب جيب تمام الزاوية عن طريق الضرب القياسي للمتجهين.

s⋅ت=R2كوس⁡θs،ت=R2(الخطيئة⁡φsالخطيئة⁡φت+كوس⁡φsكوس⁡φتكوس⁡(λت-λs)){\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}

إذا اتجهت السفينة مباشرة نحو القطب الشمالي، فإن مسافة السفر هي

دs،شمال=Rθs،شمال=R(π/2-φs){\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}

إذا انطلقت سفينة من النقطة t وأبحرت مباشرة إلى القطب الشمالي، فإن مسافة الرحلة هي

دت،شمال=Rθت،ن=R(π/2-φت){\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}

الاشتقاق

تعطي صيغة جيب التمام في حساب المثلثات الكروية [ 4 ] قيمة الزاوية π بين الدائرتين العظيمتين المارتين بالنقطة s واللتين تشيران إلى الشمال من جهة وإلى النقطة t من جهة أخرى.

كوس⁡θت،شمال=كوس⁡θs،تكوس⁡θs،شمال+الخطيئة⁡θs،تالخطيئة⁡θs،شمالكوس⁡ص.{\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}
الخطيئة⁡φت=كوس⁡θs،تالخطيئة⁡φs+الخطيئة⁡θs،تكوس⁡φsكوس⁡ص.{\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}

ينتج عن صيغة الجيب ما يلي:

الخطيئة⁡صالخطيئة⁡θت،شمال=الخطيئة⁡(λت-λs)الخطيئة⁡θs،ت.{\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}

بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة sin θ s,t وإدخالها في الصيغة السابقة، نحصل على تعبير لظل زاوية الموضع .

الخطيئة⁡φت=كوس⁡θs،تالخطيئة⁡φs+الخطيئة⁡(λت-λs)الخطيئة⁡صكوس⁡φتكوس⁡φsكوس⁡ص؛{\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}
لون برونزي⁡ص=الخطيئة⁡(λت-λs)كوس⁡φتكوس⁡φsالخطيئة⁡φت-كوس⁡θs،تالخطيئة⁡φs.{\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}

مزيد من التفاصيل

لأن الاشتقاق الموجز يعطي زاوية بين 0 و π لا يكشف عن الإشارة (غرب أو شرق الشمال  ؟)، فإن الاشتقاق الأكثر وضوحًا مرغوب فيه والذي ينتج بشكل منفصل جيب وجيب تمام p بحيث يسمح استخدام الفرع الصحيح للظل العكسي بإنتاج زاوية في النطاق الكامل −π ≤ p ≤ π .

تبدأ العملية الحسابية بإنشاء دائرة عظمى بين النقطتين s و t . تقع هذه الدائرة في المستوى الذي يحتوي على مركز الكرة، والنقطتين s و t ، ويتم إنشاؤها بتدوير النقطة s بزاوية θ حول محور ω . هذا المحور عمودي على مستوى الدائرة العظمى، ويتم حسابه باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي المتجهي المعياري للموضعين.

ω=1R2الخطيئة⁡θs،تs×ت=1الخطيئة⁡θs،ت(كوس⁡φsالخطيئة⁡λsالخطيئة⁡φت-الخطيئة⁡φsكوس⁡φتالخطيئة⁡λتالخطيئة⁡φsكوس⁡λتكوس⁡φت-كوس⁡φsالخطيئة⁡φتكوس⁡λsكوس⁡φsكوس⁡φتالخطيئة⁡(λت-λs)).{\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}

