ازدواجية سير

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 96 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ ثنائية سير ثنائيةً لتماثل الحزم المتماسكة للأصناف الجبرية، وقد أثبتها جان بيير سير . ينطبق الإصدار الأساسي على حزم المتجهات على صنف إسقاطي أملس، لكن ألكسندر غروتينديك وجد تعميمات واسعة، على سبيل المثال للأصناف الشاذة. على صنف ذي بُعد n ، تنص النظرية على أن مجموعة التماثلحأنا{\displaystyle H^{i}}هو الفضاء المزدوج لفضاء آخر،حن-أنا{\displaystyle H^{ni}}. إن ازدواجية سير هي النظير لتشابه الحزمة المتماسكة لازدواجية بوانكاريه في الطوبولوجيا، حيث تحل حزمة الخط المتعارف عليها محل حزمة التوجيه .

تنطبق نظرية الازدواجية لسير أيضًا على الهندسة المعقدة بشكل عام، وذلك بالنسبة للمشعبات المعقدة المدمجة التي لا تُعدّ بالضرورة أصنافًا جبرية معقدة إسقاطية . في هذا السياق، تُعتبر نظرية الازدواجية لسير تطبيقًا لنظرية هودج في علم التماثل دولبو ، ويمكن اعتبارها نتيجة في نظرية المؤثرات الإهليلجية .

يتطابق هذان التفسيران المختلفان لثنائية سير بالنسبة للأصناف الجبرية المعقدة الإسقاطية غير المنفردة، وذلك من خلال تطبيق نظرية دولبو التي تربط علم التماثل الحزمي بعلم التماثل دولبو.

ازدواجية سير للحزم المتجهة

نظرية جبرية

ليكن X تنوعًا أملسًا ذو بُعد n على حقل k . عرّف حزمة الخط القانونيةكX{\displaystyle K_{X}}أن تكون حزمة الأشكال من الرتبة n على X ، القوة الخارجية العليا لحزمة الظل التمام :

كX=ΩXن=⋀ن(تي*X).{\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}

لنفترض بالإضافة إلى ذلك أن X مجموعة فعلية (على سبيل المثال، إسقاطية ) على k . عندئذٍ، تنص ثنائية سير على ما يلي: بالنسبة لحزمة متجهات جبرية E على X وعدد صحيح i ، يوجد تماثل طبيعي:

حأنا(X،هـ)≅حن-أنا(X،كX⊗هـ*)*{\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}

من فضاءات المتجهات k ذات الأبعاد المحدودة . هنا⊗{\displaystyle \otimes }يرمز إلى حاصل الضرب الموتري لحزم المتجهات. ويترتب على ذلك أن أبعاد مجموعتي التماثل متساوية:

حأنا(X،هـ)=حن-أنا(X،كX⊗هـ*).{\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{ni}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}

كما هو الحال في ثنائية بوانكاريه، فإن التشاكل في ثنائية سير ينشأ من حاصل الضرب الكأسي في علم تماثل الحزم. أي، تركيب حاصل الضرب الكأسي مع خريطة أثر طبيعية علىحن(X،كX){\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}إنه مزيج مثالي :

حأنا(X،هـ)×حن-أنا(X،كX⊗هـ*)→حن(X،كX)→ك.{\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}

خريطة التتبع هي نظير لتجانس الحزمة المتماسكة للتكامل في تجانس دي رام . [ 1 ]

نظرية الهندسة التفاضلية

أثبت سير أيضًا نفس بيان الازدواجية لـ X، وهو مشعب عقدي مضغوط ، و E، وهو حزمة متجهات هولومورفية . [ 2 ] هنا، تُعد نظرية ازدواجية سير نتيجة لنظرية هودج . أي، على مشعب عقدي مضغوطX{\displaystyle X}مزود بمقياس ريماني ، يوجد مؤثر نجمي هودج :

⋆:Ωص(X)→Ω2ن-ص(X)،{\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),}

أينخافتج⁡X=ن{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}بالإضافة إلى ذلك، بما أنX{\displaystyle X}إذا كان الأمر معقدًا، فهناك انقسام للأشكال التفاضلية المعقدة إلى أشكال من النوع(ص،q){\displaystyle (p,q)}يتفاعل عامل هودج النجمي (الممتد خطيًا إلى أشكال تفاضلية ذات قيم مركبة) مع هذا التصنيف على النحو التالي:

⋆:Ωص،q(X)→Ωن-q،ن-ص(X).{\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{nq,np}(X).}

لاحظ أن المؤشرين الهولومورفي والمضاد للهولومورفي قد تبادلا مكانيهما. يوجد اقتران على الأشكال التفاضلية المركبة التي تتبادل أشكال النوع(ص،q){\displaystyle (p,q)}و(q،ص){\displaystyle (q,p)}وإذا عرّفنا عامل هودج النجمي الخطي المترافق بـ⋆¯ω=⋆ω¯{\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}ثم لدينا:

⋆¯:Ωص،q(X)→Ωن-ص،ن-q(X).{\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).}

باستخدام نجم هودج المترافق الخطي، يمكن تعريف النجم الهرميتيل2{\displaystyle L^{2}}-الضرب الداخلي على الأشكال التفاضلية المعقدة، بواسطة:

⟨α،β⟩ل2=∫Xα∧⋆¯β،{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}

أين الآن؟α∧⋆¯β{\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }هو(ن،ن){\displaystyle (n,n)}-form، وعلى وجه الخصوص ذات القيم المركبة2ن{\displaystyle 2n}-form وبالتالي يمكن دمجها علىX{\displaystyle X}فيما يتعلق بتوجهها المتعارف عليه . علاوة على ذلك، لنفترض(هـ،ح){\displaystyle (E,h)}هي حزمة متجهات هيرميتية هولومورفية. إذن، المقياس الهيرميتيح{\displaystyle h}يعطي تماثلًا خطيًا مترافقًاهـ≅هـ*{\displaystyle E\cong E^{*}}بينهـ{\displaystyle E}وحزمة المتجهات الثنائية الخاصة بها ، على سبيل المثالτ:هـ→هـ*{\displaystyle \tau :E\to E^{*}}تعريف⋆¯هـ(ω⊗s)=⋆¯ω⊗τ(s){\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}، فيحصل المرء على تماثل:

⋆¯هـ:Ωص،q(X،هـ)→Ωن-ص،ن-q(X،هـ*){\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}

أينΩص،q(X،هـ)=Ωص،q(X)⊗Γ(هـ){\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}يتكون من سطح أملسهـ{\displaystyle E}الأشكال التفاضلية المركبة ذات القيم n. باستخدام الاقتران بينهـ{\displaystyle E}وهـ*{\displaystyle E^{*}}مقدم منτ{\displaystyle \tau }وح{\displaystyle h}وبالتالي، يمكن تعريف الشخص الهرمستي.ل2{\displaystyle L^{2}}-المنتج الداخلي على هذاهـ{\displaystyle E}الأشكال ذات القيم المحددة بواسطة:

⟨α،β⟩ل2=∫Xα∧ح⋆¯هـβ،{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,}

أين هنا∧ح{\displaystyle \wedge _{h}}يعني الضرب الخارجي للأشكال التفاضلية واستخدام الاقتران بينهـ{\displaystyle E}وهـ*{\displaystyle E^{*}}مقدم منح{\displaystyle h}.

تنص نظرية هودج لعلم التماثل دولبو على أنه إذا قمنا بتعريف:

Δ∂¯هـ=∂¯هـ*∂¯هـ+∂¯هـ∂¯هـ*{\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}

أين∂¯هـ{\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}هو مشغل دولبو لـهـ{\displaystyle E}و∂¯هـ*{\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}إذا كان هذا هو المرافق الرسمي لها بالنسبة للضرب الداخلي، فإن:

حص،q(X،هـ)≅حΔ∂¯هـص،q(X).{\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).}

على اليسار يوجد علم التماثل دولبو، وعلى اليمين يوجد الفضاء المتجهي التوافقيهـ{\displaystyle E}الأشكال التفاضلية ذات القيم المحددة بواسطة:

حΔ∂¯هـص،q(X)={α∈Ωص،q(X،هـ)|Δ∂¯هـ(α)=0}.{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}

باستخدام هذا الوصف، يمكن صياغة نظرية الازدواجية لسير على النحو التالي: التشاكل⋆¯هـ{\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}يُحدث تماثلاً خطياً معقداً:

حص،q(X،هـ)≅حن-ص،ن-q(X،هـ*)*.{\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}

يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام نظرية هودج المذكورة أعلاه. أي، إذا[α]{\displaystyle [\alpha ]}هي فئة تماثلية فيحص،q(X،هـ){\displaystyle H^{p,q}(X,E)}مع تمثيل توافقي فريدα∈حΔ∂¯هـص،q(X){\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}، ثم:

(α،⋆¯هـα)=⟨α،α⟩ل2≥0{\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}

مع المساواة إذا وفقط إذاα=0{\displaystyle \alpha =0}. وعلى وجه الخصوص، الاقتران الخطي المعقد:

(α،β)=∫Xα∧حβ{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }

بينحΔ∂¯هـص،q(X){\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}وحΔ∂¯هـ*ن-ص،ن-q(X){\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}غير منحل ، ويؤدي إلى التشاكل في نظرية الازدواجية لسير.

يمكن استعادة بيان ازدواجية سير في السياق الجبري عن طريق أخذص=0{\displaystyle p=0}وبتطبيق نظرية دولبو ، التي تنص على ما يلي:

حص،q(X،هـ)≅حq(X،Ωص⊗هـ){\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}

حيث يوجد على اليسار علم التماثل دولبو، وعلى اليمين علم التماثل الحزمي، حيثΩص{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}يشير إلى حزمة من الهولومورفية(ص،0){\displaystyle (p,0)}-forms. على وجه الخصوص، نحصل على:

حq(X،هـ)≅ح0،q(X،هـ)≅حن،ن-q(X،هـ*)*≅حن-q(X،كX⊗هـ*)*{\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}

حيث استخدمنا أن حزمة من الهولومورفية(ن،0){\displaystyle (n,0)}-forms هي مجرد الحزمة الأساسية لـX{\displaystyle X}.

المنحنيات الجبرية

يُعدّ تطبيق ازدواجية سير الأساسي على المنحنيات الجبرية . (في الأعداد المركبة ، يُكافئ ذلك دراسة أسطح ريمان المدمجة ). بالنسبة لحزمة خطية L على منحنى إسقاطي أملس X فوق حقل k ، فإن مجموعات التماثل الوحيدة غير الصفرية الممكنة هيح0(X،ل){\displaystyle H^{0}(X,L)}وح1(X،ل){\displaystyle H^{1}(X,L)}تصف الازدواجية السيريةح1{\displaystyle H^{1}}مجموعة من حيثح0{\displaystyle H^{0}}المجموعة (لحزمة خطوط مختلفة). [ 3 ] هذا أكثر تحديدًا، لأنح0{\displaystyle H^{0}}إن مساحة حزمة الخطوط هي ببساطة مساحة أقسامها.

تُعدّ ازدواجية سير ذات أهمية خاصة لنظرية ريمان-روخ للمنحنيات. بالنسبة لحزمة خطية L من الدرجة d على منحنى X من الجنس g ، تنص نظرية ريمان-روخ على ما يلي:

ح0(X،ل)-ح1(X،ل)=د-ز+1.{\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}

باستخدام ازدواجية سير، يمكن إعادة صياغة ذلك بعبارات أكثر بساطة:

ح0(X،ل)-ح0(X،كX⊗ل*)=د-ز+1.{\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}

العبارة الأخيرة (المُصاغة بدلالة القواسم ) هي في الواقع النسخة الأصلية للنظرية من القرن التاسع عشر. وهي الأداة الرئيسية المستخدمة لتحليل كيفية تضمين منحنى معين في الفضاء الإسقاطي ، وبالتالي لتصنيف المنحنيات الجبرية.

مثال: كل مقطع عالمي لحزمة خطية ذات درجة سالبة يساوي صفرًا. علاوة على ذلك، فإن درجة الحزمة القانونية هي2ز-2{\displaystyle 2g-2}لذلك، فإن نظرية ريمان-روخ تعني أنه بالنسبة لحزمة خطية L من الدرجةد>2ز-2{\displaystyle d>2g-2}،ح0(X،ل){\displaystyle h^{0}(X,L)}يساويد-ز+1{\displaystyle d-g+1}عندما يكون الجنس g على الأقل 2، فإنه يترتب على ذلك، وفقًا لثنائية سير، أنح1(X،تيX)=ح0(X،كX⊗2)=3ز-3{\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}. هناح1(X،تيX){\displaystyle H^{1}(X,TX)}يمثل فضاء التشوه من الدرجة الأولى لـ X. هذه هي العملية الحسابية الأساسية اللازمة لإثبات أن فضاء المعاملات لمنحنيات الجنس g له بُعد3ز-3{\displaystyle 3g-3}.

ازدواجية سير للحزم المتماسكة

توجد صيغة أخرى لازدواجية سير تنطبق على جميع الحزم المتماسكة ، وليس فقط حزم المتجهات. وكخطوة أولى في تعميم ازدواجية سير، بيّن غروتينديك أن هذه الصيغة تعمل مع المخططات ذات التفردات البسيطة، ومخططات كوهين-ماكولي ، وليس فقط المخططات الملساء.

وبعبارة أخرى، بالنسبة لمخطط كوهين-ماكولي X ذي البعد n البحت على حقل k ، عرّف غروتينديك حزمة متماسكةωX{\displaystyle \omega _{X}}على X تسمى الحزمة الثنائية . (يسميها بعض المؤلفين حزمةكX{\displaystyle K_{X}}.) لنفترض بالإضافة إلى ذلك أن X هي مجموعة جزئية على k . بالنسبة لحزمة متماسكة E على X وعدد صحيح i ، تنص ثنائية سير على وجود تماثل طبيعي:

خارجيXأنا⁡(هـ،ωX)≅حن-أنا(X،هـ)*{\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}

من فضاءات المتجهات k ذات الأبعاد المحدودة . [ 4 ] هنا، تُؤخذ مجموعة Ext في الفئة الأبيلية لـياX{\displaystyle O_{X}}-الوحدات . وهذا يشمل البيان السابق، لأنخارجيXأنا⁡(هـ،ωX){\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}متماثل معحأنا(X،هـ*⊗ωX){\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}عندما تكون E حزمة متجهة.

لاستخدام هذه النتيجة، يجب تحديد حزمة الازدواجية بشكل صريح، على الأقل في حالات خاصة. عندما يكون X أملسًا على k ،ωX{\displaystyle \omega _{X}}هي حزمة الخط المتعارف عليهاكX{\displaystyle K_{X}}كما هو موضح أعلاه. وبشكل أعم، إذا كان X مخططًا فرعيًا من نوع Cohen–Macaulay ذو بُعد مشترك r في مخطط أملس Y على k ، فيمكن وصف الحزمة الثنائية بأنها حزمة Ext : [ 5 ]

ωX≅هـxتياYر(ياX،كY).{\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}

عندما يكون X تقاطعًا محليًا كاملًا ذو بُعد مشترك r في مخطط سلس Y ، فهناك وصف أكثر بساطة: الحزمة العادية لـ X في Y هي حزمة متجهة من الرتبة r ، ويتم إعطاء حزمة الازدواجية لـ X بواسطة: [ 6 ]

ωX≅كY|X⊗⋀ر(شمالX/Y).{\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}

في هذه الحالة، X عبارة عن مخطط كوهين-ماكولي معωX{\displaystyle \omega _{X}}حزمة خطية، والتي تنص على أن X هو غورنشتاين .

مثال: ليكن X تقاطعًا كاملاً في الفضاء الإسقاطيPن{\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}على حقل k ، معرف بواسطة كثيرات الحدود المتجانسةو1،...،ور{\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}من الدرجاتد1،...،در{\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}(القول بأن هذا تقاطع كامل يعني أن X له بُعدن-ر{\displaystyle n-r}يوجد عدد من الحزم الخطية O ( d ) علىPن{\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}بالنسبة للأعداد الصحيحة d ، مع خاصية أن كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة d يمكن اعتبارها مقاطع من O ( d ). عندئذٍ، تكون حزمة الازدواجية لـ X هي حزمة الخط:

ωX=يا(د1+⋯+در-ن-1)|X،{\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}

باستخدام صيغة الإضافة . على سبيل المثال، حزمة الازدواجية لمنحنى مستوٍ X من الدرجة d هييا(د-3)|X{\displaystyle O(d-3)|_{X}}.

وحدات معقدة من كالابي-ياو ثلاثة أضعاف

على وجه الخصوص، يمكننا حساب عدد التشوهات المعقدة، والذي يساويخافت⁡(ح1(X،تيX)){\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}لثلاثية خماسية فيP4{\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}، وهو نوع من أنواع كالابي-ياو، باستخدام ازدواجية سير. بما أن خاصية كالابي-ياو تضمنكX≅ياX{\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}تُظهر لنا ثنائية سير أنح1(X،تيX)≅ح2(X،ياX⊗ΩX)≅ح2(X،ΩX){\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}يوضح أن عدد المعاملات المركبة يساويح2،1{\displaystyle h^{2,1}}في ماسة هودج . بالطبع، يعتمد البيان الأخير على نظرية بوغوموليف-تيان-تودوروف التي تنص على أن كل تشوه على ماسة كالابي-ياو غير معاق.

ازدواجية غروتينديك

تُعد نظرية غروتينديك للازدواجية المتماسكة تعميمًا واسعًا لازدواجية سير، باستخدام لغة الفئات المشتقة . لأي مخطط X من النوع المحدود على حقل k ، يوجد كائنωX∙{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}من الفئة المشتقة المحدودة للحزم المتماسكة على X ،دكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}، ويُطلق عليه اسم المركب الثنائي لـ X على k . رسميًا،ωX∙{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}هي الصورة العكسية الاستثنائيةو!ياY{\displaystyle f^{!}O_{Y}}، حيث f هو التشاكل المعطىX→Y=المواصفات⁡(ك){\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}عندما يكون X مصفوفة كوهين-ماكولي ذات بُعد n نقي ،ωX∙{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}يكونωX[ن]{\displaystyle \omega _{X}[n]}أي أنها الحزمة الثنائية المذكورة أعلاه، والتي تُعتبر مُركبًا من الدرجة (التماثلية) - ن . على وجه الخصوص، عندما يكون X أملسًا على k ،ωX∙{\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}هي حزمة الخط المتعارف عليها الموضوعة في الدرجة - ن .

باستخدام المركب الثنائي، تُعمَّم ثنائية سير إلى أي مخطط مناسب X على k . أي أن هناك تماثلًا طبيعيًا للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة k :

هومX⁡(هـ،ωX∙)≅هومX⁡(ياX،هـ)*{\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}

لأي جسم E فيدكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}[ 7 ]​

وبشكل أعم، بالنسبة لمخطط مناسب X على k ، فإن الكائن E فيدكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}، و F مركب مثالي فيدأداء(X){\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}، أحدها يحمل العبارة الأنيقة:

هومX⁡(هـ،F⊗ωX∙)≅هومX⁡(F،هـ)*.{\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}

هنا، يُقصد بـ"الضرب الموتري" الضرب الموتري المشتق ، كما هو الحال في الفئات المشتقة. (للمقارنة مع الصيغ السابقة، لاحظ أنخارجيXأنا⁡(هـ،ωX){\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}يمكن النظر إليها على أنهاهومX⁡(هـ،ωX[أنا]){\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}.) عندما تكون X سلسة أيضًا على k ، فإن كل كائن فيدكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}هو مُركّب مثالي، وبالتالي تنطبق هذه الازدواجية على جميع العناصر E و F فيدكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}ويمكن تلخيص البيان أعلاه بالقول إنF↦F⊗ωX∙{\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}دالة سير علىدكوهب(X){\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}لـ X سلس ومناسب على k . [ 8 ]

ينطبق مبدأ الازدواجية لسير بشكل أعم على الفضاءات الجبرية المناسبة فوق حقل. [ 9 ]

ملحوظات

  1. ^ هيوبرشتس (2005)، التمرين 3.2.3.
  2. ^ سيري (1955); Huybrechts (2005)، الاقتراح 4.1.15.
  3. ↑ بالنسبة للمنحنى، تكون ازدواجية سير أبسط ولكنها لا تزال غير بديهية. وقد ورد أحد البراهين في كتاب تيت (1968).
  4. ↑ هارتشورن (1977)، النظرية III.7.6.
  5. ↑ هارتشورن (1977)، برهان القضية III.7.5؛ مشروع ستاكس، الوسم 0A9X.
  6. ↑ هارتشورن (1977)، النظرية III.7.11؛ مشروع ستاكس، الوسم 0BQZ.
  7. ↑ هارتشورن (1966)، النتيجة السابعة.3.4(ج)؛ مشروع ستاكس، الوسم 0B6Iمشروع Stacks ، الوسم 0B6S.
  8. ^ Huybrechts (2006)، التعريف 1.28، النظرية 3.12.
  9. ↑ مشروع Stacks، الوسم 0E58.

مراجع