شكل واحد تكراري

للحصول على مخطط${\displaystyle (\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)}$على${\displaystyle Q}$(أين${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),}$يترك${\displaystyle \{p_{i},q^{i}\}_{i=1}^{n}}$تكون الإحداثيات على${\displaystyle T^{*}Q,}$حيث تنسق الألياف${\displaystyle \{p_{i}\}_{i=1}^{n}}$ترتبط بالأساس الخطي${\displaystyle \{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.}$بافتراض، لكل${\displaystyle {\mathbf {q} }=(q^{1},\ldots ,q^{n})\in U,}$$${\displaystyle \beta ({\mathbf {q} })=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},}$$ أو $${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).}$$ ويترتب على ذلك أن $$\beta_* \left(\frac{\partial}{\partial q^i}}{\Biggl|}_{\mathbf{q}} \right) = \frac{\partial}{\partial q^i}}{\Biggl|}_{\beta(\mathbf{q})} + \sum_{j=1}^n \frac{\partial \beta_j}{\partial q^i}}{\Biggl|}_{\mathbf{q}} \cdot \frac{\partial}{\partial p_j}{\Biggl|}_{\beta(\mathbf{q})}$$ مما يعني أن $${\displaystyle (\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i}\left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.}$$

الخطوة الأولى: لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)\\&=\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}}$$

الخطوة 1'. ولإتمام الصورة، نقدم الآن برهانًا لا يعتمد على الإحداثيات.${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$لأي نموذج واحد${\displaystyle \beta .}$

لاحظ أنه، بشكل بديهي، لكل${\displaystyle q\in Q}$و${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q,}$الخريطة الخطية${\displaystyle d\pi _{(q,p)}}$في تعريف${\displaystyle \theta }$يُسقط الفضاء المماسي${\displaystyle T_{(q,p)}T^{*}Q}$على فضاءها الفرعي${\displaystyle T_{q}Q.}$ونتيجة لذلك، لكل${\displaystyle q\in Q}$و${\displaystyle v\in T_{q}Q,}$$${\displaystyle d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,}$$ أين${\displaystyle \beta _{*q}}$هو مثال على${\displaystyle \beta _{*}}$عند النقطة${\displaystyle q\in Q,}$إنه، $${\displaystyle \beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.}$$ بتطبيق التعريف الخالي من الإحداثيات لـ${\displaystyle \theta }$ل${\displaystyle \theta _{\beta (q)},}$يحصل على $${\displaystyle (\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.}$$

الخطوة الثانية: يكفي أن تُظهر أن${\displaystyle \alpha =0}$لو${\displaystyle \beta ^{*}\alpha =0,}$لكل شكل واحد${\displaystyle \beta .}$يترك $${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},}$$ أين${\displaystyle \alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R} ).}$

الاستبدال${\displaystyle v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }}$في الهوية${\displaystyle \alpha (\beta _{*}v)=0}$يحصل على $${\displaystyle \alpha (\partial /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,}$$ أو ما يعادل ذلك، لأي اختيار من${\displaystyle n}$الوظائف${\displaystyle p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),}$$${\displaystyle \alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.}$$ يترك${\displaystyle \beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},}$أين${\displaystyle c_{j}={\text{const}}.}$في هذه الحالة،${\displaystyle \beta _{j}=c_{j}.}$لكل${\displaystyle \mathbf {q} \in U}$و${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle \alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.}$$ هذا يدل على أن${\displaystyle \alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times U,}$والهوية $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0}$$ يجب أن يتحقق ذلك لأي اختيار عشوائي للدوال${\displaystyle p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).}$لو${\displaystyle \beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}}$(مع${\displaystyle {}^{j}}$(مع الإشارة إلى الكتابة المرتفعة) ثم${\displaystyle \beta _{j}=c_{j}q^{j},}$وتصبح الهوية $${\displaystyle \alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,}$$ لكل${\displaystyle \mathbf {q} \in U}$و${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {R} .}$منذ${\displaystyle c_{j}=p^{j}/q^{j},}$نرى ذلك${\displaystyle \alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,}$طالما${\displaystyle q^{j}\neq 0}$للجميع${\displaystyle j.}$من ناحية أخرى، الوظيفة${\displaystyle \alpha _{p_{i}}}$متصلة، وبالتالي${\displaystyle \alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times U.}$