حدسية هادويغر (الهندسة التوافقية)

مشكلة لم تُحل في الرياضيات

هل يستطيع كل${\displaystyle n}$جسم محدب ذو أبعاد n مغطى بـ${\displaystyle 2^{n}}$نسخ أصغر من نفسها؟

المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

في الهندسة التوافقية ، تنص حدسية هادويغر على أنه يمكن تغطية أي جسم محدب في فضاء إقليدي ذي n بُعدًا ^بـ 2n جسمًا أصغر أو أقل متماثلة مع الجسم الأصلي، وأن الحد الأعلى ²ⁿ ضروري إذا وفقط إذا كان الجسم متوازي مستطيلات . كما توجد صياغة مكافئة بدلالة عدد الأضواء الكاشفة اللازمة لإضاءة الجسم.

سُميت حدسية هادويغر نسبةً إلى هوغو هادويغر ، الذي أدرجها ضمن قائمة المسائل غير المحلولة عام 1957؛ إلا أنها دُرست سابقًا من قِبل ليفي (1955)، وبشكل مستقل من قِبل غوهبرغ وماركوس (1960) . إضافةً إلى ذلك، توجد حدسية هادويغر أخرى تتعلق بتلوين الرسوم البيانية ، وفي بعض المصادر تُسمى حدسية هادويغر الهندسية أيضًا حدسية ليفي-هادويغر أو مسألة تغطية هادويغر-ليفي .

لا تزال الفرضية دون حل حتى في ثلاثة أبعاد، على الرغم من أن الحالة ثنائية الأبعاد قد تم حلها بواسطة ليفي (1955) .

بصورة رسمية، تنص فرضية هادويغر على ما يلي: إذا كانت K أي مجموعة محدبة محدودة في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، R ⁿ ، فإنه توجد مجموعة من 2 ⁿ من القيم العددية s _i ومجموعة من 2 ⁿ من متجهات الإزاحة v _i بحيث تقع جميع قيم s _i في النطاق 0 < s _i < 1 و    

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i=1}^{2^{n}}s_{i}K+v_{i}.}$$

علاوة على ذلك، فإن الحد الأعلى ضروري إذا وفقط إذا كان K متوازي مستطيلات، وفي هذه الحالة يمكن اختيار جميع 2 ⁿ من القيم العددية لتكون مساوية لـ 1/2.

كما هو موضح في الرسم التوضيحي، يمكن تغطية المثلث بثلاث نسخ أصغر منه، وبشكل أعم، في أي بُعد، يمكن تغطية المجسم البسيط بـ n  +  1 نسخة منه، مُصغّرة بمعامل n / ( n  +  1). مع ذلك، تتطلب تغطية المربع بمربعات أصغر (ذات أضلاع موازية للمربع الأصلي) أربعة مربعات أصغر، لأن كل مربع منها لا يُغطي إلا زاوية واحدة من زوايا المربع الأكبر الأربع. في الأبعاد الأعلى، تتطلب تغطية المكعب الفائق، أو بشكل أعم متوازي المستطيلات ، بنسخ متماثلة أصغر من الشكل نفسه، نسخة منفصلة لكل رأس من رؤوس المكعب الفائق أو متوازي المستطيلات الأصلي؛ ولأن هذه الأشكال تحتوي على 2n ^رأسًا ، فإن 2n ^نسخة أصغر ضرورية. هذا العدد كافٍ أيضًا: يمكن تغطية المكعب أو متوازي المستطيلات بـ 2n ^نسخة ، مُصغّرة بمعامل 1/2. يفترض هادويغر أن متوازيات المستطيلات هي أسوأ حالة لهذه المسألة، وأن أي جسم محدب آخر يمكن تغطيته بأقل من 2n ^نسخة أصغر منه. ^{[ 1 ]}

حُسمت الحالة ثنائية الأبعاد بواسطة ليفي (1955) : يمكن تغطية أي مجموعة محدبة محدودة ثنائية الأبعاد بأربع نسخ أصغر منها، ولا تُحتاج النسخة الرابعة إلا في حالة متوازيات الأضلاع. مع ذلك، يبقى هذا التخمين مفتوحًا في الأبعاد الأعلى باستثناء بعض الحالات الخاصة. وأفضل حد تقريبي معروف لعدد النسخ الأصغر اللازمة لتغطية جسم معين هو ^{[ 2 ].}$${\displaystyle \displaystyle 4^{n}\exp {\frac {-cn}{\log ^{8}n}},}$$ أين${\displaystyle c}$هو ثابت موجب. بالنسبة للقيم الصغيرة${\displaystyle n}$الحد الأعلى لـ${\displaystyle (n+1)n^{n-1}-(n-1)(n-2)^{n-1}}$إنّ الطريقة التي وضعها لاساك (1988) أفضل من الطريقة التقاربية. في ثلاثة أبعاد، أظهر بابادوبيراكيس (1999) أن 16 نسخة تكفي دائمًا، ثم أظهر بريماك (2023) أن 14 نسخة تكفي دائمًا، لكن هذا لا يزال بعيدًا عن الحدّ المفترض البالغ 8 نسخ. ^{[ 1 ]}

