الجيوديسيا على شكل بيضاوي

الجيوديسيا
الأساسيات الجيوديسيا الجيوديناميكا المساحة تاريخ
المفاهيم المسافة الجغرافية جيويد شكل الأرض ( نصف القطر والمحيط ) إحداثيات الجيوديسية البيانات الجيوديسية جيوديسية تمثيل الوضع الأفقي خط العرض  / خط الطول إسقاط الخريطة مرجع القطع الناقص الجيوديسيا عبر الأقمار الصناعية نظام مرجعي مكاني العلاقات المكانية المواضع العمودية
التكنولوجيات أنظمة الملاحة العالمية عبر الأقمار الصناعية (GNSS) نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) جلوناس (روسيا) بيدو (BDS) (الصين) جاليليو (أوروبا) نافيك (الهند) نظام الأقمار الصناعية شبه السمتي (QZSS) (اليابان) الشبكة العالمية المنفصلة والترميز الجغرافي
المعايير (التاريخ) إن جي في دي 29 بيانات مستوى سطح البحر 1929 أو إس جي بي 36 هيئة المساحة البريطانية 1936 إس كيه-42 نظام تنسيق عام 1942 ED50 التاريخ الأوروبي 1950 ساد69 تاريخ أمريكا الجنوبية 1969 جى ار اس 80 نظام الإسناد الجيوديسي 1980 ايزو 6709 إحداثيات النقطة الجغرافية 1983 ناد 83 تاريخ أمريكا الشمالية 1983 التصنيف العالمي للجينوم 84 النظام الجيوديسي العالمي 1984 نافد 88 البيانات العمودية لأمريكا الشمالية 1988 إي تي آر إس 89 نظام المرجع الأرضي الأوروبي 1989 جي سي جيه-02 البيانات الصينية المشوشة لعام 2002 عنوان URI الجغرافي رابط انترنت الى نقطة 2010 نظام المرجع الأرضي الدولي معرف نظام المرجع المكاني (SRID) مقياس مركاتور المستعرض العالمي (UTM)
ف ت هـ

نشأت دراسة الجيوديسيا على شكل قطع ناقص فيما يتعلق بالجيوديسيا على وجه التحديد مع حل شبكات التثليث . يتم تقريب شكل الأرض جيدًا بواسطة قطع ناقص مفلطح ، وهو كرة مسطحة قليلاً. الجيوديسيا هي أقصر مسار بين نقطتين على سطح منحني ، على غرار الخط المستقيم على سطح مستو. وبالتالي فإن حل شبكة التثليث على شكل قطع ناقص هو مجموعة من التمارين في علم المثلثات الكروي (أويلر 1755).

إذا تم التعامل مع الأرض على أنها كرة ، فإن الدوائر الجيوديسية عبارة عن دوائر كبيرة (جميعها مغلقة) وتنحصر المشكلات في تلك الموجودة في علم المثلثات الكروي . ومع ذلك، أظهر نيوتن (1687) أن تأثير دوران الأرض يؤدي إلى تشابهها مع شكل بيضاوي مفلطح قليلاً: في هذه الحالة، يعد خط الاستواء وخطوط الطول الدوائر الجيوديسية المغلقة البسيطة الوحيدة. علاوة على ذلك، فإن أقصر مسار بين نقطتين على خط الاستواء لا يمتد بالضرورة على طول خط الاستواء. أخيرًا، إذا تم إزعاج الشكل البيضاوي بشكل أكبر ليصبح شكل بيضاوي ثلاثي المحاور (بثلاثة أنصاف محاور مميزة)، فإن ثلاثة دوائر جيوديسية فقط تكون مغلقة.

هناك عدة طرق لتعريف الجيوديسيات (هيلبرت وكوهن-فوسن 1952، ص 220-221). التعريف البسيط هو أقصر مسار بين نقطتين على سطح ما. ومع ذلك، غالبًا ما يكون من المفيد تعريفها كمسارات ذات انحناء جيوديسي صفري - أي نظير الخطوط المستقيمة على سطح منحني. يشمل هذا التعريف الجيوديسيات التي تسافر لمسافة بعيدة عبر سطح القطع الناقص بحيث تبدأ في العودة نحو نقطة البداية، بحيث تكون المسارات الأخرى أكثر مباشرة، ويشمل المسارات التي تتقاطع أو تتتبع نفسها. لا تزال المقاطع القصيرة بما يكفي من الجيوديسيات هي أقصر طريق بين نقاط النهاية الخاصة بها، لكن الجيوديسيات ليست بالضرورة ضئيلة عالميًا (أي الأقصر بين جميع المسارات الممكنة). كل أقصر مسار عالميًا هو جيوديسي، ولكن ليس العكس.

بحلول نهاية القرن الثامن عشر، أصبح الشكل الإهليلجي للدوران ( يُستخدم أيضًا مصطلح الشكل الكروي ) تقريبًا مقبولًا لشكل الأرض . استلزم تعديل شبكات التثليث تقليص جميع القياسات إلى شكل إهليلجي مرجعي وحل المشكلة ثنائية الأبعاد الناتجة كتمرين في علم المثلثات الكروي (Bomford 1952، الفصل 3) (Leick et al. 2015، §4.5).

من الممكن اختزال المشاكل الجيوديسية المختلفة إلى نوعين. ضع في اعتبارك نقطتين: A عند خط العرض φ ₁ وخط الطول λ ₁ و B عند خط العرض φ ₂ وخط الطول λ ₂ (انظر الشكل 1). الجيوديسية المتصلة (من A إلى B ) هي AB ، بطول s ₁₂ ، ولها سمتان α ₁ و α ₂ عند نقطتي النهاية. ^[1] المشكلتان الجيوديسيتان اللتان يتم النظر فيهما عادةً هما:

1. المسألة الجيوديسية المباشرة أو المسألة الجيوديسية الأولى ، إذا علمنا _أن A و α1 و s12 ، حدد _B و α2 _؛
2. مسألة الجيوديسية العكسية أو مسألة الجيوديسية الثانية ، مع الأخذ في الاعتبار A و B ، حدد s ₁₂ و α ₁ و α ₂ .

