تركيبة هافرسين

تحدد صيغة هافرسين المسافة على الدائرة العظمى بين نقطتين على سطح الكرة بمعلومية خطوط الطول والعرض الخاصة بهما. وهي صيغة مهمة في الملاحة ، وتُعد حالة خاصة من صيغة أكثر عمومية في حساب المثلثات الكروية ، وهي قانون هافرسين ، الذي يربط بين أضلاع وزوايا المثلثات الكروية.

نُشر أول جدول للهافرسينات باللغة الإنجليزية بواسطة جيمس أندرو عام 1805، ^{[ 1 ]} لكن فلوريان كاجوري يُنسب استخدامًا سابقًا لها إلى خوسيه دي ميندوزا إي ريوس عام 1801. ^{[ 2 ] [ 3 ]} صاغ جيمس إنمان مصطلح " هافرسين " عام 1835 ، وهو اختصار لعبارة "half-versed sine". ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تُستمد هذه التسميات من كونها تُكتب عادةً بدلالة دالة هافرسين، المعطاة بالصيغة hav θ = sin ² ⁠ 1 / 2 ⁠ θ . ويمكن كتابة الصيغ بدلالة أي مضاعف لدالة هافرسين، مثل دالة فيرسين القديمة (ضعف دالة هافرسين). قبل ظهور الحواسيب، كان التخلص من القسمة والضرب بمعاملات العدد اثنين ملائمًا لدرجة أن جداول قيم هافرسين واللوغاريتمات أُدرجت في نصوص الملاحة وعلم المثلثات في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} في الوقت الحاضر، تُعد صيغة هافرسين ملائمة أيضًا لعدم احتوائها على معامل أمام دالة sin ² .

وتتم مقارنة هذه الصيغة بقانون جيب التمام الكروي ، والذي هو مكافئ نظرياً.

تُظهر العلاقة الأساسية من خلال $${\displaystyle d=r\,\theta ,}$$ أين

• ${\displaystyle \theta }$هي الزاوية المركزية بين أي نقطتين على سطح الكرة،
• ${\displaystyle d}$هي المسافة بين نقطتين على طول دائرة عظمى للكرة (انظر المسافة الكروية ).
• ${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر الكرة.

تسمح صيغة هافرسين بحساب هافرسين${\displaystyle \theta }$يتم حسابها مباشرة من خط العرض (الممثل بـ φ ) وخط الطول (الممثل بـ λ ) للنقطتين: $${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)}$$ أين

• φ ₁ و φ ₂ هما خط عرض النقطة 1 وخط عرض النقطة 2،
• λ ₁ و λ ₂ هما خط طول النقطة 1 وخط طول النقطة 2،
• ${\displaystyle \Delta \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$،${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$.

تحسب دالة هافرساين نصف جيب الزاوية θ ، أو مربعات أنصاف وتر الزاوية على دائرة الوحدة (الكرة). وهي مرتبطة بدوال جيبية أخرى. $${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}.}$$

لحساب قيمة θ من الفروق بين خطوط العرض والطول بشكل صريح: $${\displaystyle \theta =2\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} \theta }}\right),}$$ أين${\displaystyle \operatorname {hav} \theta }$يمكن حسابها بواسطة: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {hav} \theta &=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\\&=\operatorname {hav} (\Delta \varphi )+(1-\operatorname {hav} (\Delta \varphi )-\operatorname {hav} (2\varphi _{\text{m}}))\cdot \operatorname {hav} (\Delta \lambda )\\&=\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)\\&=\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)\\&=\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \varphi }{2}}\right)\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)+\cos ^{2}\left(\varphi _{\text{m}}\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda }{2}}\right)\\&={\frac {1-\cos \left(\Delta \varphi \right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \left(1-\cos \left(\Delta \lambda \right)\right)}{2}}\end{aligned}}}$$ و ${\displaystyle \varphi _{\text{m}}={\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}}$.

عند استخدام هذه الصيغ، يجب التأكد من أن h = hav( θ ) لا تتجاوز 1 بسبب خطأ الفاصلة العائمة ( حيث يكون d حقيقيًا فقط عندما يكون 0 ≤ h ≤ 1 ). تقترب h من 1 فقط عند النقاط المتقابلة (على جانبي الكرة) - في هذه المنطقة، تميل الأخطاء العددية الكبيرة نسبيًا إلى الظهور في الصيغة عند استخدام دقة محدودة. ولأن d تكون كبيرة حينها (تقترب من πR ، أي نصف محيط الكرة)، فإن الخطأ الصغير غالبًا لا يمثل مصدر قلق كبير في هذه الحالة غير المعتادة (على الرغم من وجود صيغ أخرى لحساب المسافة على الدائرة العظمى تتجنب هذه المشكلة). (تُكتب الصيغة أعلاه أحيانًا بدلالة دالة الظل العكسي ، ولكنها تعاني من مشاكل عددية مماثلة بالقرب من h = 1 ).

