خط العرض

في الجغرافيا ، خط العرض هو إحداثي يحدد الموضع الشمالي الجنوبي لنقطة على سطح الأرض أو أي جسم سماوي آخر. يُعطى خط العرض كزاوية تتراوح من -90 درجة عند القطب الجنوبي إلى 90 درجة عند القطب الشمالي، مع 0 درجة عند خط الاستواء . تمتد خطوط العرض الثابتة أو المتوازية من الشرق إلى الغرب كدوائر موازية لخط الاستواء. يتم استخدام خط العرض وخط الطول معًا كزوج إحداثي لتحديد موقع على سطح الأرض.

يشير مصطلح "خط العرض" في حد ذاته عادةً إلى خط العرض الجيوديسي كما هو محدد أدناه. باختصار، خط العرض الجيوديسي لنقطة ما هو الزاوية المتكونة بين المتجه العمودي (أو العمودي ) على السطح الإهليلجي من النقطة، ومستوى خط الاستواء .

يتم استخدام مستويين من التجريد في تعريفات خطوط العرض والطول. في الخطوة الأولى، يتم نمذجة السطح المادي بواسطة الجيود ، وهو سطح يقارب مستوى سطح البحر المتوسط ​​فوق المحيطات واستمراره تحت الكتل الأرضية. الخطوة الثانية هي تقريب الجيود من خلال سطح مرجعي أبسط رياضيًا. الخيار الأبسط للسطح المرجعي هو الكرة ، ولكن الجيود يتم نمذجته بدقة أكبر بواسطة قطع ناقص ذو دوران . يتم تفصيل تعريفات خطوط العرض والطول على مثل هذه الأسطح المرجعية في الأقسام التالية. تشكل خطوط العرض والطول الثابتة معًا شبكة على السطح المرجعي. خط عرض نقطة على السطح الفعلي هو خط عرض النقطة المقابلة على السطح المرجعي، ويكون المراسلات على طول العمودي على السطح المرجعي، والذي يمر عبر النقطة على السطح المادي. يشكل خط العرض والطول مع بعض مواصفات الارتفاع نظام إحداثيات جغرافية كما هو محدد في مواصفات معيار ISO 19111. ^[1]

نظرًا لوجود العديد من القطع الناقصية المرجعية المختلفة ، فإن خط العرض الدقيق لسمة على السطح ليس فريدًا: وهذا ما يؤكده معيار ISO الذي ينص على أنه "بدون تحديد كامل لنظام الإحداثيات المرجعية، تكون الإحداثيات (أي خطوط العرض والطول) غامضة في أفضل الأحوال ولا معنى لها في أسوأ الأحوال". وهذا أمر ذو أهمية كبيرة في التطبيقات الدقيقة، مثل نظام تحديد المواقع العالمي (GPS)، ولكن في الاستخدام الشائع، حيث لا تكون الدقة العالية مطلوبة، لا يتم عادةً ذكر القطع الناقص المرجعي.

في النصوص الإنجليزية، عادة ما يُشار إلى زاوية خط العرض، المحددة أدناه، بالحرف اليوناني الصغير phi ( ϕ أو φ ). وتُقاس بالدرجات والدقائق والثواني أو بالدرجات العشرية ، شمال أو جنوب خط الاستواء. ولأغراض الملاحة، تُعطى المواضع بالدرجات والدقائق العشرية. على سبيل المثال، تقع منارة نيدلز عند إحداثيات 50°39.734′ شمالاً 001°35.500′ غربًا. ^[2]

تتعلق هذه المقالة بأنظمة الإحداثيات الخاصة بالأرض: ويمكن تعديلها لتغطية القمر والكواكب والأجرام السماوية الأخرى ( خط العرض الكوكبي ).

لمحة تاريخية موجزة، انظر تاريخ خطوط العرض .

في الملاحة السماوية ، يتم تحديد خطوط العرض باستخدام طريقة ارتفاع خط الطول . يتطلب القياس الأكثر دقة لخطوط العرض فهم المجال الجاذبي للأرض، إما لإعداد أجهزة قياس الزوايا أو لتحديد مدارات أقمار GPS. دراسة شكل الأرض مع مجال جاذبيتها هي علم الجيوديسيا .