من المعروف أن هذه الفرضية صحيحة بالنسبة لفئات خاصة معينة من الأجسام المحدبة، بما في ذلك، في البعد الثالث، متعددات السطوح المتناظرة مركزياً والأجسام ذات العرض الثابت . ^{[ 1 ]} عدد النسخ اللازمة لتغطية أي سطح محدب (بخلاف متوازي المستطيلات) هو على الأكثر${\displaystyle (3/4)2^{n}}$أما بالنسبة للأجسام ذات السطح الأملس (أي التي لها مستوى مماس واحد لكل نقطة حدودية)، فعلى الأكثر${\displaystyle n+1}$هناك حاجة إلى نسخ أصغر لتغطية الجسم، كما أثبت ليفي بالفعل. ^{[ 1 ]}

• تخمين بورزوك بشأن تغطية الأجسام المحدبة بمجموعات ذات قطر أصغر

• بولتيانسكي، فلاديمير ج .؛ جوهبرغ، إسرائيل (1985). "11. حدسية هادويغر". نتائج ومسائل في الهندسة التوافقية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 44-46 . ISBN  978-0-521-26923-0..
• براس، بيتر؛ موسر، ويليام؛ باتش، يانوس (2005). "3.3 مسألة تغطية ليفي-هادويغر والإضاءة". مسائل بحثية في الهندسة المتقطعة . سبرينغر-فيرلاغ. ص 136-142 . ISBN  978-0-387-23815-9..
• كامبوس، مارسيلو؛ فان هينتوم، بيتر؛ موريس، روبرت ؛ تيبا، ماريوس (2023)، "نحو حدسية هادويغر عبر تقطيع بورغين"، إشعارات بحوث الرياضيات الدولية ، 2024 (10): 8282-8295 ، arXiv : 2206.11227 ، doi : 10.1093/imrn/rnad198.
• غوهبرغ، إسرائيل تس.؛ ماركوس، ألكسندر س. (1960)، "مسألة معينة حول تغطية المجموعات المحدبة بمجموعات متماثلة"، إزفستيا مولدافيسكوغو فيليالا أكاديميي ناوك إس إس إس آر (باللغة الروسية)، 10 ( 76): 87-90.
• Hadwiger، Hugo (1957)، “Ungelösteإشكالية رقم 20″، Elemente der Mathematik ، 12 : 121.
• هوانغ، هان؛ سلومكا، بواز أ.؛ تكوتش، توماش؛ فريتسيو، بياتريس-هيلين (2022)، "حدود محسّنة لمسألة تغطية هادويغر عبر تقديرات الغلاف الرقيق"، مجلة الجمعية الرياضية الأوروبية ، 24 (4): 1431-1448 ، arXiv : 1811.12548 ، doi : 10.4171/jems/1132 ، ISSN 1435-9855 .
• لاساك، ماريك (1988)، "تغطية حدود مجموعة محدبة بالبلاطات"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 104 (1): 269-272 ، doi : 10.1090/s0002-9939-1988-0958081-7 ، MR 0958081 .
• بابادوبيراكيس، يوانيس (1999)، "تقدير لمشكلة إضاءة حدود جسم محدب في${\displaystyle E^{3}}$"، Geometriae Dedicata ، 75 (3): 275-285 ، دوى : 10.1023 / أ:1005056207406.
• بريماك، أندري (2023)، "حد جديد لمسألة التغطية لهادويغر في${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$، مجلة SIAM للرياضيات المتقطعة ، 37 (1): 17-24 ، doi : 10.1137/22M1490314.
• Levi، Friedrich Wilhelm (1955)، “Überdeckung eines Eibereiches durch Parallelverschiebungen seines offenen Kerns”، Archiv der Mathematik ، 6 (5): 369–370 ، دوى : 10.1007 / BF01900507 ، S2CID 121459171 .