كما هو موضح أدناه، يمكن كتابة صيغة مشابهة باستخدام دوال جيب التمام (وتُسمى أحيانًا قانون جيب التمام الكروي ، ويجب عدم الخلط بينها وبين قانون جيب التمام في الهندسة المستوية) بدلًا من دوال هافرسين، ولكن إذا كانت النقطتان متقاربتين (على سبيل المثال، بمسافة كيلومتر واحد بينهما على سطح الأرض)، فقد نحصل على cos ( d / R ) = 0.99999999 ، مما يؤدي إلى نتيجة غير دقيقة. وبما أن صيغة هافرسين تستخدم دوال الجيب، فإنها تتجنب هذه المشكلة.

كلا الصيغتين تقريبيتان فقط عند تطبيقهما على الأرض ، التي ليست كرة مثالية: يتراوح نصف قطر الأرض (R ) من 6356.752  كم عند القطبين إلى 6378.137  كم عند خط الاستواء. والأهم من ذلك، أن نصف قطر انحناء خط الشمال-الجنوب على سطح الأرض يزيد بنسبة 1% عند القطبين (≈6399.594  كم) عنه عند خط الاستواء (≈6335.439  كم) - لذا لا يمكن ضمان دقة صيغة هافرسين وقانون جيب التمام بدقة أفضل من 0.5%. وتُقدم صيغ فينسينتي والصيغ الأخرى في مقال المسافة الجغرافية طرقًا أكثر دقة تأخذ في الاعتبار شكل الأرض الإهليلجي .

بفرض وجود كرة وحدة، يُعرَّف "المثلث" على سطح الكرة بالدوائر العظمى التي تصل بين ثلاث نقاط u و v و w على الكرة. إذا كانت أطوال هذه الأضلاع الثلاثة هي a (من u إلى v ) و b (من u إلى w ) و c (من v إلى w )، وكانت زاوية الرأس المقابلة لـ c هي C ، فإن قانون هافرسين ينص على ما يلي: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).}$$

بما أن هذه كرة وحدة، فإن الأطوال a و b و c تساوي ببساطة الزوايا ( بالراديان ) التي تشكلها تلك الأضلاع من مركز الكرة (بالنسبة للكرة غير الوحدة، فإن طول كل قوس من هذه الأقواس يساوي زاويته المركزية مضروبة في نصف قطر الكرة R ).

للحصول على صيغة هافرسين من القسم السابق انطلاقًا من هذا القانون، يُنظر ببساطة في الحالة الخاصة حيث u هي القطب الشمالي ، بينما v و w هما النقطتان اللتان يُراد تحديد المسافة بينهما d . في هذه الحالة، a و b هما π / 2 - φ (أي خطي العرض المتطابقين)، و C هي المسافة الطولية λ / ₂ - λ/ _{1 ،} و c هي d / R المطلوبة . وبملاحظة أن sin( π / 2 - φ ) = cos( φ ) ، تُستنتج صيغة هافرسين مباشرةً.

لاستنتاج قانون الجيب التمام، يبدأ المرء بقانون الجيب التمام الكروي : $${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}$$

كما ذُكر سابقًا، تُعدّ هذه الصيغة طريقةً غير مستقرة لحساب قيمة c عندما تكون صغيرة. بدلًا من ذلك، نستبدل المتطابقة cos( θ ) = 1 − 2 hav( θ ) ، ونستخدم أيضًا متطابقة الجمع cos( a − b ) = cos( a ) cos( b ) + sin( a ) sin( b ) ، لنحصل على قانون هافرسين المذكور أعلاه.

يمكن إثبات صحة الصيغة التالية: $${\displaystyle \operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)}$$ عن طريق تحويل النقاط المعطاة بخطوط العرض والطول إلى إحداثيات ديكارتية ، ثم أخذ حاصل الضرب النقطي لها .

