هندسة معقدة

في الرياضيات ، تُعنى الهندسة المركبة بدراسة البنى والإنشاءات الهندسية الناشئة عن الأعداد المركبة أو الموصوفة بها . وعلى وجه الخصوص، تهتم الهندسة المركبة بدراسة الفضاءات ، مثل المتشعبات المركبة والأصناف الجبرية المركبة ، ودوال المتغيرات المركبة المتعددة ، والإنشاءات التحليلية، مثل حزم المتجهات التحليلية والحزم المتماسكة . ^{[ 1 ]} ويندرج تطبيق الأساليب المتسامية على الهندسة الجبرية ضمن هذا التصنيف، إلى جانب جوانب هندسية أخرى من التحليل المركب .

تقع الهندسة المركبة عند تقاطع الهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والتحليل المركب، وتستخدم أدوات من المجالات الثلاثة جميعها. وبفضل هذا المزيج من التقنيات والأفكار من مختلف المجالات، غالبًا ما تكون مسائل الهندسة المركبة أسهل حلًا وأكثر واقعية من غيرها. فعلى سبيل المثال، يُميّز تصنيف المشعبات المركبة والأصناف الجبرية المركبة من خلال برنامج النموذج الأدنى وبناء فضاءات المعاملات هذا المجال عن الهندسة التفاضلية، حيث يُعدّ تصنيف المشعبات الملساء الممكنة مسألةً أصعب بكثير. إضافةً إلى ذلك، يسمح الهيكل الإضافي للهندسة المركبة، لا سيما في الإطار المضغوط ، بإثبات نتائج تحليلية شاملة بنجاح كبير، بما في ذلك برهان شينغ-تونغ ياو على حدسية كالابي ، وتطابق هيتشين-كوباياشي ، وتطابق هودج غير التبادلي ، ونتائج وجود مقاييس كاهلر-أينشتاين ومقاييس كاهلر ذات الانحناء القياسي الثابت . غالباً ما تعود هذه النتائج إلى الهندسة الجبرية المعقدة، وعلى سبيل المثال ، استفاد تصنيف مشعبات فانو باستخدام استقرار K بشكل كبير مؤخراً من التقنيات في التحليل وفي الهندسة الثنائية العقلانية البحتة .

للهندسة المعقدة تطبيقات هامة في الفيزياء النظرية، حيث تُعدّ أساسية لفهم نظرية الحقول المطابقة ، ونظرية الأوتار ، وتناظر المرآة . كما أنها مصدرٌ للعديد من الأمثلة في مجالات أخرى من الرياضيات، بما في ذلك نظرية التمثيل حيث يمكن دراسة أصناف الأعلام المعممة باستخدام الهندسة المعقدة مما يؤدي إلى نظرية بوريل-ويل-بوت ، أو في الهندسة التبادلية ، حيث تكون مشعبات كاهلر تبادلية، وفي الهندسة الريمانية حيث توفر المشعبات المعقدة أمثلة على هياكل مترية غريبة مثل مشعبات كالابي-ياو ومشعبات هايبركاهلر ، وفي نظرية القياس ، حيث غالبًا ما تقبل حزم المتجهات الهولومورفية حلولًا لمعادلات تفاضلية مهمة ناشئة عن الفيزياء مثل معادلات يانغ-ميلز . تُعدّ الهندسة المعقدة ذات تأثير بالغ في الهندسة الجبرية البحتة، حيث تُسهم النتائج التحليلية في هذا المجال، مثل نظرية هودج لمتشعبات كاهلر ، في فهم بنى هودج للأصناف والمخططات ، بالإضافة إلى نظرية هودج p-adic . كما تُسهم نظرية التشوه للمتشعبات المعقدة في فهم نظرية التشوه للمخططات، وقد ألهمت نتائج علم التماثل للمتشعبات المعقدة صياغة حدسيات ويل وحدسيات غروتينديك القياسية . من جهة أخرى، غالبًا ما تُغذي نتائج وتقنيات العديد من هذه المجالات الهندسة المعقدة، فعلى سبيل المثال، كشفت التطورات في رياضيات نظرية الأوتار وتناظر المرآة الكثير عن طبيعة متشعبات كالابي-ياو ، التي يتوقع علماء نظرية الأوتار أن يكون لها بنية تليفات لاغرانجية من خلال حدسية SYZ ، كما أدى تطوير نظرية غروموف-ويتن للمتشعبات التبادلية إلى تقدم في الهندسة العددية للأصناف المعقدة.

تُعدّ حدسية هودج ، إحدى مسائل جائزة الألفية ، مسألة في الهندسة المعقدة. ^{[ 2 ]}

بشكل عام، يهتم علم الهندسة المركبة بالفضاءات والأشكال الهندسية التي تُنمذج، بمعنى ما، على المستوى المركب . وتتجلى خصائص المستوى المركب والتحليل المركب لمتغير واحد، مثل المفهوم الجوهري للتوجيه (أي القدرة على الدوران باستمرار 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة عند كل نقطة في المستوى المركب)، وصلابة الدوال التحليلية (أي أن وجود مشتق مركب واحد يستلزم قابلية التفاضل المركب لجميع الرتب)، في جميع أشكال دراسة الهندسة المركبة. على سبيل المثال، كل مشعب مركب قابل للتوجيه بشكل قانوني، ^{[ 3 ]} وينطبق شكل من أشكال نظرية ليوفيل على المشعبات المركبة المدمجة أو الأصناف الجبرية المركبة الإسقاطية .

تختلف الهندسة المركبة في جوهرها عن ما يُمكن تسميته بالهندسة الحقيقية ، وهي دراسة الفضاءات القائمة على الخصائص الهندسية والتحليلية لخط الأعداد الحقيقية . فعلى سبيل المثال، بينما تقبل المشعبات الملساء تجزئات الوحدة ، أي مجموعات من الدوال الملساء التي يمكن أن تساوي واحدًا على مجموعة مفتوحة ما ، وصفرًا في أي مكان آخر، فإن المشعبات المركبة لا تقبل مثل هذه المجموعات من الدوال التحليلية. في الواقع، هذا هو تجلّي نظرية الهوية ، وهي نتيجة نموذجية في التحليل المركب لمتغير واحد. بمعنى ما، يُمكن إرجاع حداثة الهندسة المركبة إلى هذه الملاحظة الأساسية.

صحيح أن كل مشعب معقد هو على وجه الخصوص مشعب أملس حقيقي. وذلك لأن المستوى المعقد${\displaystyle \mathbb {C} }$بعد نسيان بنيتها المعقدة، تصبح متماثلة مع المستوى الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ومع ذلك، لا يُنظر عادةً إلى الهندسة المعقدة على أنها فرعٌ خاص من الهندسة التفاضلية ، وهي دراسة المشعبات الملساء. وعلى وجه الخصوص، تنص نظرية GAGA لسير على أن كل منوع تحليلي إسقاطي هو في الواقع منوع جبري ، وأن دراسة البيانات الهولومورفية على منوع تحليلي تُكافئ دراسة البيانات الجبرية. ^{[ 4 ]}

تشير هذه المعادلة إلى أن الهندسة العقدية أقرب، من بعض النواحي، إلى الهندسة الجبرية منها إلى الهندسة التفاضلية . ومن الأمثلة الأخرى على ذلك، والتي ترتبط بطبيعة المستوى العقدي، أنه في التحليل العقدي لمتغير واحد، يمكن وصف حالات التفرد للدوال الميرومورفية بسهولة. في المقابل، يصعب تحديد السلوك المتفرد المحتمل لدالة حقيقية متصلة. ونتيجة لذلك، يمكن دراسة الفضاءات المتفردة بسهولة في الهندسة العقدية، مثل الأصناف التحليلية العقدية المتفردة أو الأصناف الجبرية العقدية المتفردة، بينما غالبًا ما يتم تجنب دراسة الفضاءات المتفردة في الهندسة التفاضلية.

عمليًا، تقع الهندسة المركبة عند تقاطع الهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية والتحليل في عدة متغيرات مركبة ، ويستخدم عالم الهندسة المركبة أدوات من هذه المجالات الثلاثة لدراسة الفضاءات المركبة. تشمل مجالات الاهتمام النموذجية في الهندسة المركبة تصنيف الفضاءات المركبة، ودراسة الكائنات الهولومورفية المرتبطة بها (مثل حزم المتجهات الهولومورفية والحزم المتماسكة )، والعلاقات الوثيقة بين الكائنات الهندسية المركبة ومجالات أخرى من الرياضيات والفيزياء.

يهتم علم الهندسة المعقدة بدراسة المتشعبات المعقدة ، والتنوعات الجبرية المعقدة ، والتنوعات التحليلية المعقدة . في هذا القسم، يتم تعريف هذه الأنواع من الفضاءات وعرض العلاقات بينها.

متعدد الأبعاد المعقد${\displaystyle n}$هو فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$، مزود بغطاء مفتوح${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$وعائلة من التشاكلات المتماثلة${\displaystyle (\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to V_{\alpha })_{\alpha \in A}}$من${\displaystyle U_{\alpha }}$إلى مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle V_{\alpha }}$ل${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بحيث:

• ${\displaystyle X}$هو هاوسدورف وثاني قابل للعد .
• لو${\displaystyle (U_{1},\varphi )}$و${\displaystyle (U_{2},\psi )}$أي مخططين متداخلين يمثلان مجموعات مفتوحة${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ل${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$على التوالي، ثم دالة الانتقال${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$هو شكل ثنائي ^{[ 1 ]} .

لاحظ أن كل تحويل ثنائي هو تحويل تفاضلي ، و${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$التشاكل كفضاء متجهي حقيقي إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$، كل متعدد شعب معقد ذو بُعد${\displaystyle n}$وهي على وجه الخصوص متعددة شعب ملساء ذات بُعد${\displaystyle 2n}$وهو دائمًا عدد زوجي.

على عكس المتشعبات المعقدة التي تكون دائمًا ملساء، يهتم علم الهندسة المعقدة أيضًا بالفضاءات التي قد تكون شاذة. والمتنوع التحليلي المعقد الأفيني هو مجموعة جزئية${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$بحيث يكون حول كل نقطة${\displaystyle p\in X}$يوجد حي مفتوح${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p}$ومجموعة من عدد محدود من الدوال التحليلية.${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$بحيث${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$بحسب الاصطلاح، نحتاج أيضًا إلى المجموعة${\displaystyle X}$أن يكون غير قابل للاختزال . نقطة${\displaystyle p\in X}$تكون مصفوفة جاكوبي لمتجه الدوال التحليلية منفردة إذا كانت مصفوفة جاكوبي لمتجه الدوال التحليلية${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$لا يمتلك رتبة كاملة في${\displaystyle p}$وإلا فهي غير شاذة . التنوع التحليلي المركب الإسقاطي هو مجموعة جزئية${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$للفضاء الإسقاطي المركب الذي يُعطى محليًا، بنفس الطريقة، بواسطة أصفار مجموعة منتهية من الدوال التحليلية على مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.

وبالمثل، يمكن تعريف التنوع الجبري المركب الأفيني بأنه مجموعة جزئية${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$والتي تُعطى محليًا على أنها مجموعة أصفار عدد محدود من كثيرات الحدود في${\displaystyle n}$المتغيرات المركبة. لتعريف صنف جبري مركب إسقاطي ، يلزم المجموعة الجزئية${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$أن يتم تحديدها محليًا بواسطة مجموعة الصفر لعدد محدود من كثيرات الحدود المتجانسة .

لتعريف تنوع جبري أو تحليلي معقد عام، نحتاج إلى مفهوم الفضاء الحلقي الموضعي . التنوع الجبري/التحليلي المعقد هو فضاء حلقي موضعي.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$وهو متماثل محليًا كفضاء حلقي محليًا مع تنوع جبري/تحليلي معقد أفيني. في الحالة التحليلية، يسمح المرء عادةً${\displaystyle X}$أن يكون لها بنية طوبولوجية مكافئة محليًا لبنية الفضاء الجزئي نظرًا لتحديدها مع المجموعات الفرعية المفتوحة من${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$أما في الحالة الجبرية${\displaystyle X}$غالباً ما تكون مزودة بطوبولوجيا زاريسكي . ومرة ​​أخرى، نشترط أيضاً، وفقاً للاتفاقية، أن يكون هذا الفضاء الحلقي المحلي غير قابل للاختزال.

بما أن تعريف النقطة الشاذة محلي، فإن التعريف المُعطى لمتنوعة تحليلية/جبرية أفينية ينطبق على نقاط أي متنوعة تحليلية أو جبرية معقدة. مجموعة نقاط التنوعة${\displaystyle X}$يُطلق على ما هو مفرد اسم الموضع المفرد ، ويُرمز له بـ${\displaystyle X^{sing}}$والمكمل هو الموضع غير المنفرد أو الأملس ، ويرمز إليه بـ${\displaystyle X^{nonsing}}$نقول إن التنوع المعقد أملس أو غير شاذ إذا كان موضعه الشاذ فارغًا. أي إذا كان مساويًا لموضعه غير الشاذ.

بحسب نظرية الدالة الضمنية للدوال الهولومورفية، فإن كل مشعب عقدي هو على وجه الخصوص مشعب تحليلي عقدي غير شاذ، ولكنه ليس بشكل عام مشعبًا أفينيًا أو إسقاطيًا. وبحسب نظرية GAGA لسير ، فإن كل مشعب تحليلي عقدي إسقاطي هو في الواقع مشعب جبري عقدي إسقاطي. عندما يكون المشعب العقدي غير شاذ، فإنه يكون مشعبًا عقديًا. وبشكل أعم، فإن الموضع غير الشاذ لأي مشعب عقدي هو مشعب عقدي.

نظراً لصلابة الدوال التحليلية والمتشعبات المعقدة، تختلف التقنيات المستخدمة عادةً لدراسة المتشعبات المعقدة والتنوعات المعقدة عن تلك المستخدمة في الهندسة التفاضلية المنتظمة، وهي أقرب إلى التقنيات المستخدمة في الهندسة الجبرية. على سبيل المثال، في الهندسة التفاضلية، تُعالج العديد من المسائل بأخذ الإنشاءات المحلية ودمجها معاً على المستوى الكلي باستخدام تجزئات الوحدة. لا توجد تجزئات الوحدة في الهندسة المعقدة، ولذا فإن مسألة تحديد متى يمكن دمج البيانات المحلية مع البيانات الكلية أكثر تعقيداً. ويُقاس تحديد متى يمكن دمج البيانات المحلية بدقة بواسطة تماثل الحزم ، وتُعد الحزم ومجموعات تماثلها أدوات رئيسية في هذا الصدد.

على سبيل المثال، من أشهر المسائل في تحليل المتغيرات المركبة المتعددة قبل ظهور التعريفات الحديثة مسائل كوزين ، التي تتساءل تحديدًا متى يمكن دمج البيانات الميرومورفية المحلية للحصول على دالة ميرومورفية شاملة. ويمكن حل هذه المسائل القديمة بسهولة بعد إدخال الحزم ومجموعات التماثل.

تشمل الأمثلة الخاصة للحزم المستخدمة في الهندسة المعقدة حزم الخطوط الهولومورفية (والقواسم المرتبطة بها)، وحزم المتجهات الهولومورفية ، والحزم المتماسكة . ولأن علم تماثل الحزم يقيس العوائق في الهندسة المعقدة، فإن إحدى التقنيات المستخدمة هي إثبات نظريات التلاشي. ومن أمثلة نظريات التلاشي في الهندسة المعقدة نظرية كودايرا لتماثل حزم الخطوط على مشعبات كاهلر المدمجة، ونظريتا كارتان A وB لتماثل الحزم المتماسكة على المتنوعات المعقدة الأفينية.

تستفيد الهندسة المعقدة أيضاً من تقنيات ناشئة عن الهندسة التفاضلية والتحليل. فعلى سبيل المثال، تحسب نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ ، وهي حالة خاصة من نظرية مؤشر أتياس-سينجر ، خاصية أويلر التحليلية لحزمة متجهات تحليلية بدلالة الفئات المميزة لحزمة المتجهات المعقدة الملساء الأساسية.

يُعدّ التصنيف أحد المواضيع الرئيسية في الهندسة المركبة . ونظرًا لطبيعة الفضاءات المركبة المتشعبة والمتنوعة الجامدة، فإنّ مشكلة تصنيف هذه الفضاءات غالبًا ما تكون قابلة للحل. ويتم التصنيف في الهندسة المركبة والجبرية عادةً من خلال دراسة فضاءات المعاملات ، التي هي بدورها فضاءات مركبة متشعبة أو متنوعة، وتُصنّف نقاطها الأشكال الهندسية الأخرى الناشئة في الهندسة المركبة.

• المتجه الثنائي (المركب)
• مشعب كالابي-ياو
• نظريات كارتان أ و ب
• الفضاء التحليلي المعقد
• مجموعة الأكاذيب المعقدة
• متعدد الأوجه المعقد
• الفضاء الإسقاطي المعقد
• مشاكل أبناء العم
• نظرية التشوه#تشوهات المتشعبات المعقدة
• تصنيف إنريكي-كودايرا
• غاغا
• نظرية هارتوغز للتمديد
• فضاء متناظر هيرميتي
• تحلل هودج
• مشعب هوبف
• الخط الوهمي (الرياضيات)
• نظام كوباياشي المتري
• مراسلات كوباياشي-هيتشين
• مشعب كاهلر
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-ليما
• رقم المزاد
• قائمة الأسطح المعقدة والجبرية
• التناظر المرآوي
• المضاعف المثالي
• التنوع الإسقاطي
• التحدب الزائف
• عدة متغيرات معقدة
• مشعب شتاين

• هيوبرشتس، دانيال (2005). الهندسة المعقدة: مقدمة . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-21290-6.
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 
• هورماندر، لارس (1990) [1966]، مقدمة في التحليل المركب في عدة متغيرات ، مكتبة نورث هولاند الرياضية، المجلد  7 (الطبعة الثالثة (المنقحة)  )، أمستردام - لندن - نيويورك - طوكيو: نورث هولاند ، ISBN 0-444-88446-7، MR 1045639 ، Zbl 0685.32001  
• S. Kobayashi , K. Nomizu . أسس الهندسة التفاضلية (مكتبة وايلي الكلاسيكية) المجلد 1، 2.
• ميراندا، ريك (1997). المنحنيات الجبرية وأسطح ريمان . دراسات عليا في الرياضيات (طبعة مع تصحيحات  ). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-0268-7.
• فوازين، كلير (2007). نظرية هودج والهندسة الجبرية المعقدة. 1. دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة (الطبعة الأولى،  غلاف ورقي). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-71801-1.
• تشنغ، فانغيانغ (2001). الهندسة التفاضلية المعقدة . دراسات الجمعية الأمريكية للرياضيات/معهد بروفيدنس في الرياضيات المتقدمة (طبعة مع تصحيحات  ). بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0-8218-2960-8.