يُعطى نظام الإحداثيات المائلة اليمينية، الذي يقع مركزه في مركز الكرة، بالمحاور الثلاثة التالية: المحور s ، والمحور

s⊥=ω×1Rs=1الخطيئة⁡θs،ت(كوس⁡φتكوس⁡λت(الخطيئة2⁡φs+كوس2⁡φsالخطيئة2⁡λs)-كوس⁡λs(الخطيئة⁡φsكوس⁡φsالخطيئة⁡φت+كوس2⁡φsالخطيئة⁡λsكوس⁡φتالخطيئة⁡λت)كوس⁡φتالخطيئة⁡λت(الخطيئة2⁡φs+كوس2⁡φsكوس2⁡λs)-الخطيئة⁡λs(الخطيئة⁡φsكوس⁡φsالخطيئة⁡φت+كوس2⁡φsكوس⁡λsكوس⁡φتكوس⁡λت)كوس⁡φs[كوس⁡φsالخطيئة⁡φت-الخطيئة⁡φsكوس⁡φتكوس⁡(λت-λs)]){\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}

والمحور ω . يُعطى الموضع على طول الدائرة العظمى بالزاوية θ :

s(θ)=كوس⁡θs+الخطيئة⁡θs⊥،0≤θ≤2π.{\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}

يتم تحديد اتجاه البوصلة عن طريق حساب تدرج المتجه بالنسبة إلى θ عند θ=0 .

∂∂θs|θ=0=s⊥.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}

تُعطى الزاوية p بتقسيم هذا الاتجاه على طول اتجاهين متعامدين في المستوى المماس للكرة عند النقطة s . ويُعطى هذان الاتجاهان بالمشتقات الجزئية لـ s بالنسبة إلى φ وبالنسبة إلى λ ، مع معايرة الطول إلى وحدة واحدة.

uشمال=(-الخطيئة⁡φsكوس⁡λs-الخطيئة⁡φsالخطيئة⁡λsكوس⁡φs)؛{\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}
uهـ=(-الخطيئة⁡λsكوس⁡λs0)؛{\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}
uشمال⋅s=uهـ⋅uشمال=0{\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}

يشير u N إلى الشمال ويشير u E إلى الشرق عند الموضع s . زاوية الموضع p تُسقط s عمودياً على هذين الاتجاهين.

s⊥=كوس⁡صuشمال+الخطيئة⁡صuهـ{\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}،

حيث تشير الإشارة الموجبة إلى أن زوايا الموضع الموجبة تُعرَّف بأنها الشمال فوق الشرق. تُحسب قيم جيب وجيب تمام الزاوية p بضرب طرفي هذه المعادلة بمتجهي الوحدة.

كوس⁡ص=s⊥⋅uشمال=1الخطيئة⁡θs،ت[كوس⁡φsالخطيئة⁡φت-الخطيئة⁡φsكوس⁡φتكوس⁡(λت-λs)]؛{\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}
الخطيئة⁡ص=s⊥⋅uهـ=1الخطيئة⁡θs،ت[كوس⁡φتالخطيئة⁡(λت-λs)].{\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}

بدلاً من إدخال التعبير المعقد لـ s ⊥ ، يمكن للتقييم أن يستخدم حقيقة أن الضرب الثلاثي ثابت تحت إزاحة دائرية للوسائط الثلاثة:

كوس⁡ص=(ω×1Rs)⋅uشمال=ω⋅(1Rs×uشمال).{\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}

إذا تم استخدام دالة الظل العكسي الثاني (atan2) لحساب القيمة، فيمكن اختزال كلا التعبيرين بالقسمة على cos φ t والضرب في sin θ s,t ، لأن هذه القيم موجبة دائمًا وهذه العملية لا تغير الإشارات؛ وبالتالي فعليًا

لون برونزي⁡ص=الخطيئة⁡صكوس⁡ص=الخطيئة⁡(λت-λs)كوس⁡φsلون برونزي⁡φت-الخطيئة⁡φsكوس⁡(λت-λs).{\displaystyle \tan p={\frac {\sin p}{\cos p}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}