ضع في اعتبارك نقطتين${\displaystyle {\bf {p_{1},p_{2}}}}$على الكرة الوحدة ، المعطاة بخط عرضها${\displaystyle \varphi }$وخط الطول${\displaystyle \lambda }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\end{aligned}}}$$

تتشابه هذه التمثيلات إلى حد كبير مع الإحداثيات الكروية ، إلا أن خط العرض يُقاس بالزاوية من خط الاستواء وليس من القطب الشمالي. وتُمثل هذه النقاط بالإحداثيات الديكارتية كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}}$$

من هنا، يمكننا محاولة حساب حاصل الضرب النقطي مباشرةً والمتابعة، إلا أن الصيغ تصبح أبسط بكثير عند مراعاة الحقيقة التالية: المسافة بين النقطتين لن تتغير إذا قمنا بتدوير الكرة على طول${\displaystyle z}$المحور السيني. سيؤدي هذا في الواقع إلى إضافة ثابت إلى${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$لاحظ أن اعتبارات مماثلة لا تنطبق على تحويل خطوط العرض - فإضافة ثابت إلى خطوط العرض قد يغير المسافة بين النقاط. باختيارنا الثابت ليكون${\displaystyle -\lambda _{1}}$، والضبط${\displaystyle \lambda '=\Delta \lambda }$وتصبح نقاطنا الجديدة كالتالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}}$$

مع${\displaystyle \theta }$يشير إلى الزاوية بين${\displaystyle {\bf {p_{1}}}}$و${\displaystyle {\bf {p_{2}}}}$لدينا الآن ذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\Delta \varphi )+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\Delta \varphi \right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda '\right)\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام صيغة هافرسين لإيجاد المسافة التقريبية بين البيت الأبيض في واشنطن العاصمة (خط عرض 38.898° شمالاً، خط طول 77.037° غرباً) وبرج إيفل في باريس (خط عرض 48.858° شمالاً، خط طول 2.294° شرقاً). الفرق في خطوط العرض هو${\displaystyle \Delta \varphi ={}}$9.960 درجة، والفرق في خطوط الطول هو${\displaystyle \Delta \lambda ={}}$79.331°. بإدخال هذه القيم في صيغة هافرسين، $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} (\Delta \varphi )+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\Delta \lambda )\\[5mu]&=\operatorname {hav} (9.960^{\circ })+\cos(38.898^{\circ })\cos(48.858^{\circ })\operatorname {hav} (79.331^{\circ })\\[5mu]&\approx 0.0075356+0.77827\times 0.65793\times 0.40743\\[5mu]&\approx 0.21616\\[5mu]\theta &\approx 55.411^{\circ }.\end{aligned}}}$$

المسافة على طول الدائرة العظمى هي هذه الزاوية المركزية، بالراديان (55.411 درجة تساوي 0.96710 راديان)، مضروبة في متوسط ​​نصف قطر الأرض . $${\displaystyle 0.96710\times 6371.2\ {\text{km}}\approx 6161.6\ {\text{km}}.}$$

بالمقارنة، باستخدام نموذج بيضاوي أكثر دقة للأرض، يمكن حساب المسافة الجيوديسية بين هذه المعالم بحوالي 6177.45 كم. ^{[ 11 ]}

• ضعف البصر
• صيغ فينسينتي
• مسافة جيب التمام

• الأسئلة الشائعة حول نظم المعلومات الجغرافية لمكتب الإحصاء الأمريكي (تم نقل المحتوى إلى: ما هي أفضل طريقة لحساب المسافة بين نقطتين؟ )
• RW Sinnott, "فضائل هافرسين"، Sky and Telescope 68 (2)، 159 (1984).
• "اشتقاق صيغة هافرسين" . اسأل دكتور الرياضيات . 20-21 أبريل 1999. مؤرشف من الأصل في 20 يناير 2020.
• W. Gellert، S. Gottwald، M. Hellwich، H. Kästner، and H. Küstner، موسوعة VNR المختصرة للرياضيات ، الطبعة الثانية، الفصل. 12 (فان نوستراند رينهولد: نيويورك، 1989).

• تطبيقات صيغة هافرسين في 91 لغة على موقع rosettacode.org وفي 17 لغة على موقع codecodex.com. مؤرشفة بتاريخ 14 أغسطس 2018 على موقع Wayback Machine.
• تطبيقات أخرى بلغات C++ و C (MacOS) و Pascal ( مؤرشفة بتاريخ 16 يناير 2019 على Wayback Machine) ، وPython و Ruby و JavaScript و PHP ( مؤرشفة بتاريخ 12 أغسطس 2018 على Wayback Machine) ، و Matlab ( مؤرشفة بتاريخ 13 مايو 2020 على Wayback Machine) ، وMySQL

• "آلة حاسبة هافرسين" . easycalculator.org .