كما يمكن أن نرى من الشكل 1، تتضمن هذه المسائل حل المثلث NAB مع العلم بزاوية واحدة، α ₁ للمسألة المباشرة و λ ₁₂ = λ ₂ − λ ₁ للمسألة العكسية، وضلعيه المجاورين. بالنسبة للكرة، فإن حلول هذه المسائل عبارة عن تمارين بسيطة في علم المثلثات الكروي ، والتي يتم تقديم حلها من خلال صيغ لحل مثلث كروي . (انظر المقال حول الملاحة في الدائرة العظمى .)

بالنسبة لقطع ناقص ذي دوران، وجد كليروت (1735) الثابت المميز الذي يحدد الجيوديسية. قدم ليجيندر (1806) وأورياني (1806) حلاً منهجيًا لمسارات الجيوديسية (وأوراق بحثية لاحقة في عامي 1808 و1810). قدم بيسل (1825) الحل الكامل للمشكلة المباشرة (كاملاً مع الجداول الحسابية ومثال عملي).

خلال القرن الثامن عشر، كان يُشار إلى الجيوديسيات عادةً باسم "أقصر الخطوط". وقد صاغ لابلاس (1799ب) مصطلح "الخط الجيوديسي" (وهو في الواقع منحنى ):

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [سوف نسمي هذا الخط الخط الجيوديسي ].

تم تقديم هذا المصطلح إلى اللغة الإنجليزية إما باسم "الخط الجيوديسي" أو "الخط الجيوديسي"، على سبيل المثال (هوتون 1811، ص 115)،

الخط المرسوم بالطريقة التي وصفناها الآن، أو المستنتج من القياسات المثلثية، بالوسائل التي أشرنا إليها، يسمى خطًا جيوديسيًا أو خطًا جيوديسيًا: له خاصية كونه أقصر خط يمكن رسمه بين طرفيه على سطح الأرض؛ وبالتالي فهو مقياس المسار الصحيح للمسافة بين هاتين النقطتين.

عند اعتماده من قبل مجالات أخرى، تم تفضيل الخط الجيوديسي ، والذي يتم اختصاره في كثير من الأحيان إلى الجيوديسي .

يتناول هذا القسم المشكلة المتعلقة بمجسم بيضاوي ذي دوران (مفلطح وممتد). ويتم تناول المشكلة المتعلقة بمجسم بيضاوي ثلاثي المحاور في القسم التالي.

هنا تم تطوير معادلات الجيوديسية؛ ويتبع الاشتقاق بشكل وثيق مشتقات بيسل (1825). كما قدم جوردان وإيجرت (1941)، وبجراتوني (1962، الفقرة 15)، وجانشين (1967، الفصل 5)، وكراكيفسكي وتومسون (1974، الفقرة 4)، وراب (1993، الفقرة 1.2)، وجيكيلي (2012)، وبوري وسترانج (2012) اشتقاقات لهذه المعادلات.

لنفترض أن هناك شكلًا بيضاويًا يدور حول محوره نصف قطر استوائي a ونصف محور قطبي b . حدد التسطح f ، والانحراف e ، والانحراف الثاني e ′ :

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}},\quad e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {f(2-f)}},\quad e'={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}={\frac {e}{1-f}}.}$

(في معظم التطبيقات في الجيوديسيا، يُفترض أن القطع الناقص مفلطح، a > b ؛ ومع ذلك، تنطبق النظرية دون تغيير على القطع الناقص المتمدد، a < b ، وفي هذه الحالة تكون f و e ² و e ′ ² سالبة.)

ليكن طول القطعة الأولية لمسار على القطع الناقص ds . من الشكلين 2 و3، نرى أنه إذا كان سمتها α ، فإن ds يرتبط بـ dφ و dλ بواسطة

${\displaystyle \cos \alpha \,ds=\rho \,d\varphi =-{\frac {dR}{\sin \varphi }},\quad \sin \alpha \,ds=R\,d\lambda ,}$ (1)

حيث ρ هو نصف قطر الانحناء الزوالي ، و R = ν cos φ هو نصف قطر دائرة العرض φ ، و ν هو نصف قطر الانحناء العمودي . وبالتالي، فإن القطعة الأولية تُعطى بواسطة

${\displaystyle ds^{2}=\rho ^{2}\,d\varphi ^{2}+R^{2}\,d\lambda ^{2}}$

أو

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$

حيث φ ′ = dφ / dλ وتعتمد الدالة اللاجرانجية L على φ حتى ρ( φ ) و R ( φ ) . طول المسار التعسفي بين ( φ ₁ , λ ₁ ) و ( φ ₂ , λ ₂ ) يعطى بواسطة

${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$

حيث φ هي دالة λ تحقق φ ( λ ₁ ) = φ ₁ و φ ( λ ₂ ) = φ ₂ . أقصر مسار أو خط جيوديسي يستلزم إيجاد الدالة φ ( λ ) التي تقلل s ₁₂ . هذا تمرين في حساب التغيرات ويتم تحديد شرط التقليل بواسطة متطابقة بلترامي ،

${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$

عند استبدال L واستخدام المعادلات (1) نحصل على :

${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$

وجد كليروت (1735) هذه العلاقة ، باستخدام بناء هندسي؛ وقد قدم ليوستيرنيك (1964، الفقرة 10) استنتاجًا مشابهًا. ^[2] يؤدي التمييز بين هذه العلاقة إلى

${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$

يؤدي هذا، جنبًا إلى جنب مع المعادلات (1) ، إلى نظام من المعادلات التفاضلية العادية للخط الجيوديسي

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \sin \alpha }{\nu }}.}$

يمكننا التعبير عن R من حيث خط العرض البارامترى ، β ، باستخدام

${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$

وتصبح علاقة كليروت بعد ذلك

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$

هذه هي قاعدة الجيب في علم المثلثات الكروي التي تربط بين ضلعين من المثلث NAB (انظر الشكل 4)، NA = 1 ⁄ 2 π − β ₁ ، و NB = 1 ⁄ 2 π − β ₂ وزواياهما المقابلة B = π − α ₂ و A = α ₁ .