تتكون الشبكة من خطوط العرض والطول الثابتة، والتي يتم إنشاؤها بالإشارة إلى محور دوران الأرض. نقاط المرجع الأساسية هي القطبين حيث يتقاطع محور دوران الأرض مع السطح المرجعي. تتقاطع المستويات التي تحتوي على محور الدوران مع السطح عند خطوط الطول ؛ والزاوية بين أي مستوى من خطوط الطول والمستوى الذي يمر عبر جرينتش ( خط الطول الرئيسي ) تحدد خط الطول: خطوط الطول هي خطوط طول ثابتة. يتقاطع المستوى الذي يمر عبر مركز الأرض والعمودي على محور الدوران مع السطح عند دائرة كبيرة تسمى خط الاستواء . تتقاطع المستويات الموازية للمستوى الاستوائي مع السطح في دوائر ذات خطوط عرض ثابتة؛ هذه هي خطوط الطول. يبلغ خط الاستواء 0 درجة، ويبلغ خط عرض القطب الشمالي 90 درجة شمالاً (يُكتب 90 درجة شمالاً أو +90 درجة)، ويبلغ خط عرض القطب الجنوبي 90 درجة جنوبًا (يُكتب 90 درجة جنوبًا أو −90 درجة). وخط عرض أي نقطة عشوائية هو الزاوية بين المستوى الاستوائي والعمودي على السطح عند تلك النقطة: العمودي على سطح الكرة يكون على طول المتجه الشعاعي.

غالبًا ما يُطلق على خط العرض، كما يتم تعريفه بهذه الطريقة للكرة، اسم خط العرض الكروي، لتجنب الغموض مع خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة المحددة في الأقسام اللاحقة من هذه المقالة.

بالإضافة إلى خط الاستواء، هناك أربعة خطوط موازية أخرى ذات أهمية:

الدائرة القطبية الشمالية	66° 34′ (66.57°) شمالاً
مدار السرطان	23° 26′ (23.43°) شمالاً
مدار الجدي	23° 26′ (23.43°) جنوبًا
الدائرة القطبية الجنوبية	66° 34′ (66.57°) جنوبًا

يُطلق على مستوى مدار الأرض حول الشمس اسم مسار الشمس ، ويُطلق على المستوى العمودي على محور دوران الأرض اسم مستوى خط الاستواء. وتُسمى الزاوية بين مسار الشمس ومستوى خط الاستواء إمالة محور الشمس أو ميل مسار الشمس، ويُشار إليها تقليديًا بالرمز i . خط عرض الدوائر الاستوائية يساوي i وخط عرض الدوائر القطبية هو مكمله (90 درجة - i ). يتغير محور الدوران ببطء بمرور الوقت والقيم المعطاة هنا هي قيم العصر الحالي . تتم مناقشة تغير الوقت بشكل أكثر تفصيلاً في المقالة حول الميل المحوري . ^[أ]

يوضح الشكل هندسة المقطع العرضي للمستوى العمودي على مسار الشمس ويمر عبر مركزي الأرض والشمس عند الانقلاب الصيفي في ديسمبر عندما تكون الشمس فوق الرأس في نقطة ما من مدار الجدي . تكون خطوط العرض القطبية الجنوبية أسفل الدائرة القطبية الجنوبية في ضوء النهار، بينما تكون خطوط العرض القطبية الشمالية فوق الدائرة القطبية الشمالية في الليل. ينعكس الوضع عند الانقلاب الصيفي في يونيو، عندما تكون الشمس فوق الرأس في مدار السرطان. فقط عند خطوط العرض بين المدارين يكون من الممكن أن تكون الشمس فوق الرأس مباشرة (عند السمت ).

في إسقاطات الخرائط لا توجد قاعدة عالمية حول كيفية ظهور خطوط الطول والتوازي. توضح الأمثلة أدناه خطوط الطول المسماة (كخطوط حمراء) على إسقاط مركاتور الشائع الاستخدام وإسقاط مركاتور المستعرض . في الإسقاط الأول تكون خطوط الطول والتوازي أفقية وخطوط الطول رأسية، بينما في الإسقاط الثاني لا توجد علاقة دقيقة بين خطوط الطول والتوازي مع الخطوط الأفقية والرأسية: كلاهما منحنيات معقدة.

	مركاتور عادي		مركاتور المستعرض
		\

في عام 1687 نشر إسحاق نيوتن كتابه "المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، والذي أثبت فيه أن الجسم السائل الدوار الذي يجذب نفسه في حالة توازن يأخذ شكل قطع ناقص مفلطح . ^[3] (تستخدم هذه المقالة مصطلح القطع الناقص بدلاً من المصطلح الأقدم "الكرة "). وقد تم تأكيد نتيجة نيوتن من خلال القياسات الجيوديسية في القرن الثامن عشر. (انظر قوس الزوال ). القطع الناقص المفلطح هو السطح ثلاثي الأبعاد الناتج عن دوران القطع الناقص حول محوره الأقصر (المحور الأصغر). يتم اختصار "القطع الناقص المفلطح للثورة" إلى "قطع ناقص" في بقية هذه المقالة. (تسمى القطع الناقص التي ليس لها محور تماثل بالثلاثية المحاور ).

