التناظر المرآوي المتماثل

التناظر المرآوي المتجانس هو فرضية رياضية وضعها مكسيم كونتسيفيتش . وهي تسعى إلى إيجاد تفسير رياضي منهجي لظاهرة تسمى التناظر المرآوي ، والتي لاحظها لأول مرة علماء الفيزياء الذين يدرسون نظرية الأوتار .

في خطاب ألقاه أمام المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1994 في زيورخ ، تكهن كونتسيفيتش (1994) بأن التناظر المرآوي لزوج من مشعبات كالابي-ياو X و Y يمكن تفسيره على أنه تكافؤ بين فئة مثلثية مبنية من الهندسة الجبرية لـ X ( الفئة المشتقة من الحزم المتماسكة على X ) وفئة مثلثية أخرى مبنية من الهندسة التبسيطية لـ Y ( فئة فوكايا المشتقة ).

وصف إدوارد ويتن في الأصل الالتواء الطوبولوجي لنظرية الحقل الفائق التناظر N=(2,2) إلى ما أسماه نظريات الأوتار الطوبولوجية من النموذجين A وB. تتعلق هذه النماذج بالخرائط من أسطح ريمان إلى هدف ثابت، عادةً ما يكون متعدد شعب كالابي-ياو. تُضمن معظم التنبؤات الرياضية لتناظر المرآة في التكافؤ الفيزيائي للنموذج A على Y مع النموذج B على مرآته X. عندما تكون أسطح ريمان ذات حدود فارغة، فإنها تمثل صفائح العالم للأوتار المغلقة. لتغطية حالة الأوتار المفتوحة، يجب إدخال شروط حدودية للحفاظ على التناظر الفائق. في النموذج A، تأتي هذه الشروط الحدودية على شكل متعددات شعب فرعية لاغرانجية من Y مع بعض البنية الإضافية (التي تُسمى غالبًا بنية الغشاء). في النموذج B، تأتي الشروط الحدودية على شكل متعددات شعب فرعية هولومورفية (أو جبرية) من X مع حزم متجهة هولومورفية (أو جبرية) عليها. هذه هي الكائنات التي تُستخدم لبناء الفئات ذات الصلة . ويُطلق عليها غالبًا اسم الأغشية A وB على التوالي. وتُعطى التشكلات في الفئات بواسطة الطيف عديم الكتلة للأوتار المفتوحة الممتدة بين غشائين .

لا تُغطي نماذج الأوتار المغلقة A وB سوى ما يُسمى بالقطاع الطوبولوجي، وهو جزء صغير من نظرية الأوتار الكاملة. وبالمثل، فإن الأغشية في هذه النماذج ليست سوى تقريبات طوبولوجية للأجسام الديناميكية الكاملة التي تُمثل أغشية D. ومع ذلك، فإن الرياضيات الناتجة عن هذا الجزء الصغير من نظرية الأوتار كانت عميقة ومعقدة.

خصصت كلية الرياضيات في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون عامًا كاملاً لدراسة التناظر المرآوي المتماثل خلال العام الدراسي 2016-2017. وكان من بين المشاركين بول سايدل من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وماكسيم كونتسيفيتش من معهد الدراسات العليا العلمية ، ودينيس أورو من جامعة كاليفورنيا في بيركلي . ^{[ 1 ]}

لم يتمكن علماء الرياضيات من التحقق من صحة الفرضية إلا في أمثلة قليلة. في خطابه الرائد، أشار كونتسيفيتش إلى إمكانية إثبات الفرضية في حالة المنحنيات الإهليلجية باستخدام دوال ثيتا . وعلى هذا النهج، قدم ألكسندر بوليتشوك وإريك زاسلو برهانًا لنسخة من الفرضية خاصة بالمنحنيات الإهليلجية. وتمكن كينجي فوكايا من إثبات عناصر من الفرضية للأصناف الأبيلية . وفي وقت لاحق، قدم كونتسيفيتش ويان سويبلمان برهانًا لمعظم الفرضية لحزم الطارة غير المنفردة فوق المشعبات الأفينية باستخدام أفكار من فرضية SYZ . وفي عام 2003، أثبت بول سايدل صحة الفرضية في حالة السطح الرباعي . وفي عام 2002، شرح هاوسل وثاديوس (2002) فرضية SYZ في سياق نظام هيتشين وازدواجية لانجلاندز.

تُرتّب أبعاد فضاءات الأشكال التفاضلية التوافقية ( ^{p , q} ) (أو ما يُكافئها، علم التماثل، أي الأشكال المغلقة بتردد الأشكال الدقيقة ) بشكل اصطلاحي على هيئة معين يُسمى معين هودج . ويمكن حساب أعداد بيتي (p, q) هذه للتقاطعات الكاملة باستخدام دالة مولدة وصفها فريدريش هيرزبروش . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} فعلى سبيل المثال، بالنسبة لمتشعب ثلاثي الأبعاد، تتراوح قيم p و q في معين هودج من 0 إلى 3.

يُحوّل التناظر المرآوي عدد أبعاد الشكل التفاضلي (p, q) من الرتبة h p , q للمتشعب الأصلي إلى h n-p , q  للمتشعب المقابل. أي أن معين هودج لأي متشعب كالابي-ياو لا يتغير بدوران مقداره π راديان، بينما ترتبط معينات هودج لمتشعبات كالابي-ياو المرآوية بدوران مقداره π/2 راديان.

في حالة المنحنى الإهليلجي ، الذي يُنظر إليه على أنه متعدد الشعب أحادي البعد من نوع كالابي-ياو، يكون معين هودج بسيطًا بشكل خاص: إنه الشكل التالي.

في حالة سطح K3 ، الذي يُنظر إليه على أنه متعدد الشعب ثنائي الأبعاد من نوع Calabi-Yau، وبما أن أرقام Betti هي {1، 0، 22، 0، 1}، فإن شكل Hodge الماسي الخاص بها هو الشكل التالي.

في الحالة ثلاثية الأبعاد، والتي تُسمى عادةً مشعب كالابي-ياو ، يحدث أمرٌ مثيرٌ للاهتمام. توجد أحيانًا أزواجٌ متناظرة، مثل M و W ، لها معينات هودج متناظرة بالنسبة لبعضها البعض على طول خط قطري.

ألماسة M :

ماسة W :

يرمز الحرفان M و W إلى النموذجين A و B في نظرية الأوتار. لا يقتصر التناظر المرآوي على استبدال الأبعاد الهومولوجية فحسب، بل يشمل أيضًا البنية التبسيطية والبنية المعقدة على أزواج المرآة. وهذا هو أصل التناظر المرآوي الهومولوجي.

في عامي 1990-1991، كان لبحث كانديلاس وآخرون (1991 ) أثرٌ بالغٌ ليس فقط على الهندسة الجبرية التعدادية، بل على الرياضيات برمتها، وقد ألهم كونتسيفيتش (1994) في بحثه . يحتوي الزوج المتناظر من مجسمين ثلاثيين من الدرجة الخامسة في هذه الورقة على معينات هودج التالية.

• فرضية التناظر المرآوي - مقال ذو أساس رياضي أكثر
• نظرية المجال الكمومي الطوبولوجية
• نظرية الفئات
• تشابه فلور
• فئة فوكايا
• الفئة المشتقة
• ثلاثي خماسي

• كانديلاس، فيليب؛ دي لا أوسا، زينيا سي؛ غرين، بول إس؛ باركس، ليندا (1991). "زوج من مشعبات كالابي-ياو كنظرية فائقة التناظر قابلة للحل تمامًا". الفيزياء النووية ب . 359 (1): 21-74 . رمز Bibcode : 1991NuPhB.359...21C . doi : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . MR 1115626 . 
• كونتسيفيتش، ماكسيم (1994). "الجبر المتماثل للتناظر المرآوي". arXiv : alg-geom/9411018 .
• كونتسيفيتش، ماكسيم؛ سويبلمان، يان (2000). "التناظر المرآوي المتماثل والتليف الطوري". arXiv : math.SG/0011041 .
• سيدل، بول (2003). "التناظر المرآوي المتماثل للسطح الرباعي". arXiv : math.SG/0310414 .
• هاوسل، تاماس؛ ثاديوس، مايكل (2002). "التناظر المرآوي، وازدواجية لانجلاندز، ونظام هيتشين". Inventiones Mathematicae . 153 (1): 197–229 . arXiv : math.DG/0205236 . Bibcode : 2003InMat.153..197H . doi : 10.1007/s00222-003-0286-7 . S2CID 11948225 .