من أجل إيجاد العلاقة للضلع الثالث AB = σ ₁₂ ، وهو طول القوس الكروي ، والزاوية المتضمنة N = ω ₁₂ ، وهي خط الطول الكروي ، فمن المفيد النظر إلى المثلث NEP الذي يمثل خطًا جيوديسيًا يبدأ عند خط الاستواء؛ انظر الشكل 5. في هذا الشكل، تظهر المتغيرات المشار إليها في الكرة المساعدة مع الكميات المقابلة للقطع الناقص الموضحة بين قوسين. تشير الكميات التي لا تحتوي على فهارس إلى النقطة العشوائية P ؛ تُستخدم E ، وهي النقطة التي يعبر عندها الخط الجيوديسي خط الاستواء في الاتجاه الشمالي، كأصل لـ σ و s و ω .

إذا تم تمديد الجانب EP عن طريق تحريك P بشكل لا نهائي في الصغر (انظر الشكل 6)، نحصل على

${\displaystyle \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$ (2)

يؤدي الجمع بين المعادلتين (1) و (2) إلى معادلات تفاضلية لـ s و λ

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$

العلاقة بين β و φ هي

${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$

الذي يعطي

${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$

بحيث تصبح المعادلات التفاضلية للجيوديسية

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$

الخطوة الأخيرة هي استخدام σ كمعامل مستقل في كل من معادلتي التفاضل وبالتالي التعبير عن s و λ كتكاملات. تطبيق قاعدة الجيب على الرؤوس E و G في المثلث الكروي EGP في الشكل 5 يعطي

${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,}$

حيث α ₀ هو السمت عند E. وباستبدال هذا في معادلة ds / d σ وتكامل النتيجة نحصل على

${\displaystyle {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$ (3)

أين

${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$

ويتم اختيار حدود التكامل بحيث تكون s ( σ = 0) = 0. وأشار ليجيندر (1811، ص 180) إلى أن معادلة s هي نفس معادلة القوس على القطع الناقص مع أنصاف محاور b √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀ و b . للتعبير عن معادلة λ من حيث σ ، نكتب

${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$

الذي يتبع المعادلة 2 وعلاقة كليروت. وهذا يعطي

${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$ (4)

ويتم اختيار حدود التكاملات بحيث λ = λ ₀ عند تقاطع خط الاستواء، σ = 0 .

يكتمل حل مسار الجيوديسية باستخدام الكرة المساعدة. وباستخدام هذا الجهاز، يمكن رسم دائرة كبيرة بدقة على جيوديسية على شكل قطع ناقص ذي دوران.

توجد أيضًا عدة طرق لتقريب الجيوديسيات على شكل بيضاوي أرضي (مع تسطيح بسيط) (Rapp 1991، §6)؛ وقد تم وصف بعض هذه الطرق في المقالة حول المسافة الجغرافية . ومع ذلك، فهي قابلة للمقارنة عادةً من حيث التعقيد مع طريقة الحل الدقيق (Jekeli 2012، §2.1.4).

يوضح الشكل 7 الخطوط الجيوديسية المغلقة البسيطة التي تتكون من خطوط الطول (باللون الأخضر) وخط الاستواء (باللون الأحمر). (هنا تعني عبارة "بسيطة" أن الخطوط الجيوديسية تغلق على نفسها دون تقاطع ذاتي وسيط.) ويتبع هذا المعادلات الخاصة بالخطوط الجيوديسية الواردة في القسم السابق.

تتميز جميع الجيوديسيات الأخرى بالشكلين 8 و9 اللذين يظهران جيوديسيا تبدأ عند خط الاستواء بزاوية α ₀ = 45° . تتذبذب الجيوديسية حول خط الاستواء. تسمى المعابر الاستوائية بالعقد وتسمى نقاط خط العرض الأقصى أو الأدنى بالرؤوس ؛ تُعطى خطوط العرض البارامترية للرؤوس بواسطة β = ±( 1 ⁄ 2 π − |α ₀ |) . تكمل الجيوديسية تذبذبًا كاملاً في خط العرض قبل أن يزداد خط الطول بمقدار360° . وبالتالي، عند كل عبور متتالي شمالاً لخط الاستواء (انظر الشكل 8)، تقل قيمة λ عن الدائرة الكاملة لخط الاستواء بحوالي 2πf sinα ₀ (بالنسبة لقطع ناقص ممتد، تكون هذه الكمية سالبة وتكمل λ أكثر من الدائرة الكاملة؛ انظر الشكل 10). بالنسبة لجميع قيم α 0 تقريبًا ، _سيملأ الخط الجيوديسي ذلك الجزء من القطع الناقص بين خطي العرض للرأسين (انظر الشكل 9).