لقد تم استخدام العديد من القطع الناقصية المرجعية المختلفة في تاريخ الجيوديسيا . في أيام ما قبل الأقمار الصناعية، تم ابتكارها لإعطاء ملاءمة جيدة للجيود فوق المنطقة المحدودة للمسح، ولكن مع ظهور نظام تحديد المواقع العالمي ، أصبح من الطبيعي استخدام القطع الناقصية المرجعية (مثل WGS84 ) مع مركز في مركز كتلة الأرض ومحور ثانوي محاذٍ لمحور دوران الأرض. توجد هذه القطع الناقصية المركزية للأرض عادةً في غضون 100 متر (330 قدمًا) من الجيود. نظرًا لأن خط العرض محدد بالنسبة إلى القطع الناقص، فإن موضع نقطة معينة يختلف على كل قطع ناقص: لا يمكن للمرء تحديد خط العرض وخط الطول لميزة جغرافية بدقة دون تحديد القطع الناقص المستخدم. تعتمد العديد من الخرائط التي تحتفظ بها الوكالات الوطنية على قطع ناقصة أقدم، لذلك يجب على المرء أن يعرف كيف يتم تحويل قيم خطوط العرض والطول من قطع ناقص إلى آخر. تتضمن أجهزة GPS المحمولة برامج لتنفيذ تحويلات البيانات التي تربط WGS84 بالمستطيل المرجعي المحلي مع الشبكة المرتبطة به.

يتم تحديد شكل القطع الناقص الدوراني من خلال شكل القطع الناقص الذي يدور حول محوره الأصغر (الأقصر). هناك معاملان مطلوبان. أحدهما دائمًا هو نصف القطر الاستوائي، وهو المحور شبه الرئيسي ، a . المعامل الآخر هو عادةً (1) نصف القطر القطبي أو المحور شبه الأصغر ، b ؛ أو (2) التسطيح (الأول) ، f ؛ أو (3) الانحراف ، e . هذه المعاملات ليست مستقلة: فهي مرتبطة بـ

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad b=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,.}$

تظهر العديد من المعلمات الأخرى (انظر القطع الناقص ، القطع الناقص ) في دراسة الجيوديسيا والجيوفيزياء وإسقاطات الخرائط ولكن يمكن التعبير عنها جميعًا من حيث عنصر واحد أو عنصرين من المجموعة أ ، ب ، و ، هـ . كل من f و e صغيران وغالبًا ما يظهران في توسعات متسلسلة في الحسابات؛ وهما من رتبة1/298و 0.0818 على التوالي. يتم إعطاء قيم عدد من القطع الناقص في شكل الأرض . يتم تحديد القطع الناقص المرجعية عادةً بواسطة شبه المحور الرئيسي والتسطيح العكسي ،1/فعلى سبيل المثال ، القيم المحددة لقطع ناقص WGS84 ، المستخدم من قبل جميع أجهزة GPS، هي ^[4]

• أ (نصف القطر الاستوائي):6 378 137 .0 متر بالضبط
• ⁠1/ف(التسطيح العكسي ):298.257 223 563 بالضبط

والتي تشتق منها

• ب (نصف القطر القطبي):6 356 752 .314 25  م
• e ² (مربع الانحراف):0.006 694 379 990 14

يبلغ الفرق بين المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي حوالي 21 كيلومترًا (13 ميلًا) وباعتباره جزءًا من المحور شبه الرئيسي، فإنه يساوي التسطح؛ على شاشة الكمبيوتر، يمكن قياس حجم القطع الناقص بمقدار 300 × 299 بكسل. وهذا بالكاد يمكن تمييزه عن كرة بحجم 300 × 300 بكسل، لذلك تبالغ الرسوم التوضيحية عادةً في التسطح.

إن الشبكة الموجودة على القطع الناقص مبنية بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال في الكرة. لا يمر العمودي عند نقطة على سطح القطع الناقص عبر المركز، باستثناء النقاط الموجودة على خط الاستواء أو عند القطبين، ولكن تعريف خط العرض يظل دون تغيير باعتباره الزاوية بين العمودي والمستوى الاستوائي. يجب أن تكون المصطلحات المستخدمة في خطوط العرض أكثر دقة من خلال التمييز بين:

• خط العرض الجيوديسي : الزاوية بين المستوى العمودي والمستوى الاستوائي. الترميز القياسي في المنشورات الإنجليزية هو ϕ . هذا هو التعريف المفترض عند استخدام كلمة خط العرض دون تحفظ. يجب أن يكون التعريف مصحوبًا بمواصفات القطع الناقص.
• خط العرض المركزي للأرض (يُعرف أيضًا باسم خط العرض الكروي ، بعد الزاوية القطبية ثلاثية الأبعاد ): الزاوية بين نصف القطر (من المركز إلى النقطة على السطح) والمستوى الاستوائي. (الشكل أدناه). لا يوجد تدوين قياسي: تشمل الأمثلة من نصوص مختلفة θ و ψ و q و ϕ′ و ϕ _c و ϕ _g . تستخدم هذه المقالة θ .

يجب استخدام خطوط العرض الجغرافية بحذر، حيث يستخدمها بعض المؤلفين كمرادف لخطوط العرض الجيوديسية بينما يستخدمها آخرون كبديل لخطوط العرض الفلكية. وعادةً ما يشير مصطلح "خطوط العرض" (غير مؤهلة) إلى خطوط العرض الجيوديسية.