إيجاد نقاط الطريق

لإيجاد نقاط المسار ، أي مواقع النقاط المختارة على الدائرة العظمى بين P1 و P2 ، نقوم أولاً بتمديد الدائرة العظمى إلى عقدتها A ، وهي النقطة التي تعبر عندها الدائرة العظمى خط الاستواء باتجاه الشمال: لنفترض أن خط طول هذه النقطة هو λ0 (انظر الشكل 1) . ويُعطى السمت عند هذه النقطة، α0 ، بالعلاقة التالية: 

لون برونزي⁡α0=الخطيئة⁡α1كوس⁡ϕ1كوس2⁡α1+الخطيئة2⁡α1الخطيئة2⁡ϕ1.{\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}[ ملاحظة 4 ]

لنفترض أن المسافات الزاوية على طول الدائرة العظمى من A إلى P1 و P2 هي σ01 و σ02 على التوالي . عندئذٍ ، باستخدام قواعد نابيير ، لدينا

لون برونزي⁡σ01=لون برونزي⁡ϕ1كوس⁡α1{\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }(إذا كان φ 1  =  0 و α 1  = 1 ⁄ 2 π ، فاستخدم σ 01 = 0).   

هذا يعطي σ 01 , حيث σ 02  = σ 01 + σ 12 .   

يتم إيجاد خط الطول عند العقدة من

لون برونزي⁡λ01=الخطيئة⁡α0الخطيئة⁡σ01كوس⁡σ01،λ0=λ1-λ01.{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}
الشكل 2. مسار الدائرة العظمى بين عقدة (نقطة عبور خط الاستواء) ونقطة عشوائية ( φ ، λ ).

أخيرًا، احسب الموضع والسمت عند نقطة عشوائية، P (انظر الشكل 2)، باستخدام الصيغة الكروية لمسألة الجيوديسية المباشرة . [ ملاحظة 5 ] تعطي قواعد نابيير

.)لون برونزي⁡ϕ=كوس⁡α0الخطيئة⁡σكوس2⁡σ+الخطيئة2⁡α0الخطيئة2⁡σ،{\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}[ ملاحظة 6 ]
لون برونزي⁡(λ-λ0)=الخطيئة⁡α0الخطيئة⁡σكوس⁡σ،لون برونزي⁡α=لون برونزي⁡α0كوس⁡σ.{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}

يُستخدم التابع atan2 لتحديد σ₀₁ و λ و α . على سبيل المثال ، لإيجاد نقطة منتصف المسار، نعوض σ  = ½ ( σ₀₁ + σ₀₂ ) ؛ أو لإيجاد النقطة التي تبعد مسافة d عن نقطة البداية، نأخذ σ = σ₀₁ + d / R. وبالمثل، تُوجد نقطة الرأس ، وهي النقطة على الدائرة العظمى ذات أكبر خط عرض، بالتعويض عن σ = ½ π . قد يكون من الملائم تمثيل المسار بدلالة خط الطول باستخدام         

لون برونزي⁡ϕ=سرير أطفال⁡α0الخطيئة⁡(λ-λ0).{\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}[ ملاحظة 7 ]

يمكن إيجاد خطوط العرض على فترات منتظمة من خطوط الطول، ونقل المواقع الناتجة إلى خريطة ميركاتور، مما يسمح بتقريب الدائرة العظمى بسلسلة من خطوط الرومب . ويعطي المسار المحدد بهذه الطريقة القطع الناقص العظيم الذي يصل بين نقطتي النهاية، بشرط توفر الإحداثيات.(ϕ،λ){\displaystyle (\phi ,\lambda )} يتم تفسيرها على أنها إحداثيات جغرافية على سطح الإهليلج.

تنطبق هذه الصيغ على نموذج كروي للأرض. كما تُستخدم في حساب الدائرة العظمى على الكرة المساعدة ، وهي أداة لإيجاد أقصر مسار، أو المسار الجيوديسي ، على سطح إهليلجي دوراني؛ انظر المقال الخاص بالمسارات الجيوديسية على سطح إهليلجي .