إذا كان الشكل الإهليلجي مفلطحًا بدرجة كافية، أي b ⁄ a < 1 ⁄ 2 ، فمن الممكن وجود فئة أخرى من الجيوديسيات المغلقة البسيطة (Klingenberg 1982، §3.5.19). تم توضيح اثنين من هذه الجيوديسيات في الشكلين 11 و12. هنا b ⁄ a = 2 ⁄ 7 والسمت الاستوائي، α ₀ ، للجيوديسية الخضراء (أو الزرقاء) تم اختيارها لتكون53.175 درجة (على التوالي.75.192 درجة )، بحيث يكمل الخط الجيوديسي 2 (أو 3) تذبذبات كاملة حول خط الاستواء على دائرة واحدة من القطع الناقص.

الشكل 13 يوضح الخطوط الجيوديسية (باللون الأزرق) الصادرة من A مع α ₁ مضاعف لـ15 درجة حتى النقطة التي تتوقف عندها عن كونها أقصر المسارات. (تم زيادة التسوية إلى 1 ⁄ 10 من أجل التأكيد على التأثيرات الإهليلجية.) كما تظهر (باللون الأخضر) منحنيات ثابتة s ₁₂ ، وهي الدوائر الجيوديسية التي مركزها A. أظهر جاوس (1828) أنه على أي سطح، تتقاطع الجيوديسيات والدائرة الجيوديسية بزوايا قائمة.

الخط الأحمر هو موضع القطع ، وهو موضع النقاط التي لها عدة (اثنان في هذه الحالة) أقصر جيوديسية من A. على الكرة، يكون موضع القطع نقطة. على شكل بيضاوي مفلطح (كما هو موضح هنا)، فهو جزء من دائرة العرض مركزه النقطة المقابلة لـ A ، φ = − φ _1. يبلغ المدى الطولي لموضع القطع تقريبًا λ ₁₂ ∈ [ π (1 − f cos φ ₁ )، π (1 + f cos φ ₁ )] . إذا كانت A تقع على خط الاستواء، φ ₁ = 0 ، تكون هذه العلاقة دقيقة ونتيجة لذلك يكون خط الاستواء أقصر جيوديسية فقط إذا | λ ₁₂ | ≤ π (1 − f ) . بالنسبة لمجسم بيضاوي ممتد، فإن موضع القطع هو جزء من خط الزوال المضاد يتركز على النقطة المقابلة لـ A ، λ ₁₂ = π ، وهذا يعني أن المسارات الجيوديسية الزوالية تتوقف عن كونها أقصر المسارات قبل الوصول إلى النقطة المقابلة لـ A.

تتطلب المشكلات المختلفة التي تتضمن خطوط الجيوديسية معرفة سلوكها عندما يتم إزعاجها. وهذا مفيد في التعديلات المثلثية (Ehlert 1993)، وتحديد الخصائص الفيزيائية للإشارات التي تتبع خطوط الجيوديسية، وما إلى ذلك. ضع في اعتبارك خطًا جيوديسيًا مرجعيًا، معلمته s ، وخطوطًا جيوديسية ثانية على مسافة صغيرة t ( s ) بعيدًا عنه. أظهر Gauss (1828) أن t ( s ) تخضع لمعادلة Gauss-Jacobi

${\displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}+K(s)t(s)=0,}$

حيث K ( s ) هو الانحناء الغاوسي عند s . وباعتبارها معادلة تفاضلية متجانسة خطية من الدرجة الثانية، يمكن التعبير عن حلها كمجموع حلين مستقلين

${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,\quad \left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=1,\\M(s_{1},s_{1})&=1,\quad \left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=0.\end{aligned}}}$

الكمية m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ هي ما يسمى بالطول المخفض ، و M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ هو المقياس الجيوديسي . ^[3] يتم توضيح تعريفاتهم الأساسية في الشكل 14.

الانحناء الغاوسي لقطع ناقص الدوران هو

${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$

قام هيلمرت (1880، المعادلة (6.5.1.)) بحل معادلة جاوس-جاكوبي لهذه الحالة مما أتاح التعبير عن m ₁₂ و M _{12 كتكاملات.}

كما نرى من الشكل 14 (الشكل الفرعي العلوي)، فإن الفصل بين خطين جيوديسيين يبدآن من نفس النقطة بسمتيين يختلفان بمقدار d α ₁ هو m ₁₂ d α _1. وعلى سطح مغلق مثل القطع الناقص، يتذبذب m ₁₂ حول الصفر. والنقطة التي يصبح عندها m ₁₂ مساوية للصفر هي النقطة المرافقة لنقطة البداية. ولكي يكون الخط الجيوديسي بين A و B بطول s ₁₂ أقصر مسار، يجب أن يفي بشرط جاكوبي (جاكوبي 1837) (جاكوبي 1866، الفقرة 6) (فورسيث 1927، الفقرة 26-27) (بليس 1916)، وهو أنه لا توجد نقطة مرافقة لـ A بين A و B. وإذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فسيكون هناك مسار قريب (ليس بالضرورة خط جيوديسي) أقصر. وبالتالي، فإن شرط جاكوبي هو خاصية محلية للجيوديسية وهو شرط ضروري فقط لكي يكون الجيوديسية أقصر مسار عالمي. الشروط الضرورية والكافية لكي يكون الجيوديسية أقصر مسار هي:

• لشكل إهليلجي مفلطح، | σ _١٢ | ≥ π ؛
• لشكل إهليلجي متطاول، | 12 |_​ ≥ π , إذا α ₀ ≠ 0 ; إذا كانت α ₀ = 0 ، فإن الشرط الإضافي m ₁₂ ≥ 0 مطلوب إذا | 12 |_​ = .​

تشكل الخطوط الجيوديسية من نقطة معينة A إذا استمرت بعد موضع القطع غلافًا موضحًا في الشكل 15. هنا الخطوط الجيوديسية التي يكون فيها α ₁ مضاعفًا لـتظهر 3° باللون الأزرق الفاتح. (تُظهر الدوائر الجيوديسية فقط لمرورها الأول بالقرب من النقطة المقابلة، وليس للمرور اللاحق.) تظهر بعض الدوائر الجيوديسية باللون الأخضر؛ تشكل هذه نتوءات على الغلاف. يظهر موضع القطع باللون الأحمر. الغلاف هو موضع النقاط المترافقة مع A ؛ يمكن حساب النقاط الموجودة على الغلاف من خلال إيجاد النقطة التي يكون فيها m ₁₂ = 0 على جيوديسية. يسمي جاكوبي (1891) هذا الشكل الشبيه بالنجمة الناتج عن الغلاف كويكبًا .