يمكن توضيح أهمية تحديد نقطة مرجعية بمثال بسيط. على القطع الناقص المرجعي لـ WGS84، يكون مركز برج إيفل على خط عرض جيوديسي 48° 51′ 29″ شمالاً، أو 48.8583° شمالاً وخط طول 2° 17′ 40″ شرقاً أو 2.2944° شرقاً. تحدد نفس الإحداثيات على نقطة المرجع ED50 نقطة على الأرض تبعد 140 مترًا (460 قدمًا) عن البرج. ^{[ بحاجة لمصدر ]} قد ينتج بحث الويب عدة قيم مختلفة لخط عرض البرج؛ نادرًا ما يتم تحديد القطع الناقص المرجعي.

يعتمد طول درجة العرض على شكل الأرض المفترض.

على الكرة، يمر العمودي عبر المركز، وبالتالي فإن خط العرض ( ϕ ) يساوي الزاوية التي يرسمها القوس الزوال من خط الاستواء إلى النقطة المعنية عند المركز. إذا تم تحديد مسافة خط الزوال بـ m ( ϕ ) فإن

${\displaystyle m(\phi )={\frac {\pi }{180^{\circ }}}R\phi _{\mathrm {درجة} }=R\phi _{\mathrm {راديان} }}$

حيث يشير R إلى متوسط ​​نصف قطر الأرض. R يساوي 6,371 كم أو 3,959 ميل. لا توجد دقة أعلى مناسبة لـ R لأن النتائج ذات الدقة الأعلى تتطلب نموذجًا إهليلجيًا. بهذه القيمة لـ R، يكون طول خط الزوال لدرجة واحدة من خطوط العرض على الكرة 111.2 كم (69.1 ميلًا قانونيًا) (60.0 ميلًا بحريًا). يبلغ طول دقيقة واحدة من خطوط العرض 1.853 كم (1.151 ميلًا قانونيًا) (1.00 ميل بحري)، بينما يبلغ طول ثانية واحدة من خطوط العرض 30.8 مترًا أو 101 قدمًا (انظر الميل البحري ).

في قوس الزوال والنصوص القياسية ^{[5] [6] [7]} ، يتبين أن المسافة على طول خط الزوال من خط العرض ϕ إلى خط الاستواء تُعطى بواسطة ( ϕ بالراديان)

${\displaystyle m(\phi )=\int _{0}^{\phi}M(\phi ')\,d\phi '=a\left(1-e^{2}\right)\int _ {0}^{\phi}\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi ' }$

حيث M ( ϕ ) هو نصف قطر الانحناء الزوالي .

مسافة ربع خط الزوال من خط الاستواء إلى القطب هي

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,}$

بالنسبة لـ WGS84 هذه المسافة هي10 001 .965 729  كم .

يعد تقييم تكامل مسافة خط الزوال أمرًا أساسيًا للعديد من الدراسات في مجال الجيوديسيا وإسقاط الخرائط. ويمكن تقييمه عن طريق توسيع التكامل حسب السلسلة الثنائية وتكامل الحد تلو الحد: انظر قوس خط الزوال للحصول على التفاصيل. يتم تحديد طول قوس خط الزوال بين خطي عرض معينين عن طريق استبدال حدود التكامل بخطي العرض المعنيين. يتم تحديد طول قوس خط الزوال الصغير بواسطة ^{[6] [7]}

${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$

${\displaystyle \phi }$	Δ1 لات	Δ1 طويل
0°	110.574 كم	111.320 كم
15 درجة	110.649 كم	107.550 كم
30 درجة	110.852 كم	96.486 كم
45 درجة	111.132 كم	78.847 كم
60 درجة	111.412 كم	55.800 كم
75 درجة	111.618 كم	28.902 كم
90 درجة	111.694 كم	0.000 كم

عندما يكون فرق خط العرض 1 درجة، يتوافق معπ/180راديان ، مسافة القوس حوالي

${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$

المسافة بالأمتار (صحيحة حتى 0.01 متر) بين خطوط العرض  − 0.5 درجة و  + 0.5 درجة على الكرة الأرضية WGS84 هي ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$

يظهر في الجدول تغير هذه المسافة مع خط العرض (على WGS84 ) إلى جانب طول درجة خط الطول (المسافة بين الشرق والغرب):

${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^ {2}\فاي }}}}\,}$

توفر وكالة الاستخبارات الجغرافية الوطنية التابعة للحكومة الأمريكية (NGA) آلة حاسبة لأي خط عرض. ^[8]

يوضح الرسم البياني التالي التباين بين درجة خط العرض ودرجة خط الطول مع خط العرض.

هناك ستة خطوط عرض مساعدة لها تطبيقات على مشاكل خاصة في علم المساحة والجيوفيزياء ونظرية إسقاطات الخرائط:

• خط العرض المركزي للأرض
• خط العرض المعياري (أو المخفض)
• تصحيح خط العرض
• خط العرض الحقيقي
• خط العرض المطابق
• خط العرض المتساوي القياس

تتعلق جميع التعريفات الواردة في هذا القسم بالمواقع على القطع الناقص المرجعي، ولكن يمكن توسيع أول خطي عرض مساعدين، مثل خط العرض الجيوديسي، لتحديد نظام إحداثيات جغرافي ثلاثي الأبعاد كما هو موضح أدناه. لا تُستخدم خطوط العرض المتبقية بهذه الطريقة؛ فهي تُستخدم فقط كإنشاءات وسيطة في إسقاطات الخرائط للقطع الناقص المرجعي على المستوى أو في حسابات الجيوديسيات على القطع الناقص. قيمها العددية ليست ذات أهمية. على سبيل المثال، لن يحتاج أحد إلى حساب خط العرض الحقيقي لبرج إيفل.

تعطي التعبيرات أدناه خطوط العرض المساعدة من حيث خط العرض الجيوديسي، والمحور شبه الرئيسي، a ، والانحراف، e . (بالنسبة للمعكوسات، انظر أدناه). الأشكال المعطاة هي، بصرف النظر عن المتغيرات التدوينية، تلك الموجودة في المرجع القياسي لإسقاطات الخرائط، أي "إسقاطات الخرائط: دليل العمل" بقلم JP Snyder. ^[9] يمكن العثور على مشتقات هذه التعبيرات في Adams ^[10] والمنشورات عبر الإنترنت بواسطة Osborne ^[6] و Rapp. ^[7]

خط العرض المركزي هو الزاوية بين المستوى الاستوائي ونصف القطر من المركز إلى نقطة الاهتمام.

عندما تكون النقطة على سطح القطع الناقص، تكون العلاقة بين خط العرض المركزي للأرض ( θ ) وخط العرض الجيوديسي ( ϕ ) هي:

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

بالنسبة للنقط غير الموجودة على سطح القطع الناقص، تتضمن العلاقة أيضًا ارتفاع القطع الناقص h :

${\displaystyle \theta (\phi ,h)=\tan ^{-1}\left({\frac {N(1-f)^{2}+h}{N+h}}\tan \phi \right)}$

حيث N هو نصف القطر الرأسي الأساسي للانحناء. خطوط العرض الجيوديسية والأرضية المركزية متساوية عند خط الاستواء وعند القطبين ولكن عند خطوط العرض الأخرى تختلف ببضع دقائق قوسية. إذا أخذنا قيمة الانحراف التربيعي على أنها 0.0067 (يعتمد ذلك على اختيار القطع الناقص) فقد يُظهِر الحد الأقصى للفرق أنه حوالي 11.5 دقيقة قوسية عند خط عرض جيوديسي يبلغ حوالي 45 درجة و6 دقائق. ^[ب]${\displaystyle \phi {-}\theta }$

يتم تعريف خط العرض البارامترى أو خط العرض المخفض ، β ، بنصف القطر المرسوم من مركز القطع الناقص إلى تلك النقطة Q على الكرة المحيطة (نصف القطر a ) وهو الإسقاط الموازي لمحور الأرض لنقطة P على القطع الناقص عند خط العرض ϕ . تم تقديمه من قبل Legendre ^[11] و Bessel ^[12] الذين حلوا مسائل الجيوديسيا على القطع الناقص عن طريق تحويلها إلى مشكلة مكافئة للجيوديسيا الكروية باستخدام خط العرض الأصغر هذا. يتم أيضًا استخدام تدوين Bessel، u ( ϕ ) ، في الأدبيات الحالية. يرتبط خط العرض البارامترى بخط العرض الجيوديسي من خلال: ^{[6] [7]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

الاسم البديل ينشأ من معلمة معادلة القطع الناقص التي تصف قسم خط الزوال. من حيث الإحداثيات الديكارتية p ، المسافة من المحور الأصغر، و z ، المسافة فوق المستوى الاستوائي، تكون معادلة القطع الناقص :

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

يتم تحديد إحداثيات النقطة الديكارتية بواسطة

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

اقترح كايلي مصطلح خط العرض البارامتري بسبب شكل هذه المعادلات. ^[13]

لا يتم استخدام خطوط العرض البارامترية في نظرية إسقاطات الخرائط، وأهم تطبيقاتها هي في نظرية الجيوديسيا الإهليلجية ( فينسينتي ، كارني ^[14] ).

خط العرض التصحيحي ، μ ، هو مسافة خط الزوال المقاسة بحيث تكون قيمتها عند القطبين مساوية لـ 90 درجة أوπ/2الراديان :

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

حيث تكون المسافة بين خط الاستواء وخط العرض ϕ هي (انظر قوس خط الزوال )

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

وطول الربع الزوال من خط الاستواء إلى القطب ( المسافة القطبية ) هو

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

استخدام خط العرض التصحيحي لتحديد خط عرض على كرة نصف قطرها

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

يحدد إسقاطًا من القطع الناقص إلى الكرة بحيث يكون لجميع خطوط الطول طول حقيقي ومقياس منتظم. يمكن بعد ذلك إسقاط الكرة على المستوى بإسقاط متساوي المستطيلات لإعطاء إسقاط مزدوج من القطع الناقص إلى المستوى بحيث يكون لجميع خطوط الطول طول حقيقي ومقياس منتظم لخطوط الطول. أحد الأمثلة على استخدام خط العرض المستقيم هو الإسقاط المخروطي المتساوي البعد . (سنايدر، القسم 16). ^[9] خط العرض المستقيم له أهمية كبيرة أيضًا في إنشاء إسقاط مركاتور المستعرض .

يعطي خط العرض الحقيقي (بعد الكلمة اليونانية التي تعني "نفس المنطقة")، ξ ، إسقاطًا متساوي المساحة للكرة.

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

ويتم أخذ نصف قطر الكرة على النحو التالي

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

من الأمثلة على استخدام خط العرض الحقيقي إسقاط ألبرز المخروطي ذي المساحة المتساوية . ^{[9] : §14}

يعطي خط العرض المطابق ، χ ، تحويلًا يحافظ على الزاوية ( مطابقًا ) للكرة. ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

حيث gd( x ) هي دالة غوديرمان . (انظر أيضًا إسقاط ميركاتور .)

إن خط العرض المطابق يحدد تحويلاً من الشكل الإهليلجي إلى كرة بنصف قطر عشوائي بحيث تكون زاوية التقاطع بين أي خطين على الشكل الإهليلجي مساوية للزاوية المقابلة على الكرة (بحيث يتم الحفاظ على شكل العناصر الصغيرة بشكل جيد). ويعطي تحويل مطابق آخر من الكرة إلى المستوى إسقاطاً مطابقاً مزدوجاً من الشكل الإهليلجي إلى المستوى. وهذه ليست الطريقة الوحيدة لتوليد مثل هذا الإسقاط المطابق. على سبيل المثال، فإن النسخة "الدقيقة" من إسقاط مركاتور المستعرض على الشكل الإهليلجي ليست إسقاطاً مزدوجاً. (ومع ذلك، فإنها تنطوي على تعميم لخط العرض المطابق على المستوى المركب).

يستخدم خط العرض المتساوي القياس ، ψ ، في تطوير الإصدارات الإهليلجية لإسقاط مركاتور الطبيعي وإسقاط مركاتور المستعرض . ينشأ اسم "المتساوي القياس" من حقيقة أنه في أي نقطة على الإهليلجي، تؤدي الزيادات المتساوية لـ ψ وخط الطول λ إلى إزاحات متساوية المسافة على طول خطوط الطول والخطوط الموازية على التوالي. تقسم الشبكة المحددة بخطي الثابتين ψ و λ ، سطح الإهليلجي إلى شبكة من المربعات (ذات الحجم المتفاوت). يكون خط العرض المتساوي القياس صفرًا عند خط الاستواء ولكنه يتباعد بسرعة عن خط العرض الجيوديسي، ويميل إلى اللانهاية عند القطبين. يرد الترميز التقليدي في سنيدر (صفحة 15): ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

بالنسبة لإسقاط مركاتور الطبيعي (على القطع الناقص)، تحدد هذه الدالة تباعد الخطوط المتوازية: إذا كان طول خط الاستواء على الإسقاط هو E (وحدات الطول أو البكسل)، فإن المسافة، y ، لخط عرض ϕ من خط الاستواء هي

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

يرتبط خط العرض المتساوي القياس ψ ارتباطًا وثيقًا بخط العرض المطابق χ :

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

تعطي الصيغ في الأقسام السابقة خطوط العرض المساعدة من حيث خطوط العرض الجيوديسية. يمكن عكس تعبيرات خطوط العرض المركزية والبارامترية بشكل مباشر، لكن هذا مستحيل في الحالات الأربع المتبقية: خطوط العرض التصحيحية، والخطوط العرضية الأصلية، والخطوط العرضية المطابقة، والخطوط العرضية المتساوية القياس. هناك طريقتان للمتابعة.

• الطريقة الأولى هي عكس رقمي للمعادلة المحددة لكل قيمة معينة من خط العرض المساعد. والطرق المتاحة هي تكرار النقطة الثابتة وإيجاد جذر نيوتن-رافسون .
  • عند التحويل من القياس المتساوي القياس أو المطابق إلى الجيوديسي، فإن تكرارين لمعادلة نيوتن-رافسون يعطيان دقة مضاعفة . ^[16]
• النهج الآخر الأكثر فائدة هو التعبير عن خط العرض المساعد كسلسلة من حيث خط العرض الجيوديسي ثم عكس السلسلة بطريقة عكس لاغرانج . يتم تقديم مثل هذه السلاسل بواسطة آدمز الذي يستخدم توسعات سلسلة تايلور ويعطي معاملات من حيث الانحراف. ^[10] يقدم أوريويلا ^[17] سلسلة للتحويلات بين جميع أزواج خطوط العرض المساعدة من حيث التسوية الثالثة، n = ( a - b ) / ( a ​​+ b ) . يثبت كارني ^[18] أن أخطاء القطع لمثل هذه السلسلة أصغر باستمرار من السلسلة المكافئة من حيث الانحراف. لا تنطبق طريقة السلسلة على خط العرض المتساوي القياس ويجب على المرء إيجاد خط العرض المطابق في خطوة وسيطة. ^[6]

يوضح الرسم البياني الموجود على اليمين الفرق بين خط العرض الجيوديسي وخطوط العرض المساعدة بخلاف خط العرض المتساوي القياس (الذي يتباعد إلى ما لا نهاية عند القطبين) في حالة القطع الناقص WGS84. الاختلافات الموضحة في الرسم البياني هي بالدقائق القوسية. في نصف الكرة الشمالي (خطوط العرض الموجبة)، θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ ؛ في نصف الكرة الجنوبي (خطوط العرض السلبية)، تنعكس التفاوتات، مع المساواة عند خط الاستواء والقطب. على الرغم من أن الرسم البياني يبدو متماثلًا عند حوالي 45 درجة، إلا أن الحد الأدنى للمنحنيات يقع في الواقع بين 45 درجة 2′ و45 درجة 6′. يتم إعطاء بعض نقاط البيانات التمثيلية في الجدول أدناه. إن خطوط العرض المطابقة وخط العرض المركزي للأرض غير قابلة للتمييز تقريبًا، وهي حقيقة تم استغلالها في أيام الآلات الحاسبة اليدوية لتسريع إنشاء إسقاطات الخرائط. ^{[9] : 108}

للترتيب الأول في التسوية f ، يمكن التعبير عن خطوط العرض المساعدة على النحو التالي ζ = ϕ − Cf sin 2 ϕ حيث يأخذ الثابت C القيم [ 1 ⁄ 2 ، 2 ⁄ 3 ، 3 ⁄ 4 ، 1 ، 1] لـ ζ = [ β ، ξ ، μ ، χ ، θ ].

الفرق التقريبي عن خط العرض الجيوديسي ( ϕ )

ϕ	المعلمة β − ϕ	أوثاليك ξ − ϕ	تصحيح μ − ϕ	مطابق χ − ϕ	مركز الأرض θ − ϕ
0°	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′
15 درجة	-2.88′	-3.84′	-4.32′	-5.76′	-5.76′
30 درجة	-5.00′	-6.66′	-7.49′	-9.98′	-9.98′
45 درجة	-5.77′	-7.70′	-8.66′	-11.54′	-11.55′
60 درجة	-5.00′	-6.67′	-7.51′	-10.01′	-10.02′
75 درجة	-2.89′	-3.86′	-4.34′	-5.78′	-5.79′
90 درجة	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′	0.00′

يشكل خط العرض الجيوديسي، أو أي من خطوط العرض المساعدة المحددة على القطع الناقص المرجعي، مع خط الطول نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد على هذا القطع الناقص. لتحديد موضع نقطة عشوائية، من الضروري توسيع نظام الإحداثيات هذا إلى ثلاثة أبعاد. تُستخدم ثلاثة خطوط عرض بهذه الطريقة: تُستخدم خطوط العرض الجيوديسية، وخطوط العرض المركزية الأرضية، والخطوط البارامترية في الإحداثيات الجيوديسية، والإحداثيات القطبية الكروية، والإحداثيات الإهليلجية على التوالي.

عند نقطة عشوائية P، ضع في اعتبارك الخط PN الذي يكون عموديًا على القطع الناقص المرجعي. الإحداثيات الجيوديسية P( ɸ , λ , h ) هي خط العرض وخط الطول للنقطة N على القطع الناقص والمسافة PN . يختلف هذا الارتفاع عن الارتفاع فوق الجيود أو ارتفاع مرجعي مثل الارتفاع فوق مستوى سطح البحر في موقع محدد. سيختلف اتجاه PN أيضًا عن اتجاه خط عمودي. تتطلب العلاقة بين هذه الارتفاعات المختلفة معرفة شكل الجيود وأيضًا مجال الجاذبية للأرض.

خط العرض الأرضي المركزي θ هو المكمل للزاوية القطبية أو خط العرض المشترك θ′ في الإحداثيات القطبية الكروية التقليدية حيث تكون إحداثيات النقطة هي P( r , θ ′, λ ) حيث r هي مسافة P من المركز O و θ′ هي الزاوية بين متجه نصف القطر والمحور القطبي و λ هي خط الطول. نظرًا لأن العمودي عند نقطة عامة على القطع الناقص لا يمر عبر المركز، فمن الواضح أن النقاط P' على العمودي، والتي لها جميعها نفس خط العرض الجيوديسي، سيكون لها خطوط عرض أرضية مركزية مختلفة. تُستخدم أنظمة الإحداثيات القطبية الكروية في تحليل مجال الجاذبية.

يمكن أيضًا توسيع خط العرض البارامترى إلى نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد. بالنسبة للنقطة P التي لا تقع على القطع الناقص المرجعي (أنصاف المحاور OA و OB )، قم بإنشاء قطع ناقص مساعد يكون بؤريًا (نفس البؤرتين F و F′ ) مع القطع الناقص المرجعي: الشرط الضروري هو أن يكون حاصل ضرب شبه المحور الرئيسي والانحراف ae هو نفسه لكلا القطع الناقصين. دع u يكون المحور شبه الأصغر ( OD ) للقطع الناقص المساعد. علاوة على ذلك دع β يكون خط العرض البارامترى لـ P على القطع الناقص المساعد. تحدد المجموعة ( u و β و λ ) إحداثيات القطع الناقص التوافقي ^[19] أو ببساطة إحداثيات القطع الناقص ^{[5] : §4.2.2} (على الرغم من أن هذا المصطلح يستخدم أيضًا للإشارة إلى الإحداثيات الجيوديسية). هذه الإحداثيات هي الاختيار الطبيعي في نماذج مجال الجاذبية لجسم بيضاوي دوار. ينطبق ما سبق على بيضاوي ثنائي المحور (شكل كروي، كما هو الحال في إحداثيات الكروي المفلطح )؛ للحصول على تعميم، انظر إحداثيات بيضاوية ثلاثية المحاور .

العلاقات بين أنظمة الإحداثيات المذكورة أعلاه، وكذلك الإحداثيات الديكارتية، غير معروضة هنا. يمكن العثور على التحويل بين الإحداثيات الجيوديسية والديكارتية في تحويل الإحداثيات الجغرافية . يتم إعطاء العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والكروية في نظام الإحداثيات الكروية . تتم مناقشة العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والإهليلجية في Torge. ^[5]

خط العرض الفلكي ( Φ ) هو الزاوية بين المستوى الاستوائي والاتجاه الرأسي الحقيقي عند نقطة على السطح. الخط الرأسي الحقيقي، وهو اتجاه خط الشاقول ، هو أيضًا اتجاه الجاذبية (المحصلة لتسارع الجاذبية (القائم على الكتلة) وتسارع الطرد المركزي ) عند خط العرض هذا. ^[5] يتم حساب خط العرض الفلكي من الزوايا المقاسة بين السمت والنجوم التي يُعرف انحرافها بدقة.

بشكل عام، لا يتطابق العمودي الحقيقي عند نقطة على السطح تمامًا مع العمودي على القطع الناقص المرجعي أو العمودي على الجيود. الجيود هو شكل مثالي نظري "عند مستوى سطح البحر المتوسط". لا تقع النقاط على الأرض بدقة على الجيود، ويتأثر العمودي عند نقطة في وقت محدد بقوى المد والجزر التي يحسبها الجيود النظري. تسمى الزاوية بين العمودي الفلكي والجيوديسي بالانحراف الرأسي وعادة ما تكون بضع ثوانٍ من القوس ولكنها مهمة في الجيوديسيا. ^{[5] [20]}

لا ينبغي الخلط بين خط العرض الفلكي والانحراف ، الإحداثيات التي يستخدمها علماء الفلك بطريقة مماثلة لتحديد الموضع الزاوي للنجوم شمال-جنوب خط الاستواء السماوي (انظر إحداثيات خط الاستواء )، ولا مع خط عرض مسار الشمس ، الإحداثيات التي يستخدمها علماء الفلك لتحديد الموضع الزاوي للنجوم شمال-جنوب مسار الشمس (انظر إحداثيات مسار الشمس ).

• خادم أسماء GEONets. مؤرشف من الأصل في 2008-03-09 على موقع Wayback Machine . الوصول إلى قاعدة بيانات وكالة الاستخبارات الجغرافية الوطنية (NGA) لأسماء المعالم الجغرافية الأجنبية.
• مصادر لتحديد خط العرض وخط الطول الخاص بك أرشيف 2008-05-19 على موقع Wayback Machine
• تحويل الدرجات العشرية إلى درجات ودقائق وثوانٍ. أرشيف 2012-11-07 على موقع Wayback Machine – معلومات حول تحويل النظام العشري إلى النظام الستيني .
• تحويل الدرجات العشرية إلى درجات ودقائق وثوان
• حساب المسافة بناءً على خطوط العرض والطول – نسخة JavaScript
• مسح خطوط العرض في القرن السادس عشر
• تحديد خط العرض بواسطة فرانسيس دريك على ساحل كاليفورنيا في عام 1579