الشكلية التاناكية

في الرياضيات ، تُعدّ فئة تاناكيان نوعًا خاصًا من الفئات المونيدية C ، مزودة ببنية إضافية بالنسبة لحقل مُعطى K. ويتمثل دور هذه الفئات C في تعميم فئة التمثيلات الخطية لمجموعة جبرية G مُعرّفة على K. وقد طُبّقت، أو يُمكن تطبيق، عدد من التطبيقات الرئيسية لهذه النظرية في سبيل تحقيق بعض الفرضيات المركزية في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد المعاصرة .

يُستمد الاسم من نظرية تاداو تاناكا وازدواجية تاناكا-كراين ، وهي نظرية تتناول الزمر المدمجة G ونظرية تمثيلها . طُوّرت هذه النظرية أولًا في مدرسة ألكسندر غروتينديك ، ثم أعاد بيير ديلين النظر فيها لاحقًا ، مع إدخال بعض التبسيطات. وتستند النظرية في جوهرها إلى نظرية غالوا لغروتينديك ، وهي نظرية تتناول تمثيلات التبديلات المحدودة للزمر G التي هي زمر شبه منتهية .

جوهر النظرية هو استبدال دالة الألياف Φ في نظرية غالوا بدالة موترية دقيقة وصادقة F من C إلى فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة على K. وتُستبدل مجموعة التحويلات الطبيعية لـ Φ إلى نفسها، والتي تُعدّ مجموعة شبه منتهية في نظرية غالوا، بمجموعة التحويلات الطبيعية G لـ F إلى نفسها، والتي تحافظ على بنية الموترات. وهذه المجموعة، بشكل عام، ليست مجموعة جبرية، بل هي مخطط مجموعة أكثر عمومية ، وهي حد عكسي للمجموعات الجبرية ( مجموعة شبه جبرية )، وبالتالي، يُلاحظ أن C مكافئة لفئة التمثيلات الخطية ذات الأبعاد المحدودة لـ G.

بشكل أعم، قد يكون أن دوال الألياف F كما هو مذكور أعلاه موجودة فقط لفئات الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة على حقول التمديد غير التافهة L / K. في مثل هذه الحالات ، يتم استبدال مخطط المجموعة G بـ gerbe${\displaystyle {\mathcal {G}}}$في موقع fpqc الخاص بـ Spec( K )، ويكون C مكافئًا لفئة التمثيلات (ذات الأبعاد المحدودة) لـ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

ليكن K حقلاً و C فئة موتر صلب أبيلي خطي K (أي فئة أحادية متناظرة ) بحيث${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbf {1} )\cong K}$إذن، تُعتبر C فئة تاناكيانية (على K ) إذا وُجد حقل امتداد L لـ K بحيث يوجد مُوَجِّه موتر خطي دقيق ومخلص (أي مُوَجِّه أحادي قوي ) F من C إلى فئة فضاءات المتجهات L ذات الأبعاد المحدودة . وتُعتبر الفئة التاناكيانية على K محايدة إذا وُجد مُوَجِّه موتر دقيق ومخلص F بحيث L=K . ^{[ 1 ]}

يُستخدم البناء التاناكي في العلاقات بين بنية هودج والتمثيل l-adic . من الناحية الأخلاقية ، تُخبرنا فلسفة الدوافع أن بنية هودج وتمثيل غالوا المرتبطين بتنوع جبري مرتبطان ببعضهما البعض. تنشأ الزمر الجبرية المترابطة ارتباطًا وثيقًا، زمرة مامفورد-تيت وزمرة غالوا التحفيزية ، من فئات بنى هودج، وفئة تمثيلات غالوا، والدوافع من خلال فئات تاناكي. تقترح حدسية مامفورد-تيت أن الزمر الجبرية الناشئة عن بنية هودج وتمثيل غالوا بواسطة فئات تاناكي متماثلة مع بعضها البعض حتى المكونات المتصلة.

ترتبط مجالات التطبيق هذه ارتباطًا وثيقًا بنظرية الدوافع . ومن المجالات الأخرى التي استُخدمت فيها فئات تاناكيان، ربطها بتخمين غروتينديك-كاتز حول انحناء p ؛ أي بعبارة أخرى، في مجموعات المونودرومي المحدودة .

تُثبت معادلة ساتيك الهندسية تكافؤًا بين تمثيلات المجموعة الثنائية لانجلاندز${\displaystyle {}^{L}G}$من مجموعة اختزالية G وحزم معكوسة متكافئة معينة على فضاء غراسماني الأفيني المرتبط بـ G. يوفر هذا التكافؤ بناءً غير توافقي لمجموعة لانغلاندز الثنائية. وقد تم إثبات ذلك من خلال إظهار أن فئة الحزم المعكوسة المذكورة هي فئة تاناكيان وتحديد مجموعتها الثنائية تاناكا مع${\displaystyle {}^{L}G}$.

أثبت ويدهورن (2004) نتائج ثنائية تاناكا الجزئية في حالة كون الفئة خطية بالنسبة لـ R ، حيث لم يعد R حقلاً (كما في ثنائية تاناكا الكلاسيكية)، بل حلقات تقييم معينة . وقد بدأ إيواناري (2018) بتطوير ثنائية تاناكا في سياق فئات اللانهاية .

• ديلين، بيير (2007) [1990]، “Catégories tannakiennes” ، The Grothendieck Festschrift ، المجلد.  II، بيركهاوزر، ص 111 – 195، ISBN  9780817645755
• الأماكن القريبة : ميلن، جيمس (1982)، “فئات تاناكيان” ، في ديلين، بيير؛ ميلن، جيمس. أوجوس، آرثر؛ شيه، كوانغ ين (محرران)، دورات هودج، الدوافع، وأصناف شيمورا ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد.  900، سبرينغر، ص 101-228 ، ISBN  978-3-540-38955-2

• إيواناري، إيسامو (2018)، “ازدواجية تاناكا وفئات اللانهاية المستقرة”، مجلة الطوبولوجيا ، 11 (2): 469-526، أرخايف : 1409.3321 ، دوى : 10.1112/topo.12057
• Saavedra Rivano، Neantro (1972)، فئات Tannakiennes ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد.  265، سبرينغر، ISBN 978-3-540-37477-0، MR 0338002 

• ويدهورن، تورستن (2004)، "حول ازدواجية تاناكيان على حلقات التقييم"، مجلة الجبر ، 282 (2): 575-609 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.07.024 ، MR 2101076 

• م. لارسن و ر. بينك. تحديد التمثيلات من الأبعاد الثابتة. Invent. math.، 102:377–389، 1990.