خارج الكويكب يتقاطع خطان جيوديسيان عند كل نقطة؛ وبالتالي يوجد خطان جيوديسيان (بطول نصف محيط القطع الناقص تقريبًا) بين A وهاتين النقطتين. يتوافق هذا مع الوضع على الكرة حيث توجد مسارات "قصيرة" و"طويلة" على دائرة كبيرة بين نقطتين. داخل الكويكب تتقاطع أربعة خطوط جيوديسية عند كل نقطة. تظهر أربعة من هذه الخطوط الجيوديسية في الشكل 16 حيث يتم ترقيم الخطوط الجيوديسية بترتيب تزايد الطول. (يستخدم هذا الشكل نفس الموضع لـ A كما في الشكل 13 ومرسوم بنفس الإسقاط.) الخطان الجيوديسيان الأقصر مستقران ، أي m ₁₂ > 0 ، بحيث لا يوجد مسار قريب يربط بين النقطتين الأقصر؛ الخطان الآخران غير مستقرين. فقط أقصر خط (الأول) له σ ₁₂ ≤ π . جميع الخطوط الجيوديسية مماسة للغلاف الموضح باللون الأخضر في الشكل.

الكويكب هو التطور (الخارجي) للدوائر الجيوديسية التي يقع مركزها عند النقطة A. وعلى نحو مماثل، فإن الدوائر الجيوديسية هي منحدرات للكويكب.

المضلع الجيوديسي هو مضلع تكون أضلاعه عبارة عن مضلعات جيوديسية. وهو مماثل للمضلع الكروي ، الذي تكون أضلاعه عبارة عن دوائر عظيمة. ويمكن إيجاد مساحة هذا المضلع عن طريق حساب المساحة بين القطعة الجيوديسية وخط الاستواء أولاً، أي مساحة الشكل الرباعي AFHB في الشكل 1 (دانيلسن 1989). وبمجرد معرفة هذه المساحة، يمكن حساب مساحة المضلع عن طريق جمع المساهمات من جميع حواف المضلع.

هنا تم تطوير تعبير للمساحة S ₁₂ من AFHB وفقًا لـ Sjöberg (2006). مساحة أي منطقة مغلقة من القطع الناقص هي

${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

حيث dT هو عنصر من مساحة السطح و K هو الانحناء الغاوسي . الآن، تنص نظرية جاوس-بونيه المطبقة على مضلع جيوديسي على

${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

أين

${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$

هو الفائض الجيوديسي و θ _j هي الزاوية الخارجية عند الرأس j . ضرب معادلة Γ في R ₂ ² ، حيث R ₂ هو نصف القطر الأصلي ، وطرح هذا من معادلة T يعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int \left({\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}\right)\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$

حيث تم استبدال قيمة K للقطع الناقص . بتطبيق هذه الصيغة على الشكل الرباعي AFHB ، مع ملاحظة أن Γ = α ₂ − α ₁ ، وإجراء التكامل على φ يعطي

${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}\left({\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}\right)\sin \varphi \,d\lambda ,}$

حيث يكون التكامل فوق الخط الجيوديسي (بحيث يكون φ ضمناً دالة لـ λ ). يمكن التعبير عن التكامل كسلسلة صالحة لـ f الصغيرة (دانييلسن 1989) (كارني 2013، الفقرة 6 والملحق).

تُعطى مساحة مضلع جيوديسي عن طريق جمع S ₁₂ على حوافه. تتحقق هذه النتيجة بشرط ألا يتضمن المضلع قطبًا؛ وإذا كان يتضمن قطبًا، فيجب إضافة 2 π R ₂ ² إلى المجموع. إذا تم تحديد الحواف بواسطة رؤوسها، فإن التعبير المناسب للفائض الجيوديسي E ₁₂ = α ₂ − α ₁ هو

${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$

يتضمن حل المشكلات الجيوديسية رسم خريطة للجيوديسية على الكرة المساعدة وحل المشكلة المقابلة في الملاحة الدائرية العظمى . عند حل المثلث الكروي "الابتدائي" لـ NEP في الشكل 5، يمكن استخدام قواعد نابير للمثلثات الرباعية ،

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \cos \beta =\tan \omega \cot \sigma ,\\\cos \sigma &=\cos \beta \cos \omega =\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha &=\cos \omega \cos \alpha _{0}=\cot \sigma \tan \beta ,\\\sin \beta &=\cos \alpha _{0}\sin \sigma =\cot \alpha \tan \omega ,\\\sin \omega &=\sin \sigma \sin \alpha =\tan \beta \tan \alpha _{0}.\end{aligned}}}$

يتضمن رسم الخرائط الجيوديسية تقييم التكاملات للمسافة s وخط الطول λ والمعادلات (3) و (4) وتعتمد هذه على المعلمة α ₀ .

إن التعامل مع المشكلة المباشرة أمر بسيط، لأنه يمكن تحديد α ₀ مباشرة من الكميات المعطاة φ ₁ و α ₁ ؛ للحصول على حساب نموذجي، راجع Karney (2013).

