نظام هيتشين

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف نظام هيتشين التكاملي بأنه نظام تكاملي يعتمد على اختيار زمرة اختزالية معقدة وسطح ريمان متراص ، وقد قدمه نايجل هيتشين عام ١٩٨٧. يقع هذا النظام عند مفترق طرق الهندسة الجبرية ، ونظرية جبر لي، ونظرية الأنظمة التكاملية . كما يلعب دورًا هامًا في تناظر لانجلاندز الهندسي على حقل الأعداد المركبة من خلال نظرية الحقول المطابقة .

تم اكتشاف نظام غارنييه ، وهو نظير من النوع الصفري لنظام هيتشين ، من قبل رينيه غارنييه في وقت سابق كحالة حدية معينة لمعادلات شليزنجر ، وقد حل غارنييه نظامه بتعريف المنحنيات الطيفية. (يُعد نظام غارنييه الحد الكلاسيكي لنموذج غودان . وبدورها، تُعد معادلات شليزنجر الحد الكلاسيكي لمعادلات كنيجنيك-زامولودتشيكوف ).

يمكن الحصول على جميع الأنظمة القابلة للتكامل تقريبًا في الميكانيكا الكلاسيكية كحالات خاصة من نظام هيتشين أو تعميمها المشترك الذي حدده بوتاسين وماركمان في عام 1994.

وصف

باستخدام لغة الهندسة الجبرية، فإن فضاء الطور للنظام هو تكثيف جزئي لحزمة الظل المرافق إلى فضاء المعاملات لحزم G المستقرة ، وذلك لمجموعة اختزالية G ما ، على منحنى جبري مضغوط ما . هذا الفضاء مزود بصيغة تماثلية قانونية . لنفترض، تبسيطًا، أنجي=جيل(ن،ج){\displaystyle G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}، المجموعة الخطية العامة ؛ عندئذٍ يمكن وصف الهاميلتونيين على النحو التالي: الفضاء المماسي لفضاء المعاملات لحزم G عند الحزمة F هو

ح1(نهاية⁡(F))،{\displaystyle H^{1}(\operatorname {End} (F)),}

والتي، بحسب ثنائية سير، هي ثنائية لـ

Φ∈ح0(نهاية⁡(F)⊗ك)،{\displaystyle \Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),}

أينك{\displaystyle K}هي الحزمة الأساسية ، لذا فهي زوج

(F،Φ){\displaystyle (F,\Phi )}

يُطلق عليه اسم زوج هيتشين أو حزمة هيغز ، وهو يُعرّف نقطة في حزمة الظل التمام.

Tr⁡(Φك)،ك=1،...،رتبة⁡(جي){\displaystyle \operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)}

يحصل المرء على العناصر في

ح0(ك⊗ك)،{\displaystyle H^{0}(K^{\otimes k}),}

وهو فضاء متجهي لا يعتمد على(F،Φ){\displaystyle (F,\Phi )}لذا، باختيار أي أساس في هذه الفضاءات المتجهة ، نحصل على الدوال H i ، وهي هاميلتونيات هيتشين. ويكون بناء المجموعة المختزلة العامة مماثلاً، ويستخدم كثيرات الحدود الثابتة على جبر لي للمجموعة G. 

لأسباب بديهية، تُعتبر هذه الدوال مستقلة جبريًا، وتُظهر بعض الحسابات أن عددها يساوي نصف بُعد فضاء الطور تمامًا. أما الجزء غير البديهي فهو برهان على تبادلية بواسون لهذه الدوال. وبالتالي، فهي تُعرّف نظامًا قابلًا للتكامل بالمعنى التبسيطي أو بمعنى أرنولد-ليوفيل .

تليف هيتشين

تليف هيتشين هو التطبيق من فضاء المعاملات لأزواج هيتشين إلى كثيرات الحدود المميزة ، وهو نظير من رتبة أعلى للتطبيق الذي استخدمه غارنييه لتعريف المنحنيات الطيفية. استخدم نغو ( 2006 ، 2010 ) تليفات هيتشين على الحقول المنتهية في برهانه على اللمة الأساسية . 

بتعبير أدق، فإن نسخة تليف هيتشين التي يستخدمها نغو تعتمد في مصدرها على مجموعة معاملات أزواج هيتشين، بدلاً من فضاء المعاملات.ز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}ليكن جبر لي للمجموعة الجبرية المختزلةجي{\displaystyle G}لدينا التأثير المرافق لـجي{\displaystyle G}علىز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}ثم يمكننا أخذ حاصل قسمة المكدسز/جي{\displaystyle {\mathfrak {g}}/G}ونسبة GITز//جي{\displaystyle {\mathfrak {g}}/\!/G}وهناك تماثل طبيعيχ:ز/جي→ز//جي{\displaystyle \chi :{\mathfrak {g}}/G\to {\mathfrak {g}}/\!/G} . وهناك أيضًا تأثير القياس الطبيعي للمجموعة الضربيةجيم{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}علىز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}، والذي ينزل إلى المكدس وقسمة GIT. علاوة على ذلك، فإن التشكلχ{\displaystyle \chi }متغيرة بالنسبة إلىجيم{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}الإجراءات. لذلك، بالنظر إلى أي حزمة أسطرل{\displaystyle L}على منحنىناج{\displaystyle C}يمكننا تغيير شكل التشكلχ{\displaystyle \chi }بواسطةجيم{\displaystyle \mathbb {G} _{m}}- torsor ، والحصول على تشاكلχل:(ز/جي)ل→(ز//جي)ل{\displaystyle \chi _{L}:({\mathfrak {g}}/G)_{L}\to ({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L}}أكوام منج{\displaystyle C}وأخيرًا، مجموعة المعاملات لـل{\displaystyle L}يتم استعادة حزم هيغز الملتوية كحزمة مقطعيةحأناززs=Sهـجت(ج،(ز/جي)ل){\displaystyle Higgs=Sect(C,({\mathfrak {g}}/G)_{L})}يتم استعادة قاعدة هيتشين المقابلة على النحو التالي:أ(ج،ل):=Sهـجت(ج،(ز//جي)ل){\displaystyle A(C,L):=Sect(C,({\mathfrak {g}}/\!/G)_{L})}، والتي يتم تمثيلها بواسطة فضاء متجهي؛ وتشكل هيتشين على مستوى المكدسح:حأناززs→أ(ج،ل){\displaystyle h:Higgs\to A(C,L)}هو ببساطة التشاكل الناتج عن التشاكلχل{\displaystyle \chi _{L}}أعلاه. لاحظ أن هذا التعريف لا ينطبق على شبه الاستقرار. للحصول على تليف هيتشين المذكور أعلاه، نحتاج إلى أخذل{\displaystyle L}لكي تكون الحزمة الأساسية، اقتصر على الجزء شبه المستقر منحأناززs{\displaystyle Higgs}ثم نأخذ التشكل المستحث على فضاء المعاملات. وبتعبير أدق، نسخة منحأناززs{\displaystyle Higgs}غالباً ما يكون للقيود التي يستخدمها شعب نغو ما يلي:درجة⁡(ل)≥2ز{\displaystyle \deg(L)\geq 2g}وبالتالي، لا يمكن أن تكون الحزمة الأساسية. أُضيف هذا الشرط لضمان أن طوبولوجيا تشاكل هيتشين، بمعنى دقيق ، تُحدد بتقييدها على الجزء الأملس، انظر ( Chaudouard & Laumon 2016 ) لحالة حزمة المتجهات.

انظر أيضاً

مراجع