نظرية هاس-مينكوفسكي

الموسوعة الحرة
الأعداد الصحيحة الثنائية. إن عرض جميع الأعداد النسبية الثنائية سيتضمن سلسلة لا نهائية من الكتل تتحرك إلى يسار الشكل.
خط الأعداد الحقيقية
هناك مجموعتان مكتملتان للأعداد النسبية، وهما الأعداد الثنائية (هنا، تم عرض الأعداد الصحيحة الثنائية فقط) والأعداد الحقيقية . تُعطي نظرية هاس-مينكوفسكي علاقة بين الأشكال التربيعية في حقل عددي وفي مجموعات الإكمال لهذا الحقل.

تُعدّ نظرية هاس -مينكوفسكي نتيجةً أساسيةً في نظرية الأعداد ، تنصّ على أن صيغتين تربيعيتين على حقل عددي متكافئتان إذا وفقط إذا كانتا متكافئتين محليًا في جميع المواضع ، أي متكافئتين على كل إكمال طوبولوجي للحقل (الذي قد يكون حقيقيًا أو مركبًا أو p-adic ). ومن النتائج ذات الصلة أن الفضاء التربيعي على حقل عددي يكون متناحٍ إذا وفقط إذا كان متناحٍ محليًا في كل مكان، أو بصورة مكافئة، أن الصيغة التربيعية على حقل عددي تُمثّل الصفر تمثيلًا غير تافه إذا وفقط إذا تحقق ذلك لجميع إكمالات الحقل. وقد برهن هيرمان مينكوفسكي هذه النظرية على حقل الأعداد النسبية ، وعممها هيلموت هاس على حقول الأعداد . وينطبق هذا البيان نفسه، بشكلٍ أعمّ، على جميع الحقول الشاملة .

أهمية

تكمن أهمية نظرية هاس-مينكوفسكي في النموذج الجديد الذي قدمته للإجابة على المسائل الحسابية: لتحديد ما إذا كانت معادلة من نوع معين لها حل في الأعداد النسبية، يكفي اختبار ما إذا كانت لها حلول على حقول كاملة من الأعداد الحقيقية والأعداد p -adic، حيث يمكن تطبيق تقنيات تحليلية مثل طريقة نيوتن ونظيرتها p -adic، وهي مبرهنة هينسل . هذا هو أول مثال مهم لمبدأ محلي-عالمي ، وهو أحد أهم التقنيات الأساسية في الهندسة الحسابية .

تطبيق على تصنيف الأشكال التربيعية

تُبسط نظرية هاس-مينكوفسكي مسألة تصنيف الأشكال التربيعية على حقل عددي K إلى حد التكافؤ مع مجموعة من المسائل المماثلة، ولكن الأبسط بكثير، على الحقول المحلية . تتمثل الثوابت الأساسية للشكل التربيعي غير المنفرد في بُعده ، وهو عدد صحيح موجب، ومميزه بتردد المربعات في K ، وهو عنصر من المجموعة الضربية K * / K *2 . بالإضافة إلى ذلك، لكل موضع v في K ، يوجد ثابت ناتج عن الإكمال Kv . وبحسب اختيار v ، قد يكون هذا الإكمال هو الأعداد الحقيقية R ، أو الأعداد المركبة C ، أو حقل عددي p-adic ، ولكل منها أنواع مختلفة من الثوابت.

  • حالة R. بحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فإن التوقيع (أو، بدلاً من ذلك، المؤشر السلبي للقصور الذاتي) هو ثابت كامل.
  • الحالة ج . جميع الأشكال التربيعية غير المنفردة ذات البعد نفسه متكافئة.
  • حالة Q p وامتداداتها الجبرية . يتم تصنيف الأشكال ذات البعد نفسه حتى التكافؤ بواسطة ثابت هاس الخاص بها .

يجب أن تستوفي هذه الثوابت بعض شروط التوافق: علاقة التكافؤ (يجب أن تتطابق إشارة المميز مع مؤشر القصور الذاتي السالب) وصيغة الضرب (علاقة محلية-عالمية). وعلى العكس، لكل مجموعة من الثوابت التي تستوفي هذه العلاقات، توجد صيغة تربيعية على K تتضمن هذه الثوابت.

مراجع