في حالة المشكلة العكسية، يتم إعطاء λ ₁₂ ؛ ولا يمكن ربط ذلك بسهولة بالزاوية الكروية المكافئة ω ₁₂ لأن α ₀ غير معروفة. وبالتالي، يتطلب حل المشكلة إيجاد α ₀ بشكل تكراري ( إيجاد الجذر )؛ راجع Karney (2013) للحصول على التفاصيل.

في التطبيقات الجيوديسية، حيث تكون قيمة f صغيرة، يتم تقييم التكاملات عادةً كسلسلة (Legendre 1806) (Oriani 1806) (Bessel 1825) (Helmert 1880) (Rainsford 1955) (Rapp 1993). بالنسبة لقيمة f التعسفية ، يمكن إيجاد التكاملات (3) و(4) بالتربيع العددي أو عن طريق التعبير عنها من حيث التكاملات الإهليلجية (Legendre 1806) (Cayley 1870) (Karney 2024).

يقدم فينسينتي (1975) حلولاً للمشكلات المباشرة والعكسية؛ وهي تعتمد على التوسع المتسلسل الذي يتم تنفيذه إلى الدرجة الثالثة في التسوية وتوفر دقة تبلغ حوالي0.1 ملم للقطع الناقص WGS84 ؛ ومع ذلك، تفشل الطريقة العكسية في التقارب بالنسبة للنقط المتقابلة تقريبًا.

يواصل كارني (2013) التوسعات إلى الدرجة السادسة التي تكفي لتوفير دقة مضاعفة كاملة لـ | f | ≤ 1 ⁄ 50 ويحسن حل المشكلة العكسية بحيث تتقارب في جميع الحالات. يوسع كارني (2013، الملحق) الطريقة لاستخدام التكاملات الإهليلجية التي يمكن تطبيقها على القطع الناقص مع التسوية التعسفية.

إن حل المسألة الجيوديسية لقطع ناقص ذي دوران أمر بسيط رياضيًا: فبسبب التناظر، فإن الجيوديسيات لها ثابت حركة ، يُعطى من خلال علاقة كليروت التي تسمح بتقليص المسألة إلى التربيع. وبحلول أوائل القرن التاسع عشر (مع عمل ليجيندر وأورياني وبيسل وآخرين ) ، كان هناك فهم كامل لخصائص الجيوديسيات على قطع ناقص ذي دوران.

من ناحية أخرى، لا تحتوي الخطوط الجيوديسية على شكل بيضاوي ثلاثي المحاور (بثلاثة محاور غير متساوية) على ثابت واضح للحركة وبالتالي مثلت مشكلة صعبة لم يتم حلها في النصف الأول من القرن التاسع عشر. في ورقة بحثية رائعة، اكتشف جاكوبي (1839) ثابتًا للحركة مما يسمح بتقليص هذه المشكلة إلى التربيع أيضًا (Klingenberg 1982، §3.5). ^[4]

ضع في اعتبارك الشكل البيضاوي المحدد بواسطة

${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

حيث ( X ، Y ، Z ) هي إحداثيات ديكارتية مركزها القطع الناقص، وبدون فقدان العمومية، a ≥ b ≥ c > 0. [ ^5] استخدم جاكوبي (1866، الفقرتان 26-27) إحداثيات إهليلجية (ثلاثية المحاور) ( بخط عرض إهليلجي ثلاثي المحاور وخط طول إهليلجي ثلاثي المحاور ، β ، ω ) المحددة بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\Y&=b\cos \beta \sin \omega ,\\Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

في الحد b → a ، يصبح β خط العرض البارامتري لقطع ناقص مفلطح، لذا فإن استخدام الرمز β يتوافق مع الأقسام السابقة. ومع ذلك، يختلف ω عن خط الطول الكروي المحدد أعلاه. ^[6]

تظهر خطوط الشبكة للثابت β (بالأزرق) و ω (بالأخضر) في الشكل 17. وتشكل هذه الخطوط نظام إحداثيات متعامد : تتقاطع خطوط الشبكة بزوايا قائمة. وتظهر الأقسام الرئيسية للقطع الناقص، المحددة بواسطة X = 0 و Z = 0 باللون الأحمر. أما القسم الرئيسي الثالث، Y = 0 ، فيغطيه الخطوط β = ±90° و ω = 0° أو ±180° . وتلتقي هذه الخطوط عند أربع نقاط سرية (اثنتان منها مرئيتان في هذا الشكل) حيث تكون أقطار الانحناء الرئيسية متساوية. وهنا وفي الأشكال الأخرى في هذا القسم، تكون معلمات القطع الناقص هي a : b : c = 1.01:1:0.8 ، ويُنظر إليه في إسقاط متعامد من نقطة أعلى φ = 40° و λ = 30° .

يمكن تفسير خطوط الشبكة لإحداثيات القطع الناقص بثلاث طرق مختلفة:

1. إنها "خطوط انحناء" على القطع الناقص: وهي موازية لاتجاهات الانحناء الرئيسي (مونج 1796).
2. كما أنها عبارة عن تقاطعات للقطع الناقص مع أنظمة بؤرية من القطع الزائد المكونة من ورقة واحدة أو ورقتين (دوبين 1813، الجزء 5).
3. أخيرًا، هناك قطع ناقص جيوديسية وقطع زائد محددة باستخدام نقطتين متجاورتين من السُرّة (Hilbert & Cohn-Vossen 1952، ص 188). على سبيل المثال، يمكن إنشاء خطوط الثابت β في الشكل 17 باستخدام بنية الخيط المألوفة للقطع الناقص مع تثبيت نهايتي الخيط على نقطتي السُرّة.