مثال

احسب مسار الدائرة العظمى من فالبارايسو ، φ 1  = − 33°، λ 1 = − 71.6°، إلى شنغهاي ، φ 2 = 31.4°، λ 2 = 121.8°.       

تُعطي معادلات المسار والمسافة القيم التالية: λ 12  = − 166.6°، [ ملاحظة 8 ] α 1 = − 94.41°، α 2 = − 78.42°، و σ 12 = 168.56°. وبافتراض أن نصف قطر الأرض R = 6371 كم، فإن المسافة s 12 = 18743 كم.             

لحساب النقاط على طول المسار، أوجد أولًا α₀ = −56.74 °،  σ₀₁ = −96.76 ° ، σ₀₂ = 71.8 °، λ₀₁ = 98.07 ° ، و λ₀ = −169.67 °. ثم لحساب نقطة منتصف المسار (على سبيل المثال)، خذ σ = ½ ( σ₀₁ + σ₀₂ ) = −12.48 ° ، وحل المعادلة لإيجاد φ = −6.81 °، λ = −159.18 ° ، و α = −57.36 ° .                     

إذا تم حساب المسار الجيوديسي بدقة على سطح الإهليلج WGS84 ، [ 5 ] فإن النتائج هي: α1 = −94.82 ° ، α2 = −78.29 ° ، و s12 = 18752 كم . نقطة منتصف المسار الجيوديسي هي: φ = −7.07 °، λ = −159.31 °، α = −57.45 °.             

مخطط غنوموني

خريطة الأميرالية للمحيطين الهندي والجنوبي، لاستخدامها في رسم مسارات الدوائر العظمى

