حزمة منحرفة

يشير المصطلح الرياضي " الحزم المنحرفة" إلى كائنات فئات أبيلية معينة مرتبطة بالفضاءات الطوبولوجية ، والتي قد تكون متعددة الشعب حقيقية أو معقدة ، أو فضاءات طوبولوجية أكثر عمومية ، وربما تكون مفردة.

طُرح هذا المفهوم في أعمال جوزيف بيرنشتاين ، وألكسندر بيلينسون ، وبيير ديلين ، وأوفر غابر (1982) كنتيجة لتطابق ريمان-هيلبرت ، الذي يُرسي صلة بين الفئة المشتقة من وحدات D- الهولومية المنتظمة والفئة المشتقة من الحزم القابلة للإنشاء . الحزم المنحرفة هي الكائنات في الفئة الأخيرة التي تُقابل وحدات D-الهولومية الفردية (وليس مُركباتها الأكثر عمومية)؛ وعادةً ما تُمثل الحزمة المنحرفة بمركب من الحزم. وقد ورد مفهوم الحزم المنحرفة ضمنيًا في ورقة بحثية لكاشيوارا نُشرت في سبعينيات القرن الماضي حول إمكانية إنشاء حلول وحدات D-الهولومية.

كانت إحدى الملاحظات الأساسية هي أن التماثل التقاطعي لمارك غوريسكي وروبرت ماكفرسون يمكن وصفه باستخدام مجمعات الحزم التي هي في الواقع حزم معكوسة. كان واضحًا منذ البداية أن الحزم المعكوسة هي كائنات رياضية أساسية تقع عند مفترق طرق الهندسة الجبرية والطوبولوجيا والتحليل والمعادلات التفاضلية . كما أنها تلعب دورًا مهمًا في نظرية الأعداد والجبر ونظرية التمثيل .

يُشتق اسم " الحزمة المنحرفة " من الترجمة التقريبية للعبارة الفرنسية "faisceaux pervers". ^{[ 1 ]} ويُبرر ذلك بأن الحزم المنحرفة هي مجموعات من الحزم تشترك في عدة خصائص مع الحزم العادية: فهي تُشكل فئة تبديلية، ولها علم التماثل ، ولإنشاء واحدة منها، يكفي إنشاؤها محليًا في كل مكان. أما صفة "منحرفة" فتعود أصولها إلى نظرية التماثل التقاطعي ، ^{[ 2 ]} وقد شرح غوريسكي (2010) أصلها .

يعتمد تعريف بيلينسون-بيرنشتاين-ديليجن-غابر للحزمة المنحرفة على آليات الفئات المثلثية في الجبر التماثلي، ويحمل طابعًا جبريًا قويًا، على الرغم من أن الأمثلة الرئيسية المنبثقة من نظرية غوريسكي-ماكفرسون ذات طبيعة طوبولوجية، لأن الكائنات البسيطة في فئة الحزم المنحرفة هي مركبات التماثل التقاطعي. وقد حفّز هذا ماكفرسون على إعادة صياغة النظرية بأكملها بمصطلحات هندسية استنادًا إلى نظرية مورس . في العديد من تطبيقات نظرية التمثيل، يمكن التعامل مع الحزم المنحرفة كـ"صندوق أسود"، أي فئة ذات خصائص شكلية معينة.

الحزمة المنحرفة هي كائن C من الفئة المشتقة المحدودة للحزم ذات التماثل البنائي على فضاء X بحيث تكون مجموعة النقاط x التي

${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}C)\neq 0}$أو${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{!}C)\neq 0}$

لها بُعد حقيقي لا يتجاوز 2i ، لكل i . هنا j _x هي دالة التضمين للنقطة x .

إذا كان X صنفًا جبريًا عقديًا أملسًا وله بُعد d في كل مكان ، فإن

${\displaystyle {\mathcal {F}}[d]}$

هو حزمة منحرفة لأي نظام محلي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^{[ 3 ]} إذا كان X مخطط تقاطع مسطح وكامل محليًا (على سبيل المثال، منتظم) على حلقة تقييم منفصلة هينسلية ، فإن الحزمة الثابتة المزاحة بمقدار${\displaystyle \dim X+1}$هي حزمة منحرفة. ^{[ 4 ]}

ليكن X قرصًا حول نقطة الأصل في${\displaystyle \mathbb {C} }$مُرتبة بحيث يكون الأصل هو الطبقة المفردة الوحيدة. عندئذٍ، تكون فئة الحزم المنحرفة على X مكافئة لفئة مخططات الفضاءات المتجهة${\displaystyle V{\overset {u}{\underset {v}{\rightleftarrows }}}W}$أين${\displaystyle \operatorname {id} -u\circ v}$و${\displaystyle \operatorname {id} -v\circ u}$قابلة للعكس. ^{[ 5 ]} وبشكل عام، يمكن استخدام الأقواس لوصف الحزم المنحرفة.

تُعد فئة الحزم المنحرفة فئة فرعية أبيلية من الفئة المشتقة (غير الأبيلية) للحزم، وهي تساوي جوهر بنية t المناسبة ، ويتم الحفاظ عليها بواسطة ثنائية فيردييه .

إن الفئة المشتقة المحدودة للحزم l-adic المنحرفة على مخطط X تعادل الفئة المشتقة للحزم القابلة للإنشاء ^، وبالمثل بالنسبة للحزم على الفضاء التحليلي المركب المرتبط بمخطط X / C. ^{[ 6} ]

تُعدّ الحزم المنحرفة أداةً أساسيةً في هندسة الفضاءات الشاذة، ولذا تُستخدم في مجالات رياضية متنوعة. في تناظر ريمان-هيلبرت ، تُقابل الحزم المنحرفة وحدات D- هولونومية منتظمة . يُرسّخ هذا التطبيق مفهوم الحزمة المنحرفة كظاهرة طبيعية. تتطلب نظرية التفكيك ، وهي امتدادٌ واسع النطاق لتفكيك نظرية ليفشيتز الصعبة ، استخدام الحزم المنحرفة. تُعتبر وحدات هودج ، باختصار، تحسينًا نظريًا للحزم المنحرفة باستخدام نظرية هودج. يُحدد تكافؤ ساتيك الهندسي الحزم المنحرفة المتغيرة على فضاء غراسمان الأفيني .${\displaystyle Gr_{G}}$مع تمثيلات المجموعة الثنائية لـ Langlands لمجموعة اختزالية G - انظر Mirković & Vilonen (2007) . يُقدّم برهانٌ لتخمينات Weil باستخدام الحزم المنحرفة في Kiehl & Weissauer (2001) .

تم تحديد الحقول عديمة الكتلة في عمليات تكثيف الأوتار الفائقة باستخدام فئات التماثل على الفضاء المستهدف (أي فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد مع مشعب كالابي-ياو سداسي الأبعاد ). ويتطلب تحديد محتوى المادة والتفاعل تحليلًا مفصلًا للتماثل (المشترك) لهذه الفضاءات: إذ يتم تمثيل جميع الحقول عديمة الكتلة تقريبًا في نموذج الفيزياء الفعال بواسطة عناصر تماثل (مشترك) معينة.

مع ذلك، تظهر نتيجة مُقلقة عندما تكون الفضاءات المستهدفة مُفردة . الفضاء المستهدف المُفرد يعني أن الجزء المُفرد من فضاء CY فقط هو المُفرد، لأن عامل فضاء مينكوفسكي أملس. يُطلق على هذا الفضاء المُفرد من فضاء CY اسم " المُخروطي" لأنه فضاء CY يقبل حالات مُفردة مخروطية .

لاحظ أندرو سترومينجر (أ. سترومينجر، 1995) أن المخروطيات المتشعبة تُقابل الثقوب السوداء عديمة الكتلة . تُعدّ المخروطيات المتشعبة عناصر مهمة في نظرية الأوتار: يشرح برايان غرين فيزياء المخروطيات المتشعبة في الفصل 13 من كتابه "الكون الأنيق" ، بما في ذلك حقيقة أن الفضاء قد يتمزق بالقرب من المخروط، وأن طوبولوجيته قابلة للتغيير. تُقابل هذه الفضاءات المستهدفة المفردة، أي المخروطيات المتشعبة، بعض حالات التدهور الطفيفة للأصناف الجبرية التي تظهر في فئة واسعة من النظريات الفائقة التناظر ، بما في ذلك نظرية الأوتار الفائقة (إ. ويتن، 1982).

في جوهر الأمر، تُنتج نظريات التماثل المختلفة على فضاءات الهدف المفردة نتائج متباينة، مما يُصعّب تحديد النظرية التي قد تُفضّلها الفيزياء. تستند العديد من الخصائص المهمة للتماثل، والتي تُقابل الحقول عديمة الكتلة، إلى خصائص عامة لنظريات الحقول، وتحديدًا نظريات حقول سطح العالم ثنائية الأبعاد فائقة التناظر (2,2) . هذه الخصائص، المعروفة باسم حزمة كاهلر (تي. هوبش، 1992)، ينبغي أن تنطبق على فضاءات الهدف المفردة والملساء. وقد حدد بول غرين وتريستان هوبش (بي. غرين وتي. هوبش، 1988) أن طريقة الانتقال بين فضاءات هدف CY المفردة تتطلب المرور عبر دقة صغيرة أو تشوه في التفرد (تي. هوبش، 1992)، وأطلقوا على ذلك اسم "انتقال المخروط".

افترض تريستان هوبش (T. Hubsch، 1997) ماهية نظرية التماثل هذه بالنسبة للفضاءات المستهدفة الشاذة. وقد عمل تريستان هوبش وعبد الرحمن (T. Hubsch و A. Rahman، 2005) على حل فرضية هوبش من خلال تحليل الحالة غير المستعرضة لنموذج سيجما الخطي المُقاس لويتن (E. Witten، 1993)، والذي يُؤدي إلى تدرج هذه الأصناف الجبرية (المسماة صنف الحالة الأرضية) في حالة الشذوذات المخروطية المعزولة .

في ظل ظروف معينة، تبيّن أن هذا النوع من حالات الأرض عبارة عن مشعب مخروطي (P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) ذي نقاط تفرد مخروطية معزولة على قاعدة معينة، مع وجود منحنى خارجي أحادي البعد (يُسمى الطبقات الخارجية) متصل بكل نقطة تفرد . وقد حدد T. Hubsch و A. Rahman التماثل (المشترك) لهذا النوع من حالات الأرض في جميع الأبعاد، ووجداه متوافقًا مع تناظر المرآة ونظرية الأوتار، لكنهما وجدا عائقًا في البعد الأوسط (T. Hubsch و A. Rahman, 2005). وقد استلزم هذا العائق إعادة النظر في تخمين Hubsch حول التماثل المشترك المتفرد للأوتار (T. Hubsch, 1997). في شتاء عام ٢٠٠٢، التقى كلٌّ من ت. هوبش وأ. رحمن مع ر. م. غوريسكي لمناقشة هذه العقبة ، وخلال مناقشات بين ر. م. غوريسكي و ر. ماكفرسون ، لاحظ ر. ماكفرسون وجود حزمة منحرفة يمكن أن تمتلك علم التماثل الذي يحقق حدسية هوبش، وبالتالي حلّت العقبة . أشرف كلٌّ من ر. م. غوريسكي وت. هوبش على أطروحة الدكتوراه التي قدمها أ. رحمن حول بناء حزمة منحرفة ذاتية التناظر (أ. رحمن، ٢٠٠٩) باستخدام بناء ماكفرسون - فيلونين المتعرج (ر. ماكفرسون وك. فيلونين، ١٩٨٦). أثبتت هذه الحزمة المنحرفة حدسية هوبش للحالات الشاذة المخروطية المعزولة ، وحققت ازدواجية بوانكاريه ، وتوافقت مع بعض خصائص حزمة كاهلر. لا تزال مسألة إرضاء جميع عناصر حزمة كاهلر بواسطة هذه الحزمة المنحرفة للطبقات ذات الأبعاد المشتركة الأعلى مسألة مفتوحة. وقد تناول ماركوس بانجل (M. Banagl، 2010؛ M. Banagl وآخرون، 2014) تخمين هوبش من خلال فضاءات التقاطع للطبقات ذات الأبعاد المشتركة الأعلى ، مستلهمًا ذلك من عمل هوبش (T. Hubsch، 1992، 1997؛ P. Green وT. Hubsch، 1988) وفرضية أ. رحمن الأصلية (A. Rahman، 2009) للحالات الشاذة المعزولة .

• وحدة هودج المختلطة
• حزمة منحرفة مختلطة
• التماثل التقاطعي
• علم التماثل L²
• مشعب مخروطي
• نظرية الأوتار
• التناظر الفائق

• دي كاتالدو، مارك أندريا ؛ ميغليوريني، لوكا (2010). "ما هي الحزمة المنحرفة؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 57 (5): 632-634 . MR 2664042 . 

• أرينكين، ديمتري؛ بيزروكافنيكوف، رومان (2010). "الحزم المتماسكة المنحرفة". مجلة موسكو الرياضية . 10 (1): 3-29 . arXiv : 0902.0349 . Bibcode : 2009arXiv0902.0349A . doi : 10.17323/1609-4514-2010-10-1-3-29 . MR 2668828. S2CID 14409918 .  
• بيلينسون، ألكسندر أ. (1987)، "حول الفئة المشتقة للحزم المنحرفة"، نظرية-ك، الحساب والهندسة (موسكو، 1984-1986) ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1289، برلين: سبرينغر، الصفحات 27-41 ، doi : 10.1007/BFb0078365 ، ISBN  978-3-540-18571-0، MR 0923133 

• بيلينسون، ألكسندر أ . بيرنشتاين, جوزيف ; الأماكن القريبة : جابر، عوفر (1982). "المنحرفين Faisceaux". النجمية (بالفرنسية). 100 . باريس: شركة الرياضيات الفرنسية . السيد 0751966 . 

• براسيلت، جان بول (2009)، مقدمة لتماثل التقاطع والحزم المنحرفة ، المعهد الوطني لعلوم الرياضيات التطبيقية (IMPA)، MR 2533465 

• بريمر، كريستوفر ل.؛ سيج، دانيال س. (2013)، "شروط سير المعممة والحزم المتماسكة المنحرفة"، مجلة الجبر ، 392 : 85-96 ، arXiv : 1106.2616 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2013.06.018 ، MR 3085024 ، S2CID 14754630  

• غورسكي، مارك (2010). "ما هو أصل مصطلح "الحزمة المنحرفة"؟" .
• الوهم، لوك (2003). “الانحراف والتنوع”. مخطوطة الرياضيات . 112 (3): 271-295 . دوى : 10.1007 / s00229-003-0407-z . السيد 2067039 . S2CID 122652995 .  
• الأماكن القريبة : فايساوير، راينر (2001)، تخمينات ويل، الحزم الضارة وتحويل فورييه اللاديك ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. سلسلة المسوحات الحديثة في الرياضيات [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة. السلسلة الثالثة. سلسلة من المسوحات الحديثة في الرياضيات]، المجلد.  42، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-41457-5MR 1855066​ 
• ماكفرسون، روبرت (15 ديسمبر 1990). "التشابه التقاطعي والحزم المنحرفة" (PDF) (مخطوطة غير منشورة).
• ميركوفيتش، إيفان؛ فيلونين، كاري (2007)، "ازدواجية لانجلاندز الهندسية وتمثيلات المجموعات الجبرية على الحلقات التبادلية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 166 (1): 95-143 ، arXiv : math/0401222 ، doi : 10.4007/annals.2007.166.95 ، ISSN 0003-486X ، MR 2342692 ، S2CID 14127684   
• رييتش، كونستانزي (2003). “مقدمة للحزم الضارة”. أرخايف : math.RT/0307349 .
• بيلينسون، الكسندر. بيرنشتاين، جوزيف؛ ديلين، بيير. جابر، عوفر (2018). منحرفون فايسو . النجمية. المجلد.  100 (  الطبعة الثانية). رقم ISBN 978-2-85629-878-7.
• سترومينجر، أندرو (1995). "الثقوب السوداء عديمة الكتلة والمخروطيات في نظرية الأوتار". الفيزياء النووية ب . 451 ( 1-2 ): 96-108 . arXiv : hep-th/9504090 . Bibcode : 1995NuPhB.451...96S . doi : 10.1016/0550-3213(95)00287-3 . S2CID 6035714 . 
• ويتن، إدوارد (1982). "التناظر الفائق ونظرية مورس" . مجلة الهندسة التفاضلية . 17 (4): 661-692 . doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
• ويتن، إدوارد (1993). "أطوار نظريات n = 2 في بعدين". الفيزياء النووية ب . 403 ( 1-2 ): 159-222 . arXiv : hep-th/9301042 . Bibcode : 1993NuPhB.403..159W . doi : 10.1016/0550-3213(93)90033-L . S2CID 16122549 . 
• غرين، بول س.؛ هوبش، تريستان (1988). "ربط فضاءات المعاملات في ثلاثيات كالابي-ياو" . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية . 119 (3): 431-441 . رمز Bibcode : 1988CMaPh.119..431G . doi : 10.1007/BF01218081 . S2CID 119452483 . 
• هوبش، تريستان (1997). "حول علم التماثل المفرد للأوتار". رسائل الفيزياء الحديثة أ . A12 (8): 521-533 . arXiv : hep-th/9612075 . Bibcode : 1997MPLA...12..521H . doi : 10.1142/S0217732397000546 . S2CID 11779832 . 
• هوبش، تريستان (1994). مشعبات كالابي-ياو: معجم للفيزيائيين . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-1927-7.
• هوبش، تريستان؛ رحمن، عبدول (2005). "حول هندسة وتماثل بعض الأصناف الطبقية البسيطة". مجلة الهندسة والفيزياء . 53 (1): 31-48 . arXiv : math.AG/0210394 . Bibcode : 2005JGP....53...31H . doi : 10.1016 / j.geomphys.2004.04.010 . ISSN 0393-0440 . MR 2102048. S2CID 119584805 .   
• ماكفرسون، روبرت؛ فيلونين، كاري (1986). “الإنشاءات الأولية للحزم الضارة”. اختراعات الرياضيات . 84 (2): 403– 435. بيب كود : 1986InMat..84..403M . دوى : 10.1007/BF01388812 . S2CID 120183452 . 
• غرين، برايان (2003). الكون الأنيق . نورتون. ISBN 0-393-05858-1.
• رحمن، عبدول (2009). "نهج الحزمة المنحرفة نحو نظرية التماثل لنظرية الأوتار". التقدم في الفيزياء النظرية والرياضية . 13 (3): 667-693 . arXiv : 0704.3298 . doi : 10.4310/ATMP.2009.v13.n3.a3 . S2CID 14787272 . 
• بانجل، ماركوس (2010). فضاءات التقاطع، اقتطاع التماثل المكاني، ونظرية الأوتار . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  1997. سبرينغر. ISBN 978-3-642-12588-1.
• بانجل، ماركوس؛ بودور، نيرو؛ ماكسيم، لورينتيو (2014). "فضاءات التقاطع، والحزم المنحرفة، ونظرية الأوتار من النوع IIB" . التقدم في الفيزياء النظرية والرياضية . 18 (2): 363-399 . arXiv : 1212.2196 . doi : 10.4310/ATMP.2014.v18.n2.a3 . MR 3273317. S2CID 62773026 .  

• التماثل التقاطعي والحزم المنحرفة ، ملاحظات بقلم برونو كلينجلر.