أظهر جاكوبي أن المعادلات الجيوديسية، المعبر عنها بإحداثيات إهليلجية، قابلة للفصل. وفيما يلي كيفية سرد اكتشافه لصديقه وجاره بيسل (جاكوبي 1839، رسالة إلى بيسل)،

قبل يوم من أمس، قمت بتقليص مشكلة الخطوط الجيوديسية على شكل بيضاوي بثلاثة محاور غير متساوية إلى التربيع . إنها أبسط الصيغ في العالم، التكاملات الإبيلية ، والتي تصبح التكاملات الإهليلجية المعروفة إذا تم ضبط محورين على أنهما متساويان.

كونيجسبيرج ، 28 ديسمبر '38.

الحل الذي قدمه جاكوبي (جاكوبي 1839) (جاكوبي 1866، §28) هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$

كما لاحظ جاكوبي "دالة الزاوية β تساوي دالة الزاوية ω . هاتان الدالتان هما مجرد تكاملات أبيلية..." يظهر ثابتان δ و γ في الحل. عادةً ما يكون δ صفرًا إذا تم اعتبار الحدود الدنيا للتكاملات نقطة بداية الجيوديسية وتم تحديد اتجاه الجيوديسيات بواسطة γ . ومع ذلك، بالنسبة للجيوديسيات التي تبدأ عند نقاط السرة، يكون لدينا γ = 0 ويحدد δ الاتجاه عند نقطة السرة. يمكن التعبير عن الثابت γ على النحو التالي

${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\alpha ,}$

حيث α هي الزاوية التي يصنعها الخط الجيوديسي مع خطوط ثابتة ω . في الحد b → a ، يتم تقليص هذا إلى sinα cos β = const. ، وهي علاقة كليروت المألوفة. قدم داربو (1894، الفقرات 583-584) اشتقاقًا لنتيجة جاكوبي؛ حيث قدم الحل الذي وجده ليوفيل (1846) للأسطح التربيعية العامة.

على شكل بيضاوي ثلاثي المحاور، توجد ثلاثة خطوط جيوديسية مغلقة بسيطة فقط، والأقسام الثلاثة الرئيسية للقطع الناقص تُعطى بواسطة X = 0 و Y = 0 و Z = 0. [ ^7] ولمسح الخطوط الجيوديسية الأخرى، من المناسب النظر في الخطوط الجيوديسية التي تتقاطع مع القسم الرئيسي الأوسط، Y = 0 ، بزوايا قائمة. تظهر هذه الخطوط الجيوديسية في الأشكال 18-22، والتي تستخدم نفس معلمات القطع الناقص ونفس اتجاه الرؤية كما في الشكل 17. بالإضافة إلى ذلك، تظهر الخطوط البيضاوية الرئيسية الثلاثة باللون الأحمر في كل من هذه الأشكال.

إذا كانت نقطة البداية هي β ₁ ∈ (−90°, 90°) و ω ₁ = 0 و α ₁ = 90° ، فإن γ > 0 ويحيط المسار الجيوديسي بالقطع الناقص بمعنى "محيطي قطبي". يتذبذب المسار الجيوديسي شمال وجنوب خط الاستواء؛ وفي كل تذبذب يكمل أقل بقليل من دورة كاملة حول القطع الناقص مما يؤدي، في الحالة النموذجية، إلى ملء المسار الجيوديسي للمنطقة المحدودة بخطي العرض β = ± β _1. يتم تقديم مثالين في الشكلين 18 و19. يوضح الشكل 18 نفس السلوك عمليًا كما هو الحال بالنسبة للقطع الناقص المفلطح للثورة (لأن a ≈ b )؛ قارن بالشكل 9. ومع ذلك، إذا كانت نقطة البداية عند خط عرض أعلى (الشكل 18)، فإن التشوهات الناتجة عن a ≠ b تكون واضحة. تلامس جميع المماسات للجيوديسية القطبية القطع الزائد أحادي الطبقة المتحد البؤر والذي يتقاطع مع القطع الناقص عند β = β ₁ (Chasles 1846) (Hilbert & Cohn-Vossen 1952، ص 223-224).

إذا كانت نقطة البداية هي β ₁ = 90° و ω ₁ ∈ (0°, 180°) و α ₁ = 180° ، فإن γ < 0 ويدور الخط الجيوديسي حول القطع الناقص بمعنى "عبر القطب". يتذبذب الخط الجيوديسي شرقًا وغربًا من القطع الناقص X = 0 ؛ وفي كل تذبذب يكمل أكثر بقليل من دورة كاملة حول القطع الناقص. وفي الحالة النموذجية، يؤدي هذا إلى ملء الخط الجيوديسي للمنطقة المحدودة بخطي الطول ω = ω ₁ و ω = 180° − ω _1. إذا كانت a = b ، فإن جميع خطوط الطول هي خطوط جيوديسية؛ ويتسبب تأثير a ≠ b في تذبذب هذه الخطوط الجيوديسية شرقًا وغربًا. ويرد مثالان في الشكلين. 20 و21. يختفي انقباض الجيوديسي بالقرب من القطب في الحد b → c ؛ في هذه الحالة، يصبح القطع الناقص قطعًا ناقصًا ممتدًا وسيشبه الشكل 20 الشكل 10 (مدورًا على جانبه). تلمس جميع المماسات للجيوديسي عبر القطب القطع الزائد المزدوج البؤري الذي يتقاطع مع القطع الناقص عند ω = ω ₁ .

في الشكلين 18-21، تكون الخطوط الجيوديسية مغلقة (تقريبًا). وكما هو مذكور أعلاه، في الحالة النموذجية، لا تكون الخطوط الجيوديسية مغلقة، بل تملأ المنطقة المحددة بخطوط العرض المحددة (في حالة الشكلين 18-19) أو خطوط الطول (في حالة الشكلين 20-21).

إذا كانت نقطة البداية هي β ₁ = 90° و ω ₁ = 0° (نقطة السُرّية) و α ₁ = 135° (يترك الجيوديسي القطع الناقص Y = 0 بزاوية قائمة)، فإن γ = 0 ويتقاطع الجيوديسي مرارًا وتكرارًا مع نقطة السُرّية المعاكسة ويعود إلى نقطة بدايته. ومع ذلك، في كل دائرة، تصبح الزاوية التي يتقاطع عندها Y = 0 أقرب إلى0 درجة أو180° بحيث يقع الجيوديسي بشكل مقارب على القطع الناقص Y = 0 (هارت 1849) (أرنولد 1989، ص 265)، كما هو موضح في الشكل 22. لا يملأ الجيوديسي المفرد مساحة على القطع الناقص. تلامس جميع المماسات للجيوديسيات السريّة القطع الزائد البؤري الذي يتقاطع مع القطع الناقص عند نقاط السرّة.

تتمتع الجيوديسية السُرية بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام.

• من خلال أي نقطة على القطع الناقص، هناك اثنين من الخطوط الجيوديسية السرية.
• المسافة الجيوديسية بين النقاط السُرِّية المتقابلة هي نفسها بغض النظر عن الاتجاه الأولي للجيوديسية.
• في حين أن الخطوط الجيوديسية المغلقة على القطع الناقص X = 0 و Z = 0 مستقرة (الخطوط الجيوديسية التي كانت في البداية قريبة من القطع الناقص ومتوازية معه تقريبًا تظل قريبة من القطع الناقص)، فإن الخطوط الجيوديسية المغلقة على القطع الناقص Y = 0 ، والتي تمر عبر جميع النقاط السرية الأربع، غير مستقرة بشكل كبير . إذا تعرضت للاضطراب، فسوف تتأرجح خارج المستوى Y = 0 وتنقلب قبل أن تعود إلى الاقتراب من المستوى. (قد يتكرر هذا السلوك اعتمادًا على طبيعة الاضطراب الأولي.)

إذا لم تكن نقطة البداية A للجيوديسية نقطة سُرّة، فإن غلافها عبارة عن كويكب به قمتان تقعان على β = − β ₁ والقممتان الأخريان تقعان على ω = ω ₁ + π . يكون موضع القطع لـ A هو جزء الخط β = − β ₁ بين القمم.

لم تعد مسائل الجيوديسية المباشرة والعكسية تلعب الدور المركزي في علم المساحة كما كانت في السابق. فبدلاً من حل تعديل الشبكات الجيوديسية كمشكلة ثنائية الأبعاد في علم المثلثات الكروي، يتم الآن حل هذه المسائل باستخدام طرق ثلاثية الأبعاد (فينسينتي وبورينج 1978). ومع ذلك، لا تزال الجيوديسية الأرضية تلعب دورًا مهمًا في العديد من المجالات:

• لقياس المسافات والمساحات في نظم المعلومات الجغرافية ؛
• تعريف الحدود البحرية (اتفاقية الأمم المتحدة لقانون البحار 2006)؛
• في قواعد إدارة الطيران الفيدرالية للملاحة الجوية (RNAV 2007)؛
• طريقة قياس المسافات في قانون الاتحاد الدولي لكرة القدم (FAI 2018).
• مساعدة المسلمين في العثور على اتجاههم نحو مكة

وفقًا لمبدأ أقل قدر من الفعل ، يمكن صياغة العديد من المشكلات في الفيزياء كمشكلة متغيرة مماثلة لتلك الخاصة بالجيوديسيا. في الواقع، تعادل المشكلة الجيوديسية حركة جسيم مقيد بالتحرك على السطح، ولكن بخلاف ذلك لا يخضع لأي قوى (لابلاس 1799أ) (هيلبرت وكوهن-فوسن 1952، ص 222). لهذا السبب، تُستخدم الجيوديسيا على الأسطح البسيطة مثل القطع الناقص الدوراني أو القطع الناقص ثلاثي المحاور بشكل متكرر كـ "حالات اختبار" لاستكشاف طرق جديدة. تشمل الأمثلة:

• تطور التكاملات الإهليلجية (Legendre 1811) والوظائف الإهليلجية (Weierstrass 1861)؛
• تطور الهندسة التفاضلية (جاوس 1828) (كريستوفيل 1869)؛
• طرق حل أنظمة المعادلات التفاضلية عن طريق تغيير المتغيرات المستقلة (جاكوبي 1839)؛
• دراسة المواد الكاوية (جاكوبي 1891)؛
• التحقيقات في عدد واستقرار المدارات الدورية (بوانكاريه 1905)؛
• في الحد c → 0 ، تتحول الخطوط الجيوديسية على شكل بيضاوي ثلاثي المحاور إلى حالة من البلياردو الديناميكي ؛
• امتدادات لعدد عشوائي من الأبعاد (Knörrer 1980)؛
• التدفق الجيوديسي على السطح (برجر 2010، الفصل 12).

• مسارات قسم الأرض
• شكل الأرض
• المسافة الجغرافية
• الملاحة الدائرية العظمى
• القطع الناقص العظيم
• جيوديسية
• الجيوديسيا
• إسقاط الخريطة
  • إسقاط خريطة القطع الناقص الثلاثي المحاور
• قوس الزوال
• خط الرومب
• صيغ فينسينتي

• قائمة ببليوغرافية جيوديسية على الإنترنت للكتب والمقالات حول الجيوديسية على الأشكال الإهليلجية.
• مجموعة اختبار للجيوديسيات، وهي مجموعة مكونة من 500000 جيوديسية للقطع الناقص WGS84، تم حسابها باستخدام الحسابيات عالية الدقة.
• أداة NGS التي تنفذ Vincenty (1975).
• geod(1)، صفحة دليل لأداة PROJ للحسابات الجيوديسية.
• تنفيذ GeographicLib لـ Karney (2013).
• رسم الجيوديسيا على خرائط جوجل.