نظرية غالوا لغروتينديك

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية غالوا لغروتينديك منهجًا تجريديًا لنظرية غالوا للحقول، وقد طُوّرت حوالي عام 1960 لتوفير طريقة لدراسة المجموعة الأساسية للطوبولوجيا الجبرية في سياق الهندسة الجبرية . وهي تُقدّم، في الإطار الكلاسيكي لنظرية الحقول ، منظورًا بديلًا لمنظور إميل آرتين القائم على الجبر الخطي ، والذي أصبح معيارًا منذ حوالي ثلاثينيات القرن العشرين.

يهتم منهج ألكسندر غروتينديك بالخصائص النظرية للفئات التي تميز فئات المجموعات المنتهية G لمجموعة شبه منتهية ثابتة G. على سبيل المثال، قد تكون G هي المجموعة التي يُرمز لها بـ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$(انظر العدد الصحيح المحدود )، وهو الحد العكسي للمجموعات الجمعية الدورية${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$أو ما يعادل ذلك، إكمال المجموعة الدورية اللانهائية${\displaystyle \mathbb {Z} }$بالنسبة لطوبولوجيا المجموعات الجزئية ذات الدليل المحدود. تُعرَّف المجموعة G المحدودة بأنها مجموعة محدودة X تؤثر عليها G من خلال مجموعة دورية محدودة خارج القسمة، بحيث يتم تحديدها بإعطاء تبديل ما لـ X.

في المثال أعلاه، يمكن ملاحظة وجود صلة بنظرية غالوا الكلاسيكية من خلال النظر إلى${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$باعتبارها زمرة غالوا المنتهية Gal( F / F ) للإغلاق الجبري F لأي حقل منتهٍ F ، على F. أي أن التشاكلات الذاتية لـ F التي تثبت F تُوصف بالنهاية العكسية، كلما أخذنا حقول تجزئة منتهية أكبر فأكبر على F. يمكن رؤية الصلة بالهندسة عند النظر إلى فضاءات التغطية للقرص الواحدي في المستوى المركب مع إزالة الأصل: التغطية المنتهية التي يتم تحقيقها بواسطة خريطة z ⁿ للقرص، والتي يتم التفكير فيها بواسطة متغير عدد مركب z ، تتوافق مع الزمرة الجزئية${\displaystyle n\mathbb {Z} }$من المجموعة الأساسية للقرص المثقوب.

توضح نظرية غروتينديك، المنشورة في SGA1 ، كيفية إعادة بناء فئة مجموعات G من دالة الألياف${\displaystyle \Phi }$، والتي تأخذ في السياق الهندسي ألياف غطاء فوق نقطة أساسية ثابتة (كمجموعة). في الواقع، تم إثبات وجود تماثل من النوع

${\displaystyle G\cong \operatorname {Aut} (\Phi )}$،

أما الأخيرة فهي مجموعة التشاكلات الذاتية ( التكافؤات الطبيعية الذاتية ) لـ${\displaystyle \Phi }$. يتم تقديم تصنيف مجرد للفئات مع دالة لفئة المجموعات، والتي يمكن من خلالها التعرف على فئات G- المجموعات لـ G- المجموعات المحدودة.

لفهم كيفية تطبيق ذلك على حالة الحقول، يجب دراسة حاصل الضرب الموتري للحقول . في نظرية التوبوس، يُعد هذا جزءًا من دراسة التوبوسات الذرية .

• الشكلية التاناكية
• دالة الألياف
• الهندسة غير الأبيلية

• Grothendieck, الكسندر ; وآخرون  . (1971). SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental، 1960–1961سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  224. دار نشر سبرينغر . arXiv : math/0206203 . ISBN 978-3-540-36910-3.
• جروتينديك ، ألكسندر (1965). Algèbres Étales et théorie de Galois (PDF) .
• جويال، أندريه ؛ تيرني، مايلز (1984). توسيع لنظرية غالوا لغروتينديك . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 0-8218-2312-4.

• بورسو، ف.؛ جانيليدزه، ج. (2001). نظريات غالوا . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-80309-8.(يقدم هذا الكتاب للقارئ نظرية غالوا لغروتينديك ، وبعض التعميمات، مما يؤدي إلى زمر غالوا .)
• شامويلي، تاماس (2009). زمر غالوا والزمر الأساسية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-1-139-48114-4.
• دوبوك، إي جيه؛ دي لا فيجا، CS (2000). “حول نظرية جالوا لجروتينديك”. أرخايف : الرياضيات/0009145 .

• كاراميلو، أوليفيا (2016). "نظرية غالوا الطوبولوجية" . التقدم في الرياضيات . 291 : 646-695 . arXiv : 1301.0300 . doi : 10.1016/j.aim.2015.11.050 .