الخط المستقيم المرسوم على خريطة غنومونية هو جزء من دائرة عظمى. وعند نقله إلى خريطة ميركاتور ، يصبح منحنى. تُنقل المواقع على فترات طول مناسبة ، ويُرسم هذا المسار على خريطة ميركاتور لأغراض الملاحة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في المقالة المتعلقة بمسافات الدائرة العظمى ، يُستخدم الرمز Δλ = λ 12 و Δσ  = σ 12. هذا الرمز ضروري في هذه المقالة للتعامل مع الفروقات بين النقاط الأخرى،مثل λ 01 .   
  2. ↑ صيغة أبسط هي
    كوس⁡σ12=الخطيئة⁡ϕ1الخطيئة⁡ϕ2+كوس⁡ϕ1كوس⁡ϕ2كوس⁡λ12؛{\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}
    ومع ذلك، فإن هذا يكون أقل دقة من الناحية العددية إذا كانت قيمة σ 12 صغيرة.
  3. ↑ هذه المعادلات لـ α 1 و α 2 و σ 12 مناسبة للتطبيق على الآلات الحاسبة والحواسيب الحديثة. أما بالنسبة للحسابات اليدوية باستخدام اللوغاريتمات، فكانت تُستخدم عادةً تشبيهات ديلامبر [ 2 ] .
    كوس⁡12(α2+α1)الخطيئة⁡12σ12=الخطيئة⁡12(ϕ2-ϕ1)كوس⁡12λ12،الخطيئة⁡12(α2+α1)الخطيئة⁡12σ12=كوس⁡12(ϕ2+ϕ1)الخطيئة⁡12λ12،كوس⁡12(α2-α1)كوس⁡12σ12=كوس⁡12(ϕ2-ϕ1)كوس⁡12λ12،الخطيئة⁡12(α2-α1)كوس⁡12σ12=الخطيئة⁡12(ϕ2+ϕ1)الخطيئة⁡12λ12.{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}
    يشير مكاو [ 3 ] إلى هذه المعادلات بأنها "بصيغة لوغاريتمية"، ويعني بذلك أن جميع الحدود المثلثية تظهر كحاصل ضرب؛ مما يقلل من عدد عمليات البحث في الجداول المطلوبة. علاوة على ذلك، يُعدّ التكرار في هذه الصيغ بمثابة تحقق في الحسابات اليدوية. عند استخدام هذه المعادلات لتحديد المسار الأقصر على الدائرة العظمى، من الضروري التأكد من أن | λ 12 | ≤ π (وإلا سيتم إيجاد المسار الأطول).  
  4. ↑ صيغة أبسط هي
    الخطيئة⁡α0=الخطيئة⁡α1كوس⁡ϕ1؛{\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}
    ومع ذلك، فإن هذا أقل دقة α 0 ≈ ± 1 ⁄ 2 π .   
  5. ↑ يمكن أيضًا حل مسألة الجيوديسية المباشرة، وهي إيجاد موضع النقطة P 2 بمعلومية P 1 و α 1 و s 12 ، باستخدام صيغ حل المثلث الكروي ، كما يلي:
    σ12=s12/R،الخطيئة⁡ϕ2=الخطيئة⁡ϕ1كوس⁡σ12+كوس⁡ϕ1الخطيئة⁡σ12كوس⁡α1،أولون برونزي⁡ϕ2=الخطيئة⁡ϕ1كوس⁡σ12+كوس⁡ϕ1الخطيئة⁡σ12كوس⁡α1(كوس⁡ϕ1كوس⁡σ12-الخطيئة⁡ϕ1الخطيئة⁡σ12كوس⁡α1)2+(الخطيئة⁡σ12الخطيئة⁡α1)2،لون برونزي⁡λ12=الخطيئة⁡σ12الخطيئة⁡α1كوس⁡ϕ1كوس⁡σ12-الخطيئة⁡ϕ1الخطيئة⁡σ12كوس⁡α1،λ2=λ1+λ12،لون برونزي⁡α2=الخطيئة⁡α1كوس⁡σ12كوس⁡α1-لون برونزي⁡ϕ1الخطيئة⁡σ12.{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}
    يُعدّ حلّ نقاط المسار الوارد في النص الرئيسي أكثر عمومية من هذا الحلّ، إذ يسمح بإيجاد نقاط مسار عند خطوط طول مُحدّدة. إضافةً إلى ذلك، يلزم إيجاد حلّ σ (أي موضع العقدة) عند إيجاد الخطوط الجيوديسية على سطح إهليلجي باستخدام الكرة المساعدة.
  6. ↑ صيغة أبسط هي
    الخطيئة⁡ϕ=كوس⁡α0الخطيئة⁡σ؛{\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}
    لكن هذا يكون أقل دقة عندما تكون φ ≈ ± 1 ⁄ 2 π  
  7. ↑ يتم استخدام ما يلي:كوس⁡σ=كوس⁡ϕكوس⁡(λ-λ0){\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}
  8. يتم تقليص λ 12 إلى النطاق [ −180 °، 180°] عن طريق إضافة أو طرح 360° حسب الحاجة

مراجع

  1. ↑ آدم وينتريت؛ توماش نيومان (7 يونيو 2011). الأساليب والخوارزميات في الملاحة: الملاحة البحرية وسلامة النقل البحري . مطبعة سي آر سي . ص  139 وما بعدها. ISBN 978-0-415-69114-7.
  2. ↑ تود هنتر، آي. (1871). حساب المثلثات الكروية ( الطبعة الثالثة). ماكميلان. ص 26 .  
  3. ↑ مكاو، جي تي (1932). "خطوط طويلة على الأرض". مجلة مسح الإمبراطورية . 1 (6): 259-263 . doi : 10.1179/sre.1932.1.6.259 .
  4. ↑ أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران. (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 4.3.149". دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة المعاد طباعتها مع تصحيحات إضافية للطبعة العاشرة الأصلية مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ISBN   978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  5. ↑ كارني، سي إف إف (2013). "خوارزميات للجيوديسيا" . مجلة الجيوديسيا . 87 (1): 43-55 . arXiv : 1109.4448 . Bibcode : 2013JGeod..